Phương pháp hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân

BË GI•O DÖC V€
TR×ÍNG

€O T„O

„I HÅC VINH

ŠU XU…N L×ÌNG

PH×ÌNG PH•P H€M PH„T
CHO B€I TO•N
B‡T

•NG THÙC BI˜N PH…N
LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC

VINH - 2010


i

BË GI•O DÖC V€
TR×ÍNG

€O T„O

„I HÅC VINH

ŠU XU…N L×ÌNG

PH×ÌNG PH•P H€M PH„T

CHO B€I TO•N
B‡T

•NG THÙC BI˜N PH…N
LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC
Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch
M¢ sè: 62 46 01 01

NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC
GS. TSKH. L– DÔNG M×U
PGS. TS. TR†N V‹N …N

VINH - 2010


MệC LệC

Mửc lửc
Lới cam oan

i
iv

Lới cÊm ỡn

1

M Ưu

2

1

Lẵ do chồn ã t i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2

Mửc ẵch nghiản cựu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3

ối tữủng nghiản cựu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

4

PhÔm vi nghiản cựu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

5

Phữỡng phĂp nghiản cựu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

6

ị nghắa khoa hồc v thỹc tiạn . . . . . . . . . . . . . . .

7

7

Tờng quan v cĐu trúc luên Ăn . . . . . . . . . . . . . . .

7

1 H m phÔt cho b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn

11

1.1 CĂc kát quÊ vã sỹ tỗn tÔi v tẵnh duy nhĐt nghiằm cừa
b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Php chiáu v mối quan hằ vợi bĐt ng thực bián phƠn

13

1.3 Phữỡng phĂp chiáu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Phữỡng phĂp h m phÔt

..................

ii

19


iii

1.5 Phữỡng phĂp kát hủp phÔt-chiáu giÊi b i toĂn bĐt ng
thực bián phƠn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.6 Vẵ dử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Kát luên Chữỡng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 H m phÔt cho b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector
yáu

35

36

2.1 iãu kiằn ừ cho sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa b i toĂn bĐt ng
thực bián phƠn vector yáu . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 B i toĂn phÔt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 CĂc nh lỵ hởi tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Kát luên Chữỡng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 H m phÔt cho b i toĂn tối ữu a mửc tiảu

50
51

3.1 iãu kiằn ừ cho sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa b i toĂn tối ữu

a mửc tiảu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 B i toĂn phÔt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 CĂc nh lỵ hởi tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Kát luên
Chữỡng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Kát luên v kián ngh
1
Kát luên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2

Kián ngh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62
62
62

Danh mửc cổng trẳnh khoa hồc cừa nghiản cựu sinh liản
quan án luên Ăn
T i liằu tham khÊo

63
63


iv

LI CAM

OAN

Tổi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa riảng tổi, cĂc
kát quÊ trẳnh b y trong luên Ăn l ho n to n trung thỹc, ữủc cĂc ỗng
tĂc giÊ cho php sỷ dửng v luên Ăn ho n to n khổng trũng lp vợi bĐt
kẳ t i liằu n o khĂc.
êu XuƠn Lữỡng


1

LI CM èN

Luên Ăn ữủc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dăn cừa GS. TSKH. Lả Dụng
Mữu v PGS. TS TrƯn Vôn n. TĂc giÊ xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu s-c
nhĐt tợi cĂc ThƯy, nhỳng ngữới  tên tẳnh hữợng dăn, giúp ù tĂc giÊ
trong cÊ quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v viát bÊn luên Ăn n y.

TĂc giÊ cụng xin chƠn th nh cÊm ỡn LÂnh Ôo trữớng Ôi hồc Vinh, l
Ânh Ôo khoa ToĂn hồc, Khoa Sau Ôi hồc Trữớng Ôi hồc Vinh; LÂnh
Ôo Viằn ToĂn hồc, cũng têp th GS v cĂc ThƯy, Cổ cừa Trữớng Ôi
hồc Vinh v Viằn ToĂn hồc  ởng viản giúp ù tÔo nhiãu iãu kiằn thuên
lủi trong thới gian tĂc giÊ hồc têp v nghiản cựu.
TĂc giÊ xin gỷi lới cÊm ỡn tợi cĂc nh khoa hồc v cĂc ThƯy, Cổ
thuởc Tờ GiÊi tẵch cừa Khoa ToĂn hồc Trữớng Ôi hồc Vinh  d nh
thới gian ồc luên Ăn v cho nhỳng ỵ kián nhên xt quỵ bĂu.
TĂc giÊ xin gỷi lới cÊm ỡn tợi Trữớng Cao ng Sữ phÔm QuÊng
Ninh v Khoa Tỹ nhiản thuởc Trữớng Cao ng Sữ phÔm QuÊng
Ninh, ngữới thƠn v bÔn b vẳ nhỳng gõp ỵ, ừng hở v ởng viản vã
tinh thƯn cụng nhữ vêt chĐt cho tĂc giÊ.
êu XuƠn Lữỡng

2

Mé

1

U

Lẵ do chồn ã t i

1.1 Lỵ thuyát bĐt ng thực bián phƠn ra ới v o nhỳng nôm 60 ([50, 20,
32]), l mởt cổng cử mÔnh v thống nhĐt nghiản cựu cĂc b i toĂn cƠn
bơng. Cho án nay, nhỳng b i toĂn ữủc quy vã cĂc b i toĂn bĐt ng thực
bián phƠn gỗm cõ: b i toĂn cƠn bơng mÔng giao thổng (Traffic Network
Equilibrium Problem) v b i toĂn gƯn vợi nõ l b i toĂn cƠn bơng giĂ khổng
gian (Spatial Price Equilibrium Problem) (tham khÊo chng hÔn [8, 47,
9, 42, 41]), cĂc b i toĂn cƠn bơng t i chẵnh (Financial Equilibrium
Problem), cƠn bơng nhêp cữ (Migration Equilibrium Prob-lem), hằ
thống mổi trữớng (Environmental Network Problem) v mÔng kián thực
(Knowledge Network Problem) ([11, 25, 26, 10, 40, 41, 29]).

Phữỡng phĂp h m phÔt l mởt trong cĂc phữỡng phĂp quan trồng
giÊi cĂc b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn (tham khÊo chng hÔn [38,
23, 39, 1, 51]). Nhớ v o phữỡng phĂp n y, mởt b i toĂn vợi miãn
r ng buởc phực tÔp cõ th ữủc chuyn vã mởt dÂy cĂc b i toĂn khổng
r ng buởc hoc vợi r ng buởc ỡn giÊn hỡn. Trong khi õ, phữỡng phĂp
chiáu l mởt lợp phữỡng phĂp ỡn giÊn v hiằu quÊ, c biằt ối vợi cĂc
b i toĂn thọa mÂn iãu kiằn ỡn iằu. Nhữủc im duy nhĐt cừa phữỡng
phĂp n y l ta phÊi tẵnh hẳnh chiáu cừa mởt im lản mởt miãn lỗi bĐt

ký, v õ l mởt b i toĂn rĐt khõ trong trữớng hủp tờng quĂt, khi m miãn õ
khổng cõ hẳnh dÔng c biằt. Do õ, kát hủp phữỡng phĂp h m phÔt


3

v phữỡng phĂp chiáu s kh-c phửc ữủc nhữủc im n y cừa phữỡng
phĂp chiáu.
1.2 KhĂi niằm bĐt ng thực bián phƠn vector ữủc giợi thiằu bi
Giannessi [16]. Tứ õ tợi nay, ngữới ta  tẳm ữủc nhiãu ựng dửng cừa
b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector (Vector Variational Inequality

Problem, viát t-t l VVIP) v b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu
(Weak Vector Variational Inequality Problem, viát t-t l WVVIP) trong
b i toĂn tối ữu a mửc tiảu (Multiobjective Optimization Problem, viát t-t l
MOP) (tham khÊo chng hÔn [16, 2, 4, 53, 18], trong b i toĂn xĐp
x vector (Vector Approximation Problem) ([54]), v trong b i toĂn cƠn bơng
giao thổng vector (Vector Traffic Equilibrium Problem) ([55]). Sỹ tỗn tÔi
nghiằm cừa b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu cụng ữủc nghiản
cựu trong nhiãu cổng trẳnh (tham khÊo chng hÔn [6, 4, 3, 31, 12]).

cõ th ựng dửng b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu v o
thỹc tiạn, ỏi họi phÊi cõ cĂc thuêt toĂn giÊi số hiằu quÊ cho b i toĂn n
y. Tuy nhiản, theo hiu biát cừa chúng tổi, cho tợi nay ch cõ mởt v
i cổng trẳnh nghiản cựu vã cĂc thuêt toĂn giÊi b i toĂn bĐt ng
thực bián phƠn vector yáu ([18, 19]). Tứ rĐt lƠu, phữỡng phĂp h m
phÔt  ữủc Ăp dửng giÊi cĂc b i toĂn tối ữu v cĂc b i toĂn bĐt ng
thực bián phƠn dÔng thữớng, ữa mởt b i toĂn vợi miãn r ng buởc phực
tÔp vã mởt dÂy cĂc b i toĂn cõ r ng buởc ỡn giÊn hỡn hoc khổng cõ
r ng buởc. Tuy nhiản, cho tợi nay chữa cõ bĐt cự cổng trẳnh n o

nghiản cựu Ăp dửng phữỡng phĂp n y cho b i toĂn bĐt ng thực bián
phƠn vector yáu m chúng tổi ữủc biát.
1.3 KhĂi niằm nghiằm tối ữu Pareto (m trong luên Ăn n y chúng tổi
gồi l nghiằm Pareto) cừa b i toĂn tối ữu a mửc tiảu xuĐt hiằn Ưu tiản
trong cĂc cổng trẳnh cừa Edgeworth [13] v Pareto [44]. Mởt im x ữủc
gồi l nghiằm Pareto cừa b i toĂn tối ữu a mửc tiảu vợi h m mửc tiảu
f = (f1; : : : ; fk) (k mửc tiảu) náu khổng cõ mởt im n o khĂc tốt hỡn


4

im õ, nghắa l khổng tỗn tÔi mởt im y 6= x sao cho f i(y) fi(x) vợi
mồi i = 1; : : : ; k, v f j(y) < fj(x) vợi mởt ch số j n o õ. im x ữủc gồi l
nghiằm Pareto yáu cừa b i toĂn tối ữu a mửc tiảu náu khổng cõ mởt
im n o khĂc tốt hỡn im õ xt trản tĐt cÊ cĂc mửc tiảu, nghắa l
khổng tỗn tÔi y sao cho fi(y) < fi(x) vợi mồi i = 1; : : : ; k.
B i toĂn tối ữu a mửc tiảu cõ ựng dửng rởng rÂi trong rĐt nhiãu lắnh
vỹc, trong cÊ khoa hồc v cuởc sống. Lỵ thuyát tối ữu a mửc tiảu ữủc sỷ
dửng trong b i toĂn xĐp x vector (Vector Approximation Problem), lỵ
thuyát trỏ chỡi (Game Theory), cĂc b i toĂn quÊn lỵ v hoÔch nh t i
nguyản (Resource Planning and Management), lỵ thuyát phúc lủi
(Welfare Theory), cĂc b i toĂn trong k thuêt nhữ iãu khin phi cỡ, cĂc hằ
thống cỡ khẵ chẵnh xĂc, .v.v.. (tham khÊo chng hÔn [48, 49, 33, 24]).

Phữỡng phĂp h m phÔt Ăp dửng cho b i toĂn tối ữu a mửc tiảu Â
ữủc nghiản cựu trong mởt v i cổng trẳnh gƯn Ơy (tham khÊo [52,
21, 22, 34]). Trong [34], Liu v Feng nghiản cựu nghiằm Pareto yáu
cừa b i toĂn MOP(D; f) sỷ dửng mởt h m phÔt mụ. Liu v Feng Â
chựng minh rơng náu x l mởt im giợi hÔn cừa mởt dÂy cĂc nghiằm
Pareto yáu cừa cĂc b i toĂn phÔt v x chĐp nhên ữủc (nghắa l x 2 D),

thẳ x l mởt nghiằm Pareto yáu cừa b i toĂn ban Ưu. Nhữ vêy, cĂc
nh lỵ hởi tử cừa hồ dỹa trản giÊ thiát rơng im giợi hÔn x cừa dÂy
cĂc nghiằm Pareto yáu cừa cĂc b i toĂn phÔt nơm trong miãn r ng
buởc D. GiÊ thiát n y l mởt im bĐt lủi trong cĂch tiáp cên b i toĂn tối
ữu a mửc tiảu vợi h m phÔt mụ cừa Liu v Feng. Tứ õ nÊy sinh yảu
cƯu phÊi cõ mởt mổ hẳnh h m phÔt cho cĂc kát quÊ hởi tử tốt hỡn,
kh-c phửc ữủc nhữủc im cừa mổ hẳnh ã xuĐt trong [34].
Vợi cĂc lẵ do nảu trản, chúng tổi chồn ã t i Phữỡng phĂp h m
phÔt cho b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn l m ã t i luên Ăn tián sắ. ã t i
têp trung nghiản cựu nhỳng vĐn ã sau.
(1) Kát hủp phữỡng phĂp h m phÔt v phữỡng phĂp chiáu cõ mởt


5

thuêt toĂn ho n chnh giÊi cĂc b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn dÔng
VIP(D; f), vợi D lỗi õng khĂc rộng v f ỡn iằu, liản tửc Lipschitz. Bơng
cĂch n y, ta kh-c phửc ữủc tr ngÔi lợn nhĐt cừa phữỡng phĂp chiáu l
sỹ khõ khôn khi tẵnh toĂn hẳnh chiáu cừa mởt im lản mởt miãn lỗi
bĐt ký.
(2) p dửng phữỡng phĂp h m phÔt chuyn mởt b i toĂn bĐt ng
thực bián phƠn vector yáu vợi r ng buởc trản mởt miãn D lỗi õng bĐt
ký vã mởt dÂy cĂc b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu vợi miãn
r ng buởc K D ỡn giÊn hỡn, gồi l cĂc b i toĂn phÔt. Ta cõ th chồn
k

K = R , nghắa l cĂc b i toĂn phÔt s khổng cõ r ng buởc.
(3) p dửng phữỡng phĂp h m phÔt chuyn mởt b i toĂn tối ữu a
mửc tiảu vợi r ng buởc trản mởt miãn D lỗi õng bĐt ký vã mởt dÂy cĂc
b i toĂn tối ữu a mửc tiảu vợi miãn r ng buởc K D ỡn giÊn hỡn, gồi l

k

cĂc b i toĂn phÔt. Ta cõ th chồn K = R , nghắa l cĂc b i toĂn phÔt s
khổng cõ r ng buởc. Bơng cĂch sỷ dửng h m phÔt ngo i, chúng tổi
thu ữủc cĂc kát quÊ hởi tử tốt hỡn so vợi cĂc kát quÊ nảu trong [34].
Ngo i ra, chúng tổi cỏn ch ra iãu kiằn ừ cĂc b i toĂn phÔt ãu cõ
nghiằm Pareto yáu, ỗng thới dÂy cĂc nghiằm õ cõ ẵt nhĐt mởt im
giợi hÔn v õ chẵnh l mởt nghiằm cừa b i toĂn ban Ưu.

2

Mửc ẵch nghiản cựu

Luên Ăn nhơm mửc ẵch nghiản cựu Ăp dửng phữỡng phĂp h m
phÔt cho b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn, b i toĂn bĐt ng thực bián
phƠn vector yáu v b i toĂn tối ữu a mửc tiảu, trong õ b i toĂn cuối
cũng trong mởt số trữớng hủp c biằt l tữỡng ữỡng vợi b i toĂn bĐt ng
thực bián phƠn vector yáu. Qua õ, luên Ăn ữa ra nhỳng thuêt toĂn mợi
cho cĂc b i toĂn vứa nảu trản.


6

3

ối tữủng nghiản cựu

Phữỡng phĂp h m phÔt, b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn dÔng
thữớng v dÔng vector yáu, b i toĂn tối ữu a mửc tiảu.

4

PhÔm vi nghiản cựu

Luên Ăn nghiản cựu b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn, b i toĂn bĐt
ng thực bián phƠn vector yáu v b i toĂn tối ữu a mửc tiảu trong
k

khổng gian Euclide hỳu hÔn chiãu R .

5

Phữỡng phĂp nghiản cựu
Chúng tổi sỷ dửng phữỡng phĂp nghiản cựu lẵ thuyát trong khi thỹc

hiằn ã t i. Trong chữỡng thự nhĐt, bơng viằc kát hủp lủi thá cừa phữỡng
phĂp h m phÔt v phữỡng phĂp chiáu, chúng tổi  kh-c phửc ữủc tr ngÔi
lợn nhĐt cừa phữỡng phĂp chiáu l khõ khôn trong viằc tẵnh hẳnh chiáu
cừa mởt im lản mởt miãn lỗi bĐt ký. Trong chữỡng thự hai, chúng tổi
nghiản cựu phữỡng phĂp h m phÔt Ăp dửng cho bĐt ng thực bián phƠn
vector yáu, sỷ dửng cĂc k thuêt chựng minh truyãn thống trong lỵ thuyát
h m phÔt cho b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn v cho b i toĂn tối ữu
chựng minh tẵnh hởi tử cừa thuêt toĂn. im khĂc vợi cĂc cổng trẳnh
nghiản cựu vã b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn (dÔng thữớng) trữợc õ l
chúng tổi ời v trẵ cừa tham số phÔt khi xƠy dỹng b i toĂn phÔt. Nhớ õ
tẵnh hởi tử cừa thuêt toĂn ữủc chựng minh. Trong chữỡng thự ba, thay
vẳ Ăp dửng h m phÔt mụ nhữ trong [34], chúng tổi sỷ dửng h m phÔt
ngo i v Ăp dửng k thuêt chựng minh trong [38], nhớ õ thu ữủc cĂc kát quÊ
hởi tử tốt hỡn cĂc kát quÊ nảu trong [34].

7

ị nghắa khoa hồc v thỹc tiạn

6

Kát quÊ cừa luên Ăn gõp phƯn giÊi quyát vĐn ã giÊi số cĂc b i toĂn
bĐt ng thực bián phƠn dÔng thữớng v dÔng vector yáu v b i toĂn tối
ữu a mửc tiảu.
Luên Ăn l t i liằu tham khÊo cho sinh viản, hồc viản cao hồc v
nghiản cựu sinh chuyản ng nh ToĂn giÊi tẵch.

Tờng quan v cĐu trúc luên Ăn

7
7.1

Tờng quan luên Ăn

Trong luên Ăn n y, chúng tổi nghiản cựu phữỡng phĂp h m phÔt
cho b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn (dÔng thữớng), b i toĂn bĐt ng
thực bián phƠn vector v b i toĂn liản quan vợi nõ l b i toĂn tối ữu a
mửc tiảu.
Chữỡng 1 nghiản cựu vĐn ã kát hủp phữỡng phĂp h m phÔt v phữỡng
phĂp chiáu giÊi b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn. Chúng tổi nh-c lÔi
mởt số nh nghắa v kát quÊ cỡ bÊn vã sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm
cừa b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn. Phữỡng phĂp chiáu v phữỡng phĂp
h m phÔt cho b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn ữủc trẳnh b y tữỡng ựng
trong cĂc mửc 1.3 v 1.4. Kát quÊ chẵnh cừa chữỡng n y ữủc trẳnh b y

trong mửc 1.5. Trong mửc n y, chúng tổi ữa ra Thuêt toĂn 3, kát hủp
cĂc phữỡng phĂp h m phÔt v phữỡng phĂp chiáu giÊi b i toĂn bĐt ng
thực bián phƠn. Thuêt toĂn n y trữợc hát chuyn mởt b i toĂn bĐt ng
thực bián phƠn r ng buởc trản mởt miãn lỗi õng D bĐt ký vã mởt dÂy
cĂc b i toĂn phÔt vợi r ng buởc ỡn giÊn hỡn, sau õ giÊi mội b i toĂn phÔt
n y bơng phữỡng phĂp chiáu. Vẳ cĂc b i toĂn phÔt cõ miãn r ng buởc ỡn
giÊn, viằc tẵnh hẳnh chiáu cừa mởt im bĐt ký lản


8

miãn r ng buởc õ tr nản dạ d ng hỡn. Do õ phữỡng phĂp chiáu cõ th
giÊi cĂc b i toĂn phÔt mởt cĂch hiằu quÊ. Chúng tổi minh hồa Thuêt
toĂn 3 trong ba vẵ dử 1.6.1, 1.6.2, v 1.6.3, giÊi số b i toĂn bĐt ng
thực bián phƠn trong trữớng hủp hai chiãu v nhiãu chiãu, trong õ
trữớng hủp nhiãu chiãu lĐy theo mổ hẳnh Nash ([28]). Kát quÊ cừa
Chữỡng 1 ữủc cổng bố trong [37].
Trong Chữỡng 2, chúng tổi nghiản cựu phữỡng phĂp h m phÔt Ăp dửng
cho b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu WVVIP(D; F ). Kát quÊ cỡ
bÊn vã sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu m
chúng tổi sỷ dửng trong chữỡng n y l nh lỵ 2.1.3 ([6]). Trong

nh lỵ n y, tẵnh chĐt cỡ bÊn m Ănh xÔ F cƯn phÊi thoÊ mÂn l

tẵnh

bực yáu trản D trong trữớng hủp miãn D khổng b chn. Chúng tổi ữa
ra khĂi niằm D-bực trản K. Vợi Ănh xÔ F thọa mÂn iãu kiằn D-bực trản
K, sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa cĂc b i toĂn phÔt WVVIP(K; F

(t)

) vợi t > 0 ữủc

Êm bÊo. Kát quÊ n y ữủc chựng minh trong Bờ ã 2.2.5. Trong mửc
2.3, chúng tổi trẳnh b y cĂc nh lỵ hởi tử cho mổ hẳnh h m phÔt.
Trữợc hát, vợi Bờ ã 2.3.1, chúng tổi chựng minh rơng mởt im giợi hÔn
bĐt ký cừa mởt dÂy cĂc nghiằm cừa b i toĂn phÔt l mởt im chĐp nhên
ữủc, nghắa l nõ thuởc v o miãn r ng buởc cừa b i toĂn bĐt ng thực
bián phƠn vector yáu ban Ưu. Tiáp theo, vợi giÊ thiát vã tẵnh liản tửc cừa
Ănh xÔ F , trong nh lỵ 2.3.2 chúng tổi chựng minh rơng mởt im giợi
hÔn bĐt ký cừa mởt dÂy cĂc nghiằm cừa cĂc b i toĂn phÔt WVVIP(K; F
(t)

) khi tham số phÔt t tián ra vổ cũng s l mởt nghiằm cừa b i toĂn

ban Ưu WVVIP(D; F ). Chúng tổi ữa ra mởt tẵnh chĐt mÔnh hỡn
tẵnh chĐt D-bực trản K, õ l tẵnh chĐt D-bực mÔnh trản K cừa Ănh xÔ
k

r k

F : R ! R . nh lỵ 2.3.4 chựng minh rơng náu F l mởt Ănh xÔ liản
tửc, ỡn iằu, thọa mÂn iãu kiằn D-bực mÔnh trản K, thẳ
(1) cĂc b i toĂn phÔt luổn cõ ẵt nhĐt mởt nghiằm;


9

(2) mởt dÂy nghiằm bĐt ký cừa cĂc b i toĂn phÔt luổn b chn v

do õ cõ ẵt nhĐt mởt im giợi hÔn;
(3) mởt im giợi hÔn bĐt ký cừa dÂy cĂc nghiằm cừa cĂc b i toĂn
phÔt s l nghiằm cừa b i toĂn ban Ưu.
Kát quÊ cừa Chữỡng 2 ữủc cổng bố trong [35].
Trong Chữỡng 3, chúng tổi Ăp dửng phữỡng phĂp h m phÔt cho b
i toĂn tối ữu a mửc tiảu MOP(D; f). Sỷ dửng cĂc kát quÊ vã sỹ tỗn tÔi
nghiằm Pareto yáu cừa b i toĂn tối ữu a mửc tiảu ([30]) v sỹ tỗn tÔi
nghiằm cừa b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu ([6]), trong
Bờ ã 3.2.1 chúng tổi ữa ra iãu kiằn ừ cho sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa cĂc
(t)

b i toĂn phÔt MOP(K; f ) vợi t > 0. CĂc kát quÊ chẵnh vã sỹ hởi tử
cừa thuêt toĂn phÔt ữủc trẳnh b y trong mửc 3.3. Bờ ã 3.3.1 chựng
minh tẵnh chĐp nhên ữủc cừa mởt im giợi hÔn cừa mởt dÂy bĐt ký
(t)

cĂc nghiằm Pareto yáu cừa cĂc b i toĂn phÔt MOP(K; f ) khi t tián ra
vổ cũng. Dỹa v o bờ ã n y, nh lỵ 3.3.2 chựng tọ rơng mởt im giợi
hÔn bĐt ký cừa mởt dÂy cĂc nghiằm Pareto yáu cừa cĂc b i toĂn
(t)

phÔt MOP(K; f ) khi t tián ra vổ cũng l mởt nghiằm Pareto yáu cừa
b i toĂn ban Ưu MOP(D; f). Dũng k thuêt bao nghiằm Pareto yáu
cừa cĂc b i toĂn phÔt bi mởt hẳnh cƯu, trong nh lỵ 3.3.3 chúng
tổi ữa ra mởt iãu kiằn ừ
(1) cĂc b i toĂn phÔt luổn cõ ẵt nhĐt mởt nghiằm;
(2) mởt dÂy nghiằm bĐt ký cừa cĂc b i toĂn phÔt luổn b chn v
do õ cõ ẵt nhĐt mởt im giợi hÔn;
(3) mởt im giợi hÔn bĐt ký cừa dÂy cĂc nghiằm cừa cĂc b i toĂn
phÔt s l nghiằm cừa b i toĂn ban Ưu.

Kát quÊ cừa Chữỡng 3 ữủc cổng bố trong [36].


10

7.2

CĐu trúc luên Ăn

Nởi dung chẵnh cừa luên Ăn ữủc trẳnh b y trong 3 chữỡng. Ngo
i ra, luên Ăn cõ Lới cam oan, Lới cÊm ỡn, Mửc lửc, phƯn M Ưu, phƯn
Kát luên v kián ngh, Danh mửc cổng trẳnh khoa hồc cừa nghiản
cựu sinh liản quan án luên Ăn, v T i liằu tham khÊo.
Chữỡng 1 trẳnh b y vã sỹ kát hủp giỳa phữỡng phĂp h m phÔt v
phữỡng phĂp chiáu giÊi b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn, bao gỗm 6
mửc. Mửc 1.1 trẳnh b y cĂc kát quÊ cỡ bÊn vã sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt
nghiằm cừa b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn, Mửc 1.2 trẳnh b y
php chiáu v mối quan hằ vợi b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn, Mửc
1.3 trẳnh b y vã phữỡng phĂp chiáu, Mửc 1.4 trẳnh b y vã phữỡng
phĂp h m phÔt, Mửc 1.5 trẳnh b y vã phữỡng phĂp kát hủp giÊi b i
toĂn bĐt ng thực bián phƠn, Mửc 1.6 trẳnh b y cĂc vẵ dử.
Chữỡng 2 trẳnh b y vã phữỡng phĂp h m phÔt Ăp dửng cho b i
toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu, bao gỗm 3 mửc. Mửc 2.1
trẳnh b y cĂc kát quÊ cƯn dũng vã sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa b i toĂn bĐt
ng thực bián phƠn vector yáu, Mửc 2.2 trẳnh b y vã b i toĂn phÔt v
iãu kiằn cõ nghiằm cừa b i toĂn phÔt, Mửc 2.3 trẳnh b y cĂc nh lỵ
hởi tử cừa phữỡng phĂp.
Chữỡng 3 trẳnh b y vã phữỡng phĂp h m phÔt Ăp dửng cho b i toĂn
tối ữu a mửc tiảu, bao gỗm 3 mửc. Mửc 3.1 trẳnh b y cĂc kát quÊ cƯn
dũng vã sỹ tỗn tÔi nghiằm Pareto yáu cừa b i toĂn tối ữu a mửc tiảu,

Mửc 3.2 trẳnh b y vã b i toĂn phÔt v iãu kiằn cõ nghiằm cừa b i toĂn
phÔt, Mửc 3.3 trẳnh b y cĂc nh lỵ hởi tử cừa phữỡng phĂp.


11

CHìèNG 1
HM PHT CHO BI TON BT

NG THC

BIN PHN

n

n

n

GiÊ sỷ D R l mởt têp lỗi õng khĂc rộng v f : R ! R l mởt Ănh xÔ
n
bĐt ký. Kỵ hiằu h ; i l tẵch vổ hữợng trản R . Xt b i toĂn bĐt ng
thực bián phƠn sau Ơy
VIP(D; f) :

Tẳm x 2 D; sao cho hf(x); y

xi

0; vợi mồi y 2 D:

Têp nghiằm cừa VIP(D; f) ữủc kẵ hiằu l S. Têp D ữủc gồi l miãn r
ng buởc cừa b i toĂn; f ữủc gồi l Ănh xÔ giĂ cừa b i toĂn.
Náu f l gradient cừa mởt Ănh xÔ lỗi g thẳ VIP(D; f) tữỡng ữỡng vợi
b i toĂn tẳm cỹc tiu cừa g trản D. Tuy nhiản, khổng phÊi b i toĂn
bĐt ng thực bián phƠn n o cụng tữỡng ữỡng vợi mởt b i toĂn quy
hoÔch lỗi.
Phữỡng phĂp chiáu (tham khÊo [15], Chữỡng 12) l mởt lợp phữỡng
phĂp ỡn giÊn v hiằu quÊ giÊi cĂc b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vợi
giÊ thiát tối thiu f giÊ ỡn iằu v liản tửc. Tr ngÔi chẵnh trong phữỡng
phĂp n y l viằc tẵnh toĂn hẳnh chiáu lản mởt têp lỗi bĐt ký khổng hã
ỡn giÊn. õ l mởt b i toĂn qui hoÔch to n phữỡng vợi miãn xĂc nh lỗi. Náu
D khổng cõ hẳnh dÔng c biằt thẳ viằc xĂc nh hẳnh chiáu lản

D l mởt b i toĂn khõ giÊi.
Trong khi õ, phữỡng phĂp h m phÔt (xem [38]) cho php ữa b i toĂn


12

bĐt ng thực bián phƠn trản miãn lỗi õng (b chn) bĐt ký vã mởt d
Ây cĂc b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn trản mởt miãn bĐt ký bao
miãn lỗi ban Ưu. ị tững cừa chúng tổi l : ối vợi VIP(D; f) trong õ D l
mởt miãn lỗi õng bĐt ký, trữợc tiản dũng phữỡng phĂp h m phÔt ữa
nõ vã mởt dÂy cĂc b i toĂn trản mởt miãn K bao D, sau õ dũng
phữỡng phĂp chiáu giÊi mội b i toĂn trản K. Miãn K ữủc xĂc nh sao
cho viằc tẵnh toĂn hẳnh chiáu cừa mởt im lản K l dạ d ng. Trong
trữớng hủp K l hẳnh hởp, hẳnh cƯu hay khổng gian con, vẳ php
chiáu cừa mởt im lản K cõ cổng thực hin ỡn giÊn nản tr ngÔi
chẵnh cừa phữỡng phĂp chiáu ữủc kh-c phửc.

1.1

CĂc kát quÊ vã sỹ tỗn tÔi v tẵnh duy nhĐt nghiằm cừa
b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn

Chúng tổi nh-c lÔi mởt v i nh nghắa v kát quÊ cƯn thiát.
1.1.1

nh lẵ. ([15], Hằ quÊ 2.2.5)

(i) Náu D l mởt têp lỗi comp-c khĂc rộng v f liản tửc trản D thẳ
VIP(D; f) cõ ẵt nhĐt mởt nghiằm.
(ii) Náu f thọa mÂn iãu kiằn bực, nghắa l
lim
2 jj

x D; x

vợi x 2 D n o

jj!1

hf(x) f(
jj

x ); x
x x

xi = 1

jj

õ, thẳ VIP(D; f) cõ ẵt nhĐt mởt nghiằm.
n

1.1.2 nh nghắa. ([15], nh nghắa 2.3.1) nh xÔ f : D ! R ữủc gồi
l


13

(i) ỡn iằu trản D náu
hf(x)

f(y); x

yi

0;

8x; y 2 D;

(ii) ỡn iằu ngt trản D náu
hf(x)

f(y); x

yi > 0;

8x; y 2 D v x 6= y;

(iii) ỡn iằu mÔnh trản D náu tỗn tÔi hơng số > 0 sao cho
2

hf(x) f(y); x yi jjx yjj ; 8x; y 2 D;
(iv) liản tửc Lipschitz trản D náu tỗn tÔi hơng số L > 0 sao
cho jjf(x) f(y)jj Ljjx yjj; 8x; y 2 D;
(v) giÊ ỡn iằu trản D tữỡng ựng vợi S náu S 6= ? v
8x 2 S : hf(y); y

xi

0;

8y 2 D:

Mởt thẵ dử in hẳnh cừa Ănh xÔ ỡn iằu (mÔnh) l Ôo h m cừa mởt
h m lỗi (mÔnh).
1.1.3

nh lẵ. ([15], nh lỵ 2.3.3)

(i) Náu f ỡn iằu ngt trản D thẳ VIP(D; f) cõ nhiãu nhĐt l mởt
nghiằm.
(ii) Náu f

1.2

ỡn iằu mÔnh trản D thẳ VIP(D; f) cõ nghiằm duy nhĐt.

Php chiáu v mối quan hằ vợi bĐt ng thực bián phƠn

n

1.2.1 nh nghắa. GiÊ sỷ D l mởt têp con lỗi õng khĂc rộng cừa R .
n

Vợi mồi vector x 2 R , ta nh nghắa
d(D; x) = inf jjx
y2D

yjj:


14

H m d(D; :) ữủc gồi l h m khoÊng cĂch tữỡng ựng vợi chuân Euclide
cừa x tợi D. Náu tỗn tÔi y 2 D sao cho d(D; x) = jjx yjj thẳ y ữủc gồi l
hẳnh chiáu vuổng gõc hay hẳnh chiáu Euclide cừa x lản D (gồi t-t
l hẳnh chiáu cừa x lản D), v ữủc kỵ hiằu bi PD(x).
Mằnh ã sau mổ tÊ mối quan hằ giỳa php chiáu v têp nghiằm S
cừa b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn.
1.2.2 Mằnh

n

ã ([15], Mửc 12.1.1). Cho D

õng khĂc rộng v

> 0 bĐt ký ta cõ

n

R l mởt têp con lỗi

n

f : R ! R l mởt Ănh xÔ bĐt ký. Khi õ vợi
x 2 S()f

nat

D(x)

= 0;

trong õ
f

nat

D(x)

x

PD(x

f(x)):

1.2.3 Nhên xt. Náu D l mởt têp con lỗi õng khĂc rộng thẳ hẳnh
chiáu cừa mởt im bĐt ký lản D luổn tỗn tÔi v l duy nhĐt. Náu K l
mởt hẳnh hởp, hẳnh cƯu, hay mởt khổng gian con thẳ tẵnh
hẳnh chiáu cừa mởt im lản K rĐt dạ d ng.
A. Hẳnh chiáu cừa mởt

im lản mởt hẳnh hởp

GiÊ sỷ rơng
T

n

K = fx = (x1; x2; :::; xn) 2 R : ai

xi

bi; i = 1; 2; :::; ng;

T

T

n

a = (a1; a2; :::; an) ; b = (b1; b2; :::; bn) 2 R :
Khi õ hẳnh chiáu cừa x lản K ữủc xĂc nh nhữ sau
(PK(x))i = 8a ; xi < ai;
i
>

>

xi;

xi

2

[ai; bi];

>
<
>
>
>

bi;

xi > bi:

(1.1)


:


15

B. Hẳnh chiáu cừa mởt

im lản mởt hẳnh cƯu

GiÊ sỷ
T

n

T

n

x = (x1; x2; :::; xn) 2 R ;
v C l mởt hẳnh cƯu bĂn kẵnh R tƠm
A = (a1; a2; :::; an) 2 R ;
xĂc nh bi
X

n

n

C = fz 2 R :

(zi

ai)

2

2

R g:

i=1

Ta cƯn tẳm hẳnh chiáu y = PC(x) cừa x lản C. Náu x 2 C, ta cõ y x.
Náu x 62C, hẳnh chiáu cừa x lản C l giao im cừa ữớng thng nối x
v tƠm A cừa C, kỵ hiằu l , vợi mt cƯu
X

n

n

S = fz 2 R :

(zi

2

2

ai) = R g:

i=1

Ta cõ
n

= fz 2 R : zi = ai + t(xi

Thay zi = ai + t(xi

ai); i = 1; 2; : : : ; n; t 2 Rg:

ai) v o phữỡng trẳnh cừa S, ta thu ữủc

t

2

n

X

i=1

(xi

2

2

ai) = R :

Do õ
.

t=R

i=1

i

!

n

(x a )2
i

1=2

:

X
Vẳ vêy y cõ tồa ở nhữ sau

R
y = a + (x
i

i

i

a)
i (Pn (xi

C. Hẳnh chiáu cừa mởt

i=1

ai)2)1=2

; i = 1; 2; : : : ; n:

im lản mởt khổng gian con


16

GiÊ sỷ L

n

R l mởt khổng gian con k chiãu vợi mởt cỡ s

B = f 1; 2; : : : ; kg:
GiÊ sỷ
n

x2R ;
v
X

y=

k

yj j 2 L;

j=1

trong õ yj l cĂc hằ số thỹc sao cho w = x y thọa mÂn
hw; ji = 0;
vợi mồi j = 1; 2; : : : ; k (ta s tẳm y thọa mÂn iãu kiằn n y sau). Khi
õ y l hẳnh chiáu cừa x lản L. Thêt vêy, vẳ w trỹc giao vợi mồi vector
trong cỡ s cừa L nản nõ cụng trỹc giao vợi mồi vector cừa L. Do õ,
vợi z 2 L,
2

jjx

zjj = hx

y+y

z; x

y+y

zi

= hx y; x yi + hy z; y zi + 2hw; y zi
2

= jjx yjj + jjy zjj
jjx

2

2

yjj :

Vẳ vêy y l hẳnh chiáu cừa x lản L. BƠy giớ ta tẳm vector y nhữ thá.
Vợi mồi i = 1; 2; : : : ; k, ta cõ
hx

y; ii = 0:

Nõi cĂch khĂc, vợi mồi i = 1; 2; : : : ; k ta cõ
k
X

h i; jiyj = hx; ii:
j=1

Vợi 1

i; j

k t
aij = h i; ji;

(1.2)


17

v
bi = hx; ii:
Khi õ tứ (1.2) ta thu ữủc mởt hằ tuyán tẵnh k phữỡng trẳnh k ân
Ay = b;
trong õ
A = (aij);
v
T

b = (b1; b2; : : : ; bk) :
Hỡn nỳa theo nh nghắa, A l mởt ma trên xĂc nh dữỡng,
nghắa l det(A) 6= 0:
Do õ hằ n y cõ úng mởt nghiằm. Vẳ
k
X

y=

j=1

yj j;

mởt khi ta biát yi, ta xĂc nh ữủc y. Náu B ữủc chồn l mởt cỡ s trỹc
chuân cừa L, nghắa l
8
<

h i; ji =

0;

i 6= j

:

1; i = j;
thẳ A l ma trên ỡn v. Do õ ta lêp tực tẵnh ữủc
yi = bi = hx; ii;

1.3

i = 1; 2; : : : ; k:

Phữỡng phĂp chiáu

Ta ch ã cêp Ơy phữỡng phĂp chiáu hai lƯn, vẳ cõ th sỷ dửng
phữỡng phĂp n y cho cÊ VIP(D; f) vợi f giÊ ỡn iằu. Trong khi õ


18

phữỡng phĂp chiáu mởt lƯn cõ th khổng hởi tử ngay cÊ khi f l ỡn iằu.
Hỡn nỳa, khi D cõ hẳnh dÔng c biằt thẳ khối lữủng tẵnh toĂn
trong mội bữợc lp l nhọ nhĐt so vợi cĂc phữỡng phĂp chiáu khĂc (vĐn
ã phƠn loÔi cĂc phữỡng phĂp chiáu cõ th tham khÊo trong [15]).
Thuêt toĂn chiáu ữủc mổ tÊ dữợi Ơy.
Thuêt toĂn 1. ([15], Mửc 12.1.2)
(0)

Dỳ liằu: x 2 D v

Bữợc 0:
t k = 0.
(k)

Bữợc 1: Náu x
mởt nghiằm.
Bữợc 2: Tẵnh

> 0:

2 S, nghắa l x
(k+1=2)

x

(k)

= PD(x

k

(k)

= PD(x f(x )), dứng v trÊ ra x
(k)

x(k+1) = PD(x(k)

(k)

l

(k)

f(x ));

f(x(k+1=2))):

GĂn k := k + 1 v quay lÔi Bữợc 1.
Trong Thuêt toĂn 1 tham số > 0 ữủc gồi l ở d i bữợc. Sỹ thay ời
cừa s cõ Ênh hững tợi tốc ở hởi tử cừa thuêt toĂn. Sỹ hởi tử cừa
Thuêt toĂn 1 ữủc Êm bÊo bi nh lỵ sau.
n

1.3.1 nh lẵ. ([15], Bờ ã 12.1.10, nh lỵ 12.1.11) Cho D R l mởt
n
têp lỗi õng khĂc rộng v f : D ! R l mởt Ănh xÔ giÊ ỡn iằu trản D tữỡng
ựng vợi S v liản tửc Lipschitz trản D vợi hơng số
L > 0.
(i) Vợi mồi x 2 S v
jjx
(ii)

(k+1)

xjj

2

vợi mồi k 2 N, ta cõ

jjx

(k)

xjj
(k)

2

(1

2 2

L )jjx

(k+1=2)

(k) 2

x jj :

Náu 0 < < 1=L thẳ dÂy fx g sinh bi Thuêt toĂn 1 hởi tử vã mởt
nghiằm cừa VIP(D; f).


19

1.4

Phữỡng phĂp h m phÔt

Phữỡng phĂp h m phÔt ữủc trẳnh b y sau Ơy ữủc ã xuĐt bi L. D.
Muu [38].
n

Cho D l mởt têp con lỗi õng khĂc rộng cừa R , K l mởt têp con
n
cừa R chựa D. Ta s xƠy dỹng mởt h m lỗi khÊ vi P : K ! R thọa m
Ân
P (x) 0()x 2 D:
(1.3)
H m P thọa mÂn (1.3) ữủc gồi l h m phÔt cừa D. Mởt h m P thọa
mÂn (1.3) cỏn ữủc gồi l h m thững-phÔt, hay cỏn gồi l h m phÔt
kiu Lagrange. KhĂc vợi h m phÔt im ngo i thổng thữớng ỏi họi phÊi
triằt tiảu trản miãn r ng buởc D, h m thững-phÔt cho php nhên giĂ tr
Ơm tÔi cĂc im thuởc D. ối vợi mởt h m phÔt P thổng thữớng, ta cõ

P (x) = 0 vợi mồi x 2 D.

iãu n y cõ nghắa lữủng phÔt s l0 ối vợi

mồi phữỡng Ăn thuởc D. Trong khi õ loÔi h m thững-phÔt lữủng
phÔt s khĂc nhau ối vợi mội phữỡng Ăn thuởc D. Náu P (x) < 0, cõ
nghắa lữủng phÔt l Ơm (tực l thững). Náu
n

D = fx 2 R : gi(x)
n

trong õ gi : R ! R l

nhữ sau

0 ; i = 1; 2; :::; mg;

cĂc h m lỗi khÊ vi thẳ h m phÔt P cõ th lĐy
m
Xi

2

(1.4)

P (x) := [maxf0; gi(x)g] :
=1

Dạ thĐy P thọa mÂn (1.3), hỡn nỳa P khÊ vi khi P ữủc lĐy theo
(1.4). Thêt vêy, xt
2

hi(x) := [maxf0; gi(x)g] = (

gi)(x);

trong õ
(x) := [max 0; x
f g

2
2
] = 8x ; x > 0;

<0;

:

x

0: