Luận văn bài toán rẽ nhánh đối với một số lớp phương trình elliptic phi tuyến

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
TR Ư Ờ NG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M H À NỘ I 2

ĐỖ VĂN HẢI

B À I TO Á N RẼ N H Á N H Đ ố i VỚI M ỘT s ố
LỚP PH Ư Ơ N G T R ÌN H ELLIPTIC PH I T U Y Ê N

LU Ậ N VĂN TH ẠC s ĩ TO Á N HỌC

H à N ội, 2016


BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

ĐỖ V Ă N H Ả I

B À I TO Á N RẼ N H Á N H Đ ố i VỚI M ỘT s ố
LỚP PH Ư Ơ N G T R ÌN H ELLIPTIC PH I T U Y Ê N

L U Ậ N V Ă N TH Ạ C s ĩ T O Á N HỌC
C huyên ngành: Toán giải tích
M ã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
TS. N guyễn Hữu Thọ

H À N Ộ I, 2016

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Hữu Thọ, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các Thầy Cô phòng Sau
đại học, cùng các Thầy Cô giáo dạy lớp thạc sỹ chuyên ngành Toán giải
tích, Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Đ ỗ Văn Hải


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Hữu Thọ, luận văn
Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “ B ài toán rẽ nhánh đối
với m ột số lớp phương trình ellip tic phi tu yến ” được hoàn thành
bởi nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Đ ỗ Văn Hải

M ục lục

M ỏ đầu

1

1 K iến thứ c chuẩn bị

4

1.1

Một số không gian hàm

4

1.1.1

4

Không gian Banach

1.1.2 Không gian Lp (ri)
1.1.8

1.2

Đa chỉ số

(1 < p < +oo)

.......................................................................

5
6

1.1.4 Không gian c k (rỉ)

6

1.1.5

Không gian w k,p (ri)

7

1.1.6

Không gian Wg’p (ri)

8

1.1.7

Khống gian HõlderỊ .

9

Một số bất đẳng thức . . . .

10

1.2.1

Bất đẳng thức Hõlder

10

1.2.2

Bất đẳng thức Hardy

11

1.3

Nguyên lý cực đại Stampacchia

11

1.4

Đinh lý hôi tu

12

1.5

Định lý hàm ngược tổng quát

12


11

1.6
2

Định lý hàm ấn

12

B ài toán rẽ nhánh đối với phương trình ellip tic phi tuyến 18
2.1
2.2
2.3

Đinh lý rẽ nhánh cơ bản

19

Tính chất định tính của nghiệm cực tiểu gần điểm rẽ nhánh 23
Rẽ nhánh đối với phương trình logictics trong toàn không
gian

...................................................................

28

2.3.1

Giá trị chính xác của tham số nhánh

29

2.3.2

Rẽ nhánh đối với nghiệm

32

K ết luận

44

Tài liệu tham khảo

45


M ở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Việc nghiên cứu phương trình phi tuyến nói chung và phương trình vi
phân đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng đã và đang là một vấn đề hết sức
cần thiết của giải tích hiện đại. Trong các mô hình của bài toán thực tế
nhiều trường hợp yêu cầu chúng ta cần phải nghiên cứu các phương trình
vi phân đạo hàm riêng dạng elliptic (thường là phi tuyến), một trong các
bài toán đó là bài toán rẽ nhánh. Bài toán rẽ nhánh được nghiên cứu
đầu tiên từ thế kỷ thứ 18, đó là bài toán liên quan tới sự m ất ổn định
của thanh truyền mỏng được phát hiện bởi Bernoulli và Euler vào khoảng

năm 1744. Từ đó, bài toán này đã và đang được quan tâm và phát triển
trong nhiều ứng dụng trong Hình học, Cơ h ọ c... Vai trò của bài toán rẽ
nhánh đã được Kielhổíer phân tích và đúc kết trong tài liệu [4J.
Với mong muốn được tiếp cận tới lý thuyết định tính của bài toán rẽ
nhánh đối với phương trình elliptic phi tuyến. Được sự hướng dẫn của
Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, tôi đã thực hiện đề tài luận văn của mình là:
“B ài toán rẽ nhánh đối với m ột số lớp phương trình ellip tic phi
tu yến ”.


2

2. M ục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tổng quan về phân tích định tính của bài toán rẽ nhánh đối
với một số lớp phương trình elliptic phi tuyến. Cụ thể, luận văn trình bày
và chứng minh chi tiết Định lý rẽ nhánh, xem xét tính chất định tính của
nghiệm cực tiểu gần điểm rẽ nhánh. Trong luận văn cũng trình bày vấn
đề rẽ nhánh đối với phương trình logistics trong toàn không gian, quan
tâm tới tự tồn tại và duy nhất nghiệm cũng như sự không tồn tại nghiệm
dương của một số phương trình logistics.

3. N hiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu tổng quan về bài toán rẽ nhánh. Trình bày về định lý rẽ nhánh
cơ bản. Khảo sát định tính cho một số trường hợp nghiệm của bài toán
rẽ nhánh đối với một số lớp phương trình elliptic phi tuyến.

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
Một số lớp phương trình elliptic phi tuyến. Phương pháp rẽ nhánh đối với
phương trình đạo hàm riêng. Phương trình Logistics.

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để
nhận được một nghiên cứu về phân tích định tính của bài toán rẽ nhánh
đối với một số lớp phương trình elliptic phi tuyến.


3

6. Đ óng góp của đề tài
Trình bày một cách có hệ thống và phân tích định tính của bài toán rẽ
nhánh đối với một số lớp phương trình elliptic phi tuyến.


Chương 1
K iến thứ c chuẩn bị
(Những kiến thức cơ bản được trình bày trong chương này được trích dẫn
trực tiếp từ các tài liệu tham khảo /1] và [2].)
Trong chương này ta sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản cần thiết sẽ
được sử dụng trong chương sau của luận văn.

1.1
1.1.1

M ột số không gian hàm
K hông gian Banach

a. Một dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) trong không gian định chuẩn X
là một dãy x n e X sao cho Ve > 0, 3 N sao cho Vn > N : \fm > N thì
ll^n

*^7ĨI 11 ^

b. Không gian định chuẩn X nếu mọi dãy cơ bản đều hội tụ khi đó X
được gọi là không gian định chuẩn đầy đủ hay không gian Banach.


5

V í dụ 1.1. Không gian Rn là không gian Banach với chuẩn
/ n

\ 1/2

INI = (

)

> I = ( X l ,l 2 ,...,X n ) e K n.

V í dụ 1.2. Không gian C[a\ b] gồm các hàm số / : [a; 6] —> M liên tục
trên đoạn [a; 6] là không gian Banach. Chuẩn của / € C[a; b] là
ll/ll = su p { |/(íc)| ;a: e [a;b]} .

1.1.2

K hông gian Lp ( í ỉ ) , (1 < p < +oo)

a. Cho một tập íì, F là một ơ- đại số các tập con của íĩ, ịi là một độ đo
trên F. Họ tấ t cả các hàm số f ( x ) có lũy thừa bậc p , (1 < p < +oo) của
mô đun là khả tích trên íỉ, tức là

í \ĩ\pdịi < oo
gọi là không gian Lp (íỉ, p).
Nếu íì là một tập đo được Lebesgue trong R k và /i là độ đo Lebesgue thì
ta có thể viết gọn là Lp (íĩ).
Chuẩn của / e Lp (Q) được xác định bởi:
ii/H lp(íì)

= ụ

1/ r ^ )

•

Ta dễ dàng chứng minh được rằng: Không gian Lp (íỉ) là một không gian
Banach.
b. Hàm / (X) đo được trên íỉ được gọi là bị chặn cốt yếu nếu tồn tại một
tập

p có độ đo 0 sao cho /

(x) bị chặn trên tập f ì\p. Tức là tồn tại số

c


6

sao cho |/(x )| < c với mọi X G í ỉ \ p .
Tập tấ t cả các hàm bị chặn cốt yếu trên rỉ được gọi là không gian L°° (rỉ).
Chuẩn của / G L°° (ri) được xác định bởi.

Il/lli“ (n) = inf { c > 0 : I/ (æ)| < c hầu khắp nơi trong rỉ} .

1.1.3

Đ a chỉ số

Ký hiệu đa chỉ số là một ký hiệu toán học đơn giản hóa các công thức
tính toán nhiều biến. Một đa chỉ số 71— chiều là một bộ n — số nguyên
không âm
cx

( oí 1 j Q ¡ 2 )

O ífj) .

Tập tấ t cả các đa chỉ số n — chiều ký hiệu là Nq
Cho đa chỉ số a, ß G N q và X = [ x i,x 2,- .,x n) G Kn, khi đó:
a ± ß = (o¿i± ß i,a 2 ± ß2, •••, OLn ± ß n ).
a <ß

Oii < ßi,Vi G {i = 1,..., n} .
|üi| = O il + 0¿2 + ... + Otn .

1.1.4

K hông gian c k (ri)

Cho íỉ là tập mở trong Kn. Giá của hàm u xác định trên ri (ký hiệu suppu)
là tập đóng nhỏ nhất mà ở ngoài nó u (x) = 0, tức là
suppií = {u G rỉ : U (æ) ỷ 0}-

7

Cho rỉ là tập mở trong Mn, cho k là số nguyên không âm. Ta nhắc lại một
số không gian:
Không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k trong rỉ ký hiệu là c k (rỉ).
Tức là
c k (rỉ) = {u : Q

c \ u khả vi liên tục đến cấp k} .

Không gian các hàm u e c k (rỉ) có giá compact ký hiệu là C q (rỉ). Tức là
c k (rỉ) = ị u : rỉ —> c \ u e c k ( í ỉ ) , suppu là tập compact } .

1.1.5

K h ô n g g ia n w k,p (íỉ)

Cho ri là một tập mở trong Mn có biên là ôíỉ. Cho số tự nhiên k > 0 và
số 1 < p < 00. Không gian w k,p (fỉ) được định nghĩa gồm tấ t cả các hàm
thuộc ư (íỉ), có đạo hàm suy rộng đến cấp k cũng thuộc Lp (íỉ). Tức là
w k’p (fì) = {u G ư (fì) : D au G ư (fì) Va thỏa mãn H < k}
trong đó a là đa chỉ số và

Chuẩn của u G w k,p (ri) được xác định bởi:


8

Trường hợp p — 2 ta ký hiệu w k’2 (rỉ) là Hfc (rỉ).
Ta chứng minh được rằng: Không gian w k,p là một không gian Banach.
Trường hợp k = 0 ta có
w ° ’p (fl) = ư ( f l) .
Khi k = 1 thì
W llP (íĩ) = { u (s) Iu (s) G ư ( í ĩ ) ; DXiu e ư (fi) Vz} .
Với k = 2 khi đó
w 2’p (n) = {u (x) Iu (x) G I / ( n ) ;

1.1.6

G ư (n );

G L* (n)} .

K hông gian Wq’p (rỉ)

Không gian W q’p (rỉ) là bao đóng của c k (ri) trong w k,p (rỉ). Tức là
w ỉ ’p (Í2) = {ư (s) |u (s) G w * ’p (Í2), D au\dn = 0 , \ a \ < k - l } .
Trường hợp p = 2 ta ký hiệu W q’p (ri) là H q (rỉ).
Ta cũng chứng mình được rằng:
- Không gian W q’p (rỉ) là một không gian Banach
- Không gian W q,p (rỉ) là một không gian con đóng của w k,p (rỉ).
- Không gian W q,p (ri) là một không gian con thực sự của w k,p (ri) trừ
trường hợp ũ = R n.
- Với mọi 1 < p < 00, thì W q’p (Rn) chính là w k,p (Mn).


9

1.1.7

K hông gian H òlder

Giả sử rỉ là một miền trong R d. Nhắc lại rằng, với k = 1,2,... ta kí hiệu
Cịoc (ri) là tập tấ t cả các hàm số u = u (x) mà đạo hàm của u là D “ với

|a| < k là liên tục trong rỉ. Đặt
Mo;n = Mo;n = SUP M >
ũ

Mfc;n = “ “ \D au\o;ũ ■
M=*

ơ - 1)

Với 0 < (5 < 1, ta nói rằng hàm u liên tục Hốlder với số mũ ổ trong íỉ
nếu nửa chuẩn
Mí;n = SUP
x,y€ÍÌ
x^y

{x)-u{y)\
1
|ổ
\x - y I

( 1. 2)

là hữu hạn. Nửa chuẩn này được gọi là hằng số Hỏlder bậc ỏ của u.

Khi ổ = 1, nếu vế phải của (1.2) là hữu hạn, hàm u được gọi là liên tục
Lipschitz trong ri. Ký hiệu
= mạx [Dau]s n .
\a\=k

(1.3)

Cho 0 < ố < 1 và k = 0,1,2... không gian Hỏlder c k+s (rĩ) là không gian
Banach của tất cả các hàm u € c k (rỉ) với chuẩn
u \k+s-,n — M k-,n + [u]fc+ổ;íĩ •

(1.4)

là hữu hạn.
Để đơn giản, ta có thể bỏ qua chỉ số dưới ri nếu rỉ = Md. Chúng ta sẽ chỉ


10

ra rằng

ck+s (íỉ)

là không gian Banach.

T hật vậy, ta chỉ cần kiểm tra tính đầy đủ của
Cauchy {un} trong

ck+5(n).

c k+s (íĩ).

Lấy một dãy

Những hàm số này là liên tục đồng bậc và

bị chặn đồng bậc trong tập con compact của íỉ. Do vậy, tồn tại một dãy
con {un } hội tụ đều đến một hàm số u trong tập con compact của n . Rõ
ràng u là liên tục và bị chặn trong

Lập luận tương tự đối với các đạo

hàm đến cấp k của un. Khi đó, qua tính toán ta suy ra u có đạo hàm cấp
k liên tục và bị chặn trong íỉ. Tiếp theo, với đa chỉ số bất kì a với \a\ = k
và

X,

y € ÍỈ ta có

I[Dau (X) - D au (y )] - [Daun (X) - D aun (y )] I
< limsup \[Daum (X) - D aum (y)] - [Daun (z) - D aun (y)]|
m —>oo

< \ x - y\6 limsup [Daum - D aun]ỗ.ũ .
m —¥oo

Bằng cách tương tự ta có thể xét D au (X) —D aun (x) , \a\ < k. Suy ra
\u - un\k+5 -,n < limsup Ium - un\k+5.ữ .
m —>00

Vì biểu thức cuối cùng tiến đến 0 khi n —> oo nên ta kết luận rằng dãy
Cauchy un hội tụ theo chuẩn của

c k+s (fỉ)

1.2

M ột số bất đẳng thức

1.2.1

B ất đẳng thứ c H older

Cho

là tâp con mở trong

đến u.

các số p và P thỏa mãn - + — = 1 với
p p'
1 < p,p' < oo. Giả sử các hàm f ( x) , g(x) đo được trên n và / ẽ Lp (íỉ),


11

g G ư (rỉ). Khi đó ta

I/

CÓ

f g G L 1 (rỉ) và

f { x ) g (x) dx <

!/p / r
\ 1/p'
)
Ự
|ở(®)|Pda;J
If{x)\'

Trong trường hợp đặc biệt p = p' = 2 ta đã được biết đây là bất đẳng
thức Cauchy - Schwarz.

1.2.2

B ất đẳng thức H ardy

Cho u là một hàm thuộc w 1,p (Rn) thỏa mãn — G ư (Rn). Giả sử 1 <
|z|

p < n, khi đó ta có

b

vu(x)Ỵdx’

hơn nữa hằng số j f ( n — p)~p là tối ưu.

1.3

N guyên lý cực đại Stam pacchia

Cho a G L°° (rỉ) và số a > 0 thỏa mãn
ỊVuỊ2 + a (x) u2^ dx >a

với Vu G H q ( r i) .

Khi đó, nếu
—Au + a (x) u > 0 trong ri
u = 0 trên ỡrỉ,
thì hoăc u = 0 trong rỉ hoăc u > 0 trong rĩ và

du
< 0 trên díì.
du


12

1.4

Đinh lý hôi tu

Đ ịnh lý 1.1. (Đ ịn h lý h ội tụ tr ộ i L ebesgue)
Cho f n : Rn —> R là một dãy các hàm trong L 1 (Rn). Giả sử
(i) f n (X) —>f (X) hầu khắp nơi trong Rn;

(ii) tồn tại g G L 1 (Rn) sao cho với mọi n > 1, If n (x)| < g (x) hầu khắp
nơi trong
Khi đó f G L 1 (Mn) và IIf n — f ||L! —>0 khi n —> oo.

Đ ịnh lý 1.2. (Đ ịn h lý h ội tụ đơn đ iệu )
Giả sử f n : R —> [0; 00] là một dẫy các hàm tăng, đo được không âm và
hội tụ tới f , khi đó

1.5

Định lý hàm ngược tổng quát

Đ ịn h lý 1.3. Cho ri là một tập mở trong Rn và f : ri —>Mn là hàm thuộc
lớp

c1.

Giả sử x ữ G rĩ là điểm mà tại đó J ( f )

tồn tại lăn cận

u

0 khả nghịch. Khi đó

c rỉ của x 0 và lăn cận V của f (xữ) sao cho ánh xạ

f : u —»■V là song ánh, hơn nữa hàm ngược g : V —»■u thuộc lớp c 1.

1.6

Định lý hàm ẩn

Đ ịn h lý 1.4. Cho X , Y là không gian Banach thực và (u0, A0) £ X
X ét một ánh xạ F : X

X

R.

thuộc lớp c 1 và thỏa mãn các điều kiện


13
sau:

(i) F (u0,X q) = 0;
(a) Ánh xạ tuyến tính Fu (u0, A0) : X

Y là song ánh.

Khi đó tồn tại một lân cận mở Uo của uữ và một lân cận mở Vo của
A0 sao cho với mỗi X G v ữ có duy nhất phần tử
F

(U(A), A) =

0. Ngoài ra ánh xạ sau thuộc lớp

U

(A) G ƯQ thỏa mẫn

c1

u : Vo —> u 0
X H->• u (A)
Chứng minh. Xét ánh xạ:
7 x 1
{u, X)
Rõ ràng <ï> G

I—^ $ ( m , A) =

(F (u, A), A).

c 1, và ta sẽ áp dụng Định lý hàm ngược với <E>. Với mục đích

đó ta sẽ chứng minh ánh xạ
(u0, A0) : X

X

R —>■ y

X

M là song ánh.

T hật vậy, ta có:

$ (wo + tu, Ao + tx) = (F (lío + tu, Ao + t x ) , Ao + t x )
= {F (uq, Aq) + Fu (uq, Aq) • (tu) + F\ (uq, Aq) • (tx) + o (1), Ao +
điều đó dẫn đến

, , A,
$ (ư0,A0)

ị Fu ( u q , Ao)

F x ( uo, Ao) \
1

tx)


14

Từ giả thiết suy ra đây là toán tử song ánh. Vì thế theo Định lý hàm ngược
sẽ tồn tại lân cận u của (lío5Ao), lân cận V của (0, À) sao cho phương trình
$ («, A) = (F, Ao)
CÓ nghiệm duy nhất với mọi (F, X) E V. Từ đó, ta có F = 0, vậy định lý
được chứng minh.

□

Bằng cách tương tự, ta có thể chứng minh định lý dạng toàn cục của
Định lý hàm ẩn sau:
Đ ịnh lý 1.5. Cho F : X x R —»• Y là một hàm thuộc lớp c 1 trên X xM.
và thỏa mẫn:

(i) F (ũ, 0) = 0,
(ii) Ánh xạ Fu (0,0) : X —»■Y là song ánh.
Khi đó tồn tại một lăn cận mở I của 0 và một ánh xạ I 3 X !-»■ U (À) thuộc
lớp c 1 thỏa mãn u (0) = 0 và F (U (A), A) = 0 .
Kết quả sau đây cũng sẽ được sử dụng trong các phần sau.
Đ ịnh lý 1.6. Cho F : X x l —»■ Y là một hàm thuộc lớp c 1 trên I

xM

và thỏa mẫn
(ỉ) F (0,0) = 0,
(ii) Ánh xạ Fu (0,0) : X —»• Y là song ánh.
Khi đó tồn tại một khoảng mở tối đa I chứa tập gốc tọa độ và tồn tại duy
nhất ánh xạ thuộc lớp

c 1: I

3 X !->■ U (A) thỏa mãn những điều kiện sau:


15

(i) F (u (A), A) = 0 với mọi X e I,
(ii) Ánh xạ tuyến tính Fu (u (A), A) là song ánh với X e I ,
(iii) u (0) = 0.
Chứng minh. Giả sử

Uị,

u2 là nghiệm của

F (u (A), A) =

V.

Xét các khoảng mở tương ứng li và / 2 mà trên đó các nghiệm tương ứng
tồn tại. Khi đó Ui (0) = u2 (0) = 0 và
F (ui (A), A) = 0, với X £ li,
F (u2 (A), A) = 0, với A e I 2.
Hơn nữa, ánh xạ Fu (Ui (A), A) và Fu (u2 (A), A) là đơn ánh trên /i và I2
tương ứng. Nhưng khi A dần tới 0 ta có Ui (A) = u2 (A). Chúng ta sẽ chỉ
ra rằng nghiệm toàn cục là duy nhất. Đặt
I — {A G lị n I2 ; Uị (A) — u2 (A)} .
Mục đích của ta là chỉ ra rằng I = li n I 2. Đầu tiên ta nhận thấy O e /
vì thế / ^ 0. Do đó / là đóng trong lị n I2. Như vậy để chứng minh
/ = /i n / 2 ta sẽ phải chứng tỏ / là một tập mở trong lị n / 2. T hật vậy
áp dụng Định lý 1Ả khi thay thế A bởi 0 . Từ đó ta sẽ có / = lị n / 2.
Bây giờ để chứng minh sự tồn tại của một khoảng tối đa /, ta xét các đường
cong un (A) thuộc lớp c 1, được định nghĩa trên các khoảng mở tương ứng
/ n sao cho 0 € In , un (0) = u0 , F (un (A), A) = 0 và Fu (un (A), A) là một
đẳng cấu với bất kỳ A e / n. Với cách xác định đó ta có thể xây dựng được
một khoảng mở tối đa u nI n.

□


16

H ệ q u ả 1.1. Cho X , Y là không gian Banach và F : X —>■ Y là một
hàm thuộc lớp c 1. Giả sử rằng ánh xạ tuyến tính Fu (u ) : X —>• Y là một
song ánh với mỗi u € X và tồn tại

c

> 0 sao cho

(Fu (u)) 1


với

u £ X . Khỉ đó F là toàn ánh.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử F (0) = 0 và cố định /
tùy ý thuộc Y . Xét toán tử F (u , X) = F (u ) —À/ xác định trên X

X R.

Từ Định lý 1.6 tồn tại một hàm u (A) thuộc lớp c 1, hàm đó được xác
định trên khoảng cực đại I sao cho F (u (A)) = A/. Đặc biệc u := u (1) là
một nghiệm của phương trình F (u) — f . Ta sẽ chứng minh I — R. Thật
vậy, ta có
«A (A)

= (F„

(u )r7 ,

nên u là một ánh xạ Lipschitz trên /, nghĩa là I — M.
Định lý hàm ẩn được sử dụng để giải phương trình dạng F (u) = / , trong
đó F e

c 1(X , Y ).

Một phương pháp đơn giản để chứng minh F là toàn

ánh , tức là ImF = Y đó là ta sẽ đi chứng minh điều sau đây:
(i) ImF là mở,
(ii) ImF là đóng.
Để chỉ ra (i), ta thường sử dụng Định lý hàm ngược, cụ thể là nếu Fu (lí)
là ánh xạ 1 —1 với mọi u e X thì (i) thỏa mãn. Còn với (ii), điều kiện đủ
để (ii) thỏa mãn đó là F là ánh xạ chính quy.

□

Một dạng khác của Định lý hàm ẩn được nêu trong định lý sau.
Đ ịn h lý 1.7. Cho F (u , A) là một ánh xạ thuộc lớp c 1 trong lân cận của
(0,0) và thỏa mãn F (0,0) = 0. Giả sử


17

(i) ImF„ (0,0) = Y ;
fiij Không gian X ị := K e r F u (0,0) có phần bù đóng x 2.
Khi đó tồn tại B ị = {ui G X : llalli < J } , B 2 = {A G R : |A| < r}
B 3 = { g £ Y : llffll
cho với bất kỳ

Uị

-ñ} va mọt lan cạn U cua goc tọa đọ tTong x 2 sao

G Bl, X G

B 2 và g G B 3 , tồn tại duy nhất nghiệm

u2 = (p («1 , x,g) & u của phương trình
-F( ui + ¥>(u i ,A ,0),A ) = g.


Chương 2
B ài toán rẽ nhánh đối với phương
trình ellip tic phi tu yến
(Những kiến thức trình bày trong chương này được trích dẫn trực tiếp từ
các tài liệu tham khảo [ị] và [5].)

Cho / : R —»• M là một hàm lồi, dương, thuộc lớp

c2 và

thỏa mãn

f ' (0) > 0. Xét bài toán
—Au = À/ (u) trong fỉ,
(

2 . 1)

u — 0 trên ôíỉ,
trong đó À là tham số dương. Chúng ta sẽ nghiên cứu nghiệm cổ điển của
bài toán này, đó là hàm u €

c2(íỉ) n c

(n ).

Như chúng ta đã biết, Định lý hàm ẩn là một công cụ mạnh trong các bài
toán tìm nghiệm, chúng ta cũng sẽ thực hiện đối với bài toán (2.1).
Đặt
X = {u €

c2,a (H) ; u =

0 trên ỡíỉ} ; Y =

cữ,a(ri)

với 0 < a < 1.


19

Định nghĩa
F (lí, À) = —A m —A/ (m) .
Dễ thấy F thỏa mãn tấ t cả các giả thiết của Định lý hàm ẩn. Do đó tồn
tại một lân cận I lớn nhất chứa gốc tọa độ và tồn tại duy nhất một ánh xạ
u = u (A) là nghiệm của bài toán và toán tử tuyến tính —A —X f' (M(A))
là song ánh. Nói cách khác với mỗi A E I, bài toán (2.1) sẽ có nghiệm ổn
định được xác định bởi Định lý hàm ẩn.
Đặt A* := sup I < +oo, ta ký hiệu Ai (—A —à) là giá trị riêng thứ
nhất của toán tử (—A —à) trong H ị (n), ở đây a E L°° (D).

2.1

Định lý rẽ nhánh cơ bản

Mục đích của chúng ta là chứng minh định lý rẽ nhánh cơ bản sau đây.
Đ ịn h lý 2.1. Giả sử

f' (0) >

f

: M —»■R là một hàm lồi, dương trong

0. Khi đó ta có các kết quả sau đây:

(ỉ) A* < +oo;
(ỉi) Xị (—A - X f' (u (A))) > 0;
(i i i ) Ánh xạ I 3

A

u (x, A) là tăng

(iv) Với mọi X E I và X E

với m ọ i X E

D;

ta luôn có u (x, X) > 0;

(v) Bài toán (2.1) không có nghiệm với điều kiện X > X*;
(vi) u (A) là nghiệm cực tiểu của bài toán (2.1);
(vii)

u (A) là nghiệm ổn định duy nhất của bài toán (2.1).

c2 sao

cho