Bài tập sự tương giao của hàm phân thức có đáp án thầy lê bá trần phương

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

S

Các bài t p trong tài li u này đ

NG GIAO C A HÀM PHÂN TH C
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
NG
c biên so n kèm theo bài gi ng S t

ng giao c a hàm phân th c thu c khóa h c
ng) t i website Hocmai.vn.

s d ng hi u

c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Các bài đ
Bài 1. Tìm m đ đ

Hàm s

T

Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph
qu , B n c n h c tr

ng)

c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao

ng th ng (d): y=-x+m c t đ th (C): y 

x
t i 2 đi m phân bi t.
x 1

Gi i
Ph

ng trình hoành đ giao đi m c a (d) và (C):

x
  x  m  f ( x)  x2  (m  2) x  m  0, x  1 (1)
x 1

(d) c t (C) t i 2 đi m phân bi t khi và ch khi (1) có 2 nghi m phân bi t
2
2

  0  (m  2)2  4m  m2  4  0
(m  2)  4m  m  4  0  m 


1  0
f (1)  1  0


V y v i m i m thì (d) c t (C) t i 2 đi m phân bi t.
Bài 2. Cho hàm s y 

2x 1
(H). G i (d) là đ
x 1

ng th ng đi qua đi m A(-2;2) và có h s góc m.

Xác đ nh m đ (d) c t (H):
a) t i 2 đi m phân bi t
b) t i 2 đi m thu c 2 nhánh c a (H).
Gi i
+
+ Ph

ng th ng (d) đi qua đi m A(-2;2), có h s góc m có ph
ng trình hoành đ giao đi m c a (d) và (H) là:

 mx2  mx  (2m  3)  0 (*)

ng trình d ng: y  mx  2m  2

2x 1
 mx  2m  2, ( x  1)
x 1

t: g ( x)  mx2  mx  (2m  3)

a) (d) c t (H) t i 2 đi m phân bi t khi và ch khi ph

ng trình (*) có 2 nghi m phân bi t khác 1

m  0
a  0
m  0
4
 2


   0  9m  12m  0  
 m   hoac m  0
4
3
 g (1)  0
3  0, m
m   3 hoac m  0



Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

+ Giá tr c n tìm là: m  

ng)

Hàm s

4
ho c m  0 .
3

b) + (d) c t (H) t i 2 đi m thu c 2 nhánh c a (H) khi và ch khi ph

ng trình (*) có 2 nghi m x1 , x2

th a mãn x1  1  x2 .
t t  x  1 ph

+

ng trình (*) tr thành: mt 2  3mt  3  0 (**)

ng trình (*) có 2 nghi m x1 , x2 th a mãn x1  1  x2

+ Ph

 Ph


ng trình (**) có 2 nghi m t1 , t2 th a mãn t1  0  t2

3
 0  m  0.
m

+ V y, giá tr c n tìm là: m  0 .

Bài 3. Cho hàm s : y 

2 x  4
. G i d là đ
x 1

ng th ng đi qua A (1; 1) và có h s góc k. Tìm k sao cho d

c t (C) t i 2 đi m M, N mà MN  3 10
Gi i
–
-

ng th ng d có ph

ng trình: y = k(x – 1) + 1

d c t (C) t i 2 đi m phân bi t M, N thì ph

ng trình:

2 x  4

 k( x  1)  1  kx2  (2k  3) x  k  3  0 (*) ph i có 2 nghi m phân bi t x  1.
x 1

k  0
k  0

3


   9  24k  0  k 

3 (1)
8

k  8
k.12  (2k  3).1  k  3  0  6  0

- G i M(x1, y1), N(x2, y2) (x1, x2 là nghi m c a (*))
Khi đó: MN  3 10  MN 2  90  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  90
  x1  x2    k( x1  1)  1  (k( x2  1)  1  90
2

2

  x1  x2   k 2  x1  x2   90
2

2

2

2
 (1  k 2 )  x1  x2   90  (1  k 2 )  x1  x2   4 x1 x2   90



(x1, x2 là nghi m c a (*) nên theo Viet ta có: x1  x2 

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

2k  3
k3
; x1 x2 
)
k
k

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

 2 k  3  2
 k  3 
 (1  k ) 
  4
   90
 k  
 k 
2

 8k3  27k2  8k  3  0  (k  3)(8k 2  3k  1)  0
 k  3
(Th a mãn (1))

 k  3  41

16
 k  3
áp s : 
 k  3  41

16

Bài 4. Cho hàm s : y 

x 1
(C). Tìm m đ đ
x 1

ng th ng (d): y = 2x + m c t (C) t i 2 đi m phân bi t A, B

sao cho AB ng n nh t.
Gi i
–

(d) c t (C) t i 2 đi m phân bi t A, B thì ph

ng trình:

x 1
 2 x  m  2 x2  (m  3) x  m  1  0 (*) ph i có 2 nghi m phân bi t khác 1.
x 1
  m2  2m  17  0
m

 2

 m
2.1  (m  3).1  m  1  0
2  0


- G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 là nghi m c a (*))
Ta có: AB 

 x1  x2 

2

 ( y1  y2 )2 

 x1  x2    2x1  m  (2x2  m)
2

2

 5( x1  x2 )2  5 ( x1  x2 )2  4 x1 x2 
 3  m  2
 m  1  
 5 
  4

 2  
 2 



5 2
5
2
(m  2m  17) 
 m  1  16  20

4
4

=> AB ng n nh t (d u = x y ra) khi m = -1
áp s : m = -1.
x3
(1). Tìm k đ đ ng th ng (d) đi qua đi m I(-1; 1) v i h s góc k c t đ th
x 1

hàm s (1) t i 2 đi m A, B sao cho I là trung đi m AB.

Bài 5. Cho hàm s : y 

Gi i
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

– (d) có ph
-

ng)

Hàm s

ng trình: y = k(x + 1) + 1

(d) c t đ th (1) t i 2 đi m phân bi t A, B thì ph

ng trình:

x3
 k( x  1)  1 ph i có 2 ngi m phân bi t khác -1.
x 1

 kx2 + 2kx + k + 4 = 0 có 2 nghi m phân bi t khác -1.
k  0

  '  4k  0  k  0
 k  0 (1)
k(1) 2  2k(1)  k  4  0  4  0


- G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 là nghi m c a (*))
 x1  x2
 2  1
I là trung đi m AB ta ph i có: 
 y1  y2  1
 2


 x1  x2  2
 x  x  2
 x1  x2  2


 1 2
k  x1  x2   2k  0
2k  2k  0
k( x1  1)  1  k( x2  1)  1  2


 x1  x2  2  -2 = -2 (Luôn đúng)

V y v i k < 0 thì d luôn c t đ th hàm s (1) t i 2 đi m A, B và I là trung đi m.
Bài 6. Cho hàm s : y 

2 x  3
(C). Tìm m đ đ
x 1

ng th ng d: y = mx + 2 c t (C) t i 2 đi m phân bi t A,

1
B sao cho G (1; ) là tr ng tâm tam giác AOB (O là g c t a đ ).
3

Gi i
d c t (C) t i 2 đi m phân bi t A, B thì ph

ng trình:

2 x  3
 mx  2 ph i có hai ngi m phân bi t x  1.
x 1

 mx2 – (m – 4)x – 5 = 0 (*) ph i có 2 nghi m phân bi t x  1.
m  0
m  0



   m2  12m  16  0  m  6  2 5, m  6  2 5
 2

m.1  (m  4).1  5  0
1  0

 m  6  2 5  6  2 5  m  0  m  0 (1)

- G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 là nghi m c a (*))
1
Khi đó G (1; ) là tr ng tâm tam giác AOB
3
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

 x1  x2  0
 x1  x2  3

 1  x1  x2  3




3

  mx1  2  mx2  2 1   m  x1  x2   4 1


 y1  y2  0  1


3
3
3
3


3
3

m 4
 3
 4m  4

 m

 m  1 (Th a mãn (1))
3m  3



3m  4  1

áp s : m = 1.
x 2
(C). Tìm k đ đ ng th n d đi qua M(-1; -1) v i h s góc k c t (C) t i 2
2x 1
đi m phân bi t A, B sao cho A và B n m v 2 phía khác nhau c a tr c hoành.

Bài 7. Cho hàm s : y 

Gi i
- Ph
-

ng trình c a d là: y = k(x + 1) – 1
d c t (C) t i 2 đi m phân bi t A, B thì ph

ng trình:

x 2
1
 k( x  1)  1 ph i có 2 nghi m phân bi t x  
2x 1
2

 2kx2 + (3k - 3)x + k – 3 = 0 (*) ph i có 2 nghi m phân bi t x  

1

2



 2k  0
k  0

k  0


2
(1)
   (m  3)  0
 k  3  
k  3

 3
2
2k   1   (3k  3)   1   k  3  0
  0


 2
  2 
 2

- G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 là nghi m c a (*))
A, B n m v 2 phía c a Ox ta ph i có: y1.y2 < 0
 (kx1 + k – 1)(kx2 + k – 1) < 0
 k2.x1x2 + k2(x1 + x2) – k(x1 + x2) + k2 – 2k + 1 < 0

 k  3  2  3  3k   3  3k  2
 k2 
k 
  k
  k  2k  1  0
 2k 
 2k   2k 

 -k – 1 < 0  k > -1
áp s : 1  k  0  k  0 .

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

3x  1
. CMR: v i m i m đ ng th ng dm : y   x  m luôn c t đ th (C) t i hai
2x 1

đi m phân bi t A và B thu c hai nhánh khác nhau. Tìm m đ đo n th ng AB có đ dài nh nh t.
y

Bài 8. Cho hàm s

Gi i:
Xét ph

ng tình hoành đ giao đi m c a d m và (C ) :

3x  1
 x  m
2x 1

1

 f ( x)  2 x2  2(m  2) x  m  1  0 (1)  x   
2

5
 1
Ta có:  '  m2  2m  6  0, m và f       0, m nên ph ng trình (1) có hai nghi m phân
2
 2
1
bi t khác  v i m i m. V y h đ ng th ng dm luôn c t đ th (C) t i 2 đi m phân bi t A và B.
2

Gi s

A x1; y1  , B  x2 ; y2  ta có x1 , x2 là nghi m c a ph

ng trình (1), theo đ nh lí Viet, ta có:

 m  1 
(2 x1  1)(2 x2  1)  4 x1 x2  2( x1  x2 )  1  4 
  2(m  2)  1  5  0
 2 
1
 x1    x2 nên hai đi m A và B thu c hai nhánh c a đ th và:
2

y1   x1  m; y2   x2  m
AB2  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  ( x2  x1 )2  ( x2  x1 )2


 m  1 
2
2( x2  x1 )2  2 ( x1  x2 )2  4 x1 x2   2 (m  2) 2  4 
   2(m  1)  10  10
 2 


Suy ra AB  10 . V y min AB  10 khi m  1 .
2x 1
, tìm m đ đ ng th ng d: y   x  m c t đ th (C) t i hai đi m phân bi t A
x 2
và B sao cho OA vuông góc v i OB (v i O là g c t a đ ).

Bài 9. Cho hàm s

y

Gi i:
Xét ph

ng trình hoành đ giao đi m c a d và (C):

 x  2
2x 1
 x  m   2
x 2
 x  (4  m) x  1  2m  0 (1)
t g ( x)  x2  (4  m) x  1  2m

  m2  12  0 m
Ta có: 
nên ph ng trình (1) có 2 nghi m phân bi t th a mãn x  2 . Suy ra d và
 g (2)  0, m
(C) luôn c t nhau t i 2 đi m phân bi t A và B. G i A( xA;  xA  m), B( xB ;  xB  m)
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

Do OA  OB nên OAOB
.  0  2 xA.xB  m( xA  xB )  m2  0 (*)
xA; xB là nghi m c a ph

Thay vào (*) ta đ

ng trình (1) nên có: xA  xB  m  4; xAxB  1  2m

c: 2(1-2m)-m(m-4)+m2 =0 ph

ng trình vô nghi m.

V y không t n t i m th a mãn đ u bài.
3
x 2
 1
 C  Tìm trên (C) nh ng đi m M sao cho kho ng cách t M đ n
x 1
x 1
tr c Ox b ng ba l n kho ng cách t M đ n tr c Oy .

Bài 10. Cho hàm s

y

Gi i
Theo gi thi t ta có :
 x 2
vô n 0
 x  1  3x
3x2  2 x  2  0
 y  3x


 2
 
2  10
2  10



3
2
y
x
x
3x  4 x  2  0
 x


 3x 
 x 
3
3

 x  1

V y trên (C) có hai đi m M có hoành đ : x 
y

Bài 11. Cho hàm s

x2
. G i d là đ
x 1

2  10
2  10
, th a mãn yêu c u bài toán .
 x
3
3

ng th ng đi qua đi m A(1; 0) và có h s góc k. Tìm k đ d

c t (C) t i hai đi m phân bi t M, N thu c hai nhánh khác nhau c a (C) sao cho AM  2 AN .
Gi i
PT đ

ng th ng d: y  k( x  1) . PT hoành đ giao đi m c a (C) và d:
x2
 k ( x  1)  kx 2  (2k  1) x  2  0 ( x  1) (1)
x 1

t t  x  1  x  t  1 . Khi đó (1) tr thành kt 2  t  3  0 (2)

d c t (C) t i hai đi m phân bi t M, N thu c hai nhánh khác nhau  (1) có 2 nghi m x1, x2 tho
x1  1  x2  (2) có 2 nghi m t1, t2 tho t1  0  t2  3k  0  k  0

(*).

Vì A luôn n m trong đo n MN và AM  2 AN nên AM  2 AN  x1  2 x2  3 (3)
Áp d ng đ nh lí Viet cho (1) ta có: x1  x2 
T (3), (4)  x1 

k 2
2k  1
(4), x1x2 
(5) .
k
k

k 2
k 1
; x2 
. Thay vào (5) ta đ
k
k

c: k 

2
(tho (*)).
3

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph

Ngu n
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn
- Trang | 7 -