Đề thi khảo sát học sinh giỏi môn Toán lớp 8 huyện Vũ Thư, Thái Bình năm học 2016 - 2017

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

PHÒNG GD – ĐT VŨ THƯ

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM 2016 - 2017

Ngày 28 tháng 8 năm 2016

Môn: Toán - Lớp 8
(Thời gian làm bài 120 phút)

Câu 1. (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
3) 4x  21x y  y
4

1) 5 x3 + 15x2 +10x
2
2) 9x  90x  225   x  7 

2

2

4

4) 4  x  5  x  6  x  10  x  12   3x 2

2

Câu 2. (6 điểm)
1

2

1) Tính giá trị của biểu thức: P  

2 3
2016
 3  ....  2016
2
2 2
2

2) Cho x và y là hai số thực thỏa mãn: x 2  y 2  1 . Tìm giá trị bé nhất của biểu thức
P  x 6  y6

3) Tìm x nếu : (x 2  4x  1)3  (x 2  x  1)3  (3x  2)3
4) Với a và b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2019 là các số chia hết cho 6.
Chứng minh rằng số 4  a  b cũng chia hết cho 6.
a

Câu 3. (4 điểm)
1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x và y thì :

1  x 1  y   4xy  2  x  y 1  xy  là số chính phương
2

2

2) Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức f (x)  (x  a)(x  4)  7 phân tích thành thừa
số được f (x)  (x  b)(x  c)
Câu 4. (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D, E, F sao cho B là trung điểm của AD, C là trung điểm
của BE, A là trung điểm của CF. Gọi G là giao điểm của đường trung tuyến AM của
tam giác ABC với đường trung tuyến DN của tam giác DEF. I và K lần lượt là trung
điểm vủa GA và GD. Chứng minh rằng:
1) Tứ giác MNIK là hình bình hành
2) Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau.
Câu 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D và E theo thứ tự thuộc các tia đối của các tia BA,
CA sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng
song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng
AB = CK.
----------- Hết -----------


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Câu
1
(4,0)

Hướng dẫn giải
1) 5 x 3  15x 2  10x  5x(x 2  3x  2)  5x(x  1)(x  2)
9x 2  90x  225   x  7   9(x  5) 2   x  7   (3x  15  x  7)(3x  15  x  7)
2

2

Điểm

1đ
1đ

2)  (4x  8)(2x  22)  8(x  2)(x  11)
4x 4  21x 2 y 2  y 4  4x 4  y 4  4x 2 y 2  25x 2 y 2

1đ

3)  (2x 2  y 2 ) 2  (5x 2 y 2 ) 2  (2x 2  y 2  5x 2 y 2 )(2x 2  y 2  5x 2 y 2 )
4) 4  x  5  x  6  x  10  x  12   3x 2

1đ

 4(x 2  17x  60)(x 2  16x  60)  3x 2  A

Đặt x 2  16x  60  t thì
A  4t(t  x)  3x 2  4t 2  4tx  3x 2  4t 2  4tx  x 2  4x 2
 (2t  x) 2  4x 2  (2t  3x)(2t  x)  (2x 2  35x  120)(2x 2  31x  120)
 (2x 2  35x  120)(2x  15)(x  8)

Câu
2

1) Tính giá trị của biểu thức: P  

(6,0)

+) Số hạng tổng quát:

1

2

2 3
2016
 3  ....  2016
2
2 2
2

1,5đ

k k 1 k  2

 k với mọi k nguyên dương.
2k 2k 1
2

+) Áp dụng cho k từ 1đến 2016 ta được:
k=1 thì

1 2 3
 
2 1 21

k=2 thì

2
3 4
 1 3
2

2
2 2

k=3 thì

3
4 5
 2 3
3
2
2 2

k=4 thì

4
5 6
 3 4
4
2
2 2

……………………….
K=2016 thì

2016 2017 2018
 2015  2016
22016
2
2

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta có
P

1 2 3
2016
2018
1009
 2  3  ....  2016  2  2016  2  2015
2 2 2
2
2
2

2) Cho x và y là hai số thực thỏa mãn: x 2  y 2  1 . Tìm giá trị bé nhất của
biểu thức P  x 6  y6 .

1,5đ


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
P  x 6  y 6  (x 2  y 2 )(x 4  x 2 y 2  y 4 )  1.(x 4  x 2 y 2  y 4 )
 (x 2  y 2 ) 2  3x 2 y 2  1  3x 2 y 2  1  3x 2 (1  x 2 )
2

1
1
 3x 4  3x 2  1  3  x 2    
2  12 

2

2

1 1 1
1


 3  x 2     do 3  x 2    0x  R
2 4 4
2



Dấu = xảy ra  x 2 
KL: P min 

1
1
1
x
và y  
2
2
2

1
1 1
1
1
1 1

1
1
 (x; y)  ( ;
);( ;  );( ;
);( ;  )
4
2 2
2
2
2 2
2
2

3) Tìm x nếu : (x 2  4x  1)3  (x 2  x  1)3  (3x  2)3

1,5đ

 x 2  4x  1  a
 3x  2  b  a ta được:
Đặt  2
 x  x 1  b
a 3  b3  (b  a)3  a 3  b3  b3  3a 2 b  3ab 2  a 3
 3a 2 b  3ab 2  0  3ab(a  b)  0

x  2  3
 x  4x  1  0
a  0

1 5


  b  0   x 2  x  1  0   x 

2
 3x  2  0
a  b


2
 x
3

2

Kl…
4) Với a và b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2019 là các số

1,5đ

chia hết cho 6. Chứng minh rằng số 4  a  b cũng chia hết cho 6.
a

4a  a  b  (4a  2)  (a  1)  (b  2019)  2022

+) (4a  2) chia hết cho 2
+) 4a  2  (4a  1)  3  (4  1)(4a 1  4a  2  ...  1)  3 nên chia hết cho 3.
Vậy 4a  a  b chia hết cho 6
Câu
3. (4

1  x 1  y   4xy  2  x  y 1  xy 

2

2

 1  x 2  x 2 y 2  y 2  4xy  2  x  y 1  xy 

điểm) 1)  (x 2  y 2  2xy)  (1  x 2 y 2  2xy)  2 x  y 1  xy



  x  y   1  xy   2  x  y 1  xy 
2

  x  y  1  xy 

2

2

2đ


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Là số chính phương với mọi x và y nguyên.
2)Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức f (x)  (x  a)(x  4)  7 phân

2đ

tích thành thừa số được f (x)  (x  b)(x  c) .

Ta phải tìm a,b,c nguyên sao cho:
(x  a)(x  4)  7  (x  b)(x  c) x
 x 2  (a  4)x  4a  7  x 2  (b  c)x  bc x
a  4  b  c
a  4  b  c


 4a  7  bc
 4a  7  bc
a  bc4


(b  4)(c  4)  39

….
KL: (a; b;c) = (-42;-43;-3); (-42;-3;-43); (34;35;-5); (34;-5;35); (6;7;9) ;(6;9;-7); );(-14;-1;-17) (-14;-17;-1)
Câu

Câu 4. Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D, E, F sao cho B là trung điểm của

4.

AD, C là trung điểm của BE, A là trung điểm của CF. Gọi G là giao

(4,0

điểm của đường trung tuyến AM của tam giác ABC với đường

điểm

trung tuyến DN của tam giác DEF. I và K lần lượt là trung điểm vủa
GA và GD. Chứng minh rằng:
1) Tứ giác MNIK là hình bình hành
2) Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau.

1)Tứ giác MNIK là hình bình hành
+) Giải thích AN// = BM suy ra tứ giác ANMB là hình bình hành
 MN // = AB

2đ


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

+) Giải thích IK//= AB
Suy ra tứ giác MNIK là hình bình hành
2)Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau.

2đ

+) G nằm trên trung tuyến AM của tam giác ABC.
+)AI= IG (Do I là trung điểm vủa GA)
GI=GM ( Do tứ giác MNIK là hình bình hành
 AI= IG= GM
Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC
Chứng minh tương tự G là trọng tâm của tam giác DEF
Câu
5: (2

Câu 5: (2 điểm)

Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D và E theo thứ tự thuộc các tia

điểm)

đối của các tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm
của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác
của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB =
CK.

+)Vẽ hình bình hành ABMC  AB = CM (1)
+) BM//AE  góc E1 = góc B2.
CB = CE CBE cân tại C  góc E1 = góc B1.
 góc B1 = góc B1.
 BO là phân giác của tam giác MBC

2đ


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Tương tự CO là phân giác của tam giác MBC
 MO là phân giác của tam giác MBC
 MO là phân giác của góc BMC của hình bình hành ABMC.
+) Chỉ ra MO // phân giác Ax của góc BAC
 M, O, K thẳng hàng
+) Chỉ ra tam giác CMK cân tại C  CK = CM (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB = CK.