Tập hợp câu hỏi trắc nghiệm hay môn Toán 12 ( ôn thi THPTQG )

PHẦN II:
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – TỔ HP
I.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM:

x
x
112. Một nguyên hàm của hàm số y  sin cos bằng biểu thức nào dưới đây
2
2

1
cos x
a/ 2 cos
b/
4
2
1
c/  cos x
d/ Cả ba câu trên đều sai.
2
113. Cho  f(x)dx  x2  x  C

Vậy

 f(x

2

5

3

)dx  ?

x
x

C
5
3
2 3
x xC
c/
3
a/

114.

b/ x 4  x 2  C
d/ Không được tính

3

 (x  x )dx  ...?

1

a/ 8
115.

lim

b/ 10
2



x  1 x

dt
t1

c/ 7

d/ 9

 ...?

1
1
d/ 
2
2
116. Cho Parabol y = x2 và tiếp tuyến At tại A(1 ; 1) có phương trình: y = 2x – 1
Diện tích của phần bôi đen như hình vẽ là:
1
2
4
a/

b/
c/
d/ Một số khác
3
3
3

a/ -2

b/ 2

c/

y
4

1

4

-2 -1

A
-1 1

x

x
2x
 2  cos  2  dx  ...?

 
 
0

1

1


a/
b/
16 16
32 16

1

c/
d/ Một số khác
32 16
118. f và g là hai hàm số theo x. Biết rằng x  [a, b], f '(x)  g'(x)
117.

 sin

2

Trong các mệnh đề:
(I) x  [a, b], f '(x)  g(x)
b

b

a

a

(II) (  f(x)dx   g(x)dx
(III) x  [a; b], f(x)  f(a)  g(x)  g(a)
Mệnh đề nào đúng?
a/ I
b/ II

c/ Không có

d/ III


119. Coi hàm số y = f(x) có đạo hàm y’ = 0 và có đồ thò (C) qua điểm A(1 ; 2)
Diện tích giới hạn bởi (C), 2 trục toạ độ và đường thẳng x = 2 bằng bao nhiêu?
a/ 1
b/ 2
c/ 4
d/ Không xác đònh được
120. Một học sinh tìm nguyên hàm của hàm số y  x 1  x như sau:
(I) Đặt u = 1 - x ta được y  (1  u) u
1

3

(II) Suy ra y  u 2  u 2

2

5

2 3 2 2
u  u C
3
5
2
2
(IV) Thay u = 1 ta được: F(x)  (1  x) 1  x  (1  x) 2 1  x  C
3
5
Lập luận trên, nếu sai thì sai từ giai đoạn nào?
a/ II
b/ III
c/ I
(III): Vậy nguyên hàm F(x) 

121. Tính I 


2

d/ IV

4 sin 3 x

 1  cos x dx

0

a/ 3
b/ -3
122. Các câu sau đây, câu nào sai?

d/ -6

1 n
An
n
d/ Cnn  1!

b/ Cnn 

a/ Ann  Pn
c/ C0n  0!
123. Tính x biết rằng:

c/ -2

9
A10
x  Ax

A8x

9

a/ 11

b/ 12
c/ 10
124. Hãy xác đònh hàm số f(x) từ đẳng thức: x2  xy  C   f(y)dy

d/ Một số khác

a/ 2x
b/ x
c/ 2x + 1
d/ Không tính được
u
125. Hãy xác đònh hàm số f từ đẳng thức sau: e  ev  C   f(v)dv
a/ e v

b/ e u

c/  e v
4
1
126. Hãy xác đònh hàm số f từ đẳng thức sau: 3  2  C   f(y)dy
x
y

1
y3
2
c/  3
y
a/ 

b/ 

3
y3

d/ Một kết quả khác.

127. Hãy xác đònh hàm số f từ đẳng thức: sin u. cos v  C   f(u)du
a/ 2cosucosv
c/ cosu + cosv
128. Một họ nguyên hàm của hàm số: f(x) 

b/ -cosucosv
d/ cosucosv

e3x  1
là:
ex  1

1
b/  e2x  ex  x  C
2
d/ Một kết quả khác
129. Một họ nguyên hàm của hàm số f(x)  2 2x .3 x .7 x là:
1 2x
e  ex  x  C
2
c/ e2x  ex  x  C

a/

a/

74 x
C
ln 74

b/

84 x
C
ln 84

d/  e u


c/

94 x
C
ln 94

d/ Không tính được

1
. Một học sinh trình bày như sau:
x  6x  5
1
1
1 1

1 
(I) f(x)  2

 


x  6x  5 (x  1)(x  5) 4  x  5 x  1 
1
1
,
(II) Nguyên hàm của các hàm số
theo thứ tự là: ln x  5 , ln x  1
x5 x1
1
1 x1
(III) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) là: (ln x  5  ln x  1  C 
C
4
4 x5

130. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x) 

2

Nếu sai, thì sai ở phần nào?
a/ I
b/ I, II
c/ II, III
d/ III
2

131. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)  x cos x là:
1
1
sin 2 x  C
sin x 2  C
a/
b/
2
2
1
c/  sin x 2  C
d/ Một kết quả khác
2
x 3  3x 2  3x  7
132. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) 
với F(0) = 8 là:
(x  1)2

x2
8
x
2
x1
x2
8
c/
x
2
x1
a/

b/

x2
8
x
2
x1

d/ Một kết quả khác


133. Tìm nguyên hàm của: y  sin x. sin 7x với F    0 là:
2
sin 6x sin 8x
sin 6x sin 8x


a/
b/ 
12
12
16
16
sin 6x sin 8x
 sin 6x sin 8x 

c/
d/  


12
16
16 
 12
1
134. Họ nguyên hàm của hàm số y 
x ln x ln(ln x)
a/ ln(ln x)  C

b/ ln 2 ln x  C

c/ ln x  C

d/ ln ln(ln x)  C

135. F(x)  4 sin x  (4x  5)ex  1 là một nguyên hàm của hàm số:
a/ f(x)  4 cos x  (4x  9)ex

b/ f(x)  4 cos x  (4x  9)ex

d/ f(x)  4 cos x  (4x  6)ex
2x  3
136. Cho hai hàm số F(x)  ln(x 2  2mx  4) và f(x)  2
x  3x  4
Đònh m để F(x) là một nguyên hàm của f(x)
3
3
2
2
a/

b/ 
c/
d/ 
2
2
3
3
x
137. Tính H   x3 dx
c/ f(x)  4 cos x  (4x  5)ex

3x
3x
b/
H

(x ln 2  2)  C
(x
ln
3

1)

C
ln2 3
ln2 3
3x
c/ H  2 (x ln 3  1)  C
d/ Một kết quả khác
ln 3

138. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)  cos 2 x. cos 2x và g(x)  sin2 x. cos 2x
a/ H 


a/ F(x) 

1
1

x  sin 2x  sin 4x   C

4
4


G(x) 

1
1

x  sin 2x  sin 4x   C
4 
4


c/ F(x)  x  sin 2x 

1
sin 4x  C
4

G(x)  x  sin 2x 

1
sin 4x  C
4

b/

d/

1
1

F(x)    x  si n2x  sin 4x   C
4
4

1
1

G(x)   x  sin 2x  sin 4x   C
4
4

F(x) 

1
1


x  si n2x  sin 4x   C

4
4


1
1

G(x)    x  sin 2x  sin 4x   C
4
4


139. Để chứng tỏ hàm số F(x)  x  ln(1  x ) là một nguyên hàm trên R của hàm số f(x) 
một học sinh trình bày như sau:

x
1 x

x
1 x
x
F'(x) 
 f(x)
1 x

I. Trường hợp 1: x > 0 : ta có: F(x) = x – ln(1 + x)  F '(x) 

II. Trường hợp 2: x < 0 : Ta có: F(x) = -x – ln(1- x)  F'(x) 

x
x

 f(x)
1 x 1 x

III. Trường hợp 3: x = 0 : ta có F(0) = 0
 ln(1  x) '
F(x)  F(0)
x  ln(1  x)  0
a/ lim
 lim
 1  lim
x0
x0
x0
x0
x
(x)'
x1
 1  lim
 0  f(0) (quy tắc L’Hospital)
x 0
1
 ln(1  x) '  0  f(0)
F(x)  F(0)
 x  ln(1  x)
b/ lim
 lim

 1  lim
x0
x 0
x 0
x0
x0
(x)'
Từ a/ và b/  F'(0)  0  x  R : F'(x)  f(x)
 F(x) là một nguyên hàm của f(x)
Phát biểu nào sai
a/ I
b/ I, II
c/ III
d/ I, II, III
140. Tính diện tích hình hữu hạn giới hạn bởi các đường cong ax  y 2 ; ay  x 2 (a > 0 cho trước)

a2
a2
b/ S 
2
3
2
4
c/ S  a2
d/ S  a2
3
3
141. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  x và y  sin2 x  x (0  x  ) là:
a/ S 

a/ 

b/


2

c/

3

2

d/ Một số khác

x2
với tập xác đònh D = R  [0;  ) có đồ thò (C)
3
8x  1
Tính diện tích tam giác cong chắn bởi trục hoành, (C) và đường thẳng x = 1
ln 2
ln 3
a/ S 
b/ S 
10
9
ln 3
c/ S 
d/ Một kết quả khác
12

143. Xét hình (H) giới hạn bởi các đường (C) : y  (x  3)2 , y  0 và x = 0. Lập phương trình các đường
142. Cho hàm số y 

thẳng đi qua điểm A(0 ; 9), chia (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau.
27x
9
a/ y  13x  9
b/ y 
4


27x
9
2

27x
9
4
27x
9
c/ y  14x  9
d/ y 
2
27x
y
9
y  14x  9
4
144. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hàm số y = cosx trên đoạn [0 ; 2], trục
hoành (y = 0). Một học sinh trình bày như sau:


3
(I) Ta có: cos x  0 khi 0  x  và   x  2 
2
2

y

S

2



y

cos x dx 

0



3
2

0


2

 cos x dx  


2

3
2

2

0


2

3
2

 S   cos xdx 





2

cos x dx 

2



cos x dx

3
2

 ( cos x)dx _  cos xdx 
3

2

 S  sin x 02  sin x 2  sin x 3  
2

2

(IV) S = 1 - 1 + 1 + 1 = 2.
Sai ở phần nào?
a/ Chỉ (III) và (IV)
b/ Chỉ (III)
c/ Chỉ (I) và (IV)
d/ Chỉ (II) và (IV)
145. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của: y  x 2  2x , trục Ox và 2 đường thẳng x = 0, x


=2

1
2

4
b/
c/
d/ Một số khác
3
3
3
146. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol y   x 2 và đường thẳng y = -x - 2

a/

11
5
b/
c/
2
2
147. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường:
a/ 2 2  1
b/
c/ 2
d/

a/

148.

149.

150.

151.

152.

9
d/ Một kết quả khác
2
y = sinx, y = cosx và x = 0
2 2 1

Một số khác
1
1
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol: y  x 2 và y  3x  x 2
4
2
a/ 8
b/ 7
c/ 9
d/ 6.
x2  x  1
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y 
, tiệm cận xiên, trục tng và đường
x1
thẳng x = -1
a/ ln3
b/ ln2
c/ ln5
d/ Một số khác

Tính diện tích của một hình tròn tâm tại gốc toạ độ, bán kính R:
R 2
a/ 2 R2
b/
c/ R 2
d/ Một kết quả khác
2
Tính diện tích của một hình elip:
ab
3
a/ 2ab
b/
c/ ab
d/ ab
2
2
Tính diện tích giới hạn bởi 2 đường cong: (C1 ) : y  f1 (x)  x 2  1; (C2 ) : y  f2 (x)  x 2  2x và
đường thẳng x = -1 và x = 2.
13
11
a/
b/
2
2

c/ 7

d/ Một đáp số khác

1
, tiệm cận xiên của (C) và 2 đường thẳng x = 1, x = 3
2x 2
1
1
2
a/
b/
c/
d/ 1
2
3
3
x2
154. Cho ba hàm số sau, xác đònh với x  0, y   x  6 (D); y  x 2 (C1 ) và y 
(C2 ) . Tính diện tích
8
hình phẳng giới hạn bởi ba đường: (D1 , (C1 ) và (C2 )
153. Tính diện tích giới hạn bởi : (C) : y  x 

a/ 4
b/ 5
c/ 6
d/ 3
2
155. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol: y  x  2x  2 tiếp tuyến với parabol tại điểm M(3 ;
5) và trục tung
a/ 6
b/ 7
c/ 5

d/ 9
156. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: y = lnx, y = 0, x = e là:
a/ 1
b/ 2
c/ 4
d/ Một kết quả khác
157. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x(x – 1)(x – 2), y = 0
1
1
1
a/
b/
c/
d/ 1.
3
2
4
158. Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường y  2 , y = 2 – x và y = 0. Tính diện tích của miền D
8
7
7
b/
c/
d/ Một đáp số khác
6
5
2
159. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x + 1, y = cosx và y = 0
1
3

a/
b/ 1
c/ 2
d/
2
2
160. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: (y  x)2  x 3 và x  1

a/

4
3
2
b/
c/
d/ Một số khác
5
5
5
161. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi: y  2x  x 2 , y  0

a/

quay quanh Ox.
17 
16 
14 
a/
b/
c/

d/ Một kết quả khác
15
15
15
162. Thể tích vật thể giới hạn bởi mặt sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường y  x 2 , 8x  y 2
quay quanh Oy
23 
24 
23 
21
a/
b/
c/
d/
5
5
5
5
163. Tính thể tích sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và Parabol
(C) : y  ax  x 2 (a  0)

a5
a5
a4
a5
b/
c/
d/
10
20

30
5
164. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox, hình phẳng S giới hạn bởi các
đường: y  x.ex , x  1, y  0 (0  x  1)
a/

(e2  1)
(e2  1)
c/
2
4
2
2
x
y
165. Cho hình giới hạn bởi elip (E) : 2  2  1 quay quanh trục Ox.
a
b
Thể tích vật thể tròn xoay là:
2 ab 2
4ab2
ab 2
a/
b/
c/
3
3
3
a/

(e2  1)
4

b/

d/ Một kết quả khác

d/ Một kết quả khác

166. Cho D là miền được giới hạn bởi 4 đường: y  0, y  cos 4 x  sin 4 x, x 
Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay miền Được quanh trục Ox.


,x.
2


a/

2
8

b/

5 2
8

c/

3 2

8

d/ Một kết quả khác

TỔ HP
2

2

167. Đơn giản tổng: A  (1  1  1).1! (2  2  1).2! (3 2  3  1).3! ....  (n 2  n  1).n!
a/ (n  1)! 1

b/ (n + 2)! – 1

c/ (n – 1)!(n – 1) - 1
d/ (n + 1)!(n + 1) - 1
1 1 1
1
3
168. Chứng minh: 1     ... 
1! 2! 3!
n!
Một học sinh trình bày như sau:
1 1

(I) Ta có:
1! 1
1
1


2! 1.2
1
1

3! 2.3
1
1

4! 3.4
...............
...............
1
1

n! (n  1)n
1 1 1
1
1
1
1
1
(II)  1     ... 
 11


 ... 
1! 2! 3!
n!
1.2 2.3 3.4
(n  1)n

1 
1
1
1 1 1 1
1
(III) VP = 2          ...   
  2 1 n  3 n  3
1
2
2
3
n
n

1

 



1 1 1
1
3
Vậy 1     ... 
1! 2! 3!
n!
Sai ở giai đoạn nào?
a/ (III)
b/ (I)

c/ (I) và (II)
d/ Tất cả đúng
169. Có bao nhiêu cách để xếp 3 người Việt, 4 người Pháp, 4 người Nga, 2 người Thái Lan ngồi trong
một hàng ghế sao cho những người cùng quốc tòch ngồi cạnh nhau?
a/ 3! 4! 4! 2!
b/ 4! 3! 4! 4! 2!
c/ 5! 3! 4! 4!
d/ Một số khác
170. Ta có thể hoàn tất một công việc bằng m lối trực tiếp hay bằng n lối gián tiếp. Vậy có tất cả bao
nhiêu lối để hoàn tất công việc đó.
a/ m  n
b/ m  n
c/ m + n
d/ Một số khác
171. Học sinh X có thể đến trường bằng cách: đi bộ, đi xe đạp, đi xe gắn máy hay nhờ bạn chở, nhờ
bạn đưa, đi xe lam, đi xe “bus”. Vậy học sinh X có bao nhiêu cách để đến trường?
a/ 1
b/ 3
c/ 4
d/ 7
172. Trên kệ sách có 4 sách toán, 5 sách văn. Có bao nhiêu lối xếp sách cùng loại cạnh nhau?
a/ 5760
b/ 2880
c/ 120
d/ Một số khác
173. Nếu 2C2n  C3n thì n bằng bao nhiêu?
a/ 7
b/ 8
2
3

174. Nếu 2An  An thì n bằng bao nhiêu?

c/ 6

d/ 5

a/ 6
b/ 8
c/ 4
175. Nếu 2A2n  C2n 1  Cn3 1 thì n bằng bao nhiêu?

d/ 5

a/ 16
b/ 15
2
176. Nếu n!  An thì n bằng bao nhiêu?

c/ 13

d/ 14

c/ 4

d/ Một số khác

a/ 6

b/ 7

177. Có bao nhiêu số nguyên dương chia đúng cho 10 gồm có 3 số?
a/ 9  10
b/ 10  9  8
c/ 10 3

d/ Một số khác

178. Có bao nhiêu số nguyên dương chia đúng cho 5 gồm có 3 số tạo bởi các con số 0, 1, 2, 4, 5
a/ 5 3
b/ 4  5  2
c/ 5  4  3
d/ Một số khác
179. Có bao nhiêu số nguyên dương gồm có 4 số khác nhau lớn hơn 2000 và nhỏ hơn 5000
4
a/ 3A49
b/ A10
c/ 3  9  8  7
d/ Một số khác
180. Xổ số ở một tỉnh có 5 loại: A, B, C, D, E. Trên mỗi vé số có ghi 6 con số. Thí dụ: Loại A004786.
Hỏi mỗi kỳ phát hành có tối đa bao nhiêu vé số?
6
a/ 10 6
b/ 5A10
c/ 106  5
d/ 5  106
181. Có bao nhiêu số chẵn dương gồm có 4 số tạo bởi các con số 1, 2, 3, 4, 5
a/ 5 4
b/ 5  4  3  2
c/ 5 3  2

d/ Một số khác
182. Có bao nhiêu số chẵn dương gồm có 4 số khác nhau tạo bởi các con số: 1, 2, 3, 4, 5?
a/ 5 4
b/ 5 3  2
c/ 5  4  3  2
d/ 2 2  4  3
183. Có bao nhiêu số nguyên dương gồm có ba số:
3
3
a/ 9  10 2
b/ A10
c/ C10

d/ Một số khác

184. Có bao nhiêu số nguyên dương gồm có ba số khác nhau?
a/ 9  8
b/ 9 2  8
c/ 9  8  7

d/ Một số khác

185. Cho tập hợp E = {1, 2 ,3 4}. Các dòng dưới đây, dòng nào đúng?
a/ Bộ ba thứ tư (1, 2, 4) là một chỉnh hợp 3 vật lý 4
b/ Bộ ba thứ tư (1, 1, 2) là một chỉnh hợp 4 vật lý 3
c/ Chỉnh hợp (1, 2, 3) giống chỉnh hợp (2, 3, 1)
d/ Cặp thứ tư (2, 4) là một chỉnh hợp 4 vật lý 2
186. Các dòng sau đây, dòng nào sai?
a/ Một chỉnh hợp n vật lấy p là một bộ p thứ tự mà các phần tử của bộ p thứ tự này thuộc một
tập hợp có n phần tử.

b/ Một hoán vò n vật là một cách xếp đặt n vật khác nhau vào n chỗ khác nhau
c/ Một hoán vò n vật là một chỉnh hợp n vật lấy n.
d/ Một tổ hợp n vật lấy p là một tập hợp con, có p phần tử của một tập hợp có n phần tử.
187. Cho tập hợp E = {1, 2 , 3}. Các dòng sau đây dòng nào sai?
a/ (1, 2, 3) là một hoán vò 3 vật
b/ Mọi phần tử của E2 là một chỉnh hợp 3 vật lấy 2
c/ {1, 2} là một tổ hợp 3 vật lấy 2.
d/ (2, 3) là một chỉnh hợp 3 vật lấy 2.
188. Dòng nào sau đây đúng:
a/ 0! = 0
b/ 2! 4! = 8!
(m  3)!
c/
d/ các dòng trên đều đúng.
 (m  2)(m  3)
(m  1)!
189. Nghiệm số của phương trình: n! = 30 (n – 2)! là:
a/ 5
b/ 4
c/ 3
190. Các dòng sau đây, dòng nào sai?
a/ Apm  m(m  1)(m  2) ... (m  p  1)
b/ Am
m 1
p
c/ Apm  p!Cm

d/ 6

d/ Các dòng sau đây, dòng nào sai?

191. Các dòng sau đây, dòng nào sai?
7!
a/ C37 
b/ C07  1
c/ C17  7
d/ C77  1
3!5!
192. Nước A có 106 dân. Bầu Tổng thống và Phó Tổng thống thì có thể tối đa bao nhiêu liên danh
khác nhau?
1
a/ 2.10 6
b/ 106 (106  1)
c/ 106 (106  1)
d/ Một kết quả khác
2


193. Nước B có 106 dân. Bầu Quốc hội. Mỗi liên danh có 10 người thì có thể có tối đa bao nhiêu liên
danh?
a/ 10 6
b/ A10
c/ C10
d/ Một số khác
1000.000
1000.000
194. Có 3 học sinh a, b, c và bốn phần thưởng nhất, nhì, ba, tư. Có bao nhiêu cách chọn lựa phần
thưởng cho 3 học sinh đó?
a/ 3
b/ 12

c/ 6
d/ 24
195. Apm  120, Cpm  20 thì p bằng:
a/ 3
b/ 4
2
196. Cm  28 thì m bằng:

c/ 2

d/ Một số khác

a/ 9
b/ 8
197. Các dòng sau đây, dòng nào đúng?
a/ C47  C27
b/ C47  C17

c/ 7

d/ Một số khác

c/ C47  C37

d/ C47  4C17

c/ C47  2C64  C63

d/ C47  C64  C63

c/ 2

d/ Một số khác

c/ n

d/ Một số khác

198. Các dòng sau đây, dòng nào đúng?
a/ C47  C37  C17
b/ C47  C67  2C63
199. Nghiệm số của phương trìh: C2x  5  C1x là:
a/ 5
b/ 4
200. Có bao nhiêu vectơ nối n điểm?
a/ n - 1
b/ n(n – 1)
p
3
201. An  (n  3)(n  4)An thì p bằng:

a/ 6
b/ 4
c/ 5
d/ Một số khác
202. Cho 10 điểm sao cho 10 điểm đó không thẳng hàng. Hỏi ta có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng
qua 2 trong các điểm đó?
a/ 20
b/ 90
c/ 10

d/ 45.
203. Một đa giác có 12 cạnh, có bao nhiêu đường chéo?
a/ 54
b/ 66
c/ 40
d/ Một số khác
204. 20 đường thẳng có tối đa bao nhiêu giao điểm?
a/ 20
b/ 190
c/ 200
d/ Một số khác
205. Có thể vẽ được tối đa bao nhiêu tam giác có đỉnh là 10 điểm đã cho?
a/ 30
b/ 460
c/ 120
d/ Một số khác
n
206. Cho phép khai triển (a  b) , ta được bao nhiêu số hạng?
a/ n
b/ 2n + 1
0
1
207. Tổng số Cn  2Cn  4C2n  ...  2 n Cnn bằng:

c/ 2n

d/ n + 1

a/ 3 n
b/ 2 n

c/ 4 n
d/ Một số khác
6
2 4
208. Hệ só của x trong phép khai triển (1 – x ) bằng công thức Newton là:
a/ C34
b/ C34
c/ C24
d/ Một số khác
209. Số hạng có chứa y6 trong phép khai triển (x – 2y2)4 là:
a/ 32xy 6
b/ 24x 2 y 6
c/ 32xy6

d/ Một số khác

210. Có 5 bi xanh, 3 bi đỏ. Lấy 3 bi. Hỏi có bao nhiêu cách lấy được 3 bi đủ hai màu?
a/ 15
b/ C83
c/ 40
d/ 45
211. Có 7 vé số, trong đó có 3 vé trúng. Một học sinh mua 3 vé. Hỏi có bao nhiêu cách mua được ít
nhất 1 vé trúng.
a/ 31
b/ 29
c/ C37
d/ Một số khác
212. Có 4 trai, 3 gái bầu một ban đại diện ba người. Hỏi có bao nhiêu ban đại diện có ít nhất 2 trai?
a/ 18
b/ 22

c/ 35
d/ Một số khác
213. Có 7 vé số, trong đó có 3 vé trúng. Một học sinh mua 3 vé. Hỏi có bao nhiêu cách mua được 2 vé
trúng.
a/ 18
b/ 3
c/ 12
d/ Một số khác


214. Một học sinh có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách vật lý, 2 quyển sách sinh vật. Muốn xếp những
sách này thành một hàng ngang thì có bao nhiêu cách?
a/ 4! 3! 2!
b/ 8!
c/ 4. 3. 2.
d/ 4! 3! 2! 3!
215. Có ba cặp vợ chồng (a; a’), (b; b’), (c; c’). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 người này thành một vòn g
tròn sao cho vợ phải đứng cạnh chồng?
a/ 2! 2! 2! 2!
b/ 2! 2! 2!
c/ 2! 2! 2! 3!
d/ Một kết quả khác
216. Chia 7 cái kẹo khác nhau cho hai anh em sao cho anh hơn em một cái kẹo. Hỏi có bao nhiêu cách
chia?
a/ C47 .C37
b/ C47
c/ 4 . 3
d/ Một số khác
217. Giải phương trình: A3x  Cxx  2  14x
a/ x = 4

b/ x = 6
c/ x = 5
d/ Một số khác
k
k1
k 2
218. Các số C14 ; C14 ; C14 lập thành một cấp số cộng. Tìm số tự nhiêu k?
a/ k = 3, k = 9
b/ k = 4, k = 5
c/ k = 8, k = 7
d/ k = 4, k = 8
219. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì
thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách
làm như vậy?
a/ 1200
b/ 1000
c/ 1800
d/ 200
12

1

220. Tìm số hạng thứ mấy không chứa x trong khai triển Newton của  x  
x

a/ 8
b/ 7
c/ 6
d/ Một số khác
12

1

221. Tìm số hạng thứ mấy không chứa ẩn x trong khai triển nhò thức Newton   x 
x

a/ 7
b/ 8
c/ 9
d/ Một số khác
222. Tính tổng: S  1  2C1n  2 2 C2n  2 3 C3n  ...  (1)n 2 n Cnn

a/ 1n
b/ (2)n
c/ (3)n
d/ (1)n
223. Tranh giải đá banh Quốc khánh của nước Lào có 4 nước tham dự, mỗi nước chỉ gởi một đội đá
banh và phải đấu với tất cả các đội. Số trận đấu phải là:
a/ 6
b/ 4
c/ 8
d/ Một số khác
224. Một bình đựng 7 trái cầu trắng và 3 trái cầu đen. Nếu lấy ngẫu nhiên 4 trái cầu thì số cách lấy
được 3 trái cầu đen là:
4
a/ C37 .P3
b/ 7
c/ C13 .P3
d/ C10
225. Một học sinh trong thời gian học thi, muốn sắp xếp 7 ngày học trong tuần cho 7 môn học. Số cách

sắp xếp đúng nhất là:
a/ 49
b/ C17 . A72 ... A77
c/ 7!
d/ 7 P7
226. Một lớp 12A2 có 3 giáo viên dạy Toán phụ trách 3 môn Đại số, Hình học và Giải tích. Số cách
phân phối 3 môn dạy cho các giáo viên này là:
A 33
a/ 6
b/
c/ C33
d/ Một số khác
3
a
227. Giản đồ nhánh sau đây trình bày:
a
c
a/ Các tổ hợp 4 lấy 2
d
b/ Các hoán vò của 2 phần tử trong E
a
c/ Các tổ hợp con của tập hợp {a, b, c, d}
b
c
d/ Các chỉnh hợp 4 lấy 2
d
a
c
b
d

d

a
b
c


228. Trong một gia đình có 7 cô con gái lớn. Muốn chọn 3 cô để lo việc ẩm thực theo thứ tự: 1 đi chợ, 1
cô nấu ăn, 1 cô rửa chén. Số cách chọn 3 cô con gái đó là:
C3
a/ C37
b/ 210
c/ 7
d/ Một số khác
P3
229. Trong một buổi tiệc có 30 người tham dự. Tan tiệc mọi người đều bắt tay nhau trước khi ra về. Số
lần bắt tay của 30 thực khách đó là:
a/ 30!
b/ 870
c/ 435
d/ 60
230. Một thí sinh muốn lựa chọn 20 trong 30 câu trắc nghiệm toán. nếu đã lựa chọn 5 câu hỏi đầu, số
cách chọn những câu còn lại là:
a/ A15
b/ C15
c/ C530 .C525
d/ C15
30
25
30

231. Cho tập hợp E = {2 ; 4 ; 6 ; 8}. Gọi abc là con số tạo thành bởi các phần tử của E. Nếu đặt điều
kiện 200 < abc < 600 thì số các con số tìm được là:
a/ 32
b/ 299
c/ A34  P3
d/ A34
232. Cho tập hợp E = {1 , 2, 3, 4, 5, 6}. Số các con số tạo bởi hai phần tử khác nhau của E là:
1 2
A6
a/ A62 .P6
b/ A62
c/ C62
d/
2
233. Cho bảy điểm trong mặt phẳng, sao cho cứ 3 điểm một không thẳng hàng. Qua hai điểm kẻ một
đường thẳng. Số tối đa có thể có được của các giao điểm mới là:
a/ 42
b/ 210
c/ 105
d/ Một số khác
234. Trong một cuộc đua gồm có 7 con ngựa mang số từ 1 đến 7. Số lần 3 con ngựa mang số 1, 2, 3 về
trong 3 hàng đầu là:
a/ A37
b/ A37 .P3
c/ 3!
d/ 3! 4!
235. Quanh một bàn tròn có 5 ghế hoàn toàn giống nhau. Số cách sắp xếp 5 người vào 5 ghế này là:
a/ 4!
b/ 5!
c/ 2 . P5

d/ Một số khác
236. Một gia đình có 7 cô con cái. Mẹ muốn cho 3 cô đi xem chiếu bóng. Số cách chọn 3 cô cái gái đó
là:
a/ 7!
b/ 35
c/ A37
d/ C37 .P3
237. Giải sử rằng phương trình: Arn  Ann  r được nghiệm đúng trong những điều kiện sau của n, hãy
chọn trường hợp đúng nhất.
a/ n = 2(r – 1)
b/ n = 2( r + 1)
c/ n = 2r
d/ n = 2r với n là số nguyên chẵn
238. Gọi N là số các con số tạo bởi 3 số lấy trong tập hợp {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. N tính được bằng:
3
a/ A10
b/ A39
c/ 3A63
d/ A39  2A29
239. Quanh một bàn có 6 ghế, số cách xếp 3 người ngồi vào 6 ghế đó là:
a/ A63
b/ C63
c/ 3!

d/ Một số khác

240. Trong một đoàn có 80 đàn ông và 60 phụ nữ. nếu muốn tuyển chọn một phái đoàn gồm có 1 ông
trưởng phái đoàn, 1 ông phó, 2 nữ thư ký và 3 đoàn viên. Số trường hợp có thể được lựa chọn là:
2
2

2
2
2
a/ C80
b/ A80
 C80
.C60
 C136 2
.C136
2
2
2
c/ A80
.A60
.C136

241. Cho E = {a, b, c, d, e} và  = {(x, x)/ x  E} .
Những phần tử của tập hợp E2   là:
a/ Những tập hợp con của E
b/ Những đôi thứ tự của tập hợp E
c/ Các chỉnh hợp 5 lấy 2
d/ Các tổ hợp 5 lấy 2.

2
2
3
d/ C80
.C60
.C136

A

e
d
c
b

E2

a
a

b

c

d

e


242. Cho số N gồm có 6 con số, nếu số N có được thà nh lập bằng cách lấy hai lần số 1, ba lần số 2 và
một lần số 3. Số các con số N tìm được là:
6!
a/ 6! 3! 2! 1!
b/ 3! 2! 1!
c/ 6!
d/
3!2!1!
243. Trong một bình đựng 10 trái cầu xanh, 6 trái cầu đỏ và 4 trái cầu vàng. Nếu lấy ngẫu nhiên 6 trái

cầu, thì số lần lấy được 2 trái cầu xanh, 3 trái cầu đỏ và 1 trái cầu vàng là:
2
2
a/ C10
b/ C10
c/ C620
d/ C620 : (P2  P3  P1 )
.C63 .C14
 C63  C14
244. Có 6 lực só Việt Nam, 5 lực só Campuchia và 7 lực só Thái Lan. Hỏi có bao nhiêu cách sắp hàng để
lực só cùng 1 nước đứng cạnh nhau.
6
5
7
a/ 3.C18
b/ 3! 6! 5! 7!
c/ 3.(6! 5! 6!)
d/ Một kết quả khác
.C18
.C18
245. Trong một họp có 4 quả cân 2g, 8 quả cân 1g. Muốn cân 5g, số cách chọn các quả cân đó là:
3
4
5
a/ C24 .C18  C14 .C83
b/ C12
c/ 328
d/ Một số khác
.C12
.C12

246. Cho 19 tam giác đều bằng nhựa bằng nhau và có màu khác nhau. Ráp 6 tam giác đó lại thành
một hình lục giác có 6 màu. Số cách xếp các tam giác đó:
6
6
6
a/ A10
b/ 10.P6
c/ C10
d/ C10
.P6
247. Xếp 2 nữ sinh và 3 nam sinh vào một bàn học có 5 chỗ ngồi. Nếu không muốn xếp nam nữ ngồi
xen kẽ nhau, thì số cách xếp chỗ 5 học sinh này là:
a/ 3! 2! 2
b/ A55
c/ P5
d/ 3! 2!
248. Cho 10 điểm trên cùng một đường tròn. Số tam giác tạo được bằng các điểm trên là:
3
3
a/ A10
b/ 120
c/ C10
d/ Một số khác
.P3
249. Một trường nữ Trung học gồm có 10 nam giáo viên và 5 nữ giáo viên. Bà hiệu trưởng muốn chọn
5 giáo viên gồm 2 nam và 3 nữ vào hội đồng kỷ luật nhà trường. Số cách chọn phải là:
2
2
2
2

a/ C10
b/ A10
c/ C10
d/ A10
 C53
.A35
.C53
 A53
250. Bác Tám có 11 người bạn, nhưng chỉ muốn mời 5 người dự buổi cơm chiều. Hỏi có bao nhiêu cách
mời?
a/ 378
b/ 48
c/ 55
d/ 462
251. Trong một bình đựng 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Lấy liên tiếp 2 lần: lần thứ
nhất 2 viên bi, lần thứ hai 1 viên bi. Số cách lấy được bi đỏ trong lần thứ hai là:
2
a/ C27 .C14  C17 .C14 .C13  C24 .C12
b/ C11
.C14
d/ C15 .C12 .C14  C25 .C14  C22 .C14

2
2
c/ C11
.C14 .P4  C11
.C14
2
252. Nếu P.C83  C112
thì trò số của P bằng:

a/ 109
b/ 111
k
8
253. nếu C15  C15 thì k bằng:

c/ 112

d/ Một số khác

a/ 13
b/ 8
254. Nếu C8p  C9p thì p bằng:

c/ 7 hay 8

d/ Một số khác

a/ 18
b/ 72
c/ Nghiệm số của phương trình: (p – 8)! = 9(p – 9)
d/ 17.
255. Nếu bốn số hạng đầu của một hàng trong tam giác Pascal được ghi lại là:
1
16
120
560
Khi đó 4 số hạng đầu của hàng kế tiếp là:
a/ 1 17 136 680

b/ 1 18 123 564
c/ 1 32 360 1680
d/ 1 17 137 697
256. Cpn là số tổ hợp n lấy p, trong những đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?
a/ C85  C47  C37

0
b/ C120
 C120
120

c/ C3n  Cn5

d/ C65  C66  C67

c/ 21

d/ 21 hat

2

257. Nếu Cp521  C80
521 thì p bằng:
a/ 20

b/ 19

258. Nếu Cp27 3  C827 thì p bằng:

80

a/ 25
b/ 20
8
9
259. C15  C15 có trò số bằng:
8
b/ C16

9
a/ C16

c/ 21

d/ 11 hay 22.

c/ C10
16

d/

15!
8!6!(9.7)

260. Cpn là số tổ hợp n lấy p. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào nghiệm đúng?
6
4
2
a/ C10

 C10
 C10

261.

C10
19
a/

 C10
18
11
C19

6
b/ C10
 C69  C49

6
c/ C10
 C69  C49

d/ Một đẳng thức khác

9
c/ C18

d/ Một số khác

có trò bằng:

9
b/ C19

262. Một nhóm 20 người gồm 12 đàn ông và 8 phụ nữ. Nếu muốn cử một ban đại diện cho nhóm này
có 5 người gồm 3 đàn ông và 2 phụ nữ, thì số cách lự a chọn là:
a/ 3080
b/ 1540
c/ 770
d/ 6160
4
4
2p  1
263. Nếu C15
thì p bằng:
 C14
 C14
a/ 1 hay 5
b/ 5
4
264. Khai triển của (a + b) là:
a/ a4  2a2 b 2  b 4
c/ C14 a4  C42 a3 b  C43 a2 b2  C42 ab3  C14 b4

c/ 1

d/ 2 hay 5

b/ C04 a4  C14 a3 b  C42 a2 b 2  C43 ab3  C44 b4
d/ a4 b  C14 a3 b  C42 a2 b 3  C43 ab4  b4

265. Cpn là số tổ hợp n lấy p. Trong các mẹenh đề sau đây, mệnh đề nào được nghiệm đúng:
a/ Cpn  Cpn11  Cpn 1

b/ Cpn  Cpn1  Cnp 11

c/ Cpn  Cpn11  Cpn 1

d/ Cpn  Cpn1  Cnp  2

266. Nếu cho biết các hệ số của một hàng trong tam giác Pascal là:
1
6 15
20
15
6
1
thì hệ số trong hàng kế tiếp là:
a/ 1 12 30 40 30 12 1
b/ 1 7 16 21 16 7 1
c/ Những hệ số khác, nhưng không thể tìm được khi tam giác Pascal chỉ cho biết có 1 hàng.
d/ 1 7 21 35 35 21 7 1
267. Một bình đựng 6 trái cầu đỏ: Đ1 , Đ2 , Đ3 , Đ4 , Đ5 , Đ6 , 5 trái cầu xanh: X1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 và 4
trái vàng: V1 , V2 , V3 , V4 . Lấy 5 trái cầu. Số trường hợp lấy được 2 trái cầu đỏ, 2 trái cầu xanh và
1 trái cầu vàng là:
a/ 600
268.

3
C12

 C82

5
b/ C15
 3003

c/ 150

d/ Một số khác

có giá trò bằng:

a/ 220
8!(4! 1)
c/
2!6! (3  5)

b/ 6160
d/ Một số khác

269. Trong một lớp có 20 học sinh gồm có 12 nam sinh và 8 nữ sinh. Nếu muốn bầu một ban đại diện 5
người gồm 3 nam sinh và 2 nữ sinh, biết rằng có 2 nam sinh không chòu vào ban đại diện này, thì
số cách lựa chọn ban đại diện 5 người đó là:
a/ 1440
b/ 1680
c/ 3360
d/ Một số khác
270. Một hình đựng 6 trái cầu đỏ Đ1 , Đ2 , Đ3 , Đ4 , Đ5 , Đ6 và 5 trái cầu trắng T1 , T2 , T3 , T4 , t 5 . Lấy 4
trái cầu trong bình. Số trường hợp lấy được 4 trái cầu cùng màu là:
a/ 75

b/ 2
c/ 15
271. Trong bảng khai triển của nhò thức (x  y)11 , hệ số của x 8 y 3 là:
3
a/ C11

3
b/ C11

8
c/ C11

272. Cnn  r  28 được nghiệm đúng với n và r bằng:
a/ n = 8, r = 4

b/ n = 8, r = 2

c/ n = 8, r = 5

d/ 20
7
8
d/ C10
 C10


d/ Hai nghiệm số của phương trình:

n!
 28 và hai số này chỉ tính được khi có một

(n  r)!r!

phương trình thứ hai.
273. Trong phần khai triển của một nhò thức (2x  y)15 , hệ số của x10 y 5 là:
5
c/ 210 .C15

b/ 5 5 .C10
15

a/ C10
15

d/ Một số khác

4

274. Số dạng chính giữa của khai thức (3x  2y) là:
a/ 6(3x 2  2y)2

b/ 6C24 x 2 y 2

c/ C24 x 2 y 2

d/ C24 6 2 x 2 y 2

275. Tổng số C0n  C1n  Cn2  ...  (1)n Cnn có giá trò bằng:
a/ 0 trong mọi trường hợp
b/ 0 nếu n lẻ
c/ 0 nếu n chẵn

d/ 0 nếu n hữu hạn
n
n 1
n2
1
0
276. Tổng số Cn  Cn  Cn  ...  Cn  Cn bằng:
a/ 16 khi n = 4
b/ 48 khi n = 12
2
c/ 4 khi n bằng 8, sau khi đã nhân tất cả các số hạng với 256
d/ Cả hai trò số cho bởi A và C.
277. Từ khai thức (1  x)n , ta có thể suy ra đẳng thức: C1n  2Cn2  3Cn3  ...  pCnp  ...  nCnn  n2 n 1
bằng cách:
a/ Tính đạo hàm
b/ Tính đạo hàm rồi cho x = 1
c/ Cho x = 1 rồi sau đó nhân các số hạng liên tiếp với 0, 1, 2, 3, ... n rồi cộng lại
d/ Thực hiện liên tiếp các giai đoạn A và C.
278. Tính số các hệ số Cpn của khai thức (1  x)n bằng:
a/

(n!)n
1!(n  1)!2!(n  2) ... p!(n  p)!

b/

(n!)n  1
[1!2! ... (n  1)!]2

c/

(n!)2
[1!2 ! ... n!]2

d/

(n!)n 1
1!2! ... (n  1)!

279. Số hạng lớn nhất của (1 + a)n là:
a/ u p 1  Cnp 1  ap 1 với p bằng phần nguyên của phân số
b/ Là hai số hạng Cpn ap và Cnp  1 ap  1 khi p 

na  1
a1

na  1
a1

1
n
d/ Các số hạng cho bởi A, B và C.
280. Từ khai thức Newton (1  x)n , ta có thể suy ra đẳng thức:

c/ Là u 0  1 nếu a 

C1n  2Cn2  ...  (1)p Cnp  ...  (1)n 1 nCnn  0 bằng cách:
a/
b/
c/

d/

B.

Lần lượt nhân các số hạng liên tiếp với 0, 1, 2, ..., n rồi cộng lại.
Tính đạo hàm của hai vế
Tính đạo hàm rồi thay x = -1
Cho x = -1, sau đó nhân các số hạng liên tiếp với 0, 1, 2, 3 ... n rồi cộng lại.

BẢNG TRẢ LỜI:
112c
113c
122b
123a
132a
133c
146c
147d
156a
157b
166c
167d

114d
124b
134d
148a
158c
168a

115b
125a
135a
149b
159d
169b

116a
126c
136b
150c
160a
170c

117c
127d
137c
151d
161b
171d

118d
128a
138d
152a
162c
172a

119c
129b

139c
153b
163d
173b

120b
130d
140a
154c
164a
174c

121d
131b
145b
155d
165b
175d


176d
186a
196b
206d
216b
226a
236b
246d
256b
266d

276d

177a
187b
197c
207a
217c
227d
237c
247a
257c
267a
277b

178b
188c
198d
208b
218d
228b
238d
248b
258d
268b
278c

179c
189d
199a
209c

219a
229c
239a
249c
259a
269c
279d

180d
190d
200b
210d
220b
230d
240b
250d
260b
270d
280c.

181c
191a
201c
211a
221c
231a
241c
251a
261c
271a

182d
192c
202d
212b
222d
232b
242d
252b
262d
272b

183a
193c
203a
213c
223a
233c
243a
253c
263a
273c

184b
194d
204b
214d
224b
234d
244b

254d
264b
274d

185d
195a
205c
215a
225c
235a
245c
255a
265c
275a

C.

GIẢI ĐỀ TRẮC NGHIỆM:
x
x 1
1
112c/ y  sin cos  sin x  F(x)   cos x
2
2 2
2
113c/ Ta có: f(x)  (x 2  x  C)'  2x  1
 f(x 2 )  2x 2  1   f(x)dx 

114d/ Vì

3

 (x  x )dx 
dt



t1



2



1

0

t1

t1

x

3

d(t  1)

dt

Vậy I  

0

 (x  x )dx   (x  x )dx 

1

115b/ Vì

2 3
x xC
3



 2 t1

2

du
u
2
x



3

1

0dx   2xdx  0  x 2
0

3
0

9

 2 u C  2 t1 C

 2  2 x  1  lim I  2.
x 1

2

2

116a/ S    x 2  (2x  1) dx   (x  1)2 dx 
1

0

1

2

1
1

1
đvdt.
(x  1) 3   0 
3
3
3
1

2

x
x
1

1

117c/ Vì f(x)   sin . cos    sin x   sin 2 x
2
2
2
4




1  1  cos 2x  1 1
 
  8  8 cos 2x
4
2



4





4

1
x
x
1 1

 x sin 2x  4
  sin2   cos 2  dx     cos 2x dx   



8
16  0
32 16
2
2

8
0
08

118d/ * f '(x)  g'(x)  f(x)  g(x)  C

(1) : (I) sai

* f(x)  g(x)  C   f(x)dx   g(x)dx  Cx : (II) sai
* Khi x = a  f(a) = g(a) + C (2)
* (1) – (2)  f(x) – f(a) = g(x) – g(a)
: (III) đúng
119c/ Vì y’ = 0  y = hằng số
Vì (C) qua A(1 ; 2)  y = 2
vậy (C) là đường thẳng song song với trục hoành
Diện tích S = 2.2 = 4 đvdt.
1

3

120b/ Viết y  u 2  u 2 có một nguyên hàm: F(x) 

3



A

O
5

1

2

2 2 2 2
u  u là sai (trong các số hạng của y còn
3
5

thiếu thừa số u’).

2

y

2
sin 2 x sin x
(1  cos 2 x) sin x
dx  4 
dx
121d/ Ta có: I  4 
1  cos x
0 1  cos x
0



2



1
1




2
 4   sin x  sin 2x dx  4  cos x  cos 2x   6
2
4


0
0
122b/ Vì Crn 

n!
n!
1 r
, Arn 
 Crn 
An .
r!(n  r)!
(n  r)!
r!

123a/ Điều kiện x  N và x  10
9
A10
x  Ax

A8x



9

x(x  1)(x  2) ... (x  9)  x(x  1) ... (x  8)
9
x(x  1)(x  2) ... (x  7)

Đơn giản tử và mẫu cho x(x – 1)(x – 2) ... (x – 7) (vì x  10)
Ta được: x 2  16x  55  0
 x  11
(loại vì không thoả x  10)
 
x  5
d 2
124b/ Từ x 2  xy  C   f(y)dy 
(x  xy  C)  f(y)  f(y)  x
dy
d u
(e  ev  C)  f(v)  f(v)  e v .
125a/ Ta có từ eu  ev  C   f(v)dv 
dv

4
1
d  4
1
2
126c/ Ta có từ 3  2  C   f(y)dy 
 3  2  C   f(y)  f(y)  3

dy  x
x
y
y
y

127d/ Từ sin u cos v  C   f(u)du 

d
(sin u cos v  C)  f(u)  f(u)  cos u cos v.
du

e3x  1
(ex  1)(e2x  1  ex )
dx  
dx 
x
e 1
ex  1
1
  (e2x  ex  1)dx   e2x dx   ex dx   dx  e 2x  ex  x  C.
2
84 x
C
129b/ Ta có: f(x)  2 2x .3 x .7 x  84 x   f(x)dx   84 x dx 
ln 84
1
1 x5
130d/ Sai ở D vì họ nguyên hàm của f(x) là: (ln x  5  ln x  1 )  C  ln
C

4
4 x1
du
131b/  x cos x 2 dx, Đặt x 2  u  2xdx  du  xdx 
2
1
1
1
2
2
  x cos dx   cos udu  sin u  C  sin x  C
2
2
2
3
2
3
132a/ Ta có: x  3x  3x  1  (x  1)
128a/ Ta có





(x  1)3  8
8
 x1
2
(x  1)
(x  1)2

x2
8
x
C
2
x1
Cho x = 0, F(0) = 8 = 8 + C  C = 0
x2
8
 F(x) 
x
.
2
x1
1
133c/ Ta có: sin x. sin 7x  (cos 6x  cos 8x)
2
sin 6x sin 8x
 F(x) 

(C  0)
12
16
(ln x)'
dx
dx 
134d/ Đặt u  ln(ln x)  du 
ln x
x ln x

 F(x) 




dx

 x ln x ln(ln x)  

du
 ln u  C  ln ln(ln x)  C
u

135a/ Ta có: F'(x)  4 cos x  4ex  (4x  5)ex
 4 cos x  (4x  9)ex , x  D  R
 f(x), x  D  R

Vậy F(x) là một nguyên hàm của f(x).
2x  2m
136b/ Ta có: F'(x)  2
. Để F(x) là một nguyên hàm của f(x), x  R ta phải có:
x  2mx  4
2x  2m
2x  3
F'(x)  f(x)  2
 2
x  2mx  4 x  3x  4
3
Đồng nhất ta có: 2m  3  m  
2

 du  dx
 u  x

137c/ Đặt 
 
3x
x
v

 dv  3 dx

ln 3


3x
3x
3x

dx  2 (x ln 3  1)  C
ln 3
ln 3
ln 3
138d/ Gọi F(x), G(x) là nguyên hàm của g(x), g(x) thì F(x)  G(x) và F(x)  G(x) lần lượt là nguyên
 H  x.

hàm của f(x) + g(x) và f(x) – g(x).
Ta có: * f(x)  g(x)  (cos 2 x  sin 2 x) cos 2x  cos 2x
 F(x)  G(x) 

1

sin 2x  C1
2

f(x)  g(x)  (cos 2 x  sin 2 x). cos 2x  cos 2 2x 

1  cos 4x 1 1
  cos 4x
2
2 2

1
1

x  sin 4x   C2

2
4

1
(1)
Vậy ta có: F(x)  G(x)  sin 2x  C1
2
1
1
F(x)  G(x)  x  sin 4x  C 2 (2)
2
8
1
1


(1)  (2), (1)  (2) 
F(x)   x  sin 2x  sin 4x   C
4
4

1
1

G(x)    x  sin 2x  sin 4x   C
4
4

139c/ Sai ở b/
F(x)  F(0)
 x  ln(1  x)
lim
 lim
x 0
x 0
x0
x0
ln(1  x)
  1  lim
x0
x
[ln(1  x)]'
  1  lim
(x)'
1
 1  lim 1  x  1  1  0  f(0)

x0
1
2
140a/ Xét (P): y  ax và (P') : x 2  ay
F(x)  G(x) 

(P) và (P’) cắt nhau tại O(0 ; 0) và A(a; a)


y

Vì x  [0; a] thì y  0  (P) : y  ax

(P’)

x2
(P') : x  ay  y 
a
Diện tích S giới hạn bởi (P) và (P’):
2

(P)

A

a

a

2 a


x2 
x3 
2 a
a3 a2
S    ax  dx  
x x
(a a) 

.
 
a 
3a 
3
3a 3
0
 3
0

O

a

x

141b/ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) : y  sin2 x  x và ( ) : y  x

x  0
sin 2 x  x  x  sin 2 x  0  sin x  0  
x  

Với x  (0; )  sin 2 x  x  x  (C) trên ( )




0

0

 S   (sin 2 x  x  x)dx   sin 2 xdx

142c/ S 

1



1  cos 2x

x 1

 2 dx   2  4 sin 2x   2
0
0


y

x2

 8x 3  1 dx
0

(C)

Đặt u  x 3  du  3x 2 dx.
S

1

1 1 du
1 1
1
1

  ln(8u  1)  
ln 9 
ln 3

3 0 8u  1 3  8
12
 0 24
0

1
143d/ Ta có: S   (x  3) dx  (x  3)3
3
3

0

2

O

x

1

9
3

 Các đường thẳng AB, AC chia (H) thành 3 phần với diện tích mỗi phần là 3. Dễ thấy
x B , x C  0 , vì B, C ở trên đoạn OS.
1
1
2
SOAB  3  OA.OB   9.x B  x B  
Ta có:
2
2
3
1
1
4
SOAC  6  OA.OC   9.xC  xC  
2
2
3
Đường thẳng AB đi qua A(0; 9), B(-2/3; 0) có phương trình:

x
y
27
 1  y
x9
2 9
2

3
Đường thẳng AC đi qua A(0 ; 9), C(-4/3; 0) có phươn gtrình:
x
y
27
 1 y
x9 .
4 9
4

3

144a/ (III) S  sin x


2
0

 sin x

3


2

2

 sin x

2
3

2

A

2

2

 x3

4
 x2  
Ta có: S    (x  2x)dx   
3
3
0

0
2

9

(C)
4

1

S
-5

-4

-3

S=1+1+1+1=4
145b/ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thò hàm số y  x 2  2x và trục hoành:

x  0
x 2  2x  0  x(x  2)  0  
x  2

y

C -1 B o

x


146c/ Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parrabol:
 x  1
 x2   x  2  x2  x  2  0  

x  2

 S

2

2

2

 x3 x2

 x  x  2 dx   ( x  x  2)dx   

 2x 
2
1
 3
 1
2



1

 

2

8

1 1
 9
 2  4    2  .
3
3 2
 2

147d/ Phương trình hoành độ giao điểm của y = cosx và y = sinx :


cos x  sin x  cos x  sin x  2 cos  x    0
4


 x
4

 S


4

 cos x  sin x dx
0




4



 (cos x  sin x)dx  (sin x  cos x) 04
0

 sin




 cos  (sin 0  cos x
4
4

2  1 (đvdt)

148a/ Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol:
x  0
1 2
1
x  3x  x 2  3x 2  12x  0  3x(x  4)  0  
4
2
x  4


Ta co:ù S  
0

1 2

1
x  3x  x 2 dx
4
2
4

4

 x3 3 
3

   x 2  3x dx    x 2   8

0 4
 4 2 0
149b/ Ta có: S 

0





0

1 



1 

0

dx

0

  x   x  x  1  dx     x  1  dx    x  1   ln x  1 1  ln 2.

1 


1
1
150c/ Đường tròn có thể xem là hợp các đồ thò của hai hàm số:

y1  R2  x2
Vậy diện tích hình tròn: S 

R



và y 2   R2  x2

( R 2  x 2  R 2  x 2 )dx  2

R

R



R 2  x 2 dx

R


  
Đặt x  R sin t  t    ;   ,
 2 2

Ta có:

y

R2  x2  Rcos t, dx  Rcos tdt

khi x   R  sin t  1  t  
khi x  R  sin t  1  t 


2


2

O

x

S

 2R 2


2

 2R 2

cos t. cos tdt




2




2

cos 2 tdt  2R 2





2


2

1  cos 2t
dt
2





2


2

1


 R 2  t  sin 2t   R 2
2

 
2

x2 y2
151d/ Phương trình elip là: 2  2  1
a
b

S1 là diện tích của phân nửa elip ứng với y  0
b 2
a  x 2 (1  x  a) trục Ox
a

S1 giới hạn bởi đồ thò hàm số: y 
a

y

O

a

b 2
b
a  x 2 dx  2  a2  x 2 dx
a
a a
a

S  2S1  2 



Đặt x  a sin t, x   a  sin t  1  t   ; x  a  sin t  1  t 
2
2

2b

 S
a


2

a2  a2 sin 2 t a cos tdt  ab (dx  a cos tdt)





2

152a/ Phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2): x 2  1  x 2  2x  x  


Ta có: S 

1
2

2

 [f1 (x)  f2 (x)]dx  

1






1
2



1
2

f1 (x)  f2 (x) dx

2

(x 2  1  x 2  2x)dx 

 (x

1





1
2

 (2x  1)dx

1

 (x 2  x)

153b/ Vì lim

x 

2

 1  x 2  2x)dx

1

2
2

 (2x  1)dx




1
2
1



1
2

 (x 2  x 2 )

2


1
2



1 1
1 1
  (1  1)  4  2    
4 2
4 2



1 25 13


(đvdt)
4 4
2

1
 0  y  x là phương trình tiệm cận xiên của đồ thò (C)
2x 2

Ta có: S 

3


1

1


 x  2  x  dx 
2x



3

3

1
1
 1 
 2x 2 dx    2x 2   3
1
1

154c/ Phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (D) :
x 2   x  6  x 2  x  6  0  x  3, x  2
Phương trình hoành độ giao điểm của (C2) và (D) :

1
2

x


x  4
x2
  x  6  x 2  8x  48  0  
8
 x  12
Phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2):
x2
x2 
 7x 2  0  x  0 (kép)
8
2
4

 x2

x2 
Ta có: S    x 2   dx   
 x  6  dx
8 
0 
2  8

2

2

4

4
 x2

 7x 3 
 x3 x2

7x 2
 8 dx    8  x  6  dx   24    24  2  6x   6.
0
2


0

2

155d/ Phương trình tiếp tuyến với parabol tại M(3 ; 5) là: y  y M  f '(x M )(x  x M ) (*)
/
Với y'  2  2  y m
 f '(x M )  6  2  4
(*)  y  5  4(x  3)  y  4x  7

Tiếp tuyến đó cắt trục tung tại điểm (0 ; -7) :
3

Ta có: S    x 2  2x  2  (4x  7)  dx

0



3

 (x

2

 6x  9)dx

0

3

 x3

   3x 2  9x   9  27  27  9
 3
0
e

156a/ Ta có: S   ln xdx
1

y

1


 u  ln x
 du  dx
 
Đặt 
x
 dv  dx
 v  x

1
o

1 e

x

e

1
e
e
 S  x ln x 1   x. dx  (e ln e  1 ln1)  x 1  e  (e  1)  1
x
1

157b/ y  x(x  1)(x  2)  x 3  3x 2  2x
Ta có S 

1

2

0

1

 y dx   y dx

x
3
y  x  3x 2  2x
1

2

-

0
0

1
0

+

1

-

2
0

+

2

  ydx   ydx   (x 3  3x 2  2x)dx   (x 3  3x 2  2x)dx
0

1

0

1

4

1

4

2

x

x

1
   x3  x2     x3  x2  
 4
0  4

1 2
158c/ Phương trình hoành độ giao điểm của y  x và đường thẳng y = 2 – x

x  2  x (x  0)
2

 x  (2  x)
 x  4  4x  x
 
 
 2  x  0
 x  2
2

 x  5x  4  0

 x1
 x  2

y
2

2
1
O

1

2

4

y

=

2

-x

x


1

3 1

2

2
xdx   (2  x)dx  x 2
3
1

 S
0

x  1

159d/ Vì y  f(x)  

 cos x
Cho nên :

2

S



f(x)dx 

1
2


x2  7
  2x   
2  6

0

nếu  1  x  0

nếu 0  x 
2

0


2

1

0

 (x  1)dx   cos xdx 

y
1

0

(x  1)2
2



1

 sin x 02 

3
.
2

-1

O

x


2

3

160a/ Từ (y  x)  x ta thấy hàm số y xác đònh từ phương trình chỉ xác đònh với giá trò x  0 . Suy ra
phương trình của hai nhánh đường cong là: y  x  x x và y  x  x x .
Vì x  0 cho nên x  x x  x  x x và ta có:
1

1

S   (x  x x  x  x x)dx  2  x xdx 
0

0

164b/ Đồ thò y  2x  x

2

5 1

4 2
x
5


0

4
5

cắt trục Ox tại x= 0, do đó:
2

2

4
x5 
16
V    (2x  x ) dx    x 3  x 4 
.
 
5 
15
1
3
0

y2
trên [0 ; 4]
8
Vì tung độ giao điểm của hai đồ thò:
 y  x2

 y1  0, 2  4
 2


 y  8x
4

y4 
24
 V     y  dy 

64
5
0


162c/ Ta có: x 2 (y)  y  x1 (y) 

y = x2

2 2

y
4

O

2

y

1

=8

x

2

163d/ Phương trình hoành độ các giao điểm của (P) và trục Ox: ax  x 2  0  x  0  x  a
a

a

0

0

 V    (ax  x 2 )2 dx    (a2 x 2  2ax 3  x 4 )dx
 x5 1
a2 3 
    ax 4 
x 
3
5 2

1

a


0

a5

30

1

164a/ V    (xex )2 dx    x 2 e2x dx
0

0

 du  2xdx
 u  x


Đặt 

1 2x
2x
 dv  e dx
 v  2 e
2

V

1

1
1 2 2x
x e
  xe2x dx
2

0
0

(*)

 du1  dx
 u1  x

 
Đặt 
1 2x
2x
 dv1  e dx
 v1  e

2
1

1

x
11
1
1
  xe dx  e2x   e2x dx  e2  e2x
2
20
2
4
0

0
2x

(*) và (**)  V 

(e2  1)
4

1
0

(**)

x


2

a
b2
b 2

 V 
a  x 2  dx   2
a

a  a



b 2
a2

y

x2 y 2
b 2
 2 1 y
a  x2
2
a
a
b

165b/ Ta có :

a

 (a

2

 x 2 )dx

e

a

a

 2
x3 
4 ab 2
a x  
3 
3

a

S
2



166c/ Ta có v     cos 4 x  sin 4 x  dx




1

x

2


   (cos 4 x  sin 4 x)dx




2



   (1  2 sin 2 x cos 2 x)dx

2

(3  cos 4x)
dx
4




 
2



32
 3x sin 4x 
  


16  
8
 4
2

2

2

167d/ Ta có: (k  k  1).k!  (k  2k  1  k).k!  (k  1)2 .k! k.k!  (k  1)!(k  1)  k.k! (**)
Thay k = 1, k = 2, ... k = n vào (**):
(12  1  1).1!  2!.2  1.1!

(2 2  2  1).1!  2!.2  1.1!
(2 2  2  1).2!  3!3  2.2!
(3 2  3  1).3!  4!4  3.3!
..........................................



..........................................
2

(n  n  1).n!  (n  1)!.(n  1)  n.n!
 A  (n  1)!(n  1)  1.1!  (n  1)!(n  1)  1

1
1 1 1 1
 1
168a/ VP  2          ...  
  mới đúng.
1 2 2 3
 n1 n
169b/ Bốn quốc tòch có thể xếp ngồi trên hàng ghế bằng 4! cách. Trong mỗi trường hợp, 3 người Việt có
thể ngồi theo 3! cách, 4 người Pháp 4! cách, 4 người Nga theo 4! cách, 2 người Thái Lan theo 2!

cách. Theo quy tắc nhân, ta có tất cả: 4! 3! 4! 4! 2!.
170c/ Sự thực hiện công việc độc lập nhau, nên áp dụng quy tắc cộng.
171d/ Đi bộ, đi xe đạp, đi xe gắn máy là 3 cách.
Nhờ bạn chở, nhờ bạn đưa, đi xe lam, đi xe “bus” có 4 cách.
Quy tắc cộng cho 3 + 4 = 7 cách.
172a/ Có 4! = 24 cách xếp sách Toán cạnh nhau, có 5! = 120 cách xếp sách văn cạnh nhau. Vậy có 24 x
120 = 2880 cách xếp sách cùng loại cạnh nhau.
Nhưng ta có thể xếp sách Toán bên cạnh trái hay bên phải của sách Văn nên có 2 x 2880 = 5760
cách.
2n(n  1) n(n  1)(n  2)

173b/ 2C2n  Cn3 
 6 = n – 2  n = 8.
2
6
174c/ 2A2n  A3n  2n(n  1)  n(n  1)(n  2)  2  n  2  n  4.
175d/ 2A2n  C2n 1  Cn3 1


1
1
(n  1)(n  2)  (n  1)(n  2)(n  3)
2
6
 12n  3(n  2)  (n  2)(n  3)  12n  n 2  2n

 2n(n  1) 

 12  n  2  n  14
176d/ Ta có: n!  A2n  n!  n(n  1)  (n  2)!  1  n  2  1  n  3

177a/ Các số nguyên chia đúng cho 10 phải tận cùng bằng 0. Con số hàng trăm có thể là: 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9 (có 9 cách chọn). Con số hàng chục có thể là: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (có 10 cách chọn).
Con số hàng đơn vò là 0 (một cách chọn)
Vậy số các số viết được là: 9 x 10 x 1 = 90.
178b/ Con số hàng trăm có thể chọn trong 4 số: 1, 2, 4, 5. Con số hàng chục có thể chọn trong 5 số: 0, 1,
2, 4, 5. Số đã cho chia đúng cho 5 nên con số hàng đơn vò chỉ có thể chọn trong 2 số : 0, 5.
Vậy số các số viết được là: 4 x 5 x 2.
179c/ Nếu số đã cho lớn hơn 2000 và nhỏ hơn 5000 thì con số hàng nghìn chỉ có thể là: 2, 3, 4. Các số
khác nhau. Vậy có:
3 cách chọn con số hàng nghìn
8 cách chọn con số hàng chục
9 cách chọn con số hàng trăm
7 cách chọn con số hàng đơn vò
Do đó số các số phải viết là: 3 x 9 x 8 x 7
180d/ Có 5 cách chọn các chữ số A, B, C, D, E. Các con số hàng trăm ngàn, hàng chục ngàn, ..., hàng
đơn vò có thể. Vậy số các vé số là: 5.10.10.10.10.10.10 = 5.106.
181c/ Các con số hàng ngàn, hàng trăm, hàng chục có thể chọ n trong 5 số: 1, 2, 3, 4, 5. Con số hàng đơn
vò chỉ có thể chọn trong 2 số 2, 4.
Vậy số các số viết được là: 5 x 5 x 5 x 2 = 53 x 2.
182d/ Có 2 cách chọn con số hàng đơn vò (2 hoặc 4). Vì 4 số phải khác nhau nên nếu chọn một số ở hàng
đơn vò thì chỉ còn 4 cách để chọn con số hàng chục, sau đó còn 3 cách để con số ở hàng trăm và
sau đó còn lại 2 cách để chọn con số hàng ngàn.
Vậy số các số viết được là: 2 x 4 x 3 x 2 = 22 x 4 x 3.
183a/ Tập hợp các con số hàng trăm: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Tập hợp các con số hàng chục: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Tập hợp các con số hàng đơn vò: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
9 cách chọn con số hàng trăm, 10 cách chọn con số hàn g chục, 10 cách chọn con số hàng đơn vò.
184b/ Vì các số khác nhau, nên nếu số nào đã viết ở hàng trăm, sẽ không được dùng để viết vào hàng
chục hay hàng đơn vò nữa, 9 cách viết con số hàng trăm, 9 cách viết con số hàng chục, 8 cách viết
con số hàng đơn vò.

Vậy số các số viết được là: 9 x 9 x 8 = 92 x 8
185d/ a/ (1, 2, 4) là một chỉnh hợp 4 vật lấy 3
b/ (1, 1, 2) không phải là một chỉnh hợp vì trong một chỉnh hợp, các phần tử phải khác nhau.
c/ (1, 2, 3)  (2, 1, 3) vì trong một chỉnh hợp, ta phải để ý đến thứ tự của các phần tử.
d/ (2, 4) là một chỉnh hợp 4 vật thể lấy 2.
186a/ b, c, d đúng, a sai
187b/ a, c, d đúng, b sai
188c/ Ta có: 0! = 1 vậy a sai
2! 4! = 1.2 . 1.2.3.4  8! Vậy bsai
(m  3)! 1.2.3.4 ...(m  1)(m  2)(m  3)

 (m  2)(m  3)
(m  1)!
1.2.3... (m  1)
Vậy c đúng.
189d/ Điều kiện: n  2  0  n  2
n!  1  2  3  ...  (n  2)(n  1)n  n!  (n  2)!(n  1)n
Phương trình cho được viết là: (n – 2)! (n – 1)n = 30 (n – 2)!  n = -5 v n = 6, vì n  2  n  6


190d/ a đúng, b đúng, c đúng vì: Cpm 
191a/ b, c đúng, C37 

Apm
 Apm  p!Cpm  D sai
p!

7!
7!


 A sai
3!(7  3)! 3!4!

192b/ Ta phải chọn 2 người trong 106 người xếp vào 2 chỗ khác nhau: Tổng thống và phó Tổng thống,
nên mỗi liên danh là một chỉnh hợp 106 vật lấy 2.
2
Số liên danh là: A1.000.000
 106 (106  1)
193c/ Muốn có một liên danh, ta phải chọn 10 người trong 10 6 người nên mỗi liên danh là một tổ hợp
106 vật lấy 10.
Số liên danh là: C10
1.000.000
194d/ Ta phải chọn 3 phần thưởng khác nhau trong 4 phần thưởng khác nhau rồi tặng cho 3 học sinh
khác nhau. Mỗi cách chọn là một chỉnh hợp 4 vật lý lấy 3. Số cách chọn là:
A34  4  3  2  24
195a/ Ta có: Cpm 

Apm
Ap
120
 p!  pm 
 6  3!  p  3
p!
20
Cm

196b/ Điều kiện m > 2; C2m  28

m!
 28

2!(m  2)!
(m  2)! (m  1)m

 28
2!(m  2)!



m(m  1)
 28
1.2
 m2  m  56  0



 m  7

 m  8 vì m  2  nhận m  8
p
197c/ Ta có: Cpm  Cm
 C74  C77  4  C73
m
p
4
3
4
198d/ Ta có: Cpm  Cpm11Cm
1  C7  C6  C6

199a/ Khi viết Ckm phải có điều kiện k  m  C2x có điều kiện là 2  x .

Phương trình cho được viết lại:

37

x  2  5
x(x  1)
2
 5  x  x  3x  10  0  
1.2
 x  3  7  2

2
Vì x  2 nên chỉ nhận x = 5.
200b/ Muốn có một vectơ, ta phải lấy 2 điểm trong n điểm xếp theo một thứ tự, một điểm là gốc, một
điểm là ngọn. Vậy số vectơ là số chỉnh hợp n chập 2.
n!
(n  2)!(n  1)n
A2n 

 n(n  1)
(n  2)!
(n  2)!

201c/ Apn  n(n  1)(n  2) ... (n  p  1) = tích số của P số nguyên giảm dần từ n.

A3n  n(n  1)(n  2)  (n  3)(n  4)n(n  1)(n  2)
 n(n  1)(n  2) ...(n  p  1)
 p5
202d/ Muốn vẽ một đường thẳng ta phải lấy 2 điểm trong 10 điểm đó rồi nối lại với nhau (không cần
thứ tự vì đường thẳng AB cũng giống đường thẳng BA). Vậy số đường thẳng là:

10.9
2
C10

 45
1.2
203a/ Số đường chéo bằng số đường thẳng qua 12 đỉnh trừ đi số cạnh: