Bài tập tính góc giữa đường với mặt có đáp án thầy lê bá trần phương

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

GÓC GI A

ng)

Hình h c không gian

NG TH NG V I M T

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
NG
Các bài đ

c tô màu đ là các bài t p

m c đ nâng cao

Bài 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, (SAB)  ( ABCD) ( là trung đi m c a
AB, SH=HC, SA=AB. Tính góc gi a đ

ng th ng SC và m t ph ng (ABCD).
Gi i

+ Ta có: AH 

1
a
AB  , SA  AB  a ,

2
2

SH  HC  BH 2  BC 2 

S

a 5
.
2

5a 2
 AH 2 nên tam giác SAH vuông t i A
4
hay SA  AB mà (SAB)  ( ABCD) Do đó SA  ( ABCD)

Vì SA2  AH 2 

A

và AC là hình chi u vuông góc c a SC lên mp(ABCD).
+ Ta có: (SC,( ABCD))  SCA, tan SCA 

V y góc gi a đ

2
SA
.

2

AC

D

H
B

C

a

ng th ng SC và m t ph ng (ABCD) là góc có tang b ng

2
.
2

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i m t ph ng đáy

SA  a 6 . Tính sin c a góc gi a:
a) SC và (SAB)
b) AC và (SBC)

S

Gi i:
a) Ta có: BC  AB (gt) và SA  BC (vì SA  ( ABCD) )

 BC  (SAB)
H

do đó SB là hình chi u vuông góc c a SC trên mp(SAB)

A

D

 (SC,(SAB))  BSC .

B

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

C

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

BC

a
2
.


2
2
SC
4
SA  AC
c) + Trong mp(SAB) k AH  SB (H  SB) . Theo a) BC  (SAB)  AH  BC nên AH  (SBC ) hay

b) Ta có:  sin( SC , ( SAB))  sin BSC 

CH là hình chi u vuông góc c a AC trên mp(SBC)  ( AC,( SBC ))  ACH .

+ Xét tam giác vuông SAB có:

1
1
1
7
6

 2  2  AH  a .
2
2
AH
AB SA 6a
7

+ V y sin( AC , ( SBC ))  sin ACH 

21
AH

7
AC

Bài 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông ABCD c nh a, tâm O. C nh SA = a và SA  (ABCD).
G i E, F l n l t là hình chi u vuông góc c a A lên các c nh SB và SD.
a) Ch ng minh BC  (SAB), CD  (SAD).
b) Ch ng minh (AEF)  (SAC).
c) Tính tan  v i  là góc gi a c nh SC v i (ABCD).
Gi i
a. Vì SA  ( ABCD)  SA  BC, BC  AB  BC  (SAB)

SA  ( ABCD)  SA  CD, CD  AD  CD  (SAD)
b. SA  ( ABCD), SA  a , các tam giác SAB, SAD vuông cân

 FE là đ

ng trung bình tam giác SBD  FE BD

BD  AC  FE  AC, SA  ( ABCD)  BD  SA FE  SA

FE  (SAC ), FE  ( AEF )  (SAC )  ( AEF )

c. SA  ( ABCD) nên AC là hình chi u c a SC trên (ABCD)    SCA

 tan  

1
2
2
SA
a
)



   arctan(
2
2
AC a 2
2

Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có SA  ABCD đáy ABCD là hình vuông c nh a ; SA = a 6 G i A( AK
l nl

t là đ

ng cao c a các tam giác SAB và SAD

1) Ch ng minh :  SAD ;  SDC là nh ng tam giác vuông.
2) Ch ng minh: AK  (SDC) ; HK  (SAC)
3) Tính góc gi a đ

ng th ng SD và m t ph ng (SAC).

Gi i:
1). C/m:  SAD là tam giác vuông.
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

Ta có : SA  (ABCD) ; AD  (ABCD)  SA  AD   SAD vuông t i A.
C/m:  SDC là tam giác vuông.
Ta có : SA  (ABCD) ; DC(ABCD)
 DC  SA

S

DC  AD (do ABCD vuông)

H

 DC  (SAD) mà SD  (SAD)

  SDC vuông t i D.

 DC  SD

K

2). C/m: AK  (SDC)

B
A

Ta có: DC  (SAD) ; AK  (SAD)
 AK  DC, có
 AK  SDC

AK  SD

O

(gi thi t)
D

đpcm

C/m: HK  (SAC)

C

Ta có :  SAB =  SAD (c-g-c) SB=SD
Mà H, K là hình chi u c a A lên SB, SD 

SH SK
 HK // BD

SB SD

Xét tam giác cân SBD, OB=OD (O là tâm hvuông ABCD) SO  BD
T (1),(2)  HK  SO

(*)

AO  BD

(3)

M t khác:

(1)
(2)

T (1),(3)  HK  AO (**)
T (*),(**)

HK  (SAO)

Hay HK  SAC

đpcm

3). Tính góc gi a SD và mp (SAC).

Ta có: SO  OD  SO là hình chi u c a SD trên mp (SAC)
 góc gi a SD và mp (SAC) là góc h p b i SD và SO.

2
a
2
DO
1
2
DO=
a , SD= 7a Sin DSO =


2
SD
7a
14
V y DSO = arcsin

1
14

Bài 5: Cho hình chóp đ u S ABCD đáy có c nh b ng a và có tâm O. G i M,N l n l t là trung đi m
SA;BC.Bi t góc gi a MN và (ABCD) b ng 600.Tính MN, SO, góc gi a MN và m t ph ng (SAO).
Gi i
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

G i P là trung đi m AO Khi đó MP

 MNP = 600

Do đó MN ABCD

ng)

Hình h c không gian

SO và SO  (ABCD).

Trong  NCP theo đ nh lý hàm s Cosin ta có:

NP 2  CN 2  CP 2  2CN.CP .cos450
2

2
a2  3
a 3

   a 2   2. . a 2.
4 4

2 4
2

2
2
2
10
a 18a 12a
 

 a2
4
16
16
16
a 10
5
PN
a 10
Trong tam giác vuông MNP ta có MN 
 4 
a
0
1
2
2
cos60
2
và PM  PN.tan 600 

a 10
a 30
a 30
. 3
 SO  2MP 
4
4
2

G i ( là trung đi m OC. Suy ra NH // BD mà BD  SAC do đó MN SAC

 NMH.

1
a 2
5
, MN  a
Ta có NH  OB 
. Suy ra trong tam giác vuông MNH ta có
2
4
2
sin NHM 

NH
1

MN 2 5

V y góc gi a MN và m t ph ng (SAC) là 1 góc có giá tr  th a mãn sin  

1
2 5

;0   


2

.

Bài 6: Cho hình vuông ABCD và tam giác đ u SAB c nh a n m trong 2 m t ph ng vuông góc. G i I là
trung đi m AB. CMR: SI  (ABCD) và tính góc h p b i SC v i (ABCD).
Gi i
S d ng tính ch t 2 mp vuông góc ta có:

 SI  ( SAB)

( SAB)  ( ABCD)  AB  SI  ( ABCD)
 SI  AB


S

H

Khi đó ) là hình chi u c a S lên (ABCD)

K

L

D

suy ra SC có hình chi u lên (ABCD) là IC

A

 (SC,( ABCD))  (SC, IC)  SCI

I

J

(do tam giác SIC vuông t i I nên góc SCI là góc nh n)
S) là đ

ng cao c a tam giác đ u ABC nên SI 

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

a 3
2

B

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

C
- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

Trong tam giác vuông ICB: IC  IB2  BC 2 

ng)

Hình h c không gian

a2
a 5
 a2 
4
2

a 3
SI
3
15
 tan SCI 
 2 

CI a 5
5
5
2

 15 
V y ( SC , ( ABCD))  SCI  arctan 

 5 

Bài 7. Cho hình vuông ABCD và tam giác đ u SAB c nh a
G i O là trung đi m c a c nh AB.

trong hai m t ph ng vuông góc v i nhau.

1.Tìm góc gi a SA, SB, SC, SD v i m t ph ng (ABCD)
2. Tìm góc gi a SO và m t ph ng (SCD)
3. Tìm góc gi a SC, SD và m t ph ng (SAB)
Bài gi i
1. G i O là trung đi m c a AB=> SO vuông góc v i m t ph ng (ABCD)
góc gi a SA, SB, SC, SD v i m t ph ng (ABCD) l n l

t là các góc

SAB  600 , SBA  600 , SCO, SDO

S

a2
5
OC  BC 2  OB2  a 2 
a
4
4

E

a2
3
SO  SB  OB  a 
a
4
4
2

2

2

D
A

SO
15

OC
5
15
 SCO  arctan(
)
5
 tan SCO 

T

ng t ta tính đ

c SDO  arctan(

K

O
B

C

15
)
5

2. T O k OK vuông góc v i DC, K OE vuông góc v i SK t i E => góc gi a SO và m t ph ng (SCD) là
góc: OSK  tan OSK 


OK
3 2 3
 a :  a
 
SO
3
4



2 3

 OSK  arctan 

 3 

3. T

ng t nh ý ta có góc gi a SC, SD v i m t ph ng (SAB) l n l

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

t là các góc:

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

BSC  ASD  450

Bài 8 (t

gi i): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh là a . K SA vuông góc v i

(ABCD) và SA  a 2 .
a) Tính góc gi a SC và (ABCD) .
b) Tính góc gi a SC và (SAB) .
c) Tính góc gi a SC và (SBD) .

S

A

D
O

B
H

Đáp s :

a) [SC,(ABCD)] = 45o

C

b) [SC,(SAB)] = 30o

c) [SC,(SBD)] = arcsin

1
10

Ý c): có góc gi a SC và SBD là góc CSO
Ta có tam giác SAC vuông cân t i A có O là trung đi m AC.
Có tan ASO 

1
2

tan ASC  tan 450  1





 1  tan ASO  OSC 
 tan OSC 

tan ASO  tan OSC
1  tan ASO.tan OSC



1/ 2  tan OSC
1  1/ 2.tan OSC

1
1
1
 cot OSC  3  sin OSC 
 OSC  arcsin
3

10
10

Các em có th làm t i tan OSC 

1
là ok. Không c n ph i tìm ra sin.
3

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai

- Trang | 6 -