SKKN- Bat dang thuc - batpt

Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009
A. lời nói đầu
Qua quá trình giảng dạy môn toán THCS theo chơng trình cải cách, tôi
thấy rằng: Đa số học sinh khi giải một bài toán bất đẳng thức gặp rất nhiều
khó khăn. Nhất là việc định hớng để tìm ra một lời giải của bài toán bất
đẳng thức rất quan trọng. Đặc biệt là đối với học sinh THCS mới bắt đầu
vào giải các bài toán bất đẳng thức.
Đứng trớc vấn đề đó tôi tự hỏi: Vì sao lại nh vậy? Lập một cuộc điều tra
tiếp cận đối tợng, đồng thời rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy câu
hỏi đó dần mới hiện rõ ra. Đó chính là do các em mới bắt đầu tiếp xúc về
chách chứng minh bất đẳng thức, sự định hớng cách giải của các em cha có,
đây cũng là công việc không quá đơn giản nhng khá quan trọng.
Phần bất đẳng thức ở THCS , học sinh mới bắt đầu làm quen với phần
chứng minh một số bài toán đơn giản và chủ yếu đợc giới thiệu trong các
sách tham khảo. Do đó hầu hết học sinh khi làm bất đẳng thức còn rất bỡ
ngỡ, không biết nên thực hiện nh thế nào. Chính vì vậy tôi muốn trao đổi
cùng các bạn một số vấn đề trong rất nhiều vấn đề của phần chứng minh các
bất đẳng thức đó là việc định hớng phơng pháp giải các bài toán bất đẳng
thức.
Với nội dung đó, tôi đã đặt tên cho đề tài:
Một số phơng pháp chứng minh
bất đẳng thức và ứng dụng.
GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Tr ờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An
1
Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009
I. Mục đích nghiên cứu
ở nội dung đề tài này, qua đây tôi sẽ trình bày một số phơng pháp
giải các bài toán bất đẳng thức. Đồng thời định hớng cho bản thân một ph-
ơng pháp dạy học đúng đắn áp dụng cho các đối tợng học sinh, nhất là học
sinh khá giỏi . Giúp bạn đọc có thể định hớng và vận dụng khi giải bài toán
bất đẳng thức.

Bớc đầu biết cách áp dụng vào một số bài tập đơn giản có liên quan
đến bất đẳng thức, góp phần vào nâng cao chất lợng dạy và học ở các trờng
TH. Nhất là đối với học sinh khá giỏi.
II. nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm ra một số giải pháp nhằm nâng cao hiệu quả của việc giảng dạy BĐT cho
học sinh.
III. khách thể nghiên cứu
- Trên cơ sở tuân theo SGK chuẩn môn Toán.
SBT Toán
- Dựa vào một số sách tham khảo :
*Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8, 9 (Bùi Văn Tuyên).
*Nâng cao và phát triển toán 8, 9. (Vũ Hữu Bình Chủ biên).
*Các bài toán THCS chọn lọc. (Lê Hồng Đức).
*Toán học tuổi trẻ.
* 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp. (Nguyễn Văn Vĩnh - Chủ biên).
- Đối tợng : Các em học sinh trung học.
Iv. phơng pháp nghiên cứu
nội dung đề tài này,tôi có sử dụng một số phơng pháp nghiên cứu sau:
- Phơng pháp nghiên cứu lí luận thực tiễn .
- Phơng pháp quan sát đối tợng.
- Phơng pháp phỏng vấn vấn đáp.
GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Tr ờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An
2
Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009
- Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm.
- Phơng pháp phân tích.
- Phơng pháp tổng hợp.
V. dàn ý công trình nghiên cứu
A. Lời nói đầu .
I. Mục đích nghiên cứu.

II. Nhiệm vụ nghiên cứu.
II. Khách thể nghiên cứu.
III. Phơng pháp nghiên cứu.
B. Nội dung .
I. Các tính chất của bất đẳng thức.
II. các bất đẳng thức cần nhớ.
III. Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức.
IV. Các ứng dụng của bất đẳng thức
V. Một số bài toán vận dụng.
C. Kết luận.
GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Tr ờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An
3
Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009
B. Nội dung
i. các tính chất của bất đẳng thức.
1. a < b <=> b > a
2. a < b và b < c => a < c (tính chất bắc cầu)
3. a < b => a + c < b + c
4. a < b và c < d => a + c < b + d
5. Nhân hai vế bất đẳng thức cho một số dơng thì bất đẳng thức không đổi
chiều.
a < b; c > 0 => a.c < b.c
6. Nhân hai vế bất đẳng thức cho một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều.
a < b; c < 0 => a.c > b.c
7. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiềub và hai vế không âm .
a > b
0;0
>
dc
=> a.c > b.d

8. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dơng hai vế của bất đẳng thức
a > b > 0 => a
n
> b
n
a > b > 0 <=> a
n
> b
n
với n lẻ.

a
>
b
<=> a
n
> b
n
với n chẵn.
9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dơng:
Nếu m > n > 0 thì :
a > 1 => a
m
> a
n
a = 1 => a
m
= a
n
0 < a < 1 => a

m
< a
n
10. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu:
GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Tr ờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An
4
Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009
a > b ; a.b > 0 =>
ba
11

II. Các bất đẳng thức cần nhớ .
*
0
2

a
; với mọi a,dấu đẳng thức xảy ra khi a = 0.
*
0

a
; với mọi a,dấu đẳng thức xảy ra khi a = 0.
*
aa

; dấu đẳng thức xảy ra khi a
0

.

*
baba
++
; dấu đẳng thức xảy ra khi a.b
.0

*
baba

; dấu đẳng thức xảy ra khi a.b > 0 và
ba
>
.
*
abba 2
22
+
; dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.
*
ab
ba







+
2

2
hay
( )
abba 4
2
+
(bất đẳng thức Cô-si).
*
baba
+
+
411
với a > 0; b > 0.
*
2
+
a
b
b
a
với a, b > 0.
*
( )
( )
2
2222
)( byaxyxba
+++
(bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki)
III. các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

1. Dùng định nghĩa.
Để chứng minh A > B ta xét hiệu A B và chứng minh rằng A B là số d-
ơng.
Ví dụ 1: Cho a, b, c là 3 số tuỳ ý chứng minh rằng:
a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca
Giải:
Xét biểu thức: M = a
2
+ b
2
+ c
2
- (ab + bc + ca)
Suy ra 2M = 2 a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
- 2 ab - 2bc - 2 ca
= (a
2
- 2ab + b
2

) + (b
2
- 2bc + c
2
) + (c
2
- 2ca + a
2
)
GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Tr ờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An
5
Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009
= (a - b)
2
+ (b - c)
2
+ (c - a)
2
Vì: (a - b)
2
0
(b - c)
2
0
(c - a)
2
0
Do đó (a - b)
2
+ (b - c)

2
+ (c - a)
2
0
Suy ra 2 a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
- 2 ab - 2bc - 2 ca 0 hay a
2
+ b
2
+ c
2
- (ab + bc + ca) 0
Vậy: a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Ví dụ 2 : Chứng minh các bất đẳng thức :
a.
2
1
+

x
x
với x > 0.
b.
baba
+
+
411
với a > 0; b > 0.
Giải :
a. Xét hiệu :
( )
0
121
2
1
2
2


=
+
=+
x
x
x
xx
x
x
(vì (x-1)

2

0;0
>
x
).
b. Xét hiệu :
( )
)(
2
)(
4)(411
22
baab
baba
baab
abbaabab
baba
+
+
=
+
+++
=
+
+
0
)(
)(
2

+

=
baab
ba
; vì a,b > 0.
Ví dụ 3 : Cho a, b, c là 3 số tuỳ ý chứng minh rằng:
a
2
+ b
2
+ c
2
+
3
4
a + b + c
Giải:
Xét biểu thức: N = a
2
+ b
2
+ c
2
+
3
4
- (a + b + c)
= (a

2
- a +
1
4
) + (b
2
- b +
1
4
) + (c
2
- c +
1
4
)
GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Tr ờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An
6
Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009
= (a -
1
2
)
2
+ (a -
1
2
)
2
+ (c -
1

2
)
2

Vì (a -
1
2
)
2
0;

(a -
1
2
)
2
0;

(c -
1
2
)
2
0.
Do đó (a -
1
2
)
2
+ (a -

1
2
)
2
+ (c
1
2
)
2
0
Suy ra a
2
+ b
2
+ c
2
+
3
4
- (a + b + c) 0
a
2
+ b
2
+ c
2
+
3
4
a + b + c

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =
1
2
2. Dùng các phép biến đổi t ơng đ ơng
Ví dụ 1 : Cho các số dơng a và b thoả mãn điều kiện: a + b = 1
Chứng minh rằng :
9
1
1
1
1







+






+
ba
.
Giải :
Ta có :

9
1
1
1
1







+






+
ba
(1)
<=>
abbaab
b
b
a
a
919
1

.
1
+++<=>
++
(vì ab > 0)
<=>
ababba 8281
<=>++
(vì a + b = 1)
<=>
abbaab 4)(41
2
+<=>
(vì a + b = 1)
<=>(a b)
2

0

(2)
Bất đẳng thức (2) đúng, mà cá phép biến đổi trên tơng đơng, vậy bất đẳng thức (1)
đợc chứng minh.
Ví dụ 2 : Chứng minh bất đẳng thức :
a.
.
3344
abbaba
++
b.
.

222
cabcabcba
++++
GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Tr ờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An
7
Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009
Giải:
a.
0)()(
34343344
+<=>++
abbbaaabbaba

( ) ( ) ( )
( )
00
3333
<=>+<=>
babaabbbaa


( )
0)(
222
++<=>
bababa


( )
0

4
3
2
2
2
2









+






+<=>
bb
aba
Bất đẳng thức cuối đúng; suy ra :
.
3344
abbaba
++

b.
<=>++++
cabcabcba
222
cabcabcba 222222
222
++++

( ) ( ) ( )
0222
222222
+++++<=> acaccbcbbaba


( ) ( ) ( )
0
222
++<=>
accbba
Bất đẳng thức cuối đúng; suy ra :
.
222
cabcabcba
++++
Ví dụ 3 : Chứng minh các bất đẳng thức :
a.
baabba
++++
1
22

với mọi số thực a, b
b.
4
2
ab
ba
ab

+
với a > 0; b > 0.
Giải:
a.
baabba
++++
1
22

baabba 222222
22
++++

( ) ( ) ( )
012122
2222
+++++<=>
bbaaabba

( ) ( ) ( )
011
222

++<=>
baba
Bất đẳng thức cuối đúng; suy ra :
baabba
++++
1
22
với mọi số thực a, b.
b.Vì :
0
4
>
ab
nên :
1
22
4
4

+
<=>
+
ba
ab
ab
ba
ab

022
44

+<=>+<=>
bababaab

( )
0
2
44
<=>
ba
Bất đẳng thức cuối đúng; suy ra :
4
2
ab
ba
ab

+
.
Ví dụ 4: Cho a và b là hai số cùng dấu:
GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Tr ờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An
8
Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009
Chứng minh rằng:
a b
2
b a
+
Giải
Giả sử:
a b

2
b a
+
(1) a
2
+ b
2
2ab (vì a và b cùng dấu nên ab > 0)
a
2
+ b
2
- 2ab 0 (a - b)
2
0 (2)
Vì BĐT (2) là BĐT đúng . Mặt khác các phép biến đổi trên là tơng đơng nên BĐT
(1) là BĐT đúng.
Vậy
a b
2
b a
+
(với a và b cùng dấu)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.
3. dùng các tính chất của bất đẳng thức
Ví dụ 1 : Cho a+ b > 1. Chứng minh : a
4
+b
4
>

8
1
.
Giải:
Ta có a + b > 1 > 0 (1)
Bình phơng hai vế : (a + b)
2
> 1 => a
2
+ 2ab + b
2
> 1 (2)
Mặt khác : (a - b)
2


0 => a
2
- 2ab + b
2
0

(3)
Cộng từng vế của (2) và (3):
2(a
2
- b
2
) > 1 => a
2

+ b
2
>
2
1
(4)
Bình phơng hai vế của (4) : a
4
+ 2a
2
b
2
+ b
4
>
4
1
(5)
Mặt khác : (a
2
- b
2
)
2

0

=> a
4
- 2a

2
b
2
+ b
4

0

(6)
Cộng từng vế của (5) và (6): 2(a
4
+ b
4
) >
4
1
=> a
4
+ b
4
>
8
1
.
Ví dụ 2 : Chứng minh bất đẳng thức :
c
a
a
b
b

c
a
c
c
b
b
a
++++
2
2
2
2
2
2

Giải:
GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Tr ờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An
9
Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009
áp dụng bất đẳng thức
xyyx 2
22
+
(xảy ra đẳng thức khi x = y).

c
a
c
b
b

a
c
b
b
a
.2..2
2
2
2
2
=+
Tơng tự :
a
b
a
c
c
b
.2
2
2
2
2
+
b
c
a
c
b
a

.2
2
2
2
2
+
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên :
=>






++








++
b
c
a
b
c
a

a
c
c
b
b
a
22
2
2
2
2
2
2
c
a
a
b
b
c
a
c
c
b
b
a
++++
2
2
2
2

2
2
Ví dụ 3: Cho x và y là các số thực. Chứng minh rằng:
x y x y+ +
Giải:
Giả sử
x y x y+ +
(1)

( )
2
x y+

( )
2
x y+

2 2 2 2
x 2 xy y x 2xy y+ + + +

xy xy
(2)
Vì BĐT (2) là một BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng
Vậy :
x y x y+ +

Dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi xy 0
Ví dụ 4: Cho a và b là hai số không âm . Chứng minh rằng:
a b
ab

2
+

Giải
Giả sử
a b
ab
2
+

(1)
a + b
2 ab

a b 2 ab 0+
GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Tr ờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An
10