de thi minh hoa de thi mon toan danh gia nang luc dhqghn 2016 co loi giai

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
BÀI THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC
CÁC PHẦN THI BẮT BUỘC
PHẦN 1: TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG (80 PHÚT)
Câu 1. Cho số phức z = (2 + i)(1 − i) + 1 + 3i . Môđun của z là:
2 5
(A)
(B)

13

(C)

4 2

(D)

2 2

Câu 2. Cho
thoả mãn (1 + i)z + (2 - i) z = 4 -i .
Tìm phần thực của z.
Câu 3. Phương trình sin3x + sinx = cos3x + cosx có nghiệm là:


(A)
 x  2  k

 x    k

4



(B)
 x  2  k

x    k 

8
2


(C)
 x  2  2 k

 x    k

4
 x  k
(D)

 x    k
8

Câu 4. Hàm số y = (m - 1)x4 + (m2 - 2m)x2 +m2 có ba điểm cực trị khi giá trị của m là:
 m  1
(A)
1  m  2

(B)
(C)

(D)

m  0
1  m  2

 1  m  1
m  2

0  m  1
m  2


Câu 5. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân cạnh AB = AC = 2a. Thể tích lăng trụ


bằng 2 2a3 . Gọi h là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BC). Tìm tỷ số

h
.
a

CâuCho
6. Cho số phức z thỏa mãn đẳng thức z + (1 + i) z = 5 + 2i .
Môđun của z là:
2 2
(A)
(B)

2

(C)

5

(D)
Câu 7.

10

(A)
(B)
(C)

Cho hàm số y 

2x 1
Giá trị y'(0) bằng:
x 1

-1
-3
0

3
(D)
Câu 8. Phương trình log2(3x - 2) = 3 có nghiệm là:
x=2
(A)
10
(B)

x
3
11
(C)
x
3
x=3
(D)
Câu 9. Tìm điều kiện xác định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó :
A. vô nghiệm

B.

C.

D.

Câu 10.

Tìm giới hạn: lim
x 1

x2  4 x  3
4x  5  3

Câu 11. Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C'): y = x3-2x tại điểm có hoành độ x= 1 là:


(A)
(B)

(C)
(D)
Câu 12.

y = -x+2
y = x-2
y = x-2
y = x+2

Tính tích phân: I=

ln[2+x(x2 -3)]dx

A. I= – 4ln2 -3
B. I=5ln5 – 4ln2 -3
C. I=5ln5 + 4ln2 -3
D. I=5ln5 – 4ln2
Câu 13.

(A)
(B)
(C)
(D)
Câu 14.

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;2;0) và vuông góc với đường thẳng d:

x 1 y z 1
 
có phương

2
1
1

trình là:
2x + y + z – 4= 0
x + 2y – z + 4= 0
2x – y – z + 4= 0
2x + y – z – 4= 0
Tính tích phân

I=
Câu 15. Tìm diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số có phương trình:
y = -x2 + 2x +1
y = 2x2 - 4x +1

Câu 16. Phương trình x3-3x=m2+m có 3 nghiệm phân biệt khi:
−2 < m < 1
(A)
m<1
(B)
(C)

−1 < m < 2

m> −21
(D)
Câu 17. Phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 2x2 + x đi qua điểm M (1;0) là:

(A)

(B)

(C)

(D)

y  0

 y    1  x  1

4
 4
 y  x 1

 y   1  x  1

4
4
 y  x 1

 y    1  x  1

4
 4
y  0

 y   1  x  1


4
4

Câu 18. Hàm số y=x3-5x2+3x+1 đạt cực trị khi:
x  0
(A)

 x  10
3

x  0
(B)

 x   10
3

x  3
(C)

x  1
3

 x  3
(D)

x   1
3

Câu 19. Nguyên hàm của hàm số y = x.e2x là:
2e2 x ( x  2)  C

(A)

1 2x
1
e (x  )  C
2
2
1 2x
(C)
e ( x  2)  C
2
1
(D)
2e2 x ( x  )  C
2
Câu 20. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + mx tại điểm có hoành độ bằng −1 song song với
đường thẳng d : y = 7x + 100.
(B)

Câu 21. Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 4a, AD = 3a; các cạnh bên đều có
độ dài bằng 5a. Thể tích hình chóp S.ABCD bằng:
10a3
(A)


(B)

10a3 3

(C)

9a 3

9a 3 3
(D)
Câu 22. Khoảng cách từ điểm M (1;2;−3) đến mặt phẳng (P) : 3x + 4y + 4 = 0 bằng:
1
(A)
1/3
(B)
3
(C)
11/3
(D)
Câu 23. Cho bốn điểm A (1;0;1), B (2;2;2), C (5;2;1), D (4;3; −2). Tìm thể tích tứ diện ABCD.

Câu 24.

1 

Tìm hệ số của x 6 trong khai triển nhị thức Niutơn:  x 7  4 
x 


4

Câu 25. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’, BC và CD.
Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNK) với hình hộp là:
lục giác
(A)

ngũ giác
(B)
tam giác
(C)
tứ giác
(D)
Câu 26. Tìm m để hàm số y = x3 - 3x2 + mx + m đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ bằng 2.

Câu 27. Cho phương trình log4(3.2x - 8) = x - 1 có hai nghiệm x1 và x2. Tìm tổng x1 + x2.

Câu 28.

(A)
(B)

 x  my  1
Hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất khi:
mx  y  m
1
-1

(C)
(D)
Câu 29.

(A)
(B)
(C)

m 0
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:
z = 0 có phương trình là:
x − 2y + z = 0
x + 2y – 1 = 0
x + 2y + z = 0

x 1 y z 1
 
và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x + y –
2
1
3


(D)
Câu 30.

(A)
(B)
(C)

x − 2y – 1 = 0

u3  2u1  7
Cấp số cộng {un} thỏa mãn điều kiện 
Số hạng u10 có giá trị là
u2  u4  10
28
19

91

10
(D)
Câu 31. Trong một hộp có 5 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Lấy ra 4 viên bất kỳ. Xác suất để 4 viên bi được
chọn có đủ hai màu là:
8
(A)
11
31
(B)
33
4
(C)
11
8
(D)
15
Câu 32. Cho mặt cầu (S) : (x - 1)2 + (y+1)2 + (z + 2)2 = 15 và mặt phẳng (P) : x + y + 2z – 2 = 0 . Tìm bán kính
đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (P)

Câu 33. Phương trình 4x2  x  2x2  x 1  3 có nghiệm là:
x  0
(A)
x  1


x  1
x  2


x  0
(C)
x  2

 x  1
(D)
x  1

Câu 34. Bất phương trình 0,3x2  x  0,09 có nghiệm là:
x>1
(A)
(B)

(B)
(C)
(D)

x < -2

 x  2
x  1

-2 < x < 1

Câu 35. Hình chiếu vuông góc của điểm A(0;1;2) trên mặt phẳng (P) : x + y + z = 0 có tọa độ là:


(A)
(B)
(C)

(D)

(–2;0;2)
(–1;1;0)
(–2;2;0)
(–1;0;1)

Câu 36. Đường tròn tâm I (3;−1), cắt đường thẳng d : 2x + y + 5 = 0 theo dây cung AB = 8 có phương trình
là:
(x - 3)2 + (y + 1)2 = 36
(A)
(x - 3)2 + (y + 1)2 = 4
(B)
(x + 3)2 + (y -1 )2 = 4
(C)
(x - 3)2 + (y + 1)2 = 20
(D)
Câu 37. Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD); góc giữa hai mặt phẳng
(SBD) và (ABCD) bằng 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB,SC. Thể tích của hình
chóp S.ADNM bằng:
6 3
(A)
a
8
(B)

3

3
2a 3

8

a3
6
4
3
(D)
2a 3
16
Câu 38. Hàm số y = x3 - 3mx2 +6mx +m có hai điểm cực trị khi giá trị của m là
m  0
(A)
m  8

0(B)
m  0
(C)
m  2

0(D)
(C)

Câu 39.
(A)

(B)

(C)

Bất phương trình

1
3  x 1

x  2
1

0
x



3

1  x  2
x  0
1  x  2


x 1 4x  2

x 1
2


(D)
Câu 40.

1
x2
3
a

Tìm a>0 sao cho I =

x

 x.e 2 dx = 4
0

Câu 41.

2

Tích phân I =

 x .ln x.dx có giá trị bằng:
2

1

(A)

24 ln2 - 7

7
3
8

7
(C)
ln2 3
3
8
7
(D)
ln2 3
9
Câu 42. Lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600;
cạnh AB = a. Thể tích khối đa diện ABCC’B’ bằng:
3 3
(A)
a
4
3 3
(B)
a
4
3a3
(C)
(B)

8 ln2 -

3 3
a
4
Câu 43. Đồ thị hàm số y = x3 -3x2 + ax +b có điểm cực tiểu A (2;−2). Tìm tổng (a + b).
(D)

Câu 44.

3

2

Tích phân I =

x
0

(A)
(B)
(C)
(D)
Câu 45.

2

5x  7
dx có giá trị bằng:
 3x  2

2ln2 + ln3
2ln3 + ln4
2ln2 + 3ln3
2ln3 + 3ln2

1

Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho hàm số y  x3  m.x 2  m đồng biến trên R.
3

Câu 46. Tập hợp các số phức z thoả mãn đẳng thức |z + 2 + i| = | z - 3i|có phương trình là:
y=x-1
(A)
y=-x+1
(B)


(C)

y=x+1

y = -x - 1
(D)
Câu 47. Cho Δ ABC có A (1;2), B (3;0), C (−1;−2) có trọng tâm G. Khoảng cách từ G đến đường
thẳng AB bằng:
4
(A)
2
(B)
2
(C)
2 2
(D)
Câu 48. Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB = 2a, BC = a 3 . Biết rằng ΔSAB
cân đỉnh S, (SAB) ⊥ (ABCD), góc giữa SC với mặt phẳng đáy bằng 60o. Gọi thể tích hình chóp
V
S.ABCD là V. Tìm tỷ số 3 .

a

Câu 49. Mặt cầu tâm I(0;1;2), tiếp xúc với mặt phẳng (P) : x+y+z-6=0 có phương trình là:
x2+(y+1)2+(z+2)2 = 4
(A)
x2+(y-1)2+(z-2)2 = 1
(B)
x2+(y-1)2+(z-2)2 = 4
(C)
x2+(y-1)2+(z-2)2= 3
(D)
Câu 50. Hàm số y = x3 - 6x2 + mx +1 đồng biến trên miền (0;+∞) khi giá trị của m là:
m<=0
(A)
(B)
(C)
(D)

m>=0
m<=12
m>=12

vÊ


LỜI GIẢI
PHẦN 1: TƯ DUY ĐỊNH TÍNH
Câu 1: Có z   2  i 1  i   1  3i   3  i   1  3i  4  2i  z  42  22  2 5
Câu 2: Gọi z  a  bi  a, b 

  z  a  bi . Có
3a  2b  4
a2
b  1

1  i  a  bi    2  i  a  bi   4  i   3a  2b   bi  4  i  
Câu 3: Có
sin 3x  sin x  cos 3 x  cos x  2sin 2 x cos x  2 cos 2 x cos x



cos x  0
x   k

cos x  0

2

  cos 2 x  0  

sin 2 x  cos 2 x
x    k 
  tan 2 x  1

8
2
Câu 4: Có

x  0
y '  4  m  1 x3  2  m2  2m  x; y '  0  2 x 2  m  1 x 2  m2  2m   0  

2
2
 2  m  1 x  m  2m  0 *
Hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0
m  0
  m  1  m2  2m   0  
.
1  m  2
Câu 5: Gọi M là trung điểm BC. Vẽ AH ⊥ A’M tại H thì AH ⊥ (A’BC). Có
AA ' 

VABC . A' B 'C ' 2 2a3
AB

 a 2; AM 
a 2
2
2a
S ABC
2

Tam giác A’AM vuông tại A nên

1
1
1
h


 h  a  1

2
2
2
h
AA '
AM
a


Câu 6: Gọi z  a  bi  z  a  bi . Có

 2a  b  5
 z  2i  z  5 .
a  2

 a  bi   1  i  a  bi   5  2i   2a  b   ai  5  2i  
Câu 7: y ' 

3

 x  1

2

 y '  0   3

Câu 8: log 2  3x  2   3  3x  2  8  x 

10
.

3
2

1 3

Câu 9: Điều kiện:  x 2  x  1  0    x     0  x  . Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2 4


Câu 10: lim
x 1





 x  3 x  1 4 x  5  3
 x  3
x2  4 x  3
 lim
 lim
x 1
4x  4
4 x  5  3 x1



4x  5  3
4

  3

Câu 11: y '  3x2  2; y '  1  1; M  1;1   C ' . Phương trình tiếp tuyến y  1.  x  1  1  y  x  2 .
3

3

3

3

2

2

2

2

2
Câu 12: I   ln  2  x  x 2  3  dx   ln  x  1  x  2   dx   2ln  x  1 dx   ln  x  2  dx



3

I1   2ln  x  1 dx . Đặt
2

3

3

2 xdx
dx
; dv  2dx  v  2 x  I1  2 x ln  x  1  
u  ln  x  1  du 
 2 x ln  x  1  2 x  2ln  x  1 
x 1
x 1 
2
2
2

3

3

3

2

2

I 2   ln  x  2  dx . Đặt I 2  x ln  x  2   

xdx
  x ln  x  2   x  2ln  x  2  
x2 

3

 5ln 5  4ln 4  1 . Suy ra
2

I  I1  I 2  5ln 5  4ln 2  3
Câu 13: (P) qua A(1;2;0) nhận (2;1;–1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình
2(x – 1) + (y – 2) – z = 0 ⇔ 2x + y – z – 4 = 0
Câu 14: Đặt u  x  1  du  dx; dv  sin 2 xdx  v  


1
I    x  1 cos 2 x
2

4

0

cos 2 x
2



cos 2 xdx  1
sin 2 x 

    x  1 cos 2 x 
2
4 

 2
0
4


4



3
4

0

Câu 15: Tìm giao điểm 2 đường:  x2  2 x  1  2 x2  4 x  1  3x 2  6 x  0  x  0, x  2

3

 4ln 2 
2


Diện tích cần tính là:

2

2

2

0

0

0

2
2
2
2
3
   x  2 x  1   2 x  4 x  1 dx    6 x  3x  dx   3x  x 

4

Câu 16: Xét f  x   x3  3x  m2  m; f '  x   3x 2  3; f '  x   0  x  1 . Phương trình đã cho có 3 nghiệm
 f 1 . f  1  0   2  m2  m  2  m2  m   0  2  m2  m  2  1  m  2

Câu 17: y  x3  2 x2  x; y '  3x2  4 x  1 . Phương trình đường thẳng không song song Ox và đi qua điểm
M(1;0) có dạng y  k  x  1  d  . (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
2
k  3x 2  4 x  1
k  3x  4 x  1
k  3x  4 x  1

 2
 3
3
2

3
2
2
k  x  1  x  2 x  x
2 x  5 x  4 x  1  0
 3x  4 x  1  x  1  x  2 x  x

 d  : y  0
k  0
k  3x 2  4 x  1




1
1
 1
2
 x  1  2 x  1  0  k   4  d  : y     x 
4
 4

x  3
Câu 18: y  x  5 x  3x  1; y '  3x  10 x  3; y '  0  
x  1
3

3

2

2

1
Câu 19: I   x.e2 x dx . Đặt u  x  du  dx; dv  e2 x  v  e 2 x . Suy ra
2

xe2 x
e2 x dx xe2 x e2 x
1 
1
I



 C  e2 x  x    C
2
2
2
4
2 
2
Câu 20: y '  3x2  6 x  m; y ' 1  7  3  m  7  m  10
Câu 21: Gọi H là tâm hình chữ nhật ABCD.
AC  BD  AB 2  AD 2  5a; AH 

5a 3
AC 5a
 ; SH  SA2  AH 2 
2

2
2

1
VS . ABCD  SH . AC.BD  10a 3 3
3

Câu 22: d  M ;  P   

3.1  4.2  4
32  42

3

Câu 23: AB  1; 2;1 , AC   4; 2;0  , AD   3;3; 3  VABCD 
4

k

1
 AB; AC  . AD  4 (đvtt)

6

4
4
4k  1 
1 

Câu 24:  x7  4    C4k  x 7   4    C4k x 2811k . Hệ số của x6 ứng với 28 – 11k = 6 ⇔ k = 2. Hệ số đó

x  k 0

x 
k 0

là C42  6


Câu 25: Mặt phẳng (MNK) cắt cạnh BB’ và DD’ tại P, Q thì thiết diện là ngũ giác MPNKQ
Câu 26: y '  3x2  6 x  m; y '  2   0  m  0

2x  8
2
Câu 27: log 4  3.2 x  8  x  1  3.2 x  8  4 x 1   2 x   12.2 x  32  0   x
 x1  x2  5

2
4

Câu 28: Hệ có nghiệm duy nhất  D 

1 m
 1  m2  0  m  1
m 1

Câu 29: ud   2;1;3 , nQ   2;1; 1 , M 1;0; 1  d   P  . Gọi nP   a; b; c  . Có


nP .ud  0 2a  b  3c  0


 c  2a  b  0 . Chọn a = 1 ⇒ b = –2; c = 0.

2a  b  c  0

nP .nQ  0 
Phương trình (P): x – 2y –1 = 0

u3  2u1  7 3u1  2d  7
u  1

 1
 u10  u1  9d  19
Câu 30: 
u2  u4  10 2u1  4d  10 d  2

C54
C64
Câu 31: Xác suất để 4 viên lấy ra chỉ toàn màu xanh và toàn màu đỏ lần lượt là 4 và 4 . Xác suất để 4 viên
C11
C11
lấy ra có cả 2 màu là 1 

C54 C64 31


C114 C114 33

Câu 32: (S) có tâm I(1;–1;–2), bán kính R. Khoảng cách từ I đến (P) là
d  d  I ;  P 

1   1  2.  2   2
11 4

 6 . Suy ra bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và (P) là

r  R2  d 2  3
Câu 33: 4 x

2

x

Câu 34: 0,3x

2

 2x

x

2

 x 1



 3  2x

2

x



2x  x  1
x  0
x x
 2.2
3  0   2
 x2  x  0  
 2 x  x  3  L 
x  1
2

2

2

 0,09  x2  x  2   x  2  x  1  0  2  x  1

Câu 35: Phương trình đường thẳng qua A vuông góc với (P) có dạng

x y 1 z  2


1
1
1

d  .

Gọi hình chiếu của A trên (P) là H  t;1  t;2  t    d  , H   P   t  1  t  2  t  0  t  1  H  1;0;1


Câu 36: Gọi R là bán kính của (I). H là trung điểm AB

2.3  1  5

IH  d  I ;  d   

22  12

2

 AB 
2
2 5R 
  IH  6 .
2



Phương trình (I):  x  3   y  1  36
2

2

Câu 37: Gọi H là tâm hình vuông ABCD. Góc giữa (SBD) và (ABCD) là SHA  60 .

AH 

VS . AMN
VS . ABC

1
AB a 2
a 6
a3 6
; SH  AH .tan 60 
;VS . ABC  VS . ADC  SH . AB.BC 

2
2
6
12
2
 a3 6   1 1  a3 6
SM SN 1 VS . ANC SN 1
.

 ;

  VS . AMND  
 .    
8
SB SC 4 VS . ADC SC 2
 12   2 4 

Câu 38: y '  3x2  6mx  6m; y '  0  x2  2mx  2m  0 * . Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ phương trình (*)

m  2

có hai nghiệm phân biệt   '  m2  2m  0  
m  0
Câu 39:

x  x  2
2  x  1   4 x  2  x  1
x  0
x 1 4x  2


0
0
x 1
x 1
2
2  x  1
1  x  2

Câu 40:
x
2

u  x  du  dx; dv  e dx  v  2e
 2x

I  2 xe   2e dx   2e  x  2  


0
0

I 4a2
x a
2

a

x
2

Câu 41: Đặt u  ln x  du 

x
2
a

 2e

a
2

 a  2  4

0

dx
x3
x3 ln x
; dv  x 2  v  ; I 
3
3

x

Câu 42: Gọi H là trung điểm BC ⇒ AH 

1

2


1

2
8
7
x 2 dx  x3 ln x x3 

   ln 2 
3
91 3
9
 3

a 3
. Góc giữa (ABC) và (A’BC) là AHA '  60 . Suy ra
2

a3 3
1
3a
⇒ VABCC ' B '  AH .BC.BB ' 

AA '  AH .tan 60 
3
4
2
Câu 43:

y '  x   3x 2  6 x  a; y '  2   0  a  0
y  2   2  8  12  b  2  b  2  a  b  2
Câu 44:

2


5x  7
2 
 3
0 x2  3x  2 dx  0  x  2  x  1  dx   3ln x  2  2ln x  1  0  3ln 4  2ln 3  3ln 2  3ln 2  2ln 3
2

2

2

Câu 45:
Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ ⇔ y '  x2  2mx  0, x 

  '  m2  0  m  0

Câu 46:
z  x  yi  z  x  yi

z  2  i  z  3i   x  2    y  1 i  x   y  3 i
  x  2    y  1  x 2   y  3  y  x  1
2

2

2

Câu 47: Phương trình AB : x  y  3  0 . Khoảng cách từ G đến AB là

1
1 1  2  3
 2
d  G; AB   d  C; AB   .
3
3 12  12
Câu 48: Gọi H là trung điểm AB thì SH ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và đáy là

SCH  60; HC  HB 2  BC 2  2a; SH  HC.tan 60  2a 3
V
1
V  SH . AB.BC  2a 3  3  2
a
3
Câu 49: Bán kính mặt cầu là R  d  I ;  P   

0 1 2  6
111

 3.

Phương trình mặt cầu x 2   y  1   z  2   3
2

2

Câu 50: Hàm số đã cho đồng biến trên trên (0;+∞) khi và chỉ khi

y '  3x2  12 x  m  0, x   0;    m  12 x  3x 2 , x   0;   .





Vẽ bảng biến thiên, ta có: max 12 x  3x 2  12
x 0; 

Vậy điều kiện cần tìm của m là m ≥ 12.