Bài tập các bài toán hay và khó phần tổ hợp xác suất có đáp án thầy nguyễn thanh tùng

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : T h p – Xác su t

CÁC BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ
ĐÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

Bài 1. X p viên bi đ khác nhau và 3 viên bi xanh gi ng nhau vào 1 dãy 7 ô tr ng. Tính xác su t
đ các bi cùng màu li n nhau.
Gi i
S cách x p bi đ khác nhau vào 7 ô tr ng là: A73 .
S cách x p 3 bi xanh gi ng nhau vào 4 ô tr ng còn l i là: C43

V y s cách x p viên bi đ khác nhau và 3 viên bi xanh gi ng nhau vào 1 dãy 7 ô tr ng là:
n()  A73 .C43  840

G i A là bi n c các bi cùng màu li n nhau
Ta có th chia dãy 7 ô tr ng thành 3 kho ng ( 1 kho ng ô dành cho bi đ , 1 kho ng 3 ô dành cho
bi xanh và ô coi nh đ t 1 viên bi màu khác), s cách x p là: 3!  6
S cách x p n i b
bi đ khác nhau là: 3!  6 . Suy ra n( A)  6.6  36

n( A) 36
3
.


n() 840 70

V y xác su t c n tính là: P ( A) 

Bài 2. L y ng u nhiên l n l t 3 ch s khác nhau t 5 ch s {0; 1; 2; 3; 4} và x p thành hàng ngang
t trái sang ph i. Tính xác su t đ nh n đ c m t s t nhiên có 3 ch s .
Gi i:

Đ t: S = {0; 1; 2; 3; 4}

S cách l y 3 ch s khác nhau trong t p S và x p chúng thành hàng ngang t trái sang ph i là:
n()  A53  60 (cách).

G i A là bi n c nh n đ

c m t s t nhiên có 3 ch s khác nhau.

Gi s s t nhiên có 3 ch s đ

c t o thành là a1a 2 a3 ( a1  0 và a1 , a 2 , a3  S )

Khi đó a1 có 4 cách ch n, a 2 có 4 cách ch n và a 3 có 3 cách ch n.
T đó ta suy ra n( A)  4.4.3  48 (s ).

V y xác su t c n tìm là: P ( A) 

48 4
 .
60 5

Bài 3. M t h p ch a 16 qu c u khác nhau trong đó có 4 qu c u màu đ , 5 qu c u màu xanh và 7
qu c u màu vàng. L y ng u nhiên cùng lúc ra 4 qu c u t h p đó Tính xác su t sao cho 4 qu c u

đ c l y ra có đúng m t qu c u màu đ và không quá hai qu c u màu vàng.
Gi i:
S cách l y ra 4 qu c u b t kì trong h p là: C164 cách

G i A là bi n c l y ra 4 qu c u trong đó có đúng m t qu c u màu đ và không quá hai qu màu vàng.
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Ta xét tr
- Tr

- Tr

- Tr



Chuyên đ : T h p – Xác su t

ng h p sau:
ng h p 1 : Có 1 qu đ , 3 qu xanh Tr

ng h p này có : C41 .C53 cách.

ng h p 2 : Có 1 qu đ , 2 qu xanh và 1 qu vàng  Tr

ng h p 3 : Có 1 qu đ , 1 qu xanh và 2 qu vàng  Tr

ng h p này có : C41 .C52 .C71 cách.
ng h p này có : C41 .C51.C72 cách.

T đó suy ra : n(A) = C41 .C53 + C41 .C52 .C71 + C41 .C51.C72 (cách).



V y xác su t c n tìm là: P ( A) 

C41 .C53  C41 .C52 .C71  C41 .C51 .C72 37
.

C164
91

Bài 4. M t h p ch a
bi đ c đánh s t
đ n 11. Ch n 6 bi m t cách ng u nhiên r i c ng các s
trên bi đ c rút ra v i nhau. Tính xác su t đ k t qu thu đ c là s l .
Gi i:
S cách rút 6 viên bi b t kì t 11 viên bi là: C116 cách.
G i A là bi n c k t qu thu đ
T



c là m t s l .

đ n 11 có 6 s l và 5 s ch n. Do ta có tr
Tr



Tr



Tr

ng h p sau :

ng h p 1: Có 1 bi mang s l , 5 bi mang s ch n. Tr
ng h p 2: Có 3 bi mang s l , 3 bi mang s ch n Tr
ng h p 3: Có 5 bi mang s l , 1 bi mang s ch n Tr

ng h p này có: C61.C55 cách.
ng h p này có: C63 .C53 cách.
ng h p này có: C65 .C51 cách.

T đó suy ra n( A)  C61.C55 + C63 .C53 + C65 .C51 (cách)

V y xác su t c n tìm là: P ( A) 

C61.C55  C63 .C53  C65 .C51 118

.
C116
231

Bài 5. Trên các c nh AB, BC, CD, DA c a hình vuông ABCD l n l t cho
và n đi m phân bi t
khác A, B, C, D . Tìm n bi t s tam giác có ba đ nh l y t n  6 đi m đã cho là 439 .
Gi i
 N u n  2 thì n  6  8 khi đó s tam giác có đ nh đ c l p t n  6 đi m s không v t quá
C83  C33  55  439 lo i V y n  3 .
 V i n3 .
N u ch n đi m trên c nh CD ho c đi m trên c nh DA thì ta không t o ra đ c tam giác
Do đó s tam giác t o thành là Cn36  C33  Cn3  439 (*)
(n  6)!
(n  6)(n  5)(n  4)
n!
n(n  1)(n  2)
1 
 439 
1 
 439
Ta có (*) 
3!.(n  3)!
3!.(n  3)!
6
6
 n2  4n  140  0  n  10 ho c n  14 lo i
V y n  10 .

Bài 6. Có bao nhiêu s có ch s đôi m t phân bi t đ c l p nên t các ch s 0;1; 2; 4;7;9 sao cho
s l p đ c l n h n 2016 .
Gi i:
Cách 1 (Tr c ti p)
G i n  abcd là s c n l p Ta có n  abcd  2016  a 2;4;7;9
Tr

ng h p : a  4;7;9 , suy ra a có cách ch n

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : T h p – Xác su t

Khi đó s cách ch n cho bcd là: A53  60
Suy ra s các s l p đ c trong tr ng h p là 3.60  180 s
Tr ng h p 2: a  2 khi đó n  2bcd  2016  b 0;1;4;7;9




V i b 1; 4;7;9 có cách ch n cho b

Khi đó s cách ch n cho cd là: A42  12
Suy ra các s l p đ c 4.12  48 s
V i b  0 khi đó n  20cd  2016  c 1;4;7;9




V i c  4;7;9 có cách ch n cho c

Khi đó d có cách ch n Suy ra các s l p đ c 3.3  9 s
V i c  1 khi đó n  201d  2016  d 7;9 có cách ch n cho d hay ta l p đ

s
V y v i b  0 ta l p đ c 9  2  11 s
Suy ra s các s l p đ c trong tr ng h p là 48  11  59 s
V y s các s l p đ c th a mãn bài toán là 180  59  239 s
Cách 2 (Gián ti p)
G i s ph i tìm có d ng a1a 2 a3a 4
B c Ta đi tính s các s có ch s đôi m t phân bi t l p nên t các ch s 0;1; 2; 4;7;9 .



B

Cách trình bày 1: a1 {1;2;4;7;9} có cách ch n a 2 a3a 4 : có A53 cách ch n
V y s các s có ch s đôi m t phân bi t là 5. A53  300 s

Cách trình bày 2: a1a 2 a3a 4 có A64 s



Tr
Tr

tính c a1  0

S có d ng 0a 2 a3a 4 có A53 s

V y s các s có ch s đôi m t phân bi t là A64  A53  300 s

c 2 Ta đi tính s các s



c

a1a 2 a3a 4  2016 .

ng h p : a  1 khi đó 1a 2 a3a 4  2016  a 2 a3a 4 : có A53  60 s
ng h p : a  2 khi đó 2a 2 a3a 4  2016  a 2  0

a 3  1
khi đó 20a3a 4  2016  
suy ra có s đ
a 4  4
V y các s l p đ c B c là 60  1  61
V y s các s l p đ c th a mãn bài toán là 300  61  239 s

Bài 7. G i S là t p h p các s có ch s đ

c l p t các ch s 1,9,8 Ng

c t o thành

i ta ch n ra s t t p

S đ t o ra mã đ thi tr c nghi m c a môn V t lí trong kì thi THPT Qu c gia năm
su t đ mã đ đ c ch n m i mã đ đ u có t ng các ch s là m t s l

. Tính xác

Gi i:

G i s có ch s d ng a1a 2 a3
B

c

M i ch s a1 , a 2 , a3 đ u có cách ch n nên s các s thu c t p S là 3.3.3  27 s

Khi đó s cách ch n s t t p S là: C276 (cách)
B

c

Ta đi tính s các s thu c t p S mà có t ng các ch s là m t s ch n

 Tr

 Tr

ng h p : a1 , a 2 , a3 đ u ch n suy ra s đó là 888 có s

ng h p : a1 , a 2 , a3 có ch s ch n và ch s l khác nhau có 3!  6 s

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

 Tr

Chuyên đ : T h p – Xác su t

ng h p : a1 , a 2 , a3 có ch s ch n và ch s l gi ng nhau có (3.1).2  6 s

V y có 1  6  6  13 s th a mãn b c
Suy ra s các s thu c t p S mà có t ng các ch s là m t s l là 27 13  14 s
 B

c

Khi đó s cách ch n s t

V y xác su t c n tìm là

C146
7
.

6
C27 690

s mà có t ng các ch s là m t s l là C146 (cách)

Chú ý: bài toán này các b n có th làm theo cách tr c ti p cũng khá nhanh khi chúng ta tính s
các s có t ng các ch s là m t s l đ c chia thành tr ng h p nh sau
Tr ng h p : a1 , a 2 , a3 đ u l g m có
s
Tr

ng h p 2: a1 , a 2 , a3 có m t ch s l và ch s ch n g m có

s

Suy ra s các s thu c t p S mà có t ng các ch s là m t s l là

s

Bài 8. M t nhóm l p h c có n và nam x p hàng ch p nh k ni m nhân m t tháng h c chung
cùng th y giáo theo m t dãy hàng ngang Tính xác su t đ vi c x p theo dãy hàng ngang đ m b o
m i nam luôn có n đ ng c nh bên bi t r ng th y giáo chu n Men  ) .

Gi i:
S cách x p
h c sinh cùng th y giáo theo dãy hàng ngang là n()  11!
h c sinh cùng th y giáo theo dãy hàng ngang đ m b o m i nam luôn có
G i T là bi n c x p
n đ ng c nh bên
B c X p n theo dãy hàng ngang s cách x p là 8! (cách)
B c Gi a n s có kho ng tr ng
Lúc này ta s x p nam g m c th y giáo vào kho ng tr ng kho ng tr ng x p không quá
nam),
1

2

3

4

5

6

7

8

S cách x p là A73 (cách)

Suy a n(T )  8!. A73 (cách)

n(T ) 8!. A73 7


11! 33
n()
Bài 9. Có 6 Nhà Toán h c nam, 3 Nhà Toán h c n , 4 Nhà V t lí nam. Tính xác su t đ l p ra m t
đoàn công tác ng i đ m b o c n có c nam và n , c Nhà Toán h c và Nhà V t lí.
Gi i:
S cách l p ra m t đoàn công tác ng i t
ng i là: n()  C113  165
G i A là bi n c mà đoàn ng i đ c ch n có c nam và n , c nhà toán h c và nhà v t lí h c.
V y xác su t c n tính là P (T ) 

Ch có 3 cách l p đoàn công tác nh sau

 G m 2 Nhà V t lí nam, 1 Nhà Toán h c n . S cách ch n là: C42 .C13  6.3  18 .
 G m 1 Nhà V t lí nam, 2 Nhà Toán h c n . S cách ch n là: C41 .C32  4.3  12 .

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : T h p – Xác su t

 G m 1 Nhà V t lí nam, 1 Nhà Toán h c n , 1 Nhà Toán h c nam.
S cách ch n là: C41.C13 .C16  4.3.6  72 .
Suy ra : n( A)  18 + 12 + 72 = 102 .
Khi đó xác su t c n tính là: P ( A) 

n( A) 102 34

 .
n() 165 55

Bài 10 . Trong khóa h c PenC N3 c a hai th y Lê Anh Tu n và Nguy n Thanh Tùng cu i khóa
h c có m t bài ki m tra g m
câu dành cho ba chuyên đ khó nh t trong đó có câu thu c ch đ
hình h c Oxy câu thu c ch đ PT BPT (PT và câu thu c ch đ BĐT GTLN GTNN Th y Tùng
đ c u ái ch n tr c ra câu đ ch a cho h c sinh câu còn l i do th y Tu n đ m nhi m Tính
xác su t đ sau khi th y Tùng ch n thì s câu còn l i có m t đ ba ch đ dành cho th y Tu n ch a
Gi i:
S cách th y Tùng ch n câu t
câu là: n()  C126  924
G i T là bi n c sau khi th y Tùng ch n thì s câu còn l i có m t đ
ch đ
ch đ
Suy ra T là bi n c sau khi th y Tùng ch n thì s câu còn l i không đ
Tr ng h p : Th y Tùng ch n câu thu c ch đ hình h c Oxy và câu không thu c ch đ Oxy
S cách ch n C33 .C93  84 (cách)
Tr ng h p 2 Th y Tùng ch n câu thu c ch đ PT, BPT, HPT và câu không thu c ch đ PT,
BPT, HPT
S cách ch n C44 .C82  28 (cách)

Tr ng h p 3 Th y Tùng ch n câu thu c ch đ BĐT GTLN GTNN và câu không thu c ch đ
BĐT GTLN GTNN S cách ch n C55 .C71  7 (cách)
Suy ra n(T )  84  28  7  119 .

Cách trình bày 1 Khi đó P (T ) 

n(T ) 119 17
115


suy ra xác su t c n tìm là P (T )  1  P (T ) 
.
n() 924 132
132

Cách trình bày 2 Khi đó n(T )  n()  n(T )  924 119  805
n(T ) 805 115
Suy ra xác su t c n tìm là P (T ) 
.


n() 924 132

Bài 11. Trung tâm Hocmai có nam giáo viên tr trong đó có giáo viên thu c cung B C p và
n giáo viên tr trong đó có giáo viên thu c cung B C p Tính xác su t đ giáo viên vinh d
đ c c tham gia vào L tuyên d ng tân sinh viên năm
sao cho có đ giáo viên nam n và
có ít nh t m t ng i thu c cung B C p
Gi i:
S cách c

giáo viên t
giáo viên là n()  C174  2380
G i T là bi n c c
giáo viên trong đó có đ nam n và có ít nh t m t ng i thu c cung B C p
B c Ta s đi tính s cách c
giáo viên trong đó có đ nam và n
4
4
4
S cách là C17  C9  C8  2184 ta dùng ph ng pháp ph n bù
B c : Ta s đi tính s cách c
giáo viên trong đó có đ nam và n và không có ng i thu c cung
B C p
 C
nam giáo viên và n giáo viên không có ng i thu c cung B C p s cách là
C81.C63  160


C
nam giáo viên và n giáo viên không có ng
2
C8 .C62  420

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

i thu c cung B C p s cách là

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)



C
nam giáo viên và n giáo viên không có ng
3
1
C8 .C6  336
V y s cách th a mãn 160  420  336  916
Suy ra n(T )  2184  916  1268
n(T ) 1268 317
.
Khi đó xác su t c n tính là P (T ) 


n() 2380 595

Chuyên đ : T h p – Xác su t

i thu c cung B C p s cách là

Chú ý: bài toán trong B c ta có th tính tr c ti p theo cách sau.
 C
nam giáo viên và n giáo viên s cách là C91.C83  504




C

nam giáo viên và n giáo viên s cách là C92 .C82  1008

C
nam giáo viên và n giáo viên s cách là C93 .C81  672
V y s cách th a mãn 504  1008  672  2184
Bài 12. Cho t p E = {1, 2, 3, 4, 5}. Vi t ng u nhiên lên b ng hai s t nhiên, m i s g m 3 ch s đôi
m t khác nhau thu c t p E. Tính xác su t đ trong hai s đó có đúng m t s có ch s 5.
Gi i:
 S các s có 3 ch s đôi m t khác nhau đ c l p t E là: A53  60 s .
Suy ra s cách vi t 2 s lên b ng mà m i s có 3 ch s đôi m t khác nhau đ
cách.



S các s có 3 ch s mà trong m i s không có m t ch s
A43 = 24 (s ).

 S các s có 3 ch s mà trong m i s có m t ch s





đ

đ

c l p t E là: C602

c l p t E là:

c l p t E là: 60 24 = 36 (s )

G i A là bi n c vi t lên b ng hai s mà trong hai s đó có đúng m t s có ch s 5.
1
1
Ta có, s cách vi t hai s lên b ng mà trong đó có đúng m t s có ch s 5 là: C24
.C36

T đó suy ra n A

1
1
(cách)
C24
.C36

V y xác su t c n tìm là: P ( A) 

1
1
C24
.C36
144


2
C60
295

Bài 13. M t chi c h p đ ng 6 cái bút màu xanh cái bút màu đen cái bút màu tím và cái bút
màu đ đ c đánh s t
đ n 20. L y ng u nhiên ra 4 cái bút. Tính xác su t đ l y đ c ít nh t 2
bút cùng màu.
Gi i:



4
S cách l y 4 chi c bút b t kì t 20 chi c bút đã cho là C20
cách.



G i A là bi n c l y đ



 Tr

c ít nh t hai bút cùng màu.

Ta đi tìm s cách l y ra

bút trong đó không có cái nào cùng màu v i nhau:

ng h p này có: C61.C61.C51.C31 cách.

V y suy ra: P  A  1 

Hocmai – Ngôi tr

C61 .C61.C51.C31 287

.
C204
323

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : T h p – Xác su t

Bài 14. G i A là t p h p t t c các s t nhiên có 5 ch s . Ch n ng u nhiên m t s t t p A, tính xác
su t đ ch n đ c m t s chia h t cho 7 và ch s hàng đ n v b ng 1.
Gi i:


S các s t nhiên có 5 ch s là 9.104  90000 s .



G i s t nhiên có 5 ch s mà chia h t cho 7 và có ch s hàng đ n v b ng 1 là: a1a 2 a3a 41

 a1  0  .



Ta có bi n đ i sau:

a1a 2 a3a 41  3.a1a 2 a3a 4  1  7.a1a 2 a3a 4

(*)

T (*) ta có nh n xét Đ a1a 2 a3a 41 chia h t cho 7 thì 3.a1a 2 a3a 4  1 ph i chia h t cho 7.





Đ t: 3.a1a 2 a3a 4  1  7 x x   . Suy ra: a1a 2 a3a 4 

T (**) ta suy ra x  1 ph i chia h t cho

x 1
7 x 1
(**)
 2x 
3

3





Đ t x 1  3t  x  3t  1 t   .

Khi đó a1a 2 a3a 4  7t  2  1000  7t  2  9999  t 143,144,...,1428 .

V y s cách ch n t sao cho s a1a 2 a3a 41 chia h t cho 7 và có ch s hàng đ n v b ng 1 là 1286

cách ( ng v i m i t ta đ



c m t s a1a 2 a3a 41 ).

T đó ta có xác su t c n tính là: P 

1286
643

  0, 0143
90000 45000

Bài 15. X p h c sinh nam và h c sinh n ng i vào bàn tròn
h c sinh n ng i c nh nhau
Gi i
B

B

c : S cách x p

ng

c : G i A là bi n c x p

i vào

ng

gh Tính xác su t đ không có hai

gh trên bàn tròn là n()  9!  362880 .
i vào

gh sao cho không có hai h c sinh n ng i c nh nhau

 X p chi c gh vào bàn tròn và x p nam h c sinh ng i vào gh này s cách x p 5!  120

cách
 Đ đ m b o không có hai h c sinh n ng i c nh nhau Ta s làm nh sau
Trong v trí nam đã ng i bàn tròn ta s t o ra 6 kho ng tr ng

2

1

3

6

4
5

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : T h p – Xác su t

N u x p chi c gh còn l i vào kho ng tr ng này m i kho ng tr ng không x p quá gh
và x p n vào gh này thì s cách x p là A64  360

 Suy ra : n( A)  120.360  43200 .
B

c 3: V y xác su t c n tìm là P ( A) 

5
n( A) 43200

.


n() 362880 42

Bài 16. T các ch s 0, 2, 3, 5, 6, 8 có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên g m 6 ch s đôi m t khác
nhau trong đó hai ch s
và không đ ng c nh nhau.
Gi i:



Đ t S  0, 2,3,5,6,8 .



Ta tính s cách l p thành m t s a1a 2 a3a 4 a5 a6 t t p S.



G i a1a 2 a3a 4 a5 a6 là s g m 6 ch s đôi m t khác nhau đ

-

a1 có 5 cách.

-

a 2 a3a 4 a5 a 6 có A55 cách.

T đó suy ra có 5.A55 s g m 6 ch s đôi m t khác nhau đ



Ta đi tìm s các s 6 ch s đôi m t khác nhau đ
s

-

-

và

đ ng c nh nhau:

Trong a1a 2 a3a 4 a5 a6 có 5 v trí đ

c thi t l p t t p S.

c thi t l p t t p S mà trong m i s có hai ch

và đ ng c nh nhau trong đó v trí đ u bên trái ch có m t

kh năng là 50a3a 4 a5a 6 , các v trí còn l i có th hoán v 0 và 5 cho nhau.
Sau khi ch n đ

s còn l i.



c thi t l p t t p S.

c v trí đ hai ch s

và đ ng c nh nhau, ta ch n m t hoán v c a các ch

T đó suy ra có 9.4! s d ng a1a 2 a3a 4 a5 a6 đ

c l p t S mà có hai ch s

và

đ ng c nh nhau.

V y ta có 5. A55  9.4!  384 cách l p s t nhiên có 6 ch s t t p S mà trong m i s đó hai ch s
và không đ ng c nh nhau.

Bài 17. M t th y giáo có 12 cu n sách đôi m t khác nhau trong đó có cu n sách Văn h c, 4 cu n

Âm nh c và 3 cu n H i h a (các cu n đôi m t khác nhau). Ông mu n l y ra 6 cu n và đem t ng cho 6

h c sinh, m i h c sinh m t cu n sao cho sau khi t ng sau, m i m t trong 3 th lo i văn h c, âm nh c,
h i h a đ u còn l i ít nh t 1 cu n. H i có bao nhiêu cách t ng?
Gi i:

G i A là t p h p t t c các cách t ng sách cho h c sinh.

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : T h p – Xác su t

G i B là t p h p t t c các cách t ng sao cho sau khi t ng sách không còn đ ba th lo i; và C là t p
h p t t c các cách t ng theo yêu c u. Ta có: C     . (1)

6
.6!  665280 . (2)
D th y A  C12

6
là cách ch n 6 quy n trong 12 quy n. Sau khi có 6 quy n thì có 6! cách t ng 6 quy n sách cho 6
( C12

h c sinh).
Vì 5  4  6,5  3  6, 4  3  6 , nên không x y ra tr

ng h p sau khi t ng sách xong ch còn l i 1 th

lo i sách. Vì th B  B1  B2  B3 , trong đó B1 , B2 , B3 t

ng ng là t p h p t t c các cách t ng sách

mà sau khi t ng sách xong, th y giáo h t sách văn h c, h t sách âm nh c, h t sách h i h a.
Ta có ngay: B1  C17 .6!  5040 .

(Vì B1 là t p h p t t c các cách t ng sách văn h c và 1 sách khác. Cu n sách khác tùy ch n trong 7

cu n còn l i). T

ng t : B2  C82 .6!  20160 ; B3  C93 .6!  60480 .

Theo quy t c c ng thì:   B1  B2  B3  85680 . (3)

T (1) (2) (3) suy ra: C  665280  85680  579600 .
Bài 18. Cho t p h p E = 1, 2,3, 4,5,6 . Có th l p đ

h p E sao cho m i s t o thành đ u chia h t cho 4?
Gi i:

c bao nhiêu s có 4 ch s đ

c ch n t t p

G i s th a mãn yêu c u bài toán có d ng a1a 2 a3a 4
Nh đã bi t m t s có t hai ch s tr lên chia h t cho 4 khi và ch khi 2 s cu i c a s đó chia h t
cho 4.
T t p h p E có th ch n ra các s sau có hai ch s mà chia h t cho 4:
12, 16, 24, 28, 32, 36, 44, 52, 56, 64.
Suy ra a3a 4 12;16;24;28;32;36;44;52;56;64 : 10 cách ch n
Ta có a1 có 6 cách ch n và a 2 có 6 cách ch n
V y s các s th a mãn bài toán là: 10.6.6  360 (s ).

Nh n xét:
-

-

đây không đòi h i các ch s c a s có 4 ch s đôi m t khác nhau, nên cho phép các s đã

dùng r i đ

c dùng l i phép đ m có l p).

N u bài toán đòi h i thêm: Các s có 4 ch s ph i đôi m t khác nhau. Các b n th gi i bài toán
v phép đ m không l p này. Đáp s : 108 s .

Bài 19. T các ch s 0;1; 2;3; 4;5 l p ra đ

c n s t nhiên l có 6 ch s đôi m t khác nhau. Tính

xác su t đ có th ch n ng u nhiên m t s trong n s v a l p th a mãn t ng ba ch s đ u l n h n
t ng ba ch s cu i m t đ n v .
Gi i:
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 9 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : T h p – Xác su t

G i s có 6 ch s đôi m t khác nhau l p t các ch s 0;1; 2;3; 4;5 có d ng: A a1a 2 a3a 4 a5 a6
+) A là s l thì : a6 {1;3;5}: Có 3 cách ch n.

a1 {1;2;3;4;5}\{a6 }: Có 4 cách ch n

a 2 a3a 4 a5 : Có 4!  24 cách
V y s cách ch n A là s l là: n  3.4.24  288 (s ).
+) A là s l th a mãn : a1  a 2  a3  a 4  a5  a6  1
 2(a1  a 2  a3 )  a1  a 2  a3  a 4  a5  a6  1  16
 a1  a 2  a3  8 ( Vì a1  a2  a3  a 4  a5  a6  5  4  3  2  1  0  15 )
Khi đó (a1; a 2 ; a3 ) thu c b các 3 s sau : (0;3;5) , (1; 2;5) , (1;3; 4)
*) V i (a1; a 2 ; a3 ) ch n t (0;3;5) , suy ra (a 4 ; a5 ; a 6 ) ch n t (1; 2; 4)
(V i a1  0 và a 6 là ch s l ) nên s cách ch n A là : 2.2.1.1.2.1  8
*) V i (a1; a 2 ; a3 ) ch n t (1; 2;5) , suy ra (a 4 ; a5 ; a 6 ) ch n t (0;3; 4)
(V i a 6 là ch s l ) nên s cách ch n A là : 3!.1.2.1  12
T ng t v i (a1; a 2 ; a3 ) ch n t (1;3; 4) ta có s cách ch n A là: 3!.1.2.1  12
V y A là s l th a mãn : a1  a 2  a3  a 4  a5  a6  1 g m: 8  12  12  32 (s )
32 1
Khi đó xác su t th a mãn đi u đ bài là:

288 9
Bài 20. V i n  . Ch ng minh r ng:
1) 8Cn0 

202  122 1 203  123 2

20n1  12n1 n 21n1  13n1
Cn 
Cn  ... 
Cn 
n 1
n 1
2
3

42 1 43 2
4n1 n 5n1  1
2) 4C  Cn  Cn  ... 
.
Cn 
2
3
n 1
n 1
0
n

1
1
1
2n1  1
3) Cn0  Cn1  Cn2  ... 
.
Cnn 
n 1
n 1

2
3
4) 5Cn0 

62  1 1 63  1 2
6n1  1 n 7 n1  2n1
Cn 
Cn  ... 
Cn 
2
3
n 1
n 1
Gi i:

202  122 1 203  123 2
20n1  12n1 n 21n1  13n1
Cn 
Cn  ... 
Cn 
n 1
n 1
2
3
+) Ta có: (1  x)n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  ...  Cnn xn
1) 8Cn0 

20

+) Suy ra:

n
 (1  x) dx 

12

n 1 20

(1  x)

n 1


12

20

 C

0
n

 Cn1 x  Cn2 x2  ...  Cnn xn  dx

12

20


x2

x3
xn 1 
  Cn0 x  Cn1  Cn2  ...  Cnn

2
3
n  1  12


21n1  13n1
202  122 1 203  123 2
20n1  12n1 n
Cn 
Cn  ... 
Cn
 8Cn0 
2
3
n 1
n 1

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 10 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Hay 8Cn0 

Chuyên đ : T h p – Xác su t

202  122 1 203  123 2
20n1  12n1 n 21n1  13n1
Cn 
Cn  ... 
Cn 
n 1
n 1
2
3

42 1 43 2
4n1 n 5n1  1
.
Cn  Cn  ... 
Cn 
n 1
n 1
2
3
+) Ta có: (1  x)n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  ...  Cnn xn

2) 4Cn0 

4

4

0

0

đpcm

0
1
2 2
n
n n
 (1  x) dx   Cn  Cn x  Cn x  ...  Cn x  dx

+) Suy ra:

4

4


(1  x)n 1
x2
x3
xn 1 

  Cn0 x  Cn1  Cn2  ...  Cnn


n 1 0 
2
3
n 1  0


5n1  1
42
43
4n1 n
Cn
 4Cn0  Cn1  Cn2  ... 
2
3
n 1
n 1
42 1 43 2
4n1 n 5n1  1
Hay 4C  Cn  Cn  ... 
Cn 
n 1
n 1
2
3

đpcm

0
n

1 1 1 2
1
2n1  1
n
3) C  Cn  Cn  ... 
.
Cn 
n 1
n 1
2
3
+) Ta có: (1  x)n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  ...  Cnn xn
0
n

1

 (1  x)

+) Suy ra:

0

Giáo viên

: Nguy n Thanh Tùng

Ngu n

:

Hocmai.vn

1

n

dx    Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  ...  Cnn xn  dx
0

1

1

n 1
2
3
 0

(1  x)n 1
n x
1 x
2 x

  Cn x  Cn  Cn
 ...  Cn

n 1 0 
2

3
n 1  0

2n1  1
1
1
1

 Cn0  Cn1  Cn2  ... 
Cnn
n 1
n 1
2
3
1
1
1
2n1  1
Hay Cn0  Cn1  Cn2  ... 
Cnn 
2
3
n 1
n 1

đpcm

62  1 1 63  1 2
6n1  1 n 7 n1  2n1
Cn 

Cn  ... 
Cn 
n 1
n 1
2
3
n
0
1
2 2
n n
+) Ta có: (1  x)  Cn  Cn x  Cn x  ...  Cn x

4) 5Cn0 

6

6

1

1

0
1
2 2
n
n n
 (1  x) dx   Cn  Cn x  Cn x  ...  Cn x  dx

+) Suy ra:

n 1 6

(1  x)

n 1


1

6


x2
x3
xn 1 
  Cn0 x  Cn1  Cn2  ...  Cnn

2
3
n 1  1


7n1  2n1
62  1 1 63  1 2
6n1  1 n
Cn 
Cn  ... 
Cn

 5Cn0 
2
3
n 1
n 1
Hay 5Cn0 

62  1 1 63  1 2
6n1  1 n 7 n1  2n1
Cn 
Cn  ... 
Cn 
n 1
n 1
2
3

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 11 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

Chuyên đ : T h p – Xác su t

- Trang | 12 -