Giáo trình Đại số tuyến tính và hình học tuyến tính ĐHSP Hà Nội

ĐỖ ĐỨC THÁI (CHỦ BIÊN)
PHẠM VIỆT ĐỨC VÀ PHẠM HOÀNG HÀ

GIÁO TRÌNH
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
VÀ
HÌNH HỌC TUYẾN TÍNH

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
HÀ NỘI - 2011


2


Mục lục

I

Đại số tuyến tính

9

1 Các kiến thức mở đầu

11

1.1

Tập hợp - Quan hệ - Ánh xạ

. . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2

Tập hợp đếm được và tập hợp có lực lượng continum . .

16

1.3

Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4

Các cấu trúc đại số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.4.1

Nhóm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.4.2

Vành-Trường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2 Không gian véctơ

27

2.1

Không gian véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2

Tổ hợp tuyến tính-Hệ véctơ độc lập tuyến tính và hệ véctơ
phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.3

Hạng của một hệ hữu hạn véctơ . . . . . . . . . . . . . .

35

2.4

Cơ sở, số chiều của không gian véctơ . . . . . . . . . . .

38

2.5

Không gian véctơ con và không gian véctơ thương . . . .

43

3 Ma trận và ánh xạ tuyến tính
3

53


3.1

Ma trận và các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . .

53

3.2

Ánh xạ tuyến tính và ma trận của ánh xạ tuyến tính . .

62

3.3

Hạt nhân, ảnh của một đồng cấu. Đơn cấu, toàn cấu và

đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.4

Tự đồng cấu và tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.5

Không gian véctơ đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

4 Định thức và hệ PT tuyến tính
4.1

Phép thế và dấu của phép thế. . . . . . . . . . . . . . . .

79

4.2

Định thức của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

4.3

Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . .

92

4.4

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . .

102

5 Cấu trúc của một tự đồng cấu

111

5.1

Không gian con riêng của một tự đồng cấu tuyến tính . .

111

5.2

Tự đồng cấu chéo hoá được . . . . . . . . . . . . . . . .

118

5.3

Tự đồng cấu luỹ linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

5.4

Ma trận chuẩn Jordan của tự đồng cấu . . . . . . . . . .

127

5.5

Định lý Cayley-Hamilton, đa thức cực tiểu . . . . . . . .

138

6 Không gian véctơ Euclid

II

79

141

6.1

Tích vô hướng và không gian véctơ Euclid . . . . . . . .

141

6.2

Ánh xạ tuyến tính trực giao . . . . . . . . . . . . . . . .

145

6.3

Vài nét về không gian unita . . . . . . . . . . . . . . . .

150

6.4

Dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

152

Hình học tuyến tính

167

7 Hình học affine

169
4


7.1

Định nghĩa không gian affine . . . . . . . . . . . . . . . .

169

7.2

Ánh xạ affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

7.3

Ba định lí của hình học phẳng . . . . . . . . . . . . . . .

187

7.4

Tọa độ Descartes trong Hình học affine . . . . . . . . . .

192

7.5

Bài tập cho Chương 7

195

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Hình học Euclid

209

8.1

Không gian Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

209

8.2

Cấu trúc của các đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . .

213

8.3

Hình học Euclid trên mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . .

223

8.4

Hình học Euclid trong không gian . . . . . . . . . . . . .

238

8.5

Tích véctơ và tính toán diện tích . . . . . . . . . . . . .

242

8.6

Bài tập cho Chương 8

246

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Hình học xạ ảnh

267

9.1

Các khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

267

9.2

Không gian xạ ảnh con . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

269

9.3

Liên hệ affine và xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . .

270

9.4

Đối ngẫu xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

275

9.5

Phép biến đổi xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

277

9.6

Tỷ số kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

281

9.7

Bài tập cho Chương 9

285

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Cônic và siêu mặt bậc hai

299

10.1 Siêu mặt bậc hai và cônic affine . . . . . . . . . . . . . .

299

10.2 Phân loại và các tính chất của cônic affine . . . . . . . .

305

10.3 Siêu mặt bậc hai và cônic xạ ảnh . . . . . . . . . . . . .

315

10.4 Bài tập cho Chương 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

327

5


Lời nói đầu
Giáo trình Đại số tuyến tính và Hình học tuyến tính được biên soạn
dựa trên chương trình đào tạo cử nhân theo hình thức tín chỉ ở các khoa
Toán của các trường Đại học Sư phạm và làm tài liệu tham khảo cho sinh
viên các trường Đại học khoa học tự nhiên cũng như các trường Đại học
kỹ thuật.
Giáo trình gồm có hai phần.
Phần I trình bày về Đại số tuyến tính bao gồm 6 chương. Chương 1 trình

bày những kiến thức mở đầu về Tập hợp, Quan hệ, Ánh xạ, Số phức, Các
cấu trúc đại số cơ bản. Các chương tiếp theo trình bày những kiến thức
cốt lõi của Đại số tuyến tính như: Không gian véctơ, Ma trận và ánh xạ
tuyến tính, Định thức và hệ phương trình tuyến tính, Cấu trúc của một
tự đồng cấu, Không gian véctơ Euclid.
Phần II giới thiệu về Hình học tuyến tính bao gồm 4 chương lần lượt
trình bày những kiến thức cốt lõi về Hình học affine, Hình học Euclid,
Hình học xạ ảnh, Cônic và siêu mặt bậc hai.
Trong Phần I, các không gian véctơ trên trường K không đòi hỏi phải
có chiều hữu hạn. Điều đó sẽ giúp ích nhiều cho việc học Giải tích, đặc
biệt là Giải tích hàm. Ngoài ra, tư tưởng của Lý thuyết phạm trù được
quán xuyến trong suốt Phần I nhằm tránh cho việc xây dựng Đại số tuyến
tính quá phụ thuộc vào cơ sở của không gian véctơ và cũng góp phần để
bạn đọc thấy được nguồn gốc sâu xa của những kỹ thuật tinh vi trong Lý
thuyết biểu diễn hay Hình học đại số sau này.
Phần II cung cấp cho bạn đọc cơ sở toán học hiện đại của Hình học
sơ cấp cũng như sự phát triển sâu sắc của chúng trong Hình học cao cấp.
Hình học tuyến tính được trình bày như là hình học của các nhóm biến
đổi, đặc biệt là hình học của các nhóm cổ điển. Điều này là hết sức cần
thiết trong việc đào tạo sinh viên Toán của các Trường Đại học Sư phạm,
những người sẽ trở thành giáo viên dạy chương trình hình học trong các
nhà trường phổ thông.
Giáo trình nhằm phục vụ các bạn sinh viên những năm đầu đại học,
những người vừa rời ghế nhà trường phổ thông và bắt đầu làm quen với
Toán học cao cấp. Vì thế, khi biên soạn Giáo trình này chúng tôi hết sức
chú trọng đến yếu tố sư phạm nhằm giúp bạn đọc nắm được thực chất
của môn học. Một số định lý khó trong chương trình, chẳng hạn các định
6

lý về cấu trúc của tự đồng cấu và ma trận chuẩn Jordan của tự đồng
cấu, đã được chứng minh bằng những cách đơn giản. Cuối mỗi mục có
nhiều bài tập để bạn đọc tự kiểm tra kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải
toán. Đặc biệt, hệ thống bài tập ở từng chương trong Phần II là một phần
không thể tách rời của lý thuyết. Chúng thực chất là những kiến thức cần
thiết nhưng chưa được trình bày do khuôn khổ có hạn của thời lượng giờ
dạy trên lớp.
Chúng tôi cũng muốn trao đổi với các bạn đồng nghiệp thêm một vài
quan điểm khi biên soạn cuốn giáo trình này. Trước hết, những kiến thức
về Đại số tuyến tính và Hình học tuyến tính có thể nói đã trở thành kinh
điển (thực tế là trong nhiều năm nay đã không còn những kết quả nghiên
cứu mới về lĩnh vực đó được công bố trên những tạp chí toán học có uy
tín) và đã được trình bày trong rất nhiều cuốn sách hay. Vì thế, vấn đề
đặt ra với chúng tôi là phải lựa chọn kiến thức và sắp xếp làm sao cho
phù hợp với Khung chương trình đào tạo theo tín chỉ của Khoa Toán các
Trường Đại học Sư phạm và khả năng tiếp thu của các em sinh viên. Mặt
khác, chúng tôi cho rằng để đại học của chúng ta hội nhập với quốc tế thì
một trong những yếu tố quan trọng nhất là sinh viên của chúng ta phải
được tiếp cận và học theo những giáo trình chuẩn của những trường đại
học danh tiếng của thế giới. Sau khi cân nhắc, chúng tôi đã chọn các cuốn
sách "Linear Algebra" của tác giả W. H. Greub [10] và "Geometry" của
tác giả M. Audin [7] để dựa vào đó. Đặc biệt, Phần II đã được chúng tôi
biên soạn, lựa chọn và trích dịch từ những Chương 1-6 trong cuốn sách
trên của tác giả M. Audin [7]. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Giáo
sư Michèle Audin đã cho phép chúng tôi sử dụng cuốn sách, cũng như đã
trao đổi nhiều ý kiến bổ ích về những ý tưởng chính của Giáo sư khi biên
soạn cuốn sách đó. Chúng tôi rất mong các bạn đồng nghiệp, đặc biệt là
các bạn sinh viên hãy đọc toàn bộ các chương có liên quan trong hai cuốn
sách [7], [10]. Còn có rất nhiều điều hay mà chúng tôi không đưa được
vào Giáo trình này.

Cuốn sách này cũng là công sức của tập thể giảng viên và nghiên cứu
sinh của Bộ môn Hình học, Khoa Toán-Tin Đại học Sư phạm Hà Nội
trong suốt nhiều năm giảng dạy môn học Đại số tuyến tính và Hình học
tuyến tính.
Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn TS. Phạm Nguyễn Thu Trang,
TS Nguyễn Thị Tuyết Mai và TS Trần Huệ Minh đã giúp đỡ chúng tôi
rất nhiều trong quá trình chuẩn bị bản thảo của cuốn sách này.
7


Cuốn sách không thể tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi mong
nhận được sự lượng thứ và ý kiến đóng góp của các bạn đọc.
Hà nội, mùa thu năm 2011.
Các tác giả

8


Phần I
Đại số tuyến tính

9



Chương 1
Các kiến thức mở đầu
1.1

Tập hợp - Quan hệ - Ánh xạ

Tất cả những vật được xác định theo một quy tắc nào đó được gọi là
một tập hợp. Mỗi vật của một tập hợp được gọi là một phần tử của tập
hợp.
Người ta dùng ký hiệu X = {x, y, z, · · · } để nói rằng tập X gồm các
phần tử x, y, z, · · · Để chỉ ra x là một phần tử của X, ta dùng ký hiệu
x ∈ X ( đọc là x thuộc X.) Nếu x không thuộc X ta dùng ký hiệu x ∈
/ X.
Một tập hợp có thể không có một phần tử nào, ta gọi đó là tập rỗng, ký
hiệu là ∅.
1.1.1 Mệnh đề. Tập rỗng là duy nhất.
Hai tập hợp X và Y được coi là bằng nhau, ký hiệu là X = Y, nếu
chúng có những phần tử như nhau. Hai tập hợp không bằng nhau được
coi là khác nhau, ký hiệu X = Y.
1.1.2 Định nghĩa. Một tập hợp X gọi là một tập con của tập hợp Y
nếu mọi phần tử của X cũng là phần tử của Y. Ta dùng ký hiệu X ⊂ Y
hoặc Y ⊃ X. Nếu X là một tập con của Y và X = Y thì ta gọi X là
một tập con thực sự của Y, ký hiệu X Y hoặc Y
X.
1.1.3 Mệnh đề.

1) X = X,

2) Nếu X = Y thì Y = X,
11


12

CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC MỞ ĐẦU

3) X = Y, Y = Z =⇒ X = Z,
4) X ⊂ Y, Y ⊂ X ⇐⇒ X = Y,
5) X ⊂ Y, Y ⊂ Z =⇒ X ⊂ Z.

Các phép toán trên tập hợp
1.1.4 Phép lấy hợp. Cho {Xi } là một họ các tập hợp tùy ý. Hợp của
các tập hợp Xi , ký hiệu là Xi , là tập hợp các phần tử nằm trong ít
nhất một tập hợp Xi . Hợp của hai tập hợp X, Y được ký hiệu là:
X ∪ Y = {x|x ∈ X hoặc x ∈ Y }
Nhận xét.
i) X ⊂ (X ∪ Y ); Y ⊂ (X ∪ Y )
ii) (X ∪ Y ) ∪ Z = X ∪ (Y ∪ Z)
iii) X ∪ Y = Y ∪ X.
1.1.5 Phép lấy giao. Cho {Xi } là một họ các tập hợp tùy ý. Giao của
các tập hợp Xi , ký hiệu là Xi , là tập hợp các phần tử nằm trong mọi
tập hợp Xi . Giao của hai tập hợp X, Y được ký hiệu là:
X ∩ Y = {x|x ∈ X và x ∈ Y }
Nhận xét.
i) (X ∩ Y ) ⊂ X; (X ∩ Y ) ⊂ Y
ii) (X ∩ Y ) ∩ Z = X ∩ (Y ∩ Z)
iii) X ∩ Y = Y ∩ X.
1.1.6 Phép lấy hiệu. Cho X, Y là hai tập hợp. Hiệu của X và Y, ký
hiệu là X \ Y, là tập hợp các phần tử nằm trong X mà không nằm trong
Y.
X \ Y = {x|x ∈ X và x ∈
/ Y }.
Nhận xét. X \ Y = ∅ ⇔ X ⊂ Y.


Phần I: Đại số tuyến tính

13

Quy tắc De Morgan:
X \(

(X \ Ai )

Ai ) =
i∈I

X \(

i∈I

(X \ Ai )

Ai ) =
i∈I

i∈I

1.1.7 Phép lấy tích Descartes. Cho X1 , · · · , Xn là một họ các tập hợp.
Tập hợp các bộ n phần tử (x1 , · · · , xn ) với xi ∈ Xi (i = 1, · · · , n) được
gọi là tích Descartes của các tập X1 , · · · , Xn , ký hiệu là X1 × · · · × Xn .
Nếu Xi = X, ∀i thì X × · · · × X = X n gọi là lũy thừa bậc n của tập hợp
X.
1.1.8 Định nghĩa. Cho X, Y là hai tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ
f : X → Y là một quy tắc cho ứng một phần tử x ∈ X với một phần tử
y ∈ Y.

Ký hiệu f : X → Y
x → y = f (x)
Ta gọi f (x) là ảnh của x. Hai ánh xạ f, g : X → Y được gọi là bằng
nhau, ký hiệu là f = g nếu f (x) = g(x) với mọi x ∈ X.
Ví dụ.
1) Ánh xạ X → X, x → x được gọi là ánh xạ đồng nhất và được kí
hiệu là IdX
2) Cố định x0 ∈ X. Khi đó ánh xạ f : X → X, x → x0 được gọi là
ánh xạ hằng.
1.1.9 Ảnh và ảnh ngược. Cho f : X → Y là ánh xạ
1. Với A là một tập con của X thì tập hợp f (A) = {f (x)|x ∈ A} ⊂ Y
gọi là ảnh của tập A qua ánh xạ f. Ta còn kí hiệu ảnh f (A) là Imf.
2. Với B là một tập con của Y thì ta gọi tập hợp
f −1 (B) = {x ∈ X|f (x) ∈ B} ⊂ X
là ảnh ngược (tập tạo ảnh) của tập B qua ánh xạ f.
1.1.10 Một số tính chất.


14

CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC MỞ ĐẦU
i) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)
ii) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)
iii) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B)
iv) f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B)
v) f −1 (A \ B) = f −1 (A) \ f −1 (B)

1.1.11 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh. Cho ánh xạ f : X → Y
- f được gọi là đơn ánh (hay còn gọi là ánh xạ đơn) nếu ∀x1 , x2 ∈
X, x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 )

⇔

f (x1 ) = f (x2 ) ⇔ x1 = x2 .

- f được gọi là toàn ánh (hay còn gọi là ánh xạ lên) nếu ∀y ∈ Y thì
∃x ∈ X sao cho y = f (x).
- f được gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh.
Tức là
∀y ∈ Y, ∃!x ∈ X : y = f (x).
1.1.12 Hợp thành của hai ánh xạ. Cho hai ánh xạ f : X → Y, g :
Y → Z. Hợp thành của hai ánh xạ f và g là ánh xạ g ◦ f : X → Z cho
bởi (g ◦ f )(x) = g(f (x)), x ∈ X.
Nhận xét.
1) h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f
2) Cho f, g : X → X. Nói chung ta có: f ◦ g = g ◦ f
3) Nếu f, g là hai đơn ánh thì g ◦ f cũng là một đơn ánh.
4) Nếu f, g là hai toàn ánh thì g ◦ f cũng là một toàn ánh.
5) Nếu f, g là hai song ánh thì g ◦ f cũng là một song ánh.
1.1.13 Ánh xạ ngược. Cho f : X → Y là song ánh. Thế thì ∀y ∈ Y,
tồn tại duy nhất x ∈ X : y = f (x). Xét f −1 : Y → X, y → f −1 (y) = x,
ánh xạ f −1 được gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f.
Nhận xét.


Phần I: Đại số tuyến tính

15

i) f −1 ◦ f = IdX ;
ii) f ◦ f −1 = IdY ;

iii) Không phải ánh xạ nào cũng có ánh xạ ngược. Ánh xạ f có ánh xạ
ngược khi và chỉ khi f là một song ánh;
iv) Nếu f : X → Y, g : Y → Z là hai song ánh thì:
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1
v) Với f là song ánh thì f −1 (B) = (f −1 )(B).
Chú ý. f −1 (B) = (f −1 )(B) vì chưa chắc tồn tại f −1 .
Tập thứ tự bộ phận
1.1.14 Định nghĩa. Cho tập hợp A = ∅, R ⊂ X × X. Nếu (a, b) ∈ R
thì ta nói a có quan hệ R với b và viết aRb. Quan hệ R được gọi là một
quan hệ tương đương trên X nếu R thỏa mãn các điều kiện sau:
1. ∀a ∈ X, aRa. (tính phản xạ)
2. ∀a, b ∈ X, aRb ⇒ bRa. (tính đối xứng)
3. ∀a, b, c ∈ X, aRb, bRc ⇒ aRc. (tính bắc cầu)
Mỗi lớp tương đương được xem như một phần tử. Tập hợp các phần
tử như vậy được gọi là tập thương của X theo quan hệ tương đương R.
Ký hiệu X/R
1.1.15 Định nghĩa. Tập thứ tự bộ phận E là tập khác rỗng cùng với
quan hệ thứ tự ≤ trên E, tức là quan hệ trên E thỏa mãn:
1) a ≤ a với mọi a ∈ E
2) Nếu a ≤ b, b ≤ c thì a ≤ c
3) Nếu a ≤ b và b ≤ a thì a = b.
Ta viết a < b nếu a ≤ b và a = b.
Tập con A của một tập thứ tự bộ phận E hiển nhiên là tập thứ tự
bộ phận với quan hệ thứ tự của E.


16

CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC MỞ ĐẦU

1.1.16 Định nghĩa. Tập con F của tập thứ tự bộ phận E gọi là sắp
thứ tự hay thứ tự tuyến tính nếu đối với hai phần tử tùy ý x, y của F ta
có hoặc x ≤ y hoặc y ≤ x.
1.1.17 Định nghĩa. Giả sử F là tập con của tập thứ tự bộ phận E.
Phần tử x ∈ E gọi là phần tử chặn trên của F nếu f ≤ x với f ∈ F.
Phần tử chặn trên x của tập con F gọi là cận trên nếu x ≤ g với mọi
chặn trên g của F.
Tập các cận trên của F ký hiệu là sup F. Chú ý rằng sup F có cùng
lắm là một phần tử.
Tương tự, ta có thể nói về phần tử chặn dưới và cận dưới của F. Tập
các cận dưới của F ký hiệu là inf F.
1.1.18 Định nghĩa. Phần tử x của E gọi là cực đại (tương ứng cực
tiểu) nếu từ x ≤ y (tương ứng y ≤ x), suy ra x = y (tương ứng y = x.)
Ví dụ.
Giả sử X là tập tùy ý. Ký hiệu ℘(X) là tập tất cả các tập con của
X. Dễ thấy rằng ℘(X) là tập thứ tự bộ phận với quan hệ thứ tự theo
bao hàm:
A, B ∈ ℘(X) : A ≤ B ⇔ A ⊆ B.
Hiển nhiên ∅ và X là phần tử cực tiểu và cực đại của ℘(X).
1.1.19 Định nghĩa. Giả sử E là tập thứ tự bộ phận với quan hệ thứ tự
≤. Ta nói E là tập thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng của E có phần
tử chặn dưới.

1.2

Tập hợp đếm được và tập hợp có lực
lượng continum

1.2.1 Định nghĩa. Một tập X được gọi là đếm được nếu tồn tại song
ánh f : X → N. Ta ký hiệu card(X) = card(N). Ngoài ra tập X được

gọi là không quá đếm được nếu X là tập hữu hạn hoặc tập đếm được.
1.2.2 Mệnh đề.
i) Nếu X và Y là các tập đếm được thì X × Y cũng
là tập đếm được.


Phần I: Đại số tuyến tính

17

ii) Nếu Λ là tập đếm được và Xα cũng là tập đếm được với mọi α ∈ Λ
thì α∈Λ Xα cũng là tập đếm được.
Chứng minh. Để chứng minh i) ta chỉ cần chứng tỏ N2 là đếm được.
Thật vậy, ta có thể định nghĩa một song ánh từ N vào N2 . Bằng cách
đánh số các phần tử (j, k) ∈ N2 sao cho j + k = n với n = 2, 3, 4, · · · theo
cách như sau:
(1, 1), (2, 1), (1, 2), (3, 1), (2, 2), (1, 3), (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4), · · ·
Bây giờ ta chứng minh ii). Thật vậy, với mỗi α ∈ Λ tồn tại song ánh
fα : N → Xα . Ta xác định song ánh f : N × Λ → α∈Λ Xα bằng cách đặt
f (n, α) = fα (n). Khẳng định ii) được suy ra từ khẳng định i).
1.2.3 Hệ quả. Tập các số nguyên Z và tập các số hữu tỉ Q là các tập
đếm được.
1.2.4 Định nghĩa. Một tập X được gọi là có lực lượng continum nếu
tồn tại song ánh f : X → R. Ta ký hiệu là card(X) = card(R).
Ví dụ: Với mọi −∞ ≤ a < b ≤ +∞ thì các tập [a, b], (a, b), [a, b), (a, b]
có lực lượng continum.

1.3

Số phức

1.3.1 Định nghĩa trường số phức.
Xét C = R × R = {(a, b)|a, b ∈ R}.
Trên C ta xét hai phép toán sau:
z1 + z2 = (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 )
z1 · z2 = (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + b1 a2 )
Khi đó C có các tính chất sau:
1) z1 + z2 = z2 + z1
2) (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 )


18

CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC MỞ ĐẦU
3) ∃(0, 0) : z + (0, 0) = (0, 0) + z = z
4) ∀z = (a, b), ∃(−z) ∈ C : z + (−z) = 0
5) z1 · z2 = z2 · z1
6) (z1 · z2 ) · z3 = z1 · (z2 · z3 )
7) ∃(1, 0) ∈ C : (1, 0)z = z
8) ∀z = (a, b) = (0, 0), ∃z −1 = (

a2

a
−b
, 2
) : z · z −1 = (1, 0)
2
+ b a + b2

9) (z1 + z2 )z3 = z1 z3 + z2 z3
Ta nói rằng C là một trường được gọi là trường số phức.
Xét ánh xạ ϕ : R → C, a → (a, 0)
Thông qua ánh xạ ϕ, ta đồng nhất R với ϕ(R). Vì thế có thể xem
R ⊂ C.
Đặt i = (0, 1) ∈ C ⇒ i2 = (−1, 0) ≡ −1 ⇒ i2 = −1.
Định lý cơ bản của đại số. Cho đa thức
f (z) = a0 z n + a1 z n−1 + · · · + a0 với a0 , · · · , an ∈ C, a0 = 0, n ≥ 1.
Khi đó f (z) có ít nhất một nghiệm phức. Nói chính xác, f (z) có n nghiệm
phức nếu mỗi nghiệm được tính số lần bằng bội của nó.
Nói cách khác, trường C là một trường đóng đại số.
1.3.2 Các dạng biểu diễn của số phức.
Xét z = (a, b) ∈ C.
1. Dạng biểu diễn đại số của số phức.
z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) = a + b · i,
trong đó
a gọi là phần thực của z, ký hiệu là a = Rez,
b gọi là phần ảo của z, ký hiệu là a = Imz.


Phần I: Đại số tuyến tính

19

2. Dạng biểu diễn hình học của số phức.
Các số phức có thể biểu diễn bởi các điểm trong mặt phẳng. Muốn
vậy ta lấy một hệ toạ độ Descartes vuông góc trong mặt phẳng, số phức
α = a + ib sẽ được biểu diễn bởi điểm M có toạ độ Descartes (a, b). Ta
còn gọi cách biểu diễn như trên là dạng biểu diễn véctơ của số phức.
y

✻

M
b · · · · · · · · · · · · · · · · ·✟✟...
. α = a + bi
✟✟
...
✟
..
✟✟
✟
..
✟
..
✟
✟
. ✲
0

x

a

Mặt phẳng trong đó các số phức có thể biểu diễn như vậy gọi là mặt
phẳng phức. Trục Ox gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo.
Số phức α = x + iy gọi là số phức không khi x = y = 0 và ký hiệu
α = 0.
Hai số phức α1 = x1 + iy1 và α2 = x2 + iy2 được gọi là bằng nhau khi
và chỉ khi phần thực của chúng bằng nhau và phần ảo của chúng bằng
nhau, tức là: x1 + iy1 = x2 + iy2 khi và chỉ khi x1 = x2 , y1 = y2 .

3. Dạng lượng giác của số phức.
−−→
Ta có thể biểu diễn số phức α = a + ib bởi véctơ OM có toạ độ (a,b).
−−→
−−→
Véctơ OM hoàn toàn được xác định bởi góc ϕ giữa OM và trục Ox và
độ dài r của nó.
y
✻

M
b ............................✟✟...
✟
. α = a + bi
r ✟✟
...
✟
.
..
✟✟
✟
ϕ
..
✟
✟
✲
.
0
a x

20

CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC MỞ ĐẦU

√
Rõ ràng r = a2 + b2
(1)
và góc ϕ (xác định sai khác 2kπ) bởi đẳng thức
a = r · cos ϕ
b = r · sin ϕ
(2)
−−→
Độ dài r của OM gọi là modun của số phức α và ký hiệu là | α |.
Góc ϕ xác định sai khác 2kπ (k nguyên) gọi là argumen của số phức và
ký hiệu là: ϕ = arg α.
Từ các đẳng thức trong (2) ta rút ra:
α = a + ib = r(cos ϕ + i sin ϕ)
(3)
Ta gọi (3) là dạng lượng giác của số phức.
Khi viết các số phức dưới dạng lượng giác, ta có thể tìm được ý nghĩa
hình học của phép nhân các số phức.
Thật vậy, giả sử α1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) và α2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ).
Ta có: α1 · α2 = r1 · r2 [(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 · sin ϕ2 )
+ i(cos ϕ1 sin ϕ2 + sin ϕ1 · cos ϕ2 )]
= r1 · r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )].
Vậy tích của hai số phức là một số phức có modun bằng tích của hai
modun, còn argumen bằng tổng của hai argumen của hai số phức, cụ thể
| α1 · α2 |=| α1 | · | α2 |

(4)

arg(α1 · α2 ) = argα1 + argα2 (sai khác 2kπ). (5)
−→
Do đó nếu OP là véctơ ứng với số phức α1 · α2 thì nó suy ra từ véctơ
−−−→
−−−→
OM1 ứng với số phức α1 bằng cách quay OM1 một góc bằng arg α2 rồi
nhân độ dài của véctơ vừa tìm được với r2 .
Từ đó bằng phương pháp quy nạp theo n ta chứng minh được công
thức Moivre:
(r(cos ϕ + i sin ϕ))n = rn (cos(nϕ) + i sin(nϕ))

(6)

1.3.3 Số phức liên hợp.
Cho số phức α = a + ib. Ta gọi số phức a − ib là số phức liên hợp của
α, và ký hiệu là: α
¯ = a − ib.
−−→
−−→
Nếu OM là véctơ biểu thị số phức α thì véctơ OM biểu thị số phức
−−→
α
¯ là véctơ đối xứng với OM qua trục Ox.


Phần I: Đại số tuyến tính

21

y
✻

✟..
✟✟..

...
.
..
..
✟
..
❍❍
.
❍❍
0
...
❍
..
❍❍
.
❍
❍❍..
❍.
✟✟
✟
✟

✟

✟✟

M
α = a + bi

✲

a

x

α
¯ = a − bi
M’

Nhận xét: Số phức liên hợp của α
¯ lại là α, và số phức liên hợp của một
số thực là chính nó.
Từ định nghĩa của số phức liên hợp ta suy ra các tính chất sau:
i) | α
¯ |=| α |
ii) arg α
¯ = - arg α
iii) Tổng của hai số phức liên hợp là một số thực
α+α
¯ = (a + ib) + (a − ib) = 2a.
iv) Tích của hai số phức liên hợp là một số thực
α·α
¯ = (a + ib) · (a − ib) = a2 + b2 =| α |2 .
Từ tính chất này suy ra nếu α = 0 tức a2 + b2 = 0 thì nghịch đảo của số

phức α là:
α
¯
a
b
α−1 =
= 2
−i 2
2
2
|α|
a +b
a + b2
hay viết dưới dạng lượng giác α = r(cos ϕ + i sin ϕ) thì
α−1 =

1
1
[r(cos(−ϕ) + i sin(−ϕ))] = (cos(−ϕ) + i sin(−ϕ))
2
r
r

v) α1 + α2 = α1 + α2 ; α1 − α2 = α1 − α2 ;
vi) α1 · α2 = α1 · α2 ;

α1
α2

=

α1
α2


22

CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC MỞ ĐẦU

1.3.4 Căn bậc n của số phức.
Giả sử α = a + ib là một số phức tuỳ ý. Ta hãy tìm tất cả các số phức
ω thoả mãn phương trình:
ω n = α, n

2,

nghiệm của phương trình này ta gọi là căn bậc n của số phức α.
* Trường hợp n = 2 :
Ta có phép khai phương: Tìm ω = x + iy sao cho (x + iy)2 = a + ib.
Điều đó tương đương với
x2 − y 2 = a
2xy = b
Giải hệ phương trình ta được:
x=±

a+

√
a2 + b 2
, y=±

2

−a +

√

a2 + b 2
.
2

Vì 2xy = b nên nếu b > 0 thì x, y phải cùng dấu, b < 0 thì x, y trái dấu.
Vậy căn bậc hai của số phức α = a + ib là:
√
√
a + a2 + b 2
−a + a2 + b2
⊕ Nếu b > 0 thì ω1 =
+i
và
2
2
a+

ω2 = −ω1 = −

⊕ Nếu b < 0 thì ω1 =

a+

ω2 = −ω1 = −

√

a2 + b 2
−i
2

√
a2 + b 2
−i
2

a+

√

a2 + b 2
+i
2

−a +

−a +

√

a2 + b 2
.
2

√
a2 + b 2
và
2

−a +

√

a2 + b 2
.
2

* Trường hợp n tuỳ ý:
Với n > 2 việc tìm căn bậc n của số phức α theo phương pháp trên
gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu ta biểu thị α dưới dạng lượng giác thì
việc tìm căn bậc n của α lại dễ dàng nhờ áp dụng công thức Moivre.


Phần I: Đại số tuyến tính

23

Giả sử α = r(cos ϕ + i sin ϕ), α = 0. Hãy tìm các số phức
ω = s(cos θ + i sin θ)
sao cho ω n = α.
Theo công thức Moivre ta có:
ω n = sn (cos nθ + i sin nθ).
Số phức ω n có modun sn và argumen nθ. Muốn cho ω n = α ta phải có
sn = r và nθ = ϕ + 2kπ (k nguyên.)

√
n

ϕ 2kπ
+
(k nguyên).
n
n
Như vậy căn bậc n của α sẽ có dạng:

Từ đó s =

ωk =

r, θ =

√
n

r cos

ϕ 2kπ
+
n
n

+ i sin

ϕ 2kπ
+

n
n

(k nguyên.)

√
Chú ý. +) n r ở trên là căn số học vì modun của số phức ω là một số
thực không âm.
+) Số k trong công thức trên có thể lấy mọi giá trị nguyên nhưng ta
chỉ cần lấy k = 0, 1, 2, · · · , n − 1 là đủ.
√
Ta dùng ký hiệu n α để chỉ n căn bậc n của số phức α.
Nếu α = 0 là một số thực thì ta vẫn có n số phức là căn bậc n của α.
Ví dụ. α = 1 = cos 2kπ + i sin 2kπ.
2kπ
2kπ
Các căn bậc n của 1 là: εk = cos
+ i sin
, k = 0, 1, · · · , n − 1
n
n
Cụ thể:
2π
2π
+ i sin , · · ·
ε0 = 1, ε1 = cos
n
n
εn−1 = cos

2(n − 1)π
2(n − 1)π
+ i sin
.
n
n

Các số phức này đều có modun bằng 1, còn argumen sai khác nhau
2π
.
n


24

CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC MỞ ĐẦU

1.4
1.4.1

Các cấu trúc đại số cơ bản
Nhóm.

1.4.1 Định nghĩa. Cho G = ∅. Giả sử ◦ : G × G → G, (a, b) → a ◦ b là
một ánh xạ hay còn gọi là một phép toán hai ngôi.
Cặp (G, ◦) gọi là một nhóm nếu:
1) (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)
2) ∃e ∈ G, ∀a ∈ G : a ◦ e = e ◦ a = a
3) ∀a ∈ G, ∃a−1 ∈ G : a ◦ a−1 = a−1 ◦ a = e
G được gọi là nhóm Abel nếu a ◦ b = b ◦ a, ∀a, b ∈ G.

Tiếp theo ta nêu khái niệm nhóm con
Cho (G, ◦) là một nhóm và ∅ = H ⊂ G. Tập con H được gọi là nhóm
con của G nếu
i) ∀a, b ∈ H : a ◦ b ∈ H
ii) ∀a ∈ H : a−1 ∈ H
1.4.2 Định nghĩa (Đồng cấu nhóm). Giả sử f : G → H là một ánh xạ
giữa các nhóm. Ta nói rằng ánh xạ f là đồng cấu nhóm nếu:
f (a ◦ b) = f (a) ◦ f (b), ∀a, b ∈ G
Đồng cấu f được gọi là đơn cấu nếu f là đơn ánh.
Đồng cấu f được gọi là toàn cấu nếu f là toàn ánh.
Đồng cấu f được gọi là đẳng cấu nếu f là song ánh.

1.4.2

Vành-Trường.

1.4.3 Định nghĩa. Cho R = ∅. Giả sử trên R có hai phép toán hai ngôi
là "+" và ".". Bộ ba (R, +, .) gọi là một vành nếu:
1) (G, +) là một nhóm giao hoán.


Phần I: Đại số tuyến tính

25

2) ∀a, b, c ∈ R : a · (b · c) = (a · b) · c
3) ∀a, b, c ∈ R : (a + b) · c = a · c + b · c và a · (b + c) = a · b + a · c
1.4.4 Định nghĩa. Giả sử (R, +, .) là một vành. Vành R được gọi là
vành giao hoán có đơn vị nếu
1) ∀a, b ∈ R : a · b = b · a

2) ∃e ∈ R, ∀a ∈ R : a · e = e · a = a.
1.4.5 Vành con. Giả sử R là một vành, ∅ = A ⊂ R. Tập con A được
gọi là vành con của R nếu
1) ∀a, b ∈ A : a − b ∈ A
2) ∀a, b ∈ A : a · b ∈ A.
1.4.6 Định nghĩa. Cho F = ∅. Giả sử trên F có hai phép toán hai ngôi
là "+" và ".". Bộ ba (F, +, .) được gọi là một trường nếu:
1) (F, +) là một nhóm giao hoán.
2) ∀a, b, c ∈ F : a · (b · c) = (a · b) · c,
∀a, b ∈ F : a · b = b · a
∃e ∈ F, ∀a ∈ F : a · e = a
∀a ∈ F \ {0}, ∃a−1 ∈ F : a · a−1 = e.
3) ∀a, b, c ∈ F : (a + b) · c = a · c + b · c.

BÀI TẬP
I.1. Cho A, B, C là ba tập hợp tùy ý. Chứng minh rằng
a) A \ (A \ B) = A ∩ B.
b) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C).
c) A ∪ (B \ A) = A ∪ B.
I.2. Chứng minh rằng
a) A ∩ B = ∅ ⇔ (A × B) ∩ (B × A) = ∅.
b) (A × C) ∩ (B × D) = (A ∩ B) × (C ∩ D).
I.3. Cho ánh xạ f : X → Y, A ⊂ X, B ⊂ X. Chứng minh rằng