SKKN bất đẳng thức 2014 ban chinh 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (456.04 KB, 28 trang )
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CỔ LOA
----------------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI :
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG
HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Lĩnh vực: Toán học (02)
Tên tác giả: Trần Quốc Thép
Giáo viên môn: Toán
Năm học: 2013 – 2014
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
I.PHẦN MỞ ĐẦU:
1. Lý do chọn đề tài:……………………………………………….
2. Mục tiêu nghiên cứu:…………………………………………....
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:…………………………………………..
4. Các phương pháp nghiên cứu:…………………………………..
2
2
2
2
II.PHẦN NỘI DUNG:
1. Lịch sử của vấn đề nghiên cứu: ………………………………..
2. Cơ sở lý luận của đề tài: ………………………………………..
3. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu: …………………………….
4. Nội dung nghiên cứu và kết quả nghiên cứu: …………………..
4.1 Nội dung nghiên cứu: …………………………………………
4.1.1. Khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
4.1.2. Phương pháp S-P và áp dụng
4.1.3. Kĩ thuật chia đẳng cấp
4.1.4. Kĩ thuật dồn sang một biến
4.1.5. Kĩ thuật sử dụng các bất đẳng thức phụ
4.1.6. Dùng các phép thế đặc biệt
4.1.7. Kĩ thuật dồn sang biến t = f(a,b,c).
4.1.8. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức hình học
4.2 Kết quả nghiên cứu: …………………………………………
2
3
3
3
3
3
4
7
9
11
15
16
20
25
III.PHẦN KẾT LUẬN:
1.Kết luận và khuyến nghị: ……………………………………..
2.Tài liệu tham khảo: ……………………………………………
26
26
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
1
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
I. PHẦN MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài:
Trong toán học nói chung, sự ra đời và phát triển của bất đẳng thức, ngay từ
đầu đã đặt dấu ấn quan trọng; chúng có sức hút mạnh mẽ đối với những người
yêu toán, không chỉ ở vẻ đẹp hình thức mà cả những bí ẩn mà nó mang đến luôn
thôi thúc con người tìm tòi, sáng tạo. Tất cả những điều đó đã dệt nên một bức
tranh tuyệt đẹp mang bản sắc riêng của bất đẳng thức trong toán học.
Lý do chọn lựa đề tài này là trong các kì thi học sinh giỏi và thi đại học gần
đây, câu 6 có tính chất tổng hợp về bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất thường khiến thầy cô e ngại vì tính tổng hợp, độ khó của nó. Tác giả
mong muốn cung cấp một số kỹ thuật, thủ thuật giúp cho học sinh vượt qua nỗi
sợ đó.
Điều vô cùng thú vị ở đây là các kiến thức được sử dụng hết sức đơn giản,
nhưng những bài tập mới hết sức hay, hấp dẫn.
2.Mục tiêu nghiên cứu:
Mục tiêu của tác giả là nghiên cứu các phương pháp sử dụng hàm số để
tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất . Tác giả tập trung vào các bài toán tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất sử dụng phương pháp hàm số.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Trình bày lại các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng
phương pháp hàm số .
- Giới thiệu một số kinh nghiệm sử dụng phương pháp hàm số.
- Nêu một số bài tập tổng hợp để vận dụng các kĩ năng.
- Sử dụng sơ đồ tư duy để sáng tạo.
4.Các phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp phân tích: nghiên cứu toàn bộ các lời giải trong các bài
toán bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
- Phương pháp tổng hợp: tổng hợp các kiến thức về bất đẳng thức, giá trị
lớn nhất giá trị nhỏ nhất trên mạng, trong các đề thi thử.
- Phương pháp thực nghiệm: khi giảng dạy một bài toán tôi thấy rằng
cần phải thử nghiệm cách dạy qua những lớp khác nhau thì mới rút ra những
kinh nghiệm và cải tiến phù hợp cho lớp sau.
- Phương pháp trao đổi và thảo luận: cùng nghiên cứu và cung cấp
những kết quả thảo luận với các thầy cô giáo trong tổ cũng như trên mạng
intenet.
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
2
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
II. PHẦN NỘI DUNG
1.Lịch sử của vấn đề nghiên cứu:
Phương pháp hàm số, cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất được
các em nắm rất kĩ khi học thi tốt nghiệp, là một cơ sở để tác giả tập hợp các bài
toán này. Hơn nữa trong các kì thì gần đây, hầu hết các bài phân loại đều dung
phương pháp hàm số . Nếu được học vấn đề này rất có lợi cho học sinh khi đi
thi, vì các bài toán về phương trình và hệ phương trình cũng dùng hàm số rất
nhiều.
2.Cơ sở lý luận của đề tài:
Cơ sở triết học: “từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, từ tư duy
trừu tượng đến thực tiễn. Đó là con đường biện chứng của quá trình tìm ra chân
lý”
Cơ sở tâm lý học: con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu
cầu cần tư duy. Tự mình đề xuất được hướng giải quyết vấn đề.
Yêu cầu của thực tiễn: Đổi mới phương pháp dạy học theo tinh thần sách
giáo khoa mới. Thực hiện lấy học sinh làm trung tâm của quá trình dạy học.
Phương pháp luận: tổng hợp những kiến thức đã biết, đã rõ để tạo ra
những kiến thức mới,
3.Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
Đa số học sinh và cả giáo viên rất ngại khi làm mảng kiến thức này, vì
chứng minh bất đẳng thức, hay tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là tương
đối khó. Các tài liệu cũng đề cập về dạng toán cũng khá ít ỏi. Hơn nữa, phương
pháp sử dụng hàm số là mới lạ với học sinh. Học sinh phải nắm rất chắc chắn
các bất đẳng thức cơ bản, một số bất đẳng thức phụ, biết đánh giá. Một điều
quan trọng là học sinh thiếu phương pháp, giáo viên thì thiếu thời gian hoặc
chưa đưa ra con đường tiếp cận hợp lý.
4.Nội dung nghiên cứu và kết quả nghiên cứu:
4.1 Nội dung nghiên cứu:
Quan điểm của tác giả là để các bài tập thể hiện phương pháp cũng như
kinh nghiệm của mình! Hi vọng bạn đọc sẽ có những trải nghiệm thú vị khi đọc
các bài toán sắp tới.
4.1.1 Khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất .
Định nghĩa:
f ( x) M x D
M max f ( x)
xD
x0 D | f ( x0 ) M
f ( x) m x D
m min f ( x)
xD
x0 D | f ( x0 ) m
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
3
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta có nhiều phương
pháp nhưng trong sáng kiến này, ta đề cập chủ yếu đến phương pháp hàm số.
Sau đây là hai ví dụ ôn tập.
Ví dụ 4.1.1. Hai số thực x,y thỏa mãn các điều kiện: y 0, x 2 x y 12. Tìm
GTNN và GTLN của biểu thức: A xy x 2 y 17.
Giải
2
Từ điều kiện ta suy ra: y x x 12 0 4 x 3 ;
đồng thời đặt A f ( x) x3 3 x 2 9 x 7 , ta có
x 1
f ' x 3 x 2 6 x 9, f ' x 0
x 3
Ta có: f 4 13, f 3 20, f 1 12, f 3 20 .Suy ra:
MaxA max f ( x) f (3) f (3) 20
4;3
MinA min f ( x) f (1) 12 .
4;3
Ví dụ 4.1.2. Hai số thực x,y thỏa mãn các điều kiện: 2 y x 2 , y 2 x 2 3 x.
Chứng minh rằng x 2 y 2 2 .
Giải
6
Ta có x 2 2 y 4 x 2 6 x 5 x 2 6 x 0 x 0; .
5
2
Từ giả thiết ta có y 0 suy ra x 2 y 2 x 2 2 x 2 3 x 4 x 4 12 x 3 9 x 2
6
Xét hàm số f x 4 x 4 12 x3 10 x 2 trên đoạn 0; ta có max f x 2 nên
6
5
0; 5
ta có điều phải chứng minh.
Qua hai ví dụ trên, bạn đọc dễ thấy rằng, việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến thì phương pháp đầu tiên là tìm cách thế một
ẩn theo ẩn còn lại, sau đó đưa sang hàm số.
4.1.2. Phương pháp S-P và áp dụng
Một phương pháp thường được sử dụng là dùng mối liên hệ giữa các biểu
thức đối xứng S x y, P xy . Từ điều kiện của đề bài ta rút tập xác định của
biến S, P rồi ta sử dụng hàm số.
Theo kinh nghiệm của bản thân tôi, phương pháp nên dạy ở lớp 10, khi
học sinh học bất đẳng thức và hàm số bậc hai. Sau này khi học 12, học sinh đã
có một cơ sở khá vững chắc ở lớp 10, lúc này ta cho kết hợp với hàm số.
Ví dụ 4.2.1. Cho số thực x,y thỏa mãn các điều kiện: 2 x 2 y 2 x y 2 0.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A x 2 y 2 2 x 1 y 2 y 3 .
Giải
Đặt S x y, P xy
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
4
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Từ giả thiết ta có
2 S 2 2 P S 2 0 2S 2 S 2 4 P S 2 S 2 S 2 0
2
S 1;2 . Vậy ta có A x y 2 x y 3 S 2 2 S 3
Khảo sát sự biến thiên của hàm số f S S 2 2 S 3 trên 1;2 ta có
1
1
minA= min f S 1 khi S 1 P x y ,
1;2
4
2
maxA= max f S 5 khi S 2, P 4 x y 2
1;2
Ví dụ 4.2.2. Với x,y thỏa mãn các điều kiện: x 2 y 2 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của:
A 1 x 1 y .
Giải
2
Đặt S x y, P xy . Suy ra S 2 P 1.
S2
Ta có S 1 2 P
S 2 2 S 2; 2 .
2
Vì A không âm nên để tìm giá trị nhỏ nhất của A ta tìm giá trị nhỏ nhất của A2 .
2
A2 2 x y 2 1 x 1 y 2 S 2 1 S
S 2 1
2
2 S 2 S 2 2 S 1.
Đặt f S 2 S 2. S 2 2 S 1 , f ' S 1 2.
S 1
, S 1
S 1
Ta có
S 1 f ' S 1 2 0
S 1 f ' S 1 2 0
Vậy ta có bảng biến thiên
S
2
f S
-1
||
42 2
2
+
42 2
f S
1
Từ đó ta có min A 1 khi x 1, y 0 .
Ví dụ 4.2.3. (HSG Đồng Tháp 2011-2012): Với x,y thỏa mãn các điều kiện:
x 1, y 1, 3 x y 4 xy . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
5
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
1
1
Q x3 y 3 3 2 2 .
y
x
Giải
3
Đặt S x y, P xy . Suy ra 3S 4 P hay P S .
4
9
16 8
x2 y 2
2
2
Từ giả thiết ta có Q x y x xy y 3 2 2 = S 3 S 2 .
x .y
4
3 S
4
S2
S 3
Ta có: S P
3
3
Mặt khác: x 1 y 1 0 S 4 . Vậy S 3;4
9
16 8
Xét hàm số f S S 3 S 2 trên đoạn 3;4 ta có
4
3 S
4
3
6 S 9 S 16
113
3
f ' S
0
S
3;4
.
Vì
vậy
min
Q
,
khi
x
y
12
2
2S 2
94
max Q
khi x 2, y 1
3
Ví dụ 4.2.4. (HSG Hà Nội 2013): Với x,y thỏa mãn các điều kiện:
x 0, y 0, x y xy 3 . Chứng minh rằng
4x
4y
2 xy 7 3 xy 4 .
y 1 x 1
Giải
Đặt S x y, P xy . Suy ra S P 3 3 P S 2 P
Suy ra P 1 . Kết hợp điều kiện đề bài P (0;1]
2
Từ giả thiết ta có VT ab 7ab 12 7 3ab = P 2 7 P 12 7 P .
Xét hàm số f P P 2 7 P 12 7 3P trên đoạn (0;1] ta có
1
f ' P 2P 7
0P (0;1] .
2 7P
Vì vậy VT 4. Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 4.2.5. (Lương Thế Vinh, Đồng Nai). Cho x, y là hai số thực dương thỏa
x2 y 2
mãn x + y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
(1 x)(1 y )
3
3
Giải
Đặt S x y; P xy
S3 1
Ta có x y 1 S 3PS 1 P
S 1
3S
3
3
3
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
6
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Mặt khác ( x y )3 4( x3 y 3 ) 4 S 3 4 .
x2 y 2
S 2 2P
S3 2
Ta có A
.
(1 x)(1 y ) P 1 S ( S 1)3
S3 2
3( S 2 2)
3
Xét hàm số f ( S )
với 1 S 4 . Ta có f '( S )
0 nên
( S 1)3
( S 1) 4
hàm f(S) nghịch biến trên 1; 3 4 . Suy ra f ( S ) f
Vậy GTNN của A bằng
6
3
3
4
6
3
3
3
.
4 1
1
.
3
2
, đạt được khi x y
4 1
Bài tập tương tự
Đề thi khối D-2009: Cho x, y không âm thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ
nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S 4 x 2 3 y 4 y 2 3 x 25 xy
3
Đề thi khối B-2009: Cho x,y là các số thực thỏa mãn x y 4 xy 2 . Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức A 3 x 4 y 4 x 2 y 2 2 x 2 y 2 1
4.1.3. Kĩ thuật chia đẳng cấp
Khi học phương trình học sinh đã làm quen với khái niệm: phương trình đẳng
cấp, hệ phương trình đẳng cấp từ lớp 10, 11. Đó là khi bậc của x, y trong biểu
thức như nhau. Khi gặp các bài toán mà yêu cầu đề bài có dạng đẳng cấp với các
biến, ta có thể chia rút bớt một biến ra để chỉ còn lại một biến. Chẳng hạn ví dụ
sau
Ví dụ 4.3.1. (Đề thi khối D-2013) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều
kiện xy y 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
x y
x 2y
.
P
2
2
6
x
y
x xy 3 y
Giải
Nhận xét: x, y đồng bậc nên ta nghĩ đến việc chia để rút biến. Ta có:
P
x y
2
x xy 3 y
Đặt t
2
x 2y
6(x y)
x
1
y
x
2
y
2
x
x
x
6 1
3
y
y
y
x
, ta sẽ tìm điều kiện của t . Từ giả thiết
y
2
1 1 1
x 1 1
xy y 1 2
y y y
y 2 4
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
7
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
1
4
t 1
t 2
1
Vậy P f t
với 0 t
4
t 2 t 3 6(t 1)
3t 7
1
f (t )
2
3
2 t 1
2 t 2 t 3
Do vậy ta có điều kiện: 0 t
3t 7
8 5
1
1
1
t 0; :
,
2
27
2
4 2 t 2 t 33
2 t 1
1
f '(t ) 0 t 0; f đồng biến trên
4
1 7 10 5
f (t ) f
30
4
1
0;
4
1
7 10 5
khi x , y 2
2
30
Ví dụ 4.3.2. (Đề thi khối A-2013) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều
kiện (a c)(b c) 4c 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Vậy max P
32a 3
32b3
a2 b2
.
A
(b 3c)3 (a 3c)3
c
Giải
Ta có nhận xét cả giả thiết và kết luận, ở từng hạng tử đều có tính chất đồng bậc.
a b
Trước hết là giả thiết 1 1 4
c c
S2
a
b
Đặt x = ; y = thì (x + 1)(y + 1) = 4 S + P = 3 ; P = 3 – S
.
4
c
c
S 2 4 S 12 0 S (;6] [2; ) . Mà S 0 S 2 .
x 3 y 3
2
2
Do vậy A = 32
x y
y 3 x 3
3
x
y
3
2
2
2
8
x y = S 1 S 2 S 6 g ( S )
y 3 x 3
S 1
g’(S) = 3 (S – 1)2 –
S 2 2S 6
S 1
2
Nhận xét 3 S 1 3 . Ta chỉ cần chứng minh
3, S 2 . Biến
2
( S 1) 7
đổi tương đương ta có điều phải chứng minh . Vậy g(S) đồng biến nên ta có
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
8
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
min A = g(2) = 1 – 2 khi x = y = 1
4.1.4. Kĩ thuật dồn sang một biến
Ngay từ ví dụ mở đầu, ta thấy phương pháp thế giúp ta đưa bài toán hai biến
thành một biến. Mọi hướng biến đổi các bài bất đẳng thức dùng hàm số đều theo
hướng này.
Để dồn sang một biến nào đó ta thường dùng các bất đẳng thức :
x y
1. Côsi hai số:
xy với x, y 0
2
2
2. Bunhiacốpxki: ax by a 2 b 2 x 2 y 2 , đẳng thức xảy ra
khi ax by
3. Một số bất đẳng thức đơn giản dạng nhị thức
2
a 2 b2 a b
a)
a, b
2
2
3
a 3 b3 a b
b)
a, b 0
2
2
2
a b c
2
2
2
ab bc ca
4. a b c
3
Ví dụ 4.4.1. (HSG Quảng Bình 2012). Cho x, y, z 0 thỏa mãn x y z 3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x3 y 3 4 z 3 .
Giải
Nhận xét hai biến x, y có vai trò như nhau, chỉ có hệ số của z là khác. Một suy
nghĩ tự nhiên là dồn hai biến x, y sang z . Ta nghĩ đến bất đẳng thức
3
a 3 b3 a b
, a, b 0
2
2
1
3
2
Ta có x 3 y 3 x y x y x y 0 là mệnh đề đúng với mọi
4
x, y .
1
1
3
3
Suy ra A x y 4 z 3 3 z 4 z 3 .
4
4
1
3
Xét hàm số f z 3 z 4 z 3 , z 0;3 .
4
z 1 0;3
9
Ta có f z 5 z 2 2 z 3 , f z 0
.
z 3 0;3
4
5
Bảng biến thiên của hàm số f z trên 0;3 :
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
9
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
3
5
0
0
z
f z
3
+
27
4
f z
108
108
25
108
3
6
khi z , x y .
25
5
5
2
2
2
Ví dụ 4.4.2. Cho x, y, z 0 thỏa mãn x y z 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
1
1
2 3
.
A
x 2 xy
y 2 xy 1 z
Từ bảng biến thiên suy ra, A có giá trị nhỏ nhất là
Giải
Nhận xét hai biến x, y có vai trò giống nhau, z là khác. Làm thế nào để dồn x, y
sang z .
Ta có, theo bất đẳng thức Côsi
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
x xy
y xy
x y
x xy y xy x +xy xy +y
2
2
=
1 z2
2
2 3
f z trên (0;1)
Vậy A
2
z
1
1 z
f ' z
2z
1 z 2 1 z 2
2
2 3
1 z
2
=
2 z 1 z 2 3 1 z 2 1 z 2
1 z 1 z
2
2
1 z2
2
f ' z 0 2 z 1 z 2 3 1 z 2 1 z 2
1
2
3
8 3
1
Lập bảng biến thiên của hàm số ta có P
đạt được khi x y
,z .
2
2
3
Ví dụ 4.4.3. (Thi thử Chuyên Sư Phạm lần 5-2013). Cho x, y, z là các số thực
thỏa mãn: x y z 0, x 2 y 2 z 2 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P x3 y 3 z 3 .
Giải
4z3 8z 2 9 z 3 0 z
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
10
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Từ giả thiết ta có:
3
z y x P x y 3 xy x y z 3 z 3 3 xyz z 3 3 xyz
Ta nghĩ ngay đến việc dồn sang biến z.
2
Do x 2 y 2 z 2 1 x y 2 xy z 2 1 2 z 2 2 xy 1
1
1
xy z 2 . Vậy thì P 3 z z 2 .
2
2
Ta cần tìm tập xác định của z. Do
1
3
2
1 x2 y2 z 2 x y z2 z2
2
2
2
1
Xét hàm số f z 3 z z 2 trên ;
2
3
1
1
f ' z 9 z 2 f ' z 0 z
.
2
6
Bảng biến thiên :
2
1
z
3
6
f z
+ 0
1
6
0
-
2
3
+
1
6
f z
Từ đó f z
2
2
z
3
3
2
, ta có
3
1 2
2 3
1
6
1
6
1
1
2
1
,x y
. Suy ra max P
khi z
6
6
3
6
4.1.5. Kĩ thuật sử dụng các bất đẳng thức phụ
Nhận xét 4.1 Có rất nhiều bài toán được sáng tác từ một bất đẳng thức phụ quen
1
1
2
thuộc:
với xy 1 , x, y 0 (1)
2
2
1 x 1 y 1 xy
1
1
2
Hoặc
với xy 1 , x, y 0 (2)
2
2
1 x 1 y 1 xy
Ví dụ 4.5.1. Cho a, b là hai số thực thỏa mãn a b 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
1
1
biểu thức P
2
4
2 6a 9a
2 6b 2 9b 4
Giải
Ta có
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
11
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
P
1
1 3a 2 1
2
1
1 3b 2 1
2
Vì 3a 2 1 1,3b 2 1 1 nên 3a 2 1 3b 2 1 1nên áp dụng bất đẳng thức
1
1
2
với xy 1 , x, y 0
2
2
1 x 1 y 1 xy
Ta có:
1
2
2
P
2
9a 2b 2 6ab 14
1 3a 2 1 3b 2 1 9a 2b 2 6ab 2 3 a b
Đặt t ab , khi đó Mẫu số có dạng f t 9t 2 6t 14 với t 0;1
Khảo sát hàm số ta có max f t f 1 17
0;1
2
khi a b 1
17
Ví dụ 4.5.2. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x 2 yz .Tìm giá trị lớn nhất của
y
z
4 yz
2
biểu thức P
.
x y x z x x yz
Giải
Nhận xét rằng giả thiết có tính chất đẳng cấp, chia hai vế của giả thiết cho yz ta
x x
có . 1 . Ta biến đổi
y z
yz
4. 2
1
1
x
P
x
x
1
1 1 yz
y
z
x2
x
x
4 yz
Đặt a ; b ; c 2
y
z
x
1
1
2c
P
với a,b,c>0 ; abc 4 và ab 1
1 a 1 b 2 c
1
1
2
Chứng minh :
(1) với a,b>0 và ab 1
1 a 1 b 1 ab
Thật vậy (1) ( a b ) 2 .( ab 1) 0 đúng.
Vậy min P
2 c 2c
2c
4
mà ab P
c
2 c
1 ab 2 c
2t 2 2t
c t, t 2 P
t2
Từ đó suy ra P
đặt
2
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
12
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
2t 2 2t
Xét hàm số f (t )
với t 2
t2
2t 2 8t 4
Ta có f '(t )
0, t 2
(t 2) 2
f (t ) nghịch biến trên [2; ) f (t ) f (2) 1 P 1
a b 1
Dấu “=” xảy ra
tức là x=y=z
c 4
Đáp số : max P 1 khi x=y=z
Ví dụ 4.5.3. Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 9] và x y, x z . Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
x
y
z
P
.
3x 4 y y z z x
Giải
Ta có
z x x
1
1
1
1
2
( vì . 1 nên áp dụng
P
y
z
x
y
y z y
x
3 4.
1
1
3 4
1
x
y
z
x
y
(1))
t2
2
x
Đặt t =
P f t = 2
(t [1; 3])
3t 4 1 t
y
2[t 3 (9t 4) 4t (4t 1) 10]
0 t [1; 3]
(3t 2 4) 2 (t 1) 2
49
Vậy P f(t) f(3) =
. Dấu “=” xảy ra khi x 9, y 1, z 3 .
62
Nhận xét 4.2 Một bất đẳng thức phụ thường được sử dụng
1
1
2
với xy 1, , x, y 0 (3)
1 xy
1 x2
1 y2
Chứng minh: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacoopsxki và (2) ta có
f’(t) =
2
1
1
1
1
4
2
2
2
1 x2
1 y 2
1 x 1 y 1 xy
Khai căn hai vế ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 4.5.4. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x y 1 .Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức:
1
1
P
x2 y 2 .
2
2
1 x
1 y
Giải
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
13
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Theo bất đẳng thức phụ (3) ta có
2
2
2
P
x y 2 xy P
4 2 xy
1 xy
1 xy
2
1
x y 1
Đặt t xy, ta có thì xy
.
Vậy
t
(0;
]
4
2 4
2 t 1 t 1 1
2
1
2t 1 , g ' t 2
0 với
Xét g t
1 t
t 1 t 1
t 1 t 1
1
1 4 1
t (0; ] . Vậy g t g
.
4
5 2
4
4 1
1
Vậy max P
khi x y
2
5 2
Ví dụ 4.5.5. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x z .Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức:
x
y
z
P
.
2
2
2
2
z
x
x y
y z
Giải
1
1
1
Ta có P
2
2
x
y
z
1
1
1
z
x
y
y
z
x
Đặt a , b , c thì c 1, ab 1. Từ đó, theo (3) ta có
x
y
z
P
1
1 a2
1
2 c 1
1
2
1
=
1 c
c 1
1 ab
1 c
1 b2
2 c 1
2 c
Xét hàm số f c
ta có f ' c
. Lập bảng biến thiên
2 c 1 c c 1
c 1
c
1
2
f c
+
0
5
1
f c
0
4 2
Vậy max P 5 khi x 2 y 4 z
Nhận xét 4.3. Bất đẳng thức sau cũng hay được sử dụng
Cho x, y là các số thực dương ta có
1
1
1
. (4)
2
2
1
xy
1 x 1 y
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
14
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
2
2
Chứng minh: bất đẳng thức trên tương đương với xy x y 1 xy 0 .
Ví dụ 4.6.2. Cho a, b, c 0 , tìm giá trị nhỏ nhất của
a2
b2
4c3
P
2
2
3
a b b c 3 c a
Giải
Ta nhận xét rằng bậc của a, b, c trong từng số hạng bằng nhau, vì vậy suy nghĩ
đầu tiên là chia đẳng cấp, để chuẩn hóa các biến.
1
1
4
1
1
4
P
2
2
3
2
2
3
1 x 1 y 3 1 z
b c
a
1 1 31
a b
c
b
c
a
với x , y , z , x, y, z 0, xyz 1 .
a
b
c
Vậy áp dụng bất đẳng thức (4)ta có
1
4
z
4
P
1 xy 3 1 z 3 1 z 31 z 3
Xét hàm số f z
z
4
z2 2z 3
f
'
z
trên
,
ta
có
0;
4
1 z 3 1 z 3
1 z
Vậy f ' z 0 z 1 do z > 0.
Lập bảng biến thiên ta có min f z
z 0
2
. Vậy
3
2
x y z 1 a b c
3
4.1.6. Dùng các phép thế đặc biệt
Từ một số giả thiết đối xứng như ab bc ca 1 thế vào các biểu thức ta biến
đổi các biểu thức để thu được một số điều kiện thuận lợi.
Ví dụ 4.6.1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 1.Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức
a
b
3c
P
.
2
2
1 a 1 b
1 c2
Giải
2
2
Ta có 1 a a b a c ,1 b b a b c ,1 c 2 c a c b
a
b
a
b
2ab ac bc
Vậy
=
2
2
1 a 1 b a b a c b a b c a b b c c a
1 ab
1
(Bunhiacốpxki)
2
2
2
2
1 a 1 b 1 c
1 c
3c 1
Vậy P
, c 0;
1 c2
minP
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
15
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Khảo sát hàm số f c
3c 1
suy ra MaxP= 10 khi c 3, a b 3 10
1 c2
Ví dụ 4.6.2. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy yz 1 xy .Tìm giá
2x
2y
z2 1
trị lớn nhất của biểu thức: P
.
1 x2 1 y 2 z 2 1
Giải
Phân tích: rõ ràng là ta phải dồn x, y sang z, nhưng giả thiết đề cho chưa đối
xứng. Vì vậy ta nghĩ cách tạo dạng đối xứng . Chia cả hai vế của điều kiện cho
z z 1
1.
xy ta có:
y x xy
1
1
Vậy đặt a, b suy ra za zb ab 1
x
y
Vì vậy 1 a 2 a b a z ,1 b 2 b z b a ,1 z 2 z a z b
Vậy
1
1
2
2
2
2
2
a b z 1 2a 2b z 1 2 z 1 f z
P
2
1
1
z 2 1 a 2 1 b2 1 z 2 1
1 z2 z 1
1
1
a2
b2
2
2 z 1 z 2
z2 1
2
Khảo sát hàm số f z
, ta có f ' z
2
1 z2 z 1
1 z 2
2
ta có MaxP=
3
khi x y 2 3, z 3
2
4.1.7. Kĩ thuật dồn sang biến t = f(a,b,c).
Ta không chỉ dồn sang một trong ba biến mà còn có thể chuyển sang biến là
hàm số của a, b, c . Chẳng hạn t a b c, t a 2 b 2 c 2 , t ab …
Ví dụ 4.7.1. Cho a, b, c là các số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
8
P
.
2
2
2a b 8bc
2b 2 a c 3
Giải
Phân tích: Ta có
2
2
2 b 2 a c a b c , 2a b 8bc 2 a b c
1
8
Vậy P
2a b c a b c 3
Đặt t a b c thì P
3 t 1 5t 3
1
8
f t , f 't
2
2t t 3
2t 2 t 3
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
16
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Lập bảng biến thiên ta có
t
0
f t
1
0
-
+
0
f t
3
2
3
1
1
Từ đó min P min f t khi a c , b
0,
2
4
2
Ví dụ 4.7.2. Cho x, y, z là các số thực dương .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
2
P
.
2
2
2
x
y
1
z
1
x y z 2x 2
Giải
Phân tích: Đưa x 2 x 2 thành hằng đẳng thức ta có
1
2
P
2
x 1 y 2 z 2 1 x y 1 z 1
2
Ta nhận thấy vai trò của x 1, y, z như nhau. Đặt x 1 a, y b, z c thì ta có
1
2
P
a 2 b 2 c 2 1 a 1 b 1 c 1
Ta sẽ dồn sang biến a b c
1
2
Ta có: a 2 b 2 c 2 1 a b c 1 ,
4
3
a b c 3
a 1 b 1 c 1
.
3
2
54
2
54
f t , t a b c 1, t 1
Nên P
3
a b c 1 a b c 3
t t 2 3
2 81t 2 t 2
2
162
f 't 2
, f 't 0
4
4
t
t 2 t 2
t 2
Bảng biến thiên
t
1
f t
f t
4
0 t 1, t 4
4
+
0
0
1/4
-
0
Vậy maxP=1/4 khi t 4 x 2, y 1, z 1 .
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
17
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 4.7.3. (Đề thi khối B-2013)
Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
4
9
P
a 2 b 2 c 2 4 (a b) (a 2c)(b 2c)
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
a 2c b 2c
a b a 2c b 2c a b .
2
a 2 b 2 2ab 4ac 4bc
2 a2 b2 c2
2
2
2
2
2
2
Đặt t a b c 4, t 2 ta có a b c 2 t 2 4
4
9
4
9
f
t
Suy ra P
.
Đặt
với t 2;
t 2 t 2 4
t 2 t 2 4
f 't
t 4 4t 3 7t 2 4t 16
t 2 t 2 4
, mà
4t 3 7t 2 4t 16 4 t 3 4 t 7t 4 0 t 2 . Vậy ta có bảng biến thiên
sau:
t
f t
f t
2
||
||
+
4
0
5/8
-
0
5
5
Vậy max f t . Vậy max P khi a b c 2 .
t 2
8
8
Ví dụ 4.7.4. (Đề thi thử ĐH Vinh-2013) . Cho các số thực dương x,y thỏa mãn
2
x4 y4
3 xy 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
xy
16
P x2 y2 2
x y2 2
Giải
2
2
2 x2 y 2 .
Từ giả thiết ta có 3 xy 3 x 4 y 4
xy
xy
Đặt t xy, t 0 thì ta có:
2
1
3t 3 2t 2 2t 3 3t 2 3t 2 0 t (; 1] [ ;2] .
2
t
1
Vì t 0 nên t ;2 . Do vậy
2
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
18
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
P x2 y 2
16
16
8
2 2
2
x
y
t
x2 y2 2
2 xy 2
t 1
2 t 1 t 2 3t 4
8
1
Đặt f t t
.
, t ;2 có f ' t
2
t 1
2
t 1
2
Lập bảng biến thiên ta có
t
f t
f t
1/2
1
0
67
12
2
+
20
3
5
Từ đó ta có P max f t
1
2 ;2
20
20
khi x y 2 .
. Vậy maxP =
3
3
Ví dụ 4.7.5. (Chuyên Vĩnh Phúc lần 2). Cho ba số thực dương a, b, c . Tìm giá
24
3
trị nhỏ nhất của biểu thức: P
.
13a 12 ab 16 bc
abc
Giải
Ta dễ thấy rằng sẽ dồn sang biến a b c .
Thật vậy, theo bất đẳng thức Côsi, ta có
13a 12 ab 16 bc 13a 6 a.4b 8 b.4c 16 a b c .
3
3
Suy ra P
. Đặt t a b c
2a b c
abc
3 3
Xét hàm số f t 2 trên khoảng (0; ) ta có
2t
t
3 3
f ' t 3 2 f ' t 0 t 1.
t
t
Bảng biến thiên :
t
0
1
f t
0
+
0
f t
3
2
3
16
4
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi a , b , c
2
21
21
21
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
19
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 4.7.6. (Thi thử Chuyên ĐH Vinh lần 1-2014). Cho x, y, z là các số thực
không âm thỏa mãn 5 x 2 y 2 z 2 6 xy yz zx . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
P 2 x y z y2 z2 .
Giải
Nhận xét rằng, quan sát 2 y z
2
2
y z
2
y z
2
2
y z
2
2
khả năng ta sẽ rút biến theo y z và x. Hơn nữa một số hạng của P là
vậy có
2 x y z cũng thôi thúc ta tìm mối liên hệ giữa y z và x
Từ giả thiết ta có 5 x 2 y 2 z 2 6 xy yz zx
6 yz 6 x y z 5 x 2 5 y 2 z 2
5
2
y z
2
5
2
yz
5 x 6 x y z y z 6 yz 6
2
2
2
2
2
5x2 6 x y z y z 0
yz
x yz
5
Suy ra
1
1
1
2
2
2
y z 4 y z y z 2 y z y z .
2
2
2
4
t
Đặt t y z thì t 0, P 2t .
2
4
t
Xét hàm số f t 2t
trên khoảng [0; ) ta có
2
f ' t 2 2t 3 f ' t 0 t 1 .
Bảng biến thiên :
t
0
1
f t
+
0
3
2
f t
0
P 2 x y z
3
3
1
Từ đó f t . Suy ra max P khi x 1, y z
2
2
2
4.1.8. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức hình học (Mincopxki)
Ta thường sử dụng bất đẳng thức u v u v để giải các bài tập liên quan
đến căn thức, hoặc các bài có trị tuyệt đối.
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
20
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 4.8.1. (HSG Hà Nội 2013). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y x 2 3x 9 x 2 3x 9
Giải
Ta có
2
2
3 27
3 27
y x
x
2
4
2
4
3 3 3 3
3 3
Đặt u x ;
,
v
x
;
u v 3;3 3
2
2
2
2
Vậy y u v u v 9 27 6
Dấu bằng xảy ra khi u , v cùng hướng x 0
Ví dụ 4.8.2. Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
A = ( x 1) 2 y 2 +
( x 1)2 y 2 + y 2 .
Giải
Xét u (1 - x, y), v (x + 1, y). Áp dụng bất đẳng thức hình học ta có
( x 1)2 y 2 ( x 1) 2 y 2 4 4 y 2 2 1 y 2 .
Do đó: A 2 1 y 2 y 2 f ( y )
Ta có f y 2 1 y 2
f ' y 0
2y
1 y
2
y 2
2
y2
y 2
2
f ' y
2y
1 y2
y2
y 2
2
,y 2
0
Nếu y 2 bất phương trình vô nghiệm. Nếu y 2 , y ' 0 x 3 / 3
Ta có bảng biến thiên sau
3
t
-
2
3
f ' (t)
0
+
||
+
f t
2 3
Vậy min A 2 3 khi x 0, y
3
.
3
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
21
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 4.8.3. Cho x, y là các số thực thỏa mãn y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
x4 y 4
4y 5
2
2
x4 y 4
8 y 2 4 x 12 y 9
2
2
biểu thức S
.
y 1
Giải
4
4
x
1
1
2 y
x , y2 .
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
2 2
2 2
Từ đó ta có:
x 2 y 2 4 x 4 x 2 9 y 2 4 x 12 y 8
y 1
S
2
x2 y 2
x 2
2
3 y 2
2
y 1
Vậy đặt u x; y 2 , v 2 x;2 3 y . Từ đó ta có
u v 2 y2 1
S
y 1
y 1
2 y 1
2 y2 1
Xét hàm số f y
có f ' y
, f ' y 0 y 1.
2
2
y 1
y
1
y
1
Vậy ta có bảng biến thiên sau:
y
-1
f y ||
||
f y
1
0
-
+
2
2
Vậy minS = min f y 2
1;
Ví dụ 4.8.4. (Đề thi ĐH khối A-2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều
kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x y
yz
zx
6 x2 6 y 2 6 z 2 .
Giải
Trước hết ta rút thế z theo x,y. Từ giả thiết x + y + z = 0 nên z x y . Khi
đó ta có
P3
x y
2 y x
3
3
2 x y
P 3 3
3
12( x 2 y 2 xy )
Đến đây vì đề hỏi giá trị nhỏ nhất, ta nhận xét rằng 3 x y 1 , dấu bằng xảy ra khi
có x y. Như vậy, có lẽ ta đánh giá hàm theo biến đối xứng với x, y , chẳng hạn
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
22
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
t x y . Theo bất đẳng thức trị tuyệt đối, đồng thời trong x, y, z có 2 số không
âm hoặc không dương. Do tính chất đối xứng ta có thể giả sử xy 0, ta có
P 3
x y
3
2 y x
3
2 x y
12[( x y ) 2 xy ]
2 y x 2 x y
3
x y
3
x y
2.3
12[( x y ) 2 xy ]
2
2.3
3 x y
2
2 3 x y .
Đặt t = x y 0 , xét f t = 2.( 3)3t 2 3t
3t
3t
f ’(t) = 2.3( 3) .ln 3 2 3 2 3( 3.( 3) ln 3 1) 0
f đồng biến trên [0; +) f (t) f (0) = 2
x y
Mà 3
30 = 1. Vậy P 30 + 2 = 3, Vậy min P = 3 x = y = z = 0.
Bài tập tổng hợp
Bài tập 1. Cho a, b, c là các số thực dương .Tìm giá trị lớn nhất của
P
2
a b c 3 .
a 2 b 2 c 2 1 3 a 1 b 1 c 1
2
Hướng dẫn: Xem bài 4.7.2, đáp số: 1 / 2
Bài tập 2. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ab a b 3. Chứng minh
rằng
3a
3b
ab
3
a2 b2
b 1 a 1 a b
2
Hướng dẫn: Đặt a b x, x 0 . Bất đẳng thức trở thành
12
x 2 2 x 6 3 x 10 0
x
Bài tập 3. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
9
4
P
(a b) (a 4c)(b 4c)
a 2 b 2 4c 2 4
Bài tập 4.(HSG Hà Nội). Cho các số thực a, b 0 , 0 c 1 và a 2 b 2 c 2 3 .
6
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f 2ab 3bc 3ca
.
abc
Bài tập 5. Cho a, b là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 a 4 b4
a b
2
1
1
2.
2
a b
2
a
b
Bài tập 6. Cho a, b, c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
1 1 1
M 4 a b c 3 .
a b c
M
2
2
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
23
Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Bài tập 7. (HSG Quảng Bình). Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 = 2. Tìm giá trị nhỏ
nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:
M = x2(x + 2) + y2(y + 2) + 3(x + y)(xy - 4)
Bài tập 8. (Thi thử Chuyên Hưng Yên lần 1) Cho a, b là hai số thực dương
1
5 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
thoả mãn: 2 a 2 b 2
ab
3
3
4
P
1 a 2 1 b 2 1 2ab
Bài tập 9. (THTT-số 437). Cho x, y là các số thực thỏa mãn
x
2
2
y 2 1 3 x 2 y 2 1 4 x 2 5 y 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
x 2 y 2 3x 2 y 2
biểu thức: P
.
x2 y 2 1
x
Bài tập 10. Cho x, y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P
3
y3 x2 y 2
x 1 y 1
Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội
.
24
