Luận văn bài toán bù trong không gian hilbert

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2

ĐỖ A N H TU Ấ N

B À I TO Á N BÙ
TRO NG K H ÔNG G IA N HILBERT

LUẬN VĂN TH Ạ C s ĩ TO Á N HỌC

H à N ộ i - 2016


B ộ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠ O

TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2

ĐỖ A N H TU Ấ N

BÀ I TO ÁN BÙ
TRO NG K H ÔNG G IA N HILBERT

C h u y ê n n g à n h : T o á n g iả i tíc h
M ã số: 6 0 .4 6 .0 1 .0 2
LUẬN VĂN TH Ạ C s ĩ TO Á N HỌC

N g ư ờ i h ư ớ n g d ẫ n k h o a h ọ c : P G S .T S . N G U Y Ễ N N Ă N G T Â M

H à N ộ i - 2016

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PG S.TS. Nguyễn Năng Tâm Trường ĐHSP Hà Nội II đã hướng dẫn để tôi hoàn th àn h luận văn này.
Tôi cũng xin chân th àn h cám ơn các Thầy cô giảng viên của trường ĐHSP
Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập tại
trường vừa qua. Tôi xin cảm ơn cơ quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình đã
chia sẻ, giúp đõ, động viên tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành
luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
T ác g iả

Đ ỗ A nh T uấn


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trong luận văn là trung thực và
không trùng lặp với các đề tài khác. Các thông tin trích dẫn trong luận
văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
T ác g iả

Đ ỗ A nh T uấn


Mục LỤC
Trang
Lời c ả m ơ n

ỉ

Lời c ả m ơ n

ii

C Á C K Í H IỆ U T H Ư Ờ N G D Ù N G

V

P h ần m ở đầu

vi

C h ư ơ n g 1. M ộ t số k iế n th ứ c c h u ẩ n b ị

1

1.1

Khái niệm về không gian H i l b e r t ................................................

1

1.2

Tôpô yếu trong không gian H i l b e r t .............................................

6

1.3

Toán tử trong không gian H ilbert

6

.............................................

C h ư ơ n g 2. B à i to á n b ù t r o n g k h ô n g g ia n H ilb e r t h ữ u h ạ n
c h iề u
2.1

10

Khái niệm về bài toán bù trong không gian Hilbert hữu hạn
c h i ề u ....................................................................................................

iii

10


2.2

Sự tồn tại nghiệm cho bài toán bù trong không gian H ilbert
hữu hạn c h i ề u ...................................................................................

2.3

T ính chất tập nghiệm của bài toán bù trong không gian
H ilbert hữu hạn c h i ề u .......................................................................

2.4

12

16

Bài toán bù tuyến tính trong không gian Hilbert hữu hạn
c h i ề u ....................................................................................................

C h ư ơ n g 3. B à i t o á n b ù tr o n g k h ô n g g ia n H ilb e r t

20
23

3.1

Khái niệm về bài toán bù trong không gian H i l b e r t .................. 23

3.2

Sự tồn tại nghiệm cho bài toán bù trong không gian Hilbert

3.3

T ính chất tập nghiệm cho bài toán bù trong không gian
H i l b e r t ................................................................................................

3.4

24

29

Bài toán bù tuyến tính trong không gian H i l b e r t ......................35

K ế t lu ậ n

45

T à i liệ u t h a m k h ả o

46

IV


C Á C K Í H IỆ U T H Ư Ờ N G D Ù N G

A

toán tử

A*

toán tử liên hợp của toán tử A

K

nón

K*

nón đối ngẫu của K

H

không gian H ilbert

H*

không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục

Rn

không gian Hilbert n chiều
chuẩn trong không gian H ilbert

(x,y)

tích vô hướng của hai vector

X

và

y

T
X y

tích vô hướng của hai vector

X

và

y

X-Ly

X trực giao với y

s 1-

phần bù trực giao của s

X-Ly

X trực giao với y

d(E)

biên của tập E

dK (E )

biên của tập E trong K

int(C)

phần trong của c

ỉntK (c )

phần trong của c trong K

Ec

phần bù của E


Mở đầu
1. L ý d o c h ọ n đ ề t à i
Nhiều bài toán xuất hiện trong m ột số lĩnh vực (ví dụ như: Kinh tế, Lý
thuyết trò chơi, Quy hoạch toán học, Cơ học, Lý thuyết đàn hồi, Kĩ th u ật,
Những bài toán cân bằng) có thể p h át biểu dưới cùng dạng như sau: Cho
H là m ột không gian Hilbert với tích vô hướng (•, •) và K là m ột nón lồi
đóng trong H với nón đối ngẫu K* = {y £ H : ( x , y ) > 0,Vx £ K } . Bài
toán bù N C P ( f , K ) xác định bởi ánh xạ / từ K vào H là tìm

X

£ K sao

cho / (X) £ K* và ( / (x) , x ) = 0 .
Bài toán trên được gọi là bài toán bù và (hình như) có nguồn gốc từ
Định lý Kuhn-Tucker (về điều kiện cần cực trị) trong tối ưu phi tuyến. Vì
bài toán bù có nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng như trong thực tế,
nhiều tác giả trong và ngoài nước đã và đang quan tâm nghiên cứu theo
nhiều hướng, nhiều khía cạnh. Sau khi học được các kiến thức về Toán
giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các kiến thức đã học, mối

quan hệ và ứng dụng của chúng. Tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Bài toán
bù trong không gian H ilbert”.
2. M ụ c đ íc h n g h iê n c ứ u


T ìm h iểu về m ộ t số nội d u n g c ủ a b à i to á n b ù tro n g k h ô n g gian H ilb e rt.

3. N h iệ m v ụ n g h iê n c ứ u
Nghiên cứu m ột số nội dung định tính của Bài toán bù trong không
gian Hilbert.
4. Đ ố i tư ợ n g v à p h ạ m vi n g h iê n cứ u
Bài toán bù trong không gian Hilbert.
5. P h ư ơ n g p h á p n g h iê n cứ u
Dùng phương pháp của giải tích hàm và giải tích biến phân.
6. G iả t h u y ế t k h o a h ọ c
Nếu nghiên cứu và làm rõ được khái niệm bài toán bù cũng như tổng
hợp, hệ thống được m ột số kết quả đã được các nhà khoa học nghiên cứu
và công bố về bài toán bù trong không gian Hilbert thì chúng ta có thêm
những hiểu biết mới về Toán giải tích.

VII


Chương 1
M ột số kiến thức chuẩn bị
Nội dung chính của chương bao gồm m ột số kiến thức cơ sở về không
gian Hilbert và m ột số toán tử trên không gian Hilbert. Những kiến thức
trong chương này được lấy từ [1], [2].

1.1

K h ái n iệm v ề k h ôn g gian H ilb ert

Cho H là không gian vector trên trường số thực R.
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.1 Ta gọi mỗi ánh xạ

H

X

H

R;

(x, y )

I ^

(x, y }

là m ột tích vô hướng trên H nếu các điều kiện sau đây được thỏa m ãn với
\ f x : y, z € H : a Ễ M
*) (x ,y) = (y,x)

ii) (ax, y) = a (x , y )
Ui) (x + y , z ) = (x, z) + (y, z)
1


i v ) (X , X ) > 0, ( x , x ) = 0

Số

( x : y)

X = 0.

được gọi là tích vô hướng của hai phần tử

X

và y . Không gian

vector H cùng với m ột tích vô hướng xác định được gọi là không gian có
tích vô hướng và thường được viết là (iZ, (.,.)).
M ệ n h đ ề 1.1.2 Cho không gian H cùng với một tích vô hướng

.) xác

định. Khi đó công thức

xác định một chuẩn trên H .
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.3 Nếu không gian có tích vô hướng (H , (.,.)) với chuẩn
xác định như trên là m ột không gian đủ, th ì ta gọi ( H :

.)) là m ột không

gian Hilbert. Ta gọi số chiều của H là số chiều của không gian Hilbert
( H ,

V í d ụ 1.1.4 Lấy H = R n với

X =

( x i ,

x n ),

y = ( y i , . . . , y n) G H biểu

thức
n
ix ,y) =
Xác định m ột tích vô hướng trên không gian Mn và với chuẩn

Khi đó,

trở th àn h m ột không gian H ilbert hữu hạn chiều.

2


Đ ịn h n g h ĩa 1.1.5 Tập s

c

H được gọi là lồi nếu với mọi x , y G (S', đoạn

c

thẳng nối x , y đều nằm trong (S'. Nói cách khác, s
chỉ khi: Va;, y E (S', VA G [0,1] ta có:
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.6 Cho s
nón nếu VA > 0 và

X

c

X

H là tập lồi khi và

= Ằx + (1 — Ằ)y G s .

H là m ột tập hợp khác rỗng, s được gọi là

G s ta luôn có Aa; G (S'. Nón s được gọi là nón lồi

nếu s là tập lồi. Nón s được gọi là nón lồi đóng nếu s vừa là nón lồi, vừa
là tập đóng.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .7 Cho m ột tập hợp khác rỗng s

s,

c

H . Nón đối cực của

được ký hiệu là s*, là tập hợp

{y G H\ ( y , x ) < 0,Va; G S } .

Nếu (S' là tập rỗng th ì nón đối cực sẽ là H .
Đ ịn h lý 1.1.8 Cho H ỉà không gian Hilbert với x , y G H ta luôn có bất
đẳng thức sau:
\(x,y}\ < INI \\y\\.
B ất đẳng thức này được gọi là b ất đẳng thức C a u c h y — S c h w a r t z .
Đ ịn h lý 1.1.9 Cho H là một không gian Hilbert. Khi đó

H

X

là một hàm liên tục.
3

H

E


Đ ịn h lý 1.1.10 Cho

s là một

Hilbert H . Khi đó, với mỗi

X

tập lồi đóng khác rỗng trong không gian

£ H tồn tại duy nhất y &

s sao cho

\\x - y \I = inf{\\x - z\\ \z £ S } .

Ta ký hiệu d ( x , s ) = ¿n/{||x — z\\ ịz £ (S'}.
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.11 Hai phần tử
trực giao nếu (x,

y)

X

và

y

của không gian H ilb ert H gọi là

— 0 kí hiệu,

X-Ly.

Nếu (S' là m ột tập con của không gian Hilbert H th ì tập

(S'-1 = { x £ H I X - L y ^ y £ (S'}

gọi là phần bù trực giao của (S'.
T ừ định nghĩa ta có thể suy ra tính chất đơn giản sau:

i) 0_Lx,Vx £ H,
ii) x l . y =>■ yl-X,
iii) X-L { y ũ y 2\ ...-,yn}

x ± a 1y 1+ a 2yi + ... + a nyĩlìn £ N*,ati £ R , i =

1 ,2 ,3 ,...,ra,
iv) x ± y n, yn -)• y. khi n ->• oo =>- X-Ly.
Đ ịn h lý 1.1.12 Giả sử

s

là một không gian con đóng của không gian

Hilbert H. Khi đó mỗi phần tử X £ H biểu diễn được một cách duy nhất
4


dưới dạng

X

= y + z, trong đó y €

s và z €

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.13 Theo định lý trên, mọi

duy n h ất dạng

X

= y +

z

(S'_L.

X

ẽ H đều biểu diên được

với

y e S , z e S ±.

Như vậy, H = s © s ± . Ánh xạ p : H —> s , xác định p(x) = y với
X

— y + z ^ S @ S ± , được gọi là phép chiếu trực giao từ H lên s .

Đ ịn h lý 1.1 .1 4 Phép chiếu trực giao p từ không gian H ỉlh er t H lên không
gian con đóng s Ỷ {0} là một toán tử tuyến tính liên tục.
Đ ịn h lý 1.1.15 (Định lý F.Riesz).
Với mỗi vector a cố định thuộc không gian H ilh ert H , hệ thức:

f { z ) = {a,x)

( 1. 1)

xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) trên không gian H, với

11/11 = N I -

(1-2)

Ngược lại bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục nào trên không gian Hilbert
H cũng có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng (1.1), trong đó a là một vector
của H thỏa mãn (1.2).

5


Đ ịn h n g h ĩa 1.1.16 Cho 777,1, 777,2 £ H , ta ký hiệu 777,1 <£> 777,2 là toán tử
tuyến tính trên H xác định bởi

(777,1 ® m 2){x) = (777,1 , aO(777,2 ).

1.2

T ôpô y ếu tro n g k h ôn g gian H ilb ert

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1 Tôpô yếu nhất trên H để các ánh xạ tuyến tính / G H*
vẫn liên tục được gọi là tôpô yếu trên H .
M ệ n h đ ề 1.2.2 Dãy {:Efc} c H hội tụ yếu đến X nếu và chỉ nếu

f{xk)

f{x)

với mọi f G H*.
M ệ n h đ ề 1.2.3 Hình cầu đơn vị đóng trong không gian Hilbert H là compact yếu.

1.3

T oán tử tro n g k h ôn g gian H ilb ert

Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H . Với
mỗi y G H cố định ta xét phiếm hàm f : H

R được xác định như sau:

f { x ) = (A x , y ) , X e H.
6


Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1 Cho A là m ột toán tử trong không gian H ilbert H,
ánh xạ Ả* : H —> H được xác định như sau:

Vy € H, A*y = y*

trong đó
( A x , y ) = (x, A*y) = { x , y * } ,
khi đó A* được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A.
Đ ịn h lý 1.3.2 Giả sử H là một không gian Hilbert và A là một toán tử
liên tục từ H vào H. Khi đó: A** = A và ||i4**|| = \\A\\.
Đ ịn h lý 1.3.3 Giả sử H là một không gian Hilbert và A, B là một toán
tử liên tục từ H vào H, A £ R. Khi đó:

(A + B Ỵ = A* + B*

(AA Ỵ = XA*
( B o A Ỵ = A* o B *
I* = I (I là toán tử đồng nhất trên H).
Đ ịn h lý 1.3.4 Giả sử H là một không gian Hilbert và A là một toán tử
liên tục từ H vào H. Khi đó A là một phép đồng phôi khi và chỉ khi A* là
một phép đồng phôi và (A*) 1 = (A -1 )*.

7


Đ ịn h n g h ĩa 1.3.5 Với M

c

H , ta kí hiệu s p a n M là không gian tuyến

tín h nhỏ nhất của H chứa M , ỉ n t M là phần trong của M trong H , d M
là biên của tập M và

M ± = { x e H : (x,e ) = 0,Ve £ M } = 0.

Với mỗi toán tử T, chúng ta viết

ranT — {Tx : X

£

H },

k e r T = { x £ H : T x = 0 },
lần lượt là ảnh và nhân của T .
Đ ịn h n g h ĩa 1.3.6 Cho H là m ột không gian Hilbert, T là m ột toán tử
tuyến tính bị chặn trên H , K vầ L là những nón lồi đóng trong H . Ta nói
T là đồng dương cộng trên K nếu:
i) k € K thì (T k , k) > 0,
ii) k & K và (T k , k) = 0 th ì (T + T*) k = 0.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .3 .7 Cho H là m ột không gian Hilbert, T là m ột toán tử
tuyến tính bị chặn trên H , K nón lồi đóng trong H . Ta nói T là đơn điệu
trên K nếu { T x — T y , x — y } > 0; x , y £ K .
Đ ịn h n g h ĩa 1.3.8 Cho M là m ột tập trong không gian Hilbert H. M
được gọi là khả ly nếu M chứa m ột tập con đếm được trù m ật trong M .

8


K ế t lu ậ n
Trong chương 1 đã trình bày m ột số khái niệm về không gian Hilbert,
toán tử trong không gian Hilbert, định nghĩa về tập lồi, nón, nón lồi đóng
các kết quả sẽ dùng trong các chương sau.

9


Chương 2
Bài toán bù trong không gian
H ilbert hữu hạn
chiều

*
Chương 2 sẽ trình bày m ột số kết quả về bài toán bù trong không gian
Hilbert hữu hạn chiều. Các kết quả trình bày trong chương này được lấy
từ [4], [6],

2.1

K h ái n iệm v ề bài to á n bù tro n g k h ôn g gian

H ilb ert hữu hạn ch iều
Đ ịn h n g h ĩa 2.1.1 ([4], ir.164). Cho X là tập con khác rỗng của R n và
cho F là ánh xạ từ Kn vào chính nó. Bài toán tìm vector

X*

F ( x ‘ )T ( y - x ' ) > 0 , V y e X

& X sao cho

(2.1)

được gọi là b ất đẳng thức biến phân. Kí hiệu là V I ( X , F).
Tập tấ t cả các vector

X*

G X thỏa m ãn (2.1) được gọi là tập nghiệm

10

của V I ( F , X ) và ký hiệu là S o l { V I ( F , X ) ) .
Trường hợp đặc biệt của b ất đẳng thức biến phân V I ( X , F ) là bài toán
bù phi tuyến N C P ( F ) được định nghĩa sau đây.
Đ ịn h n g h ĩa 2.1.2 ([4], ir.166). Cho F là m ột ánh xạ từ R n vào chính
nó. Bài toán tìm vector

X*

£ K” sao cho,

F(x*) £ R l

và

F { x *)t x * = 0,

(2.2)

trong đó
R i = { u £ R n \ u > 0}
được gọi là bài toán bù phi tuyến trong không gian Hilbert hữu hạn chiều,
kí hiệu N C P ( F ) .
Tập tấ t cả các vector

X*

£

thỏa m ãn (2.2) được gọi là tập nghiệm

của N C P ( F ) và ký hiệu là S o l ( N C P ( F ) ) .
V í d ụ 2.1.3 ([6], ír.15). Cho A = R l , F : R n — > R n. Khi đó F ( x * ) Tx* =
0 tương đương với

è x*iFị(x*) = 0 4» x ự i ự ) = 0
i=1
với Vi = 1,..., n.
11


Vậy S ol ( N C P ( F )) = { x e M " | a:_LF(a:)}.
Đ ịn h n g h ĩa 2 .1 .4 ([4], ír.166). Cho X là m ột nón lồi của Kn và cho F
là m ột ánh xạ từ R n vào chính nó. Bài toán tìm vector

F(x*)

e X*

X*

€ X sao cho

và F ( x *) t x * = 0

được gọi là bài toán bù tổng quát trong không gian Hilbert hữu hạn chiều,
kí hiệu G C P ( X , F). ở đó, X * là nón đối ngẫu của X, cho bởi công thức

X* = {y

2.2

e Mn : y Tx

> 0}.

Sự tồ n tạ i n gh iệm cho bài to á n bù tro n g k h ôn g

gian H ilb ert hữu hạn ch iều
M ệ n h đ ề 2.2.1 ([4], ír.166). Cho X là một nón lồi trong Mn và cho F
là một ánh

xạ

từ M71 vào chính nó. Thì

V I ( X , F ) khi và chỉ khi

X*

X*

G X là nghiệm của bài toán

là nghiệm của bài toán G C P ( X , F).

Đ ịn h n g h ĩa 2.2.2 ([4], ír.167). Cho tập X là tập con lồi, đóng của R n
và G là m a trận đối xứng, xác định dương cấp n

X

n. Khi đó, phép chiếu

theo chuẩn G — chuẩn của điểm y E R n lên tập X , kí hiệu là p rc x { y ) )
được xác định là nghiệm duy nh ất của bài toán sau đây:

minimize IIy — x ||Q.

12


Trong đó, ỊỊ^IIg = (x TG x )1/ 2 là ký hiệu G — chuẩn của vector

X

ẽ

Sử dụng định nghĩa ta có các kết quả sau đây:
M ệ n h đ ề 2 .2 .3 ([4], tr. 167 — 168). Cho tập X là tập con lồi, đóng của
]Rn và G là ma trận đối xứng, xác định dương cấp n

X

n. Khi đó,

X*

là

nghiệm của bài toán VI(X,F) khi và chỉ khi

X*

khi và chỉ khi

X*

= p r G,x{x* - G ~ 1F(x*));

là điểm bất động của ánh xạ H : ]Rn — > R n xác định bởi

H ( x ) = p r G, x (X - ơ _1F (x )).

(2.3)

Trong bài toán bù phi tuyến N C P ( F ) (trong đó X = M™), công thức
(2.3) được viết dưới dạng đơn giản:

H ( x ) = m a x ( Q ,x —F ( x ) )

cùng với G là m a trậ n đồng nhất. Trường hợp tổng quát, nếu

H :R n —

th ì

X*

H ịx)

là điểm bất động nếu và chỉ nếu
=

H ịx)

— X.

Mn

X*

là không điểm của ánh xạ

Do đó, bài toán b ất đẳng thức biến phân V I và bài

toán bù phi tuyến N C P có thể được viết dưới dạng bài toán cổ điển của
việc giải hệ phương trình phi tuyến.
13


Đ ịn h lý 2 .2 .4 ([4], ír.168). Cho 9 : R — * R là một hàm tầng ngặt với
6(0) = 0. Khi đó, vector

X*

E R n ỉà nghiệm của N C P ( F ) khi và chỉ khi

H(x*) = 0, trong đó H : R n — » Mn được xác định bởi

Ỗị (x) = 9(\Fị(x) - Xj|) - 9(Fị(x)) - 9(xi),\/i = 1,2,

(2.4)

C h ứ n g m in h . Với mỗi ¿ = 1 ,2 ,..., n th ì Xị = 0 hoặc Fị(x) = 0.
+ Điều kiện cần
Nếu

Xi

= 0, thì 9(\Fi(x) -

Xị\)

- 9(Fị (x)) - 6(xị) = 9(\Fi(x) -

Xị\)

-

Xị\)

-

e ự ị i x ) ) - 0 = 0.
Nếu Fị(x) = 0, thì 9(\Fi(x) -

Xị\)

- 9(Fi(x)) - 9(xị) = 6(\Fi(x) -

0 - 9(xi) = 0.
+ Điều kiện đủ
a) Ta chứng minh F ( x ) > 0. Giả sử ngược lại Fị(x) < 0 với m ột vài
ỉ — 1,..., n khi đó, ta có

0 < 9(\xi - Fị(x)\) = 6(Fị(x)) + 0(xị) < 6(xị).

Từ tính chất tăng của 9 ta có

Xị

> 0 và

Xị

> \xị — Fị (x )I =

Xị

— Fị(x).

Suy ra Fị(x) > 0 m âu thuẫn với Fị(x) < 0.
b) Ta chứng m inh

X

> 0.

T h ật vậy, bằng cách hoán vị

Xi

và Fị(x) trong mục a) ta có điều phải

chứng minh.
c) Từ phần a) và phần b), chúng ta có
14

X

> 0 và F( x) > 0.


T a sẽ chứ ng m in h x TF ( x ) = 0. G iả sử Xị > 0 và Fị(x) > 0 với m ộ t vài

i = 1, ...n.
Nếu
F ị ( x ) > Xi,

thì
0(\Fi(x) -

Z j|) = 6 { F ị { x ) -

Xi) < 0 ( F i ( x ) ) + dxị.

Điều này m âu thuân với

Q ^ x ) - Xi\) - e ự ^ x ) ) - 9{Xi) = ữ.

Tương tự ta chứng minh được F ị( x ) < Xị là vô lý. Do đó đi ều giả sử là
sai, do vậy ta có XTF { x ) = 0.

□

BỔ đ ề 2 .2 .5 ([4], ír.168). Cho F : R n — > R n . Vector X* e I n là nghiệm
của bài toán N C P ( F ) nếu và chỉ nếu X* thỏa mãn

minimize F ( x ) Tx,

với F ( x ) > 0, X > 0 và F ( x * ) T (x*) = 0.
Đ ịn h n g h ĩa 2 .2 .6 ([4], ír.175). Cho ánh xạ F : X — >
được gọi là p — hàm trên X , nếu

m a x [F ¿(z) - Fi(y)](xi -

l
với \/x, y G X và X Ỷ y15

Vi ) >

0

Khi đó, F


Đ ịn h lý 2 .2 .7 ([4], ír.176). Cho F : MỊ — * Mn là hàm P —hàm trên M™.
Thì tồn tại ít nhất một vector
C h ứ n g m in h . + Nếu

X*

X*

G ĩưị là nghiệm của bài toán N C P ( F ) .

G M+ và y* G M+ thỏa m ãn bài toán N C P ( F ) ,

thì
(x* - Vi*)[fi(x*) - fi(y*)] = -y*ifi(x*) - x*fi(y*) < 0
với mỗi i và do hàm F là hàm

p

— hàm nên

+ Nếu F : M71 — » M71 là khả vi trên
mỗi

X

G MỊ, th ì F là

với mỗi

X

p

X*

= y*.

và F ' ( x ) là

p

— ma trận với

— hàm trên ĩ ự ị . Vì vậy, nếu F \ x ) là

G M” , th ì tồn tại ít nhất

X*

p

G -ft” là nghiệm của bài toán

N C P(F).

2.3

— ma trận

□

T ín h ch ất tậ p n gh iệm củ a bài to á n bù tro n g

k h ôn g gian H ilb ert hữu hạn ch iều
Đ ịn h n g h ĩa 2.3.1 ([4], ír.177). Cho ánh xạ F : Mn — » Mn. Ánh xạ
F được gọi là

z — hàm,

nếu cho bất kỳ i ^ j và b ất kỳ

X

G Mn hàm

<7ý : M — > M xác định bởi

9ij{ì) = f i{ x +

t £ M là giảm.

Đ ịn h n g h ĩa 2.3.2 ([4], ír.172). Tập khả th i của bài toán bù suy rộng

16