Các định lý giới hạn cho martingale

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------------

TẠ CÔNG SƠN

CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN CHO MARTINGALE

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------

TẠ CÔNG SƠN

CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN CHO MARTINGALE
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số:
62460106

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH. ĐẶNG HÙNG THẮNG

Hà Nội - 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết
quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong
bất kì công trình nào khác.
Tác giả

Tạ Công Sơn


LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy, GS. TSKH. Đặng
Hùng Thắng vì sự định hướng và sự gợi mở vấn đề của Thầy trong nghiên
cứu, sự nghiêm khắc của Thầy trong học tập và sự bao dung của Thầy
trong cuộc sống dành cho tác giả.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau
đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội,
nơi tác giả đã học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô ở Bộ môn Xác suất và thống
kê, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường đại học Khoa học Tự nhiên, nơi
tác giả đang công tác và giảng dạy, đã giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá
trình học tập hoàn thành luận án.
Trong quá trình học tập và hoàn thành luận án, tác giả vô cùng biết
ơn khi nhận được sự quan tâm giúp đỡ và góp ý của GS.TSKH. Nguyễn
Duy Tiến, GS.TS. Nguyễn Hữu Dư, GS.TS. Nguyễn Văn Hữu, GS.TS.
Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS. Phan Viết Thư, PGS.TS. Trần Hùng Thao,
PGS.TS. Hồ Đăng Phúc, TS. Trần Mạnh Cường, TS. Nguyễn Thịnh, TS.
Lê Văn Dũng, TS. Lê Văn Thành, TS. Nguyễn Văn Huấn . . . Tác giả xin

chân thành cảm ơn tới anh, TS. Lê Văn Dũng về nhiều sự giúp đỡ, đóng
góp quý báu.
Tác giả xin được gửi lời cám ơn tới tất cả thầy cô, bạn bè đã góp ý, ủng
hộ và động viên tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận án.
Luận án là món quà quý giá của tác giả dành tặng cha mẹ, hai em gái,
em rể và người vợ sắp cưới những người đã luôn ở bên cạnh động viên tác
giả trong những lúc khó khăn.
Tạ Công Sơn


MỤC LỤC

Những kí hiệu dùng trong luận án

4

Mở đầu

5

Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị và khái niệm cơ bản
1.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Một số dạng hội tụ của trường các biến ngẫu nhiên . . .
1.3 Trường các hiệu martingale . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Toán tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

10
10
13
19
22

.
.
.
.

Chương 2. Luật số lớn cho trường các hiệu martingale
26
2.1 Luật mạnh số lớn cho trường hộp các α-hiệu martingale . . 26
2.2 Luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Luật yếu số lớn cho trường α-tương thích mạnh . . . . . . . 50
Chương 3. Hội tụ hoàn toàn và tốc độ hội
hiệu Martingale
3.1 Hội tụ hoàn toàn . . . . . . . . . . . .
3.2 Hội tụ hoàn toàn trung bình . . . . . .
3.3 Tốc độ hội tụ của chuỗi ngẫu nhiên . .

tụ của trường các
57
. . . . . . . . . . . 57
. . . . . . . . . . . 66
. . . . . . . . . . . 76

Chương 4. Sự hội tụ của dãy các martingale toán tử

88
4.1 Hội tụ của dãy martingale toán tử . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2 Sự hội tụ của tích các toán tử không bị chặn độc lập . . . . 97
Kết luận và kiến nghị

111

Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến
luận án
112
Tài liệu tham khảo

113


NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

Z
N
N0
R
E
·
B(E)
(Ω, F, P )
Card(A)
IA
1
n
n+m

[m, n)
n m
n≺m
n
m
n
2
2nα
|n|
n
|nα |
1/α
log(x)
log+ (x)
[x]

Tập hợp các số nguyên
Tập hợp các số nguyên dương
Tập hợp các số nguyên không âm
Tập hợp các số thực
Không gian Banach thực và khả ly
Chuẩn trên không gian Banach E
σ -đại số Borel các tập con của E
Không gian xác suất đầy đủ
Số phần tử của tập hợp A
Hàm chỉ tiêu của tập hợp A
Phần tử (1, 1, ..., 1) ∈ Nd
Phần tử (n1 , n2 , ..., nd ) ∈ Zd
Phần tử (n1 + m1 , n2 + m2 , ..., nd + md ) ∈ Zd
d

i=1 [mi , ni )
n1 ≤ m1 , n2 ≤ m2 , ..., nd ≤ md
n m và n = m
∨di=1 (ni ≤ mi ) ( tồn tại ít nhất một 1 ≤ i ≤ d sao cho ni ≤ mi )
Phần tử (2n1 , 2n2 , ..., 2nd )
Phần tử (2n1 α1 , 2n2 α2 , ..., 2nd αd ) với α = (α1 , ..., αd ) ∈ Rd
Giá trị |n| = n1 n2 ...nd
Giá trị n = min{n1 , n2 , ..., nd }
Giá trị |nα | = nα1 1 nα2 2 ...nαd d với α = (α1 , ..., αd ) ∈ Rd
Phần tử (1/α1 , ..., 1/αd )
logarit cơ số e của x
max{log(x), 0}
Số nguyên lớn nhất không vượt quá x.

4


MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
1.1. Lý thuyết martingale nghiên cứu những vấn đề liên quan đến lý thuyết
trò chơi nhưng về sau được phát triển thành một lĩnh vực toán học chặt
chẽ, trở thành một mô hình toán học quan trọng có nhiều ứng dụng trong
thống kê, phương trình vi phân, toán kinh tế. Đặc biệt, gần đây đã có
nhiều ứng dụng thú vị trong chứng khoán, thu hút khá nhiều nhà toán học
quan tâm. Về phương diện xác suất, martingale là sự mở rộng của tổng
các biến ngẫu nhiên độc lập kì vọng không.
1.2. Các định lý giới hạn đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất,
chúng được ví như những viên ngọc của xác suất, Kolmogorov đã từng nói
"Giá trị chấp nhận được của lý thuyết xác suất là các định lí giới hạn, các

kết quả chủ yếu nhất và quan trọng nhất của lý thuyết xác suất là các luật
số lớn". Ngày nay, các định lý giới hạn vẫn đang là vấn đề có tính thời sự
của lý thuyết xác suất.
1.3.Từ những năm 1950 trở lại đây, các định lý giới hạn đã được nghiên cứu
mở rộng cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.
Tuy nhiên đối với trường hợp trường các hiệu martingale cũng như với các
dãy martingale toán tử vẫn chưa được nghiên cứu nhiều.
Với các lí do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luận
án của mình là: Các định lý giới hạn cho martingale.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận án nghiên cứu sự hội tụ cũng như tốc độ hội tụ của của trường
các hiệu martingale nhận giá trị trong không gian Banach, luật mạnh số
lớn Kolmogorov, luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund, luật số lớn
dạng Brunk-Prokhorov, luật yếu số lớn, hội tụ hoàn toàn và hội tụ hoàn
5


toàn trung bình của trường các hiệu martingale.
Luận án nghiên cứu về sự hội tụ của các dãy toán tử ngẫu nhiên, dãy
martingale toán tử ngẫu nhiên cũng như tích các toán tử ngẫu nhiên độc
lập trong không gian Banach.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là trường các biến ngẫu nhiên nhận
giá trị trong không gian Banach và dãy các toán tử ngẫu nhiên nhận giá
trị trong không gian Bannach.
4. Phạm vi nghiên cứu
Luận án nghiên cứu các định lý giới hạn như luật mạnh số lớn, luật yếu
số lớn, các định lý về hội tụ hoàn toàn, hội tụ hoàn toàn trung bình, tốc
độ hội tụ của tổng các trường hiệu martingale, các định lý về hội tụ cho
dãy các martingale toán tử ngẫu nhiên cũng như tích vô hạn của dãy toán

tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong không gian Banach.
5. Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng các kĩ thuật của xác suất, giải tích, giải tích ngẫu
nhiên, các công cụ của martingale để chứng minh các định lí hội tụ. Một
số bổ đề quan trọng như: Bổ đề Borel-Cantelli, Bất đẳng thức Kolmogorov,
Bất đẳng thức Doob, Bổ đề Toeplitz, lý thuyết toán tử tất định, các tính
chất về thác triển toán tử, nguyên lý đồ thị đóng... cũng được sử dụng để
chứng minh các kết quả.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Ý nghĩa khoa học: góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự
hiểu biết về hội tụ của chuỗi ngẫu nhiên, luật mạnh số lớn của trường các
biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach, cũng như các kết
quả của toán tử ngẫu nhiên.
Ý nghĩa thực tiễn: luận án góp phần phát triển lý thuyết về các định lí
giới hạn của trường biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach
trong lý thuyết xác suất.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan luận án. Các định lí giới hạn trong xác suất đóng vai

6


trò quan trọng trong phát triển lý thuyết, thực hành xác suất và thống
kê. Chính vì vậy mà các định lý về giới hạn đã thu hút nhiều nhà khoa
học nghiên cứu và mở rộng. Đầu tiên phải kể đến luật số lớn: Luật số
lớn đầu tiên của Bernoulli được công bố năm 1713. Về sau, kết quả này
được Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng. Tuy nhiên, phải
đến năm 1909 luật mạnh số lớn mới được Borel phát hiện. Kết quả này
của Borel được Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926, ta thường gọi là
luật số lớn dạng Kolmogorov. Đồng thời Kolmogorov cũng chỉ ra rằng

trong trường hợp dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố thì
điều kiện cần và đủ của luật mạnh số lớn là các biến ngẫu nhiên đó có
moment tuyệt đối cấp một hữu hạn. Kết quả này đã được Marcinkiewicz
và Zygmund mở rộng (gọi là luật số lớn dạng Marcinkiewicz-Zygmund).
Brunk (1948) và Prokhorov (1950) đã khái quát điều kiện đủ dạng Kolmogorov với moment bậc cao hơn và thu được luật mạnh số lớn dạng
Brunk-Prokhorov. Luật số lớn tiếp tục được mở rộng bởi nhiều tác giả như
Tien, Quang, Hung, Thanh, Huan, Dung, Stadtmulle, Rosalsky, Volodin
(xem [47],[48],[49],[16],[14],[67],[50],[30]) bằng cách làm nhẹ điều kiện độc
lập của dãy biến ngẫu nhiên (như nghiên cứu trong trường hợp dãy các
hiệu martingale, cho các hộp độc lập, và hộp martingale), nghiên cứu cho
trường hợp chỉ số nhiều chiều, hoặc xem xét trên các không gian khác...
Trong luận án này chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các định lý luật số lớn
cho trường các hiệu martingale, trường hộp các α-hiệu martingale nhận
giá trị trong không gian Banach p-khả trơn, trường các biến ngẫu nhiên

α-tương thích mạnh nhận giá trị trong không gian Bannach p-khả trơn.
Định lý giới hạn còn được nghiên cứu dưới dạng chuỗi ngẫu nhiên,
đầu tiên được biết đến với các định lý hai chuỗi, ba chuỗi sau đó là các
nghiên cứu về tốc độ hội tụ của chuỗi độc lập, chuỗi hiệu martingale,...(xem
[51],[52],[64]). Các khái niệm khác như hội tụ hoàn toàn, hội tụ hoàn toàn
trung bình cũng được nhiều tác giả quan tâm, nghiên cứu (như [31], [34],
[7],[53],[10]). Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu về hội tụ hoàn toàn,
hội tụ hoàn toàn trung bình, và đánh giá tốc độ hội tụ của chuỗi các trường

7


hiệu martingale nhận giá trị trong không gian p-khả trơn.
Khái niệm toán tử ngẫu nhiên như là một mở rộng của ma trận ngẫu
nhiên được giới thiệu trong các công trình của Skorokhod [56] và được khá

nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu như Thắng, Thịnh,... [73], [69], [74].
Trong luận văn này chúng tôi tiếp tục nghiên cứu về sự hội tụ của dãy các
toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.
Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại Seminar bộ môn và tại
các hội nghị: Hội nghị khoa học chúc mừng sinh nhật G.S. Nguyễn Duy
Tiến (Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐH Khoa học Tự nhiên-ĐHQG
Hà Nội, 2012), hội nghị toán học toàn quốc lần thứ 10 (Nha trang, 2013),
đại hội toán học thế giới (ICM) tại Seoul, Hàn Quốc (2014), hội nghị toán
ứng dụng trong công nhiệp (Math-for-industry) tại Kyushu University,
Nhật Bản (2014), đã được đăng và nhận đăng ở các tạp chí: Statistics and
Probability Letters, Applications of Mathematics, Journal of Inequalities
and Applications, Journal of the Korean Mathematical Society, Journal of
Probability and Statistical Science, đang được gửi đăng tại các tạp chí: An
International Journal of Probability and Stochastic Processes, Journal of
bulletin of the Korean Mathematical Society.
7.2 Cấu trúc luận án. Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các bài
báo của nghiên cứu sinh liên quan đến luận án và tài liệu tham khảo, luận
án được trình bày trong bốn chương.
Chương 1 trình bày các khái niệm về kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện của
biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach, khái niệm về trường
các hiệu martingale, toán tử ngẫu nhiên, dãy toán tử ngẫu nhiên độc lập,
dãy martingale toán tử ngẫu nhiên, một số dạng hội tụ của trường các
biến ngẫu nhiên và dãy các toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không
gian Banach.
Chương 2 gồm ba mục, mục 2.1 đưa ra khái niệm trường hộp các α-hiệu
martingale và trường hộp các M-hiệu martingale; thiết lập luật mạnh số
lớn dạng Kolmogorov và Marcinkiewicz - Zygmund cho trường hộp các

α-hiệu martingale nhận giá trị trên không gian Banach. Mục 2.2 thiết lập

8


luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov cho trường các hiệu martingale. Mục
2.3 đưa ra khái niệm trường α-tương thích mạnh và thiết lập luật yếu số
lớn cho trường các đại lượng ngẫu nhiên α-tương thích mạnh.
Chương 3 gồm ba mục, mục 3.1 đưa ra các điều kiện cho hội tụ hoàn
toàn của tổng trung bình trượt của trường các hiệu martingale, từ đó đi
đến các luật mạnh số lớn cho tổng trung bình trượt cũng như đánh giá tốc
độ hội tụ của luật mạnh số lớn. Mục 3.2 trình bày các kết quả về hội tụ
hoàn toàn trung bình, các điều kiện của hội tụ hoàn toàn trung bình cũng
như mối quan hệ giữa hội tụ hoàn toàn trung bình với hội tụ h.c.c. và hội
tụ trung bình; sau đó áp dụng cho các nghiên cứu về luật số lớn, hội tụ
trung bình và tốc độ hội tụ của trường các hiệu martingale E-giá trị. Mục
3.3 trình bày về tốc độ hội tụ của chuỗi các trường hiệu martingale.
Chương 4 thiết lập các điều kiện hội tụ của dãy các toán tử ngẫu nhiên,
toán tử ngẫu nhiên mở rộng, dãy hiệu martingale toán tử ngẫu nhiên bị
chặn trong không gian Banach và nghiên cứu các điều kiện hội tụ của tích
vô hạn các toán tử ngẫu nhiên độc lập.

9


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Adler A., Rosalsky A. (1987), "On general strong laws for weighted
sums of stochastically dominated random variables", Stoch. Anal.
Appl. 5 , pp.1-16.
[2] Assouad P. (1975), Espaces p-lisses et q-convexes, Inégalités de
Burkholder, Séminaire Maruey-Schwartz, Exp. ZV.

[3] Borovskykh Y.V., Korolyuk V.S. (1997), Martingale Approximation,
VSP.
[4] Brunk H.D. (1948), "The strong law of large numbers", Duke Math.
J. 15, pp.181-195.
[5] Cabrera M.O. (1994), "Convergence of weighted sums of random variables and uniform integrability concerning the weights", Collectanea
Mathematica 45(2), pp.121-132.
[6] Chattecji S.D. (1986), "Martingale convergence and the RadonNikodym theorem in Banach spaces", Math. Scand 22, pp.21-41
[7] Chen P., Hu T.C., Volodin V. (2006), "A note on the rate of complete
convergence for maximus of partial sums for moving average processes
in rademacher type Banach spaces", Lobachevskii .J. Math. 21, pp.4555.
[8] Christofidesm T.C., Serfling R.J. (1990)," Maximal inequalities
for multidimensionally indexed submartingale arrays". Ann.Probab.
45(3), pp.436-641.

113


[9] Choi B.D., Sung S.H. (1985), "On convergence of (Sn −ESn )/n1/r , 1 <
r < 2 for pairwise independent random variables", Bull. Korean Math.
Soc. 22(2), pp.79-82.
[10] Chow Y.S. (1988), "On the rate of moment convergence of sample
sums and extremes". Bull. Inst. Math.Acad.Sin. (N.S.) 16, pp.177201.
[11] Chow Y S., Teicher H. (1997), Probability Theory. Independence, Interchangeability, Martingale, Springer, New York.
[12] Czerebak-Mrozowicz E.B., Klesov O.I., Rychlik Z. (2002),
"Marcinkiewicz-type strong laws of large numbers for pairwise
independent random fields", Probab. Math. Statist. 22(1), pp.127139.
[13] Day M.M. (1944), "Uniform convexity in factor and conjugate spaces",
Ann.of Math. 45, pp.375 -385.
[14] Dung L.V. (2010), "Weak laws of large numbers for double arrays
of random elements in Banach spaces" Acta Math. Vietnamica 35,

pp.387-398.
[15] Dung L.V., Son T.C., Tien N.D. (2014), "L1 bounds for some martingale central limit theorems" Lithuanian Math. J. 54(1), pp.46-60.
[16] Dung L.V., Tien N.D. (2010), "Strong laws of large numbers for random fields in martingale type p Banach spaces" Stat. Probab. lett. 80
(9-10), pp.756-763.
[17] Edgar G.A., Louis S. (1992), Stopping times and directed processes,
47, Cambridge University, England.
[18] Fazekas I.; Klesov O. (2000), "A general approach to the strong law
of large numbers". Theory Probab. Appl. 45(3), 436-449.
[19] Fazekas I., Tómács T. (1998), "Strong laws of large numbers for pairwise independent random variables with multidimensional indices",
Publ. Math. Debrecen 53(1-2), pp.149-161.
114


[20] Feller W. (1971), An introduction to probability theory and its applications, 2, 2nd ed. Wiley, New York.
[21] Gaposhkin V.F. (1995), "On the strong law of large numbers for blockwise independent and block-wise orthogonal random variables", Theory Probab. Appl. 39, pp.667 - 684.
[22] Gut A. (2001), "Convergence rates in the central limit theorem
for multidimensionally indexed random variables", Studia Sci. Math.
Hungar. 37, pp.401-418.
[23] Gut A., Stadtm¨
uller U. (2009), "An asymmetric MarcinkiewiczZygmund LLN for random fields", Stat. Probab. Lett. 79, pp.10161020.
[24] Hoffmann-Jørgensen J., Pisier G. (1976), "The law of large numbers
and the central limit theorem in Banach spaces", Ann.Probability 4(4),
pp.587-599.
[25] Hong J.I., Tsay J. (2010), "A strong law of large numbers for random
elements in Banach spaces", Southest Asian Bulletin of Mathematics
34, pp.257-264.
[26] Hong D.H., Volodin A.I. (1999), "Marcinkewicz-type law of large numbers for double arrays", J.Korean Math.Soc 36(6), pp.1133 - 1143.
[27] Hu S., Chen G., Wang X. (2008), "On extending the Brunk-Prokhorov
strong law of large numbers for martingale differences", Statist.
Probab. Lett. 78, pp.3187-3194.

[28] Huan N.V. and Quang N.V. (2012) "The Doob inequality and strong
law of large numbers of multidimensional arrays in general Banach
spaces" Kybernetika 48, pp.254-267.
[29] Huan N.V., Quang N.V., Volodin A.(2010), "Strong laws for blockwise
Martingale difference arrays in Banach spaces" Lobachevskii Journal
of Math. 31(4), pp.326 - 335.

115


[30] Hung N.V., Tien N.D. (1992), "On the almost sure convergence of
two-parameter martingales and the strong law of large numbers in
Banach spaces" Acta Math. Vietnam 17(1), pp.127-143.
[31] Hsu P.L., Robbins.H. (1947), "Complete convergence and the law of
large numbers" Proc.Nat. Acad. Sci. U.S.A. 33, pp.25-31.
[32] Kwapie´
n S., Woyczy´
nski W.A. (1992), Random Series and Stochastic
Integrals: Single and Multiple, Birkh¨auser, Boston.
[33] Lagodowski Z.A. (2009), "Strong laws of large numbers for B-Valued
Random Fields", Discrete Dynamics in Nature and Society, Article
ID 485412, 12 p. doi:10.1155/2009/485412.
[34] Li D., Rao M.B., Wang X., (1992), "Complete convergence of moving
average processes" Stat. Probab. Lett. 14, pp.111-114.
[35] Lindenstrauss J. (1963), "On the modulus of smoothness and divergent series in Banach spaces", Michigan Math. J. 10, pp.241-252.
[36] Loève M. (1977), Probability Theory, I, 4th Edition. Springer, New
York.
[37] Móricz F. (1987), "Strong limit theorems for block-wise m-dependent
and block-wise quasiorthogonal sequences of random variables" Proc.
Amer. Math. Soc. 101, pp.709 - 715.

[38] Móricz F., Stadtm¨
uller U., Thalmaier M. (2008), "Strong laws for
block-wise M-dependent random fields", J. Theoret. Probab. 21 ,
pp.660 - 671.
[39] Noszaly C., Tomacs T. (2000), "A general approach to strong laws
of large numbers for fields of random variables", Annales Univ. Sci.
Budapest. 43, pp.61-78.
[40] Pisier G. (1975), "Martingales with values in uniformly convex
spaces", Israel J. Math. 20 (3-4), pp.326-350.

116


[41] Pisier G. (1986) "Probabilistic methods in the geometry of Banach
spaces, in: Probability and Analysis (Varenna, 1985)", Lecture Notes
in Math. Springer, Berlin. 1206, pp.167-241.
[42] Prokhorov Y.V. (1950) "On the strong law of large numbers", Izv. AN
SSSR Ser. Matem. 14, pp.523-536.
[43] Quang N.V., Huan N.V. (2008), "On the weak laws of large numbers for double arrays of Banach spaces valued Random elements" J.
Probab. Sta. Sci. 6, pp.125-134.
[44] Quang N.V., Huan N.V. (2009), "On the strong laws of large numbers and Lp -convergence for double arrays of random elements in puniformly smooth Banach spaces" Stat. Probab. Lett., 79, pp.18911899.
[45] Quang N.V., Huan N.V. (2010), A Characterization of p-uniformly
Smooth Banach Spaces and Weak Laws of Large Numbers for ddimensional Adapted Arrays, Sankhya: The Indian .J. 72(A), 344358.
[46] Quang N.V., Son L.H. (2006), "On the weak law of large numbers for
sequences of Banach space valued random elements", Bull.Korean.Soc.
43 (3), pp.551-558.
[47] Quang N.V., Thanh L.V. (2005), "On the strong laws of large numbers
for two-dimensional arrays of block-wise independent and block-wise
orthogonal random variables", Probab. Math. Statist. 25, pp.385 - 391.
[48] Quang N.V., Thanh L.V. (2006), "Marcinkiewicz-Zigmund law of large

numbers for blockwise adapted sequence", Bull. Korean Math. Soc. 43
(1), pp.213-223.
[49] Quang N.V., Thanh L.V., Tien N.D. (2011), "Almost sure convergence for double arrays of block-wise M -dependent random elements
in Banach spaces", Georgian Mathematical Journal 18, pp.777-800.

117


[50] Rosalsky A., Thanh L.V. (2007), "On the strong law of large numbers
for sequences of blockwise independent and blockwise p-orthogonal
random elements in Rademacher type p Banach spaces", Probab.
Math. Statist. 27, pp.205 - 222.
[51] Rosalsky A., Rosenblatt J. (1997), "On convergence of series of Banach
space valued random elements", Nonlinear Anal., 30, pp.4237-4248.
[52] Rosalsky A., Rosenblatt J. (1998), "On convergence of series of random variables with applications to martingale convergence and to convergence of series with orthogonal summands"Stoch. Anal. Appl. 16,
pp.553-566.
[53] Rosalsky A., Thanh L.V., Volodin A. (2006),"On convergence in Mean
of normed sums of independent random elements in Banach spaces".
Stoch. Anal. Appl. 24, pp.23-35.
[54] Scalora F.S. (1961), "Abstract martingale convergence theorems", Pacific J. Math. 11, pp.347-374.
[55] Shixin G. (2010), "On almost sure convergence of weighted sums
of random element sequences",Acta Mathematica Scientia 30 (4),
pp.1021-1028.
[56] Skorokhod A.V. (1984), Random Linear Operators, (Reidel Publishing
Company, Dordrecht.)
[57] Son T.C. (2014), "On the rate of convergence of series of Banach space
valued martingale differences". Proceedings of international congress
of mathematicians (ICM) Seoul 2014, pp.438–439.
[58] Son T.C., Thang D.H. (2013), "The Brunk-Prokhorov strong law of
large numbers for fields of martingale differences taking values in a

Banach space". Stat. Probab. Lett. 83, pp.1901–1910.
[59] Son T.C., Thang D.H. (2014), "On the convergence of series of martingale differences with multidimensional indices", J. Korean Math.
Soc., Accepted.
118


[60] Son T.C., Thang D.H., Dung L.V. (2012), "Rate of complete convergence for maximums of moving average sums of martingale difference
fields in Banach spaces", Stat. Probab. lett. 82(4), pp.1978-1985.
[61] Son T.C., Thang D.H., Dung L.V. (2014), "Complete convergence in
mean for double arrays of random variables with values in Banach
spaces", Appl. of Math., 59(2), pp.177-190.
[62] Son T.C., Thang D.H., Thu P.V. (2013), "Weak laws of large numbers
for fields of random variables in banach spaces", J. Probab. Stat. Sci.,
Accepted.
[63] Son T.C., Thang D.H., Tien N.D. (2014), "On the strong law of
large numbers for block-wise(α, β)-martingale difference arrays in puniformly smooth Banach spaces", submitted to J. Bull. Korean Math.
Soc.
[64] Sung S.H., Volodin I. (2001) "On convergence of series of independent
random variables", Bull. Korean Math. Soc. 38, pp.763-772.
[65] Su C., Tong T.J. (2004), "Almost Sure Convergence of the General
Jamison Weighted Sum of B -Valued Random Variables", Acta Math.
Sinica English Series 20(1), pp.181-192.
[66] Sung S.H., Hu T.C., Volodin A.I. (2006), "On the weak laws with
random indices for partial sums for arrays of random elements in martingale type p Banach spaces", Bull.Korean.Soc. 43(3), pp.543-549.
[67] Stadtmulle U., Thanh L.V. (2011), "On the trong limit theorems
for double arrays of blockwise M-dependent random variables", Acta
Math. Sinica (English Series) 27, pp.1923-1934.
[68] Stadtm¨
uller U., Thalmaier M. (2009), "Strong laws for delayed sums
of random fields", Acta Sci. Math. (Szeged) 75(3-4), pp.723-737.

[69] Thang D.H. (1987), "Random Operators in Banach space",Probab.
Math. Statist. 8, pp.155-157.

119


[70] Thang D.H., Son T.C. (2013), "On the convergence of the product
of independent random operators", submitted to An Inter. J. of Prob.
Stoch. Process.
[71] Thang D.H., Son T.C. (2013), "Convergence for martingale sequences
of random bounded operators" Preprint.
[72] Thang D.H., Son T.C., Cuong T.M. (2014), "Inequalities for sums of
adapted random fields in Banach spaces and applications for strong
law of large numbers" J. Inequal. Appl. doi:10.1186/1029-242X-2014446, pp.1-14.
[73] Thang D.H. and Thinh N. (2004), "Random bounded operators and
their extension", Kyushu J.Math. 58, pp.257-276.
[74] Thang D.H., Thinh N., Quy T.X. (2012), "Generalized random spectral measures".J.Theor.Probab. Doi:10.1007/s10959-012-0461-0.
[75] Tien N.D., Dung L.V. (2012), "Convergence of double random series
of random elements in Banach spaces", J. Korean Math. Soc. 49,
pp.1053-1064.
[76] Wei D., Taylor R.L. (1978), "Convergence of weighted sums of tight
random elements", Journal of Multivariate Analysis 8(2), pp.282-294.
[77] Woyczy´
nski W.A. (1978), Geometry and martingales in Banach spaces
II. Independent increments, Probability on Banach spaces, Adv.
Probab. Related Topics, 4, pp.267-517.
[78] Woyczy´
nski W.A. (1981), "Asymptotic behavior of martingales in Banach spaces II", Martingale theory in harmonic analysis and Banach
spaces, Lecture Notes in Mathematics, 939, pp.216-225.

120