Đáp án toán cao học (ĐHBK TPHCM)

ðáp án ñề thi 2000.

(

Câu 1. a/ y ' + 3 x 2 y = 3 x 2 + 3 x5 . Nghiệm tổng quát y = e − ∫ pdx ∫ q ( x) ⋅ e ∫ pdx dx + C
y = e− ∫ 3x

2

(

dx

( ∫ ( 3x

2

)

)

2

y = e − x e x .x3 + C = x3 + Ce − x
3

)

(

+ 3 x5 e ∫ 3 x dx dx + C = e− x ∫ e x dx3 + ∫ x3e x dx3 + C

3

3

3

3

)

)

3

Nghiệm của phương trình y = x3 + Ce− x .
3

b/ Phương trình ñặc trưng: k 2 + 3k + 2 = 0 ⇔ k1 = −1 ∨ k2 = −2
Nghiệm của phương trình thuần nhất: y0 = C1e − x + C2e −2 x .

( )

Tìm nghiệm riêng: f ( x) = ( 2 x + 3) + 6e x = f1 ( x) + f 2 ( x) , yr = yr1 + yr2
Tìm yr1 là nghiệm riêng của phương trình y '' + 3 y ' + 2 y = 2 x + 3 (1)
yr1 = x s e0 x ( Ax + B ) = x 0e0 x ( Ax + B ) , s = 0 vì α = 0 không là nghiệm của phương trình ñặc trưng. Thay vào
phương trình (1), ñồng nhất, ta ñược A = 1, B = 0 .

Tìm yr2 là nghiệm riêng của phương trình y '' + 3 y ' + 2 y = 6e x (2)
yr2 = x s e x A = Ax 0 e x , s = 0 vì α = 1 không là nghiệm của phương trình ñặc trưng.

Thay vào phương trình (2), ñồng nhất, ta ñược A = 1 .
yr = x + e x . Nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu: ytq = y0 + yr = C1e− x + C2e −2 x + x + e x

a
(n + 1) n+1 3n.n ! (n + 1) n 1  1 
Câu 2. a/ n +1 = n+1
⋅
=
= 1 + 
an
3 n 
3 .(n + 1)! nn
3n n

n

n

∞
an+1
e
1 1
= lim 1 +  = < 1 . Chuỗi ∑ an hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert.
n→∞ a
n →∞ 3 
n
3
1
n

lim

n

 n+4  n
b/ ðặt X = ( x + 1) ≥ 0 . Xét chuỗi ∑ 
 X .
n =1  2 n + 1 
1
1
Bán kính hội tụ: R = , với ρ = lim n an = ⇒ R = 2 .
n→∞
ρ
2
∞

2

n

∞  2n + 8 
Xét tại X = 2 . Có chuỗi số: ∑ 
 .
n =1  2n + 1 
n

n

7 
 2n + 8  

n→∞
Số hạng tổng quát của chuỗi số này: an = 
→ e7 / 2 ≠ 0.
 = 1 +
 
 2n + 1   2n + 1 
Vậy chuỗi phân kỳ theo ñịnh lý ñiều kiện cần.
Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: ( x + 2 ) < 2 ⇔ x 2 + 4 x + 2 < 0 ⇔ −2 − 2 < x < −2 + 2 .
2

(

)

(

)

1

(

) (

)

Câu 3. a/ I = ∫ e x sin y − y dx + e x cos y − 1 dy = ∫ e x .0 − 0 0 + e x cos 0 − 1 dy = 0 .
C

0

b/ C là nửa trên ñường tròn x 2 + y 2 = x .

(

)

(

)

I = ∫ e x sin y − y dx + e x cos y − 1 dy = ∫ − ∫
C

C + OA

OA

π
8
D
0
D
Câu 4. Chia miền D bởi ñường thẳng y = x làm hai miền D1 và D2 ( D1 là phần ứng với y ≥ x )

(

)

1

I = ∫∫ e x cos y − e x cos y + 1 dxdy − ∫ 0dx = ∫∫ 1dxdy = S D =

I = ∫∫ x − y dxdy = ∫∫ x − y dxdy + ∫∫ x − y dxdy = ∫∫ ( y − x)dxdy + ∫∫ ( x − y )dxdy
D

D1

D2

D1

D2

135


5π / 4

1

π/4

1

π/4

0

−3 π / 4

0

I = ∫ d ϕ∫ ( r sin ϕ − r cos ϕ ) rdr + ∫ d ϕ∫ ( r cos ϕ − r sin ϕ ) rdr =

2 2 2 2 4 2
+
=
3
3
3

 z x' = 4 x3 − 4 xy = 0
Câu 5a. 1/ ðiểm dừng:  '
, có 2 ñiểm dừng P1 (0, 0); P2 (0, 2 / 3)
2
2
 z y = −2 x + 2 y − 3 y = 0
''
''
ðạo hàm riêng cấp hai: z xx
= 12 x 2 − 4 y ; z xy
= −4 x; z ''yy = 2 − 6 y
''
''
Xét tại ñiểm dừng. P1 (0, 0) : A = z xx
( P1 ) = 0, B = z xy
( P1 ) = 0, C = z ''yy ( P1 ) = 2 ⇒ ∆ = 0 .
Không thể kết luận ñược. Dùng ñịnh nghĩa ñể khảo sát.
∆ z ( x, y ) = z ( x, y ) − z (0, 0) = x 4 − 2 x 2 y + y 2 − y 3 = ( x 2 − y )2 − y 3

 1  n→+∞
1  1
Xét dãy ñiểm ( xn , yn ) =  , 0  →
(0, 0) . Khi ñó ∆ z ( xn , yn ) = ∆ z  , 0  = 4 > 0 .
n 
n  n
1
 1 1  n→+∞
1 1 
Xét dãy ñiểm xn' , yn' =  , 2  
→(0, 0) . Khi ñó ∆ z xn' , yn' = ∆ z  , 2  = − 6 < 0 .
n
n n 
n n 
Trong mọi lân cận của (0,0), ñều tồn tại những ñiểm mà ∆ z > 0 và những ñiểm mà ∆ z < 0 . Suy ra hàm
không có cực trị tại P1 (0, 0) .

(

)

(

)

∆ = AC − B 2 > 0
''
''
.
P2 (0, 2 / 3) : A = z xx

( P2 ) = −8 / 3, B = z xy
( P2 ) = 0, C = z ''yy ( P2 ) = −2 ⇒ 
A<0

Hàm ñạt cực ñại tại P2 , zcd = z (0, 2 / 3) = 4 / 27 .

Câu 5b. a/ Ta có 0 ≤ x sin

1
≤| x | . Sử dụng ñịnh lý kẹp ñể tính giới hạn, ta có:
| x|


1 
lim f ( x) = lim  x sin
=0.
x →0
x →0 
| x|
Hàm liên tục tại x = 0 , nếu lim f ( x) = f (0) ⇔ a = 0 .
x →0

b/ 5 1 + 3 x = (1 + 3 x )

1/ 5

= 1+

3x
+ o( x ) ;

5

4

1 + 2 x = (1 + 2 x )

1/ 4

= 1+

x
+ o( x )
2

11x
+ o( x )
10
x cos 2 x − x 2 = x 1 − 2 x 2 + o( x 2 ) − x 2 = x + o( x) .

⇒ 5 1 + 3x ⋅ 4 1 + 2 x − 1 =

(

)

11x
11x
+ o( x )
1 + 3x ⋅ 1 + 2 x − 1
11

Vậy lim
= lim 10
= lim 10 = .
2
x →0
x
→
0
x
→
0
x + o( x )
x
10
x cos 2 x − x
5

4

ðáp án ñề thi 2001.

y = e ∫ 2 / xdx

(

(
(

2
y = x 2e x . Nghiệm tổng quát y = e − ∫ pdx ∫ q ( x) ⋅ e ∫ pdx dx + C

x
2 x − ∫ 2 / xdx
dx + C = x 2 ∫ e x dx + C = x 2 e x + C
∫ x e .e

Câu 1. a/ y ' −

)

(

(

)

)

)

)

Nghiệm của phương trình y = x 2 e x + C .
b/ Phương trình ñặc trưng: k 2 − 4k + 3 = 0 ⇔ k1 = 1 ∨ k2 = 3
Nghiệm của phương trình thuần nhất: y0 = C1e x + C2 e3 x .
Tìm nghiệm riêng: yr = x s e 2 x ( Ax + B) , s = 0 vì α = 2 không là nghiệm của PTðT.
yr = ( Ax + B ) e2 x .Thay vào phương trình ñã cho, ñồng nhất hai vế, ta ñược: A = −4, B = 0 .

136

Nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu: ytq = y0 + yr = C1e x + C2 e3 x − 4 xe2 x
Câu 2. a/
an +1
n→∞ a
n
lim

an +1 4.7.10...(3n + 1)(3n + 4) 2.6.10...(4n − 2) 3n + 4
=
⋅
=
an
2.6.10...(4n − 2)(4n + 2) 4.7.10...(3n + 1) 4n + 2
∞
3n + 4 3
= lim
= < 1 . Chuỗi ∑ an hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert.
n →∞ 4 n + 2
4
1

Xn
1
1
. Bán kính hội tụ: R = , với ρ = lim n an = ⇒ R = 2 .
n
n→∞
ρ
2
n =1 n.2 ⋅ n + 1

∞
1
Xét tại X = 2 . Có chuỗi số: ∑
, chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.
n =1 n. n + 1
∞

b/ ðặt X = x + 1 . Xét chuỗi ∑

(−1) n
, chuỗi hội tụ tuyệt ñối.
n =1 n. n + 1
∞

Xét tại X = −2 . Có chuỗi số: ∑

Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: −2 ≤ x + 1 ≤ 2 ⇔ −3 ≤ x ≤ 1 .
 x = r cos ϕ
0 ≤ ϕ ≤ 2π
Câu 3. 1/ ðổi biến: 
⇒
.
 y = r sin ϕ
 0 ≤ r ≤1
2π

1

0

0

1

2

Khi ñó I = ∫ dϕ ∫ er rdr = 2π ∫ dr = π (e − 1)
0
2

4− x

0

x

2/ I = ∫ 2( x 2 + y 2 )dx + (4 y + 3)dy = ∫∫ −4 ydxdy = ∫ dx ∫ −4 ydy
∆OAB

C

2

4− x

0

x

I = ∫ −2 y 2

2

(

)

dx = −2 ∫ (4 − x)2 − x 2 dx = −32
0

Câu 4. a/ I = lim

x →0

1 + tan x − 1 − tan x
= lim
x →0 x
x

tan x
x →0 x

I = lim

(

2
1 + tan x + 1 − tan x

)

(

= 1⋅

2 tan x
1 + tan x + 1 − tan x

)

2
=1
2

1
x − arctan x
x − ( x − x3 / 3 + o( x 3 )
x3 / 3
 1
−  = lim
= lim
=
lim
=0
b/ lim 
x →0  arctan x
x →0
x →0 x 2
x  x →0 x arctan x
x2

 z x' = 4 x3 − 4 xy = 0
Câu 5a. 1/ ðiểm dừng:  '
, có 2 ñiểm dừng P1 (0, 0); P2 (0, 2 / 3)
2
2
z
=
−
2
x
+
2
y
−
3
y
=
0
 y
''
''
ðạo hàm riêng cấp hai: z xx
= 12 x 2 − 4 y ; z xy
= −4 x; z ''yy = 2 − 6 y
''
''
Xét tại ñiểm dừng. P1 (0, 0) : A = z xx
( P1 ) = 0, B = z xy
( P1 ) = 0, C = z ''yy ( P1 ) = 2 ⇒ ∆ = 0 .
Không thể kết luận ñược. Dùng ñịnh nghĩa ñể khảo sát.

∆ z ( x, y ) = z ( x, y ) − z (0, 0) = x 4 − 2 x 2 y + y 2 − y 3 = ( x 2 − y )2 − y 3
 1  n→+∞
1  1
Xét dãy ñiểm ( xn , yn ) =  , 0  →
(0, 0) . Khi ñó ∆ z ( xn , yn ) = ∆ z  , 0  = 4 > 0 .
n 
n  n
1
 1 1  n→+∞
1 1 
Xét dãy ñiểm xn' , yn' =  , 2  
→(0, 0) . Khi ñó ∆ z xn' , yn' = ∆ z  , 2  = − 6 < 0 .
n
n n 
n n 
Trong mọi lân cận của (0,0), ñều tồn tại những ñiểm mà ∆ z > 0 và những ñiểm mà ∆ z < 0 . Suy ra hàm
không có cực trị tại P1 (0, 0) .

(

P2 (0, 2 / 3) : A =

)

''
z xx
( P2 )

(

= −8 / 3, B =

''
z xy
( P2 )

= 0, C =

z ''yy ( P2 )

)

∆ = AC − B 2 > 0
.
= −2 ⇒ 
A<0


Hàm ñạt cực ñại tại P2 , zcd = z (0, 2 / 3) = 4 / 27 .

137


Câu 5b. 1/ Miền xác ñịnh R. y liên tục trên [ 0,3] .
4( x − 1)
= 0 ⇔ x = 1 . Không tồn tại ñạo hàm khi x = 2 và x = 0
3( x 2 − 2 x)1/ 3
Có một ñiểm dừng x = 1 và một ñiểm tới hạn x = 2 trong khoảng (0,3).
y( 0 ) = 0; y( 1 ) = 1; y( 2 ) = 0; y( 3 ) = 3 9 .
y' =

Kết luận: Giá trị lớn nhất là

9 tại x = 3 ; giá trị nhỏ nhất là 0 tại x = 0 ∨ x = 2 .

3

ðáp án ñề thi 2002.
Câu 1. 1/ P( x, y ) = 1 + e x y + xe x y ⇒ Py' = e x + xe x , Q( x, y ) = xe x + 2 ⇒ Qx' = e x + xe x .
⇒ Qx' = Py' . Phương trình vi phân ñã cho là phương trình vi phân toàn phần.
Nghiệm của phương trình: u ( x, y ) = C .
y

x

y

y0

x0

0

(

)

x

u ( x, y ) = ∫ Q ( x, y )dy + ∫ P ( x, y0 )dx = ∫ xe x + 2 dy + ∫ 1dx = xye x + 2 y + x

0

Kết luận: nghiệm của phương trình xye x + 2 y + x = C .
2/ Phương trình ñặc trưng: k 2 − 5k + 6 = 0 ⇔ k1 = 2 ∨ k2 = 3 .
Nghiệm của phương trình thuần nhất: y0 = C1e 2 x + C2e3 x .
Tìm nghiệm riêng: yr = x 0 e0 x ( A cos 2 x + B sin 2 x) vì α + i β = 2i không là nghiệm của PTðT nên s = 0 .
5
25
Thay vào phương trình ñã cho, ñồng nhất hai vế, ta ñược: A = , B = − .
52
52
5
25
Nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu: ytq = y0 + yr = C1e2 x + C2 e3 x + cos 2 x − sin 2 x
52
52
n +1
a
5 ⋅ (n + 3)! (2n)!
5(n + 3)
Câu 2. 1/ n +1 =
⋅ n
=
(2n + 2)! 5 .(n + 2)! (2n + 1)(2n + 2)
an
∞
a
5(n + 3)
lim n +1 = lim
= 0 < 1 . Chuỗi ∑ an hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert.

n→∞ a
n →∞ ( 2n + 1) (2n + 2)
1
n

(−1) n+1.2n+1. X n
1
. Bán kính hội tụ: R = , với
ρ
n = 0 ( n + 1) ln(n + 1)
∞

2/ ðặt X = x − 5 . Xét chuỗi ∑

ρ = lim n an = 2 ⇒ R = 1/ 2 .
n→∞

(−1)n +1.2
, chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.
n = 0 ( n + 1) ln(n + 1)
∞

Xét tại X = 1/ 2 . Có chuỗi số: ∑

∞
(−1)n +1.2(−1) n
2
Xét tại X = −1/ 2 . Có chuỗi số: ∑
=−∑
n = 0 ( n + 1) ln( n + 1)

n = 0 ( n + 1) ln( n + 1)
∞
2
Chuỗi ∑
phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh với chuỗi
n = 0 ( n + 1) ln(n + 1)
∞
α = 1
1
∑ α β hội tụ trong hai trường hợp: α > 1 hoặc 
2 n ln n
β > 1
9
11
Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: −1/ 2 < x − 5 ≤ 1/ 2 ⇔ − < x ≤ .
2
2
 x = r cos ϕ  0 ≤ ϕ ≤ 2π
Câu 3. 1/ ðổi biến: 
.
⇒
 y = r sin ϕ
π / 6 ≤ r ≤ π / 3
∞

138


2π

π /3

2π

π /3

0

π /6

0

π /6

Khi ñó I = ∫ dϕ ∫ cos rdr = ∫ sin r

2π

dϕ = ∫

0

3 −1
dϕ = π
2

(

(

(

)

3 −1 .

2/ ðặt u ( x, y ) = x 2 − y 2 . ðiều kiện: ( h.P ) y = ( h.Q ) x ⇔ h(u ). x3 + xy 2
'

'

) ) = ( h(u).( − x y − y ) )
'

2

3

x

'
y

⇔ 2 xh ( x + xy ) + h(3 x + y ) = −2 yh .(− x y − y ) + h(− x − 3 y ) .
'

3

2

2

2

'

2

3

2

2

⇔ h(4 x 2 + 4 y 2 ) + 2h' ( x 4 − y 4 ) = 0 ⇔ 2h + h' ( x 2 − y 2 ) = 0
2
C
1
⇒ h' + h = 0 ⇒ h = Ce − ∫ 2 / udu = 2 . Từ h(1) = 1 ⇒ C = 1 . Vậy h( x 2 − y 2 ) =
u
u
x2 − y2

(

Câu 4. 1/ z x' =

3x2
2 x3 + y 3

2/ cos x − x sin x − e
2

− x2

; z 'y =

3 y2
2 x3 + y 3

⇒ dz (1,1) =

3
2 2

)

2

.

( dx + dy ) .


x4
x3
x4
5x4
4
3  

2
4 
= 1 − + o( x ) − x  x − + o ( x )  −  1 − x + + o ( x )  = −
+ o( x 4 )
2
3!
2
6

 


−5 x 4
−5 x 4
+ o( x 4 )
5
K = lim 6 4
= lim 64 = −
x →0
x →0 x
6
x
'
 f x = 2 x − 2 y − 2 = 0
Câu 5a. 1/ ðiểm dừng:  '
, có 1 ñiểm dừng P1 (1, 0)
f
x
y
=

−
2
+
4
+
2
=
0
 y
ðạo hàm riêng cấp hai: f xx'' = 2, f xy'' = −2, f yy'' = 4 .
Xét tại ñiểm dừng.
2
∆ = AC − B = 4 > 0
''
''
.
P1 (1, 0) : A = z xx
( P1 ) = 2, B = z xy
( P1 ) = −2, C = z ''yy ( P1 ) = 4 ⇒ 
A>0

Hàm ñạt cực tiểu tại P1 , f ct = f (1, 0) = 3
3

2

3

1

1

2

I = ∫ = ∫ + ∫ = I1 + I 2

2/
Xét I1
f ( x) =

1
(4 x − x 2 − 3)3

=

1

x →1+

1

1

2 2 ( x − 1)1/ 3

( x − 1)3 (3 − x)3

Tích phân I1 hội tụ.

Xét I 2

1

f ( x) =

=

1

(4 x − x 2 − 3)3
( x − 1)3 (3 − x)3
Vậy tích phân ñã cho hội tụ.

x →3−

1

1

2 2 ( 3 − x )1/ 3

Tích phân I 2 hội tụ.

Câu 5b. 1/ Miền xác ñịnh R. y liên tục trên [ −1,1] .

f' =

(

2x +1

)

x2 + 1

x2 + 1

= 0 ⇔ x = −1/ 2

2
3 2
; y( −1 ) = −
; y( −1 / 2 ) = − 5 .
2
2
2
tại x = 1 ; giá trị nhỏ nhất là − 5 tại x = −1/ 2 .
Kết luận: Giá trị lớn nhất là −
2
y( 1 ) = −

139


+∞

2/ Ta có tích phân ∫ e x dx phân kỳ. Dùng qui tắc Lôpital ta ñược
0

x

t
∫ e dt

I = lim

0

x →+∞

x2

e x
e x
et
= lim
= lim
= +∞
x →+∞ 2 x
x →+∞ 4 x
t →+∞ 4t

= lim

ðáp án ñề thi 2003.

(

1
y = x sin x . Nghiệm tổng quát y = e − ∫ pdx ∫ q ( x) ⋅ e ∫ pdx dx + C
x

− 1/ xdx
dx + C = x ( ∫ sin xdx + C ) = x ( C − cos x )
∫ x sin x.e ∫

Câu 1. 1/ y ' −
y = e ∫ 1/ xdx

(

)

)

y (π) = 2π ⇔ 2π = π(C − cos π) ⇔ C = 1 ⇒ Nghiệm của phương trình y = x (1 − cos x ) .
2/ Phương trình ñặc trưng: k 2 − 7k + 6 = 0 ⇔ k1 = 1 ∨ k2 = 6
Nghiệm của phương trình thuần nhất: y0 = C1e x + C2 e6 x .
Tìm nghiệm riêng: yr = x s e0 x ( Ax 2 + Bx + C ) , s = 0 vì α = 0 không là nghiệm của PTðT.

yr = Ax 2 + Bx + C .Thay vào phương trình ñã cho, ñồng nhất hai vế, ta ñược: A = 1, B = −1, C = −1 .
Nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu: ytq = y0 + yr = C1e x + C2 e6 x + x 2 − x − 1

Câu 2. 1/ lim n an
n→∞

n
n + 2)
(
= lim
n→∞

8.n n
∞

2/ ðặt X = x − 2 . Xét chuỗi ∑

n

=

∞
1
e2
 2
lim  1 +  = < 1 ⇒ ∑ an hội tụ theo Côsi.
8 n→∞  n 
8
1

(−1) n X n

. Bán kính hội tụ: R =

1

, với ρ = lim

n→∞
ρ
n4 + n2 + 1
∞

(−1) n
, chuỗi hội tụ tuyệt ñối.
Xét tại X = 3 . Có chuỗi số: ∑
n=0 3 ⋅ 3 n 4 + n 2 + 1
∞
1
Xét tại X = −3 . Có chuỗi số: ∑
, chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.
3
4
n=0 3 ⋅ n + n 2 + 1
n = 0 3n +1 ⋅ 3

n

an =

1
⇒ R = 3.
3

Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: −3 ≤ x − 2 ≤ 3 ⇔ −1 ≤ x ≤ 5 .
0 ≤ϕ ≤π /4
 x = r cos ϕ 
Câu 3. 1/ ðổi biến: 
⇒
. Khi ñó
 y = r sin ϕ
2 cos ϕ ≤ r ≤ 6 cos ϕ
π /4

6cos ϕ

0

2 cos ϕ

6cos ϕ
π / 4 r2

I = ∫ dϕ ∫ rdr = ∫

0

2

2cos ϕ

π /4

π /4

0

0

π /4

dϕ = ∫ 16 cos 2 ϕ dϕ = ∫ 8(1 + cos 2ϕ )dϕ = 8ϕ + 4sin 2ϕ 0

= 2π + 4

2/ Vì tích phân trên ñường tròn x 2 + y 2 = 1 , nên ta có thể thay e− ( x + y ) = e−1 . Ta có
2
2
1
I = ∫ e − ( x + y ) ( 2 xdy − (1 + 4 y )dx ) = e−1 ∫ ( 2 xdy − (1 + 4 y )dx ) =
∫∫ ( 2 − (−4) ) dxdy
e x 2 + y 2 ≤1
C
C
6
6
6π
I=
∫∫ dxdy = ⋅ Shình troøn =
e x 2 + y 2 ≤1
e
e
Chú ý: 1/ Nếu ñể nguyên tích phân mà sử dụng công thức Green thì việc tính toán rất khó khăn.
 x = cos t
2/ Có thể viết phương trình tham số của C: 
, t1 = 0, t2 = 2π . Thay vào tích phân ñã cho:
 y = sin t
2π
2
2
1 2π
6π
I = ∫ e− (sin t + cos t ) ( 2 cos t.cos tdt − (1 + 4 sin t )(− sin t )dt ) = ∫ 2 cos 2 t + 4 sin 2 t + sin t dt =

e 0
e
0
2

(

2

)

140


''
''
Câu 4. 1/ z x' = 3 x 2 − 2 y 2 ; z 'y = −4 xy + 9 y 2 ; z xx
= 6 x; z xy
= −4 y; z ''yy = −4 x + 18 y .
''
⇒ d 2 z (1,1) = z xx
(1,1) dx 2 + 2 z xy'' (1,1) dxdy + z ''yy (1,1) dy 2 = = 6dx 2 − 8dxdy + 14dy 2 .

2/ Miền xác ñịnh: x ≤ − 3 ∨ x ≥ 3 . Vậy không có tiệm cận ñứng

(

)

(

)

(

)

(

)

2 x 3 1 + 2 / x3 − | x | 1 − 3 / x 2
x 2 3 1 + 2 / x3 − 1 − 3 / x 2
2 3 x3 + 2 − x 2 − 3
lim
= lim
= lim
1
x →+∞
x →+∞
x →+∞
x
x
x
2 x 3 1 + 2 / x3 − | x | 1 − 3 / x 2
x 2 3 1 + 2 / x3 + 1 − 3 / x 2
2 3 x3 + 2 − x 2 − 3
lim
= lim
= lim

=3
x →−∞
x →−∞
x →−∞
x
x
x
Có hai tiệm cận ngang: y = 1 và y = 3 .
'
4
 z x = 5 x − 5 y = 0
Câu 5a. 1/ ðiểm dừng:  '
, có 2 ñiểm dừng P1 (0, 0); P2 (1,1)
4
 z y = 5 y − 5 x = 0
''
''
ðạo hàm riêng cấp hai: z xx
= 20 x3 ; z xy
= −5; z ''yy = 20 y 3

''
''
Xét tại ñiểm dừng. P1 (0, 0) : A = z xx
( P1 ) = 0, B = z xy
( P1 ) = −5, C = z ''yy ( P1 ) = 0 ⇒ ∆ = AC − B 2 = −25 < 0 .

Vậy hàm không ñạt cực trị tại P1 .
2
∆ = AC − B > 0

''
''
.Hàm ñạt cực tiểu tại P2 .
P2 (1,1) : A = z xx
( P2 ) = 20, B = z xy
( P2 ) = −5, C = z ''yy ( P2 ) = 20 ⇒ 
A>0


+∞ dx
+∞ e x dx
ex 1
> . Vì tích phân ∫
phân kỳ nên tích phân ∫
phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh 1.
x x
x
1 x
1
x et
ex
∫ dt Lopital, ∞ / ∞
1
t
J = lim 1 x
=
lim xx = lim = 0 .
x →+∞ e
x →+∞ e
x →+∞ x

2/. f ( x) =

Câu 5b. 1/ Miền xác ñịnh R. y liên tục trên [ −1/ 3, 2] .
y ' = (6 x 2 − 6 x)e 2 x

3

−3 x 2

= 0 ⇔ x = 0∨ x =1

−1

y( 0 ) = 1; y( 1 ) = e ; y( 2 ) = e4 ; y( −1 / 3 ) = e −11 / 27 .
Kết luận: Giá trị lớn nhất là e4 tại x = 2 ; giá trị nhỏ nhất là e−1 tại x = 1 .
2/ I = lim

1
ln(1+ x )
e − ex

x →0

I = e ⋅ lim

x
1− e

x →0

− x / 2+o ( x )

x

x − x 2 / 2+ o ( x 2 )
x
e−e

e − e.e − x / 2+ o ( x )
x →0
x →0
x
x
−(− x / 2 + o( x))
x/2 e
= e ⋅ lim
= e ⋅ lim
=
x →0
x →0 x
x
2

= lim

= lim

ðáp án ñề thi 2004.
dy 1

1
− y = 3 x sin x ⇔ y ' − y = 3 x sin x .
dx x
x
pdx
∫
∫ q ( x) ⋅ e dx + C

Câu 1. 1/ Chia hai vế cho xdx :
Nghiệm tổng quát y = e − ∫ pdx

(

(

)

)

y = e ∫ 1/ xdx ∫ 3 x sin x.e− ∫1/ xdx dx + C = x ( ∫ 3sin xdx + C ) = x ( C − 3cos x )
2/ Phương trình ñặc trưng: k 2 − 4k + 5 = 0 ⇔ k1 = 2 ± i
Nghiệm của phương trình thuần nhất: y0 = e2 x ( C1 cos x + C2 sin x ) .
Tìm nghiệm riêng: yr = x s e0 x ( A sin x + B cos x) , s = 0 vì α + i β = i không là nghiệm của PTðT.

141


yr = x 0 e0 x ( A sin x + B cos x) .Thay vào phương trình ñã cho, ñồng nhất hai vế, ta ñược: A = −1, B = 3 .
Nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu: ytq = y0 + yr = e 2 x ( C1 cos x + C2 sin x ) + 3cos x − sin x

Câu 2. 1a/ lim

n→∞

n

∞ u
un
2 + 1/ n 2
2
= lim
= 2 < 1 ⇒ ∑ n hội tụ theo Côsi.
n
vn n→∞ (1 + 2 / n )
e
1 vn

(−1)n −1 X n
1
1
. Bán kính hội tụ: R = , với ρ = lim n an = ⇒ R = 4 .
n
n→∞
ρ
4
n = 0 4 (3n − 1)
∞

2/ ðặt X = x 2 ≥ 0 . Xét chuỗi ∑

(−1) n−1
, chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.
n = 0 3n − 1
Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: x 2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2 .
2 x5 − 3x3 + 2 x
x(2 x 4 − 3 x 2 + 2)
Câu 3. 1/ Hàm xác ñịnh với mọi x > 1 . y ' =
=
.
2
2
2
2
2
2
2x −1
x +1
2x −1
x +1
∞

Xét tại X = 4 . Có chuỗi số: ∑

(

)

(

)

Xét g ( x) = 2 x 4 − 3 x 2 + 2 ⇒ g ' ( x) = 8 x3 − 6 x = x(8 x 2 − 6) > 0, ∀x > 1

Hàm g ( x) ñồng biến, ∀x > 1 . Suy ra g ( x) > g (1) = 1 ⇒ y ' = g > 0 . Vậy hàm ñã cho ñồng biến với ∀x > 1
Tiệm cận ñứng không có, vì xét x > 1 .
a = lim

x →+∞

y
x x2 − 1 1
= lim
= ,
x x→+∞ 2 x 2 − 1 2

(

 4 x6 − 4 x 4 − 2 x3 − x
 x2 x2 − 1 x 
−  = lim 
b = lim ( y − ax ) = lim 
x →+∞
x →+∞  2 x 2 − 1
2  x →+∞ 
2 x2 − 1



Có một tiệm cận xiên: y =
2/

z x'

=

y − 2 x2 y − y3
1 − x2 − y 2

; z 'y

=

x
.
2
x − 2 xy 2 − x3
1 − x2 − y 2

''
; z xy

=

)  = 0 , nhân liên hiệp của tử.



1 − 3x 2 − 3 y 2 + 2 x 4 + 3x 2 y 2 + 2 y 4

(1 − x

2

−y

)

2 3

.

''
⇒ dz ( 0, 0 ) = 0dx + 0dy; z xx
( 0, 0 ) = 1 .
4 cos ϕ
π /2
 x = r cos ϕ π / 3 ≤ ϕ ≤ π / 2
2π
Câu 4. 1/ ðổi biến: 
. Khi ñó I = ∫ dϕ ∫ rdr =
− 3.
⇒
3
π /3
0
 y = r sin ϕ
 0 ≤ r ≤ 4 cos ϕ

'

2/ ðiều kiện:
⇔

=

Py'

Qx'

− x 2 + 2 y 2 − 4axy

(x

2

+ 2y

)

2 2

'

 ax − y   bx + y 
⇔ 2
= 2
2 
2 
 x + 2 y  y  x + 2 y x
=

−bx 2 + 2by 2 − 2 xy

(x

2

+ 2y

)

2 2

1
⇔ − x 2 + 2 y 2 − 4axy = −bx 2 + 2by 2 − 2 xy ⇒ a = , b = 1 .
2

Tích phân không phụ thuộc ñường ñi. Tuy nhiên không thể tính theo cung AO và OB, vì P( x, y ) và Q( x, y )
không xác ñịnh tại gốc toạ ñộ.
 2 
I = ∫ = ∫ + ∫ , với C 
,1 .
C
AC
CB
 2 
0 x/2− 2 /2
1+ y
π 2
dy

+
dx =
∫
2
2
4
x +1
0 1+ 2 y
1
Chú ý: Có thể tính tích phân bằng cách viết phương trình tham số của cung C, sử dụng toạ ñộ cực mở rộng.
2/2

I= ∫

142


 x
 1 = r cos t
ðổi biển 
, x2 + 2 y 2 = 1 ⇒ r = 1
y

= r sin t
 2 / 2
 x = cos t

Phương trình tham số của C: 
, t1 = 0, t2 = π / 2
2

y
sin
t
=

2

π/2 1


 2
2
2
I = ∫  cos t −
sin t  (− sin t )dt +  cos t +
sin t 
cos tdt
2
2
0 2


 2
π/2 2

2
π 2
I = ∫ 
sin 2 t +
cos 2 t  dt =

2
4
0  2

 z ' = 2e y − x 2 (− x + 2 x 2 + 2 xy − 1) = 0
 x
Câu 5a. 1/ ðiểm dừng: 
, có 2 ñiểm dừng P1 (−1/ 2, 0)
'
y − x2
(1 + 2 x + 2 y ) = 0
 z y = −e
''
ðạo hàm riêng cấp hai: z xx
= −2e y − x (1 − 6 x − 2 y − 2 x 2 + 4 x3 + 4 x 2 y ) ;
2

''
''
z xy
= 2e y − x ( x + 2 x 2 + 2 xy − 1); z xyy
= −e y − x (3 + 2 x + 2 y )
Xét tại ñiểm dừng.
2

2

P1 (−1/ 2, 0) : A =

''

z xx
( P1 )

= − 6e

−1/ 4

,B =

''
z xy
( P1 )

= − 2e

−1/ 4

,C =

z ''yy ( P1 )

= − 2e

−1/ 4

∆ = AC − B 2 = 8e −1/ 2 > 0
.
⇒
A<0


Hàm có cực ñại tại P1
2/. f ( x) =
+∞

Tính I = ∫

3
+∞

I= ∫

2

x →+∞

1
x x +1
xdx
2

x

2

x +1
2

1
. Tích phân hội tụ vì α = 2 > 1 .

x2

. ðặt t = x 2 + 1 ⇒ t 2 = x 2 + 1 ⇒ tdt = xdx

dt
1 +∞  1
1 
1 t −1
=
−
∫ 
 dt = ln
2
2 t +1
t −1 2 2  t −1 t + 1 

+∞

=
2

ln 3
.
2

Câu 5b. 1/ Miền xác ñịnh R. y liên tục trên [ −1,3] .

(
(

)

 ex x2 − 6x + 8 ,
x>0

2 x
 ( x − 4 ) e , x ≥ 0

y=
⇒ y' = −e x x 2 − 10 x + 24 , x < 0
2 −x
x<0

( x − 4 ) e
x=0
 khoâng toàn taïi,

y' = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = 4 ∨ x = 6
Chú ý: có một ñiểm dừng x = 2 và một ñiểm tới hạn x = 0 thuộc khoảng ( −1,3 ) .

)

y( 0 ) = 16; y( 2 ) = 4e 2 ; y( −1 ) = 25e; y( 3 ) = e3 .
Kết luận: Giá trị lớn nhất là 25e tại x = −1 ; giá trị nhỏ nhất là 16 tại x = 0 .
1
x2
x x2
1/ 2
2/ Khi x → 0 , ta có: (1 + x sin x ) = 1 + x sin x + o( x 2 ) = 1 + + o( x 2 ) ; tan 2 =
+ o( x 2 ) ;

2
2
2 4
x2
1 − cos x
1 − cos x =
=
+ o( x 2 ) . Thay vào giới hạn ñã cho:
1 + cos x 4

143


x2
x2
x2
3x 2
2
2
2
1 + + o( x ) − cos x
+ o( x ) + + o( x )
2
2
4
I = lim
=
lim
= lim 42 = 3 .
2

2
x →0
x
→
0
x →0 x
x
x
+ o( x 2 )
+ o( x 2 )
4
4
4

ðáp án ñề thi 2005.

(

1
y = 3 xe x . Nghiệm tổng quát y = e − ∫ pdx ∫ q ( x) ⋅ e ∫ pdx dx + C
x
x − ∫ 1/ xdx
dx + C = x ∫ 3e x dx + C = x 3e x + C
∫ 3 xe .e

Câu 1. 1/ a/ y ' −
y = e ∫ 1/ xdx

(

) (

) (

)

)

b/, Qx' = 3 y 2 = Py' . Phương trình vi phân ñã cho là phương trình vi phân toàn phần.
Nghiệm của phương trình: u ( x, y ) = C ,
x

y

x

x0

y0

0

(

)

y

với u ( x, y ) = ∫ P ( x, y )dx + ∫ Q ( x0 , y )dy = ∫ 3 x 2 + y 3 + 4 x dx + ∫ 0dy
0

u ( x, y ) = x3 + xy 3 + 2 x 2 . Kết luận: Nghiệm của phương trình: x3 + xy 3 + 2 x 2 = C
2/ Phương trình ñặc trưng: k 2 − 4k + 3 = 0 ⇔ k1 = 1 ∨ k2 = 3 .
Nghiệm của phương trình thuần nhất: y0 = C1e x + C2 e3 x .
Tìm nghiệm riêng: yr = x s e x A = x1e x A , s = 1 vì α = 1 là nghiệm ñơn của PTðT.
Thay vào phương trình ñã cho, ñồng nhất hai vế, ta ñược: A = −3 .
Nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu: ytq = y0 + yr = C1e x + C2e3 x − 3 xe x .
−n
3 3



Câu 2. 1a/ lim n an = lim   1 − 
n→∞
n→∞  
n


1b/

−3
.n
n





∞

= e −3 < 1 ⇒ ∑ an hội tụ theo Côsi.
1

(

)(

) (

)

3 + 1 . 3 + 2 ... 3 + n
an +1
n +1
1.2...n(n + 1)
=
⋅
=
an
1.2...n
3 + n +1
3 + 1 . 3 + 2 ... 3 + n 3 + n + 1

(

)(

) (

)(

)

∞
an +1
n +1
= lim
= +∞ > 1 . Chuỗi ∑ an phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alembert.
n→∞ a
n →∞ 3 + n + 1
1
n

lim

∞

2/ ðặt X = x − 3 . Xét chuỗi ∑

n=0

∞

Xét tại X = 1 . Có chuỗi số: ∑

n=0

Xn
1
. Bán kính hội tụ: R = , với ρ = lim n an = 1 ⇒ R = 1 .

n→∞
ρ
2n + 1
1
, chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh.
2n + 1

(−1) n
, chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.
n = 0 2n + 1
Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: −1 ≤ x − 3 < 1 ⇔ 2 ≤ x < 4 .
1 3x 2 − 2 x
2
Câu 3. 1/ Miền xác ñịnh R. y ' =
= 0 ⇔ x = ( vì xét x > 0 )
2
33 3
3
x − x2
∞

Xét tại X = −1 . Có chuỗi số: ∑

(

x
y'
y

0

-

)

+∞

2/3
0

Hàm ñạt cực tiểu tại x = 2 / 3 , giá trị cực ñại y = f (2 / 3) =

+

−3 4
.
3

144


Tiệm cận ñứng không có.
3 3
y
x − x2
a = lim = lim
= 1,
x →+∞ x
x →+∞
x

b = lim ( y − ax ) = lim
x →+∞

x →+∞

(

3

)

− x2

x3 − x 2 − x = lim

x →+∞

3

(x

3

− x2

)

2

=

+ x 3 x3 − x 2 + x 2

−1
3

Có một tiệm cận xiên: y = x − 1/ 3 .
2/ z x' =

⇒ dz

(

2 xy
2 y2
2 x2 y − 2 y3 − 4 x2 y
'
2
2
''
;
z
=
ln
x
−
y
−
;
z

=
.
y
xx
2
2 2
x2 − y 2
x2 − y2
x −y

(

)

)

''
2,1 = 2 2dx − 2dy; z xx

(

(

)

)

2,1 = −6 .

3π / 4

3
 x = r cos ϕ π / 4 ≤ ϕ ≤ 3π / 4
Câu 4. 1/ ðổi biến: 
⇒
. Khi ñó I = ∫ dϕ ∫ 9 − r 2 ⋅ rdr = 9π / 2 .
0≤r ≤3
π /3
0
 y = r sin ϕ


(

2/ ðiều kiện: Py' = Qx' ⇔ 2 ye xy + eα x cos y
αx

⇔ 2e + 2 xye − e
xy

xy

(

)

'

y

αx

sin y = 2e + 2 xye − ae

(

xy

)

xy

Green

I = ∫ P − y 3 dx + Q + x3 dy = +
C

) = ( 2 xe

∫∫
x2 + y 2 ≤ 2 x

(Q

'
x

xy

− eα x sin y

)

'

x

sin y ⇒ α = 1

)

+ 3 x 2 − Py' + 3 y 2 dxdy .

Vì Py' = Qx' , nên ta có:

(

)

π /2

2 cos ϕ

−π / 2

0

π /2
3
9π
( 2 cos ϕ )4 dϕ = 12 ∫ cos4 ϕ dϕ =

2
−π / 2 4
−π / 2
π /2

3 x 2 + y 2 dxdy = ∫ dϕ ∫ 3r 2 .rdr = ∫

∫∫
x2 + y 2 ≤ 2 x

3
 '
 z x = y − x 2 = 0
Câu 5a. 1/ ðiểm dừng: 
, có 1 ñiểm dừng P1 (1,3)
9
'
zy = x −
=0

y2
6 ''
18
''
ðạo hàm riêng cấp hai: z xx
= 3 , z xy
= 1, z ''yy = 3 .
x
y
Xét tại ñiểm dừng.

 ∆ = AC − B 2 = 3 > 0
''
''
. Hàm có cực tiểu tại P1
P1 (1,3) : A = z xx
( P1 ) = 6, B = z xy
( P1 ) = 1, C = z ''yy ( P1 ) = 2 / 3 ⇒ 
A>0

+∞
x2 − 3
x2 − 3
2/ I = ∫
dx + ∫
dx = I1 + I 2 . Tích phân I1 là tích phân xác ñịnh, nên tính chất
2
2
1 x ( x + 1)( x + 1)
2 x ( x + 1)( x + 1)
2

+∞

hội tụ của hai tích phân I và I 2 là như nhau. Xét tích phân hàm không âm I 2 = ∫

2

f ( x) =

x −3

x( x + 1)( x 2 + 1)
2

x →+∞

x2 − 3
dx
x( x + 1)( x 2 + 1)

2

x
1
= 2 . Tích phân hội tụ vì α = 2 > 1 .
4
x
x

x2 − 3
x2 − 3
A
B
Cx + D
dx
.
Phân
tích
= +
+ 2
2

2
x( x + 1)( x + 1) x x + 1 x + 1
1 x ( x + 1)( x + 1)
Qui ñồng, ñồng nhất hai vế (hoặc dùng khai triển Heaviside): A = −3, B = 1, C = 2, D = 2 .
+∞ −3dx
+∞ dx
+∞ 2 xdx
+∞ 2 dx
+∞
I= ∫
+ ∫
+ ∫ 2
+ ∫ 2
= −3ln | x | + ln | x + 1| + ln( x 2 + 1) + 2 arctan x
1
x
1
1 x +1
1 x +1
1 x +1
+∞

Tính I = ∫

(

)

145

(

+∞

)



| x 2 + 1 ( x + 1) |

 = π − ln 4 .
I = ln
2
arctan
x
+
3


2
x

1
Câu 5b. 1/ Miền xác ñịnh R. y liên tục trên [ −1/ 2,3] . y ' =

−3 x 2 + 4 x

(( 2 − x ) x2 )

2/3

= 0 ⇔ x = 4/3.

Có một ñiểm dừng x = 4 / 3 và một ñiểm tới hạn x = 0 , vì không tồn tại ñạo hàm tại x = 0 .
3
23 4
5
3
y (0) = 0; y (4 / 3) =
; y (3) = − 9; y (−1/ 2) =
.
3
2
2
Kết luận: Giá trị lớn nhất là 3 4 tại x = 4 / 3 ; giá trị nhỏ nhất là − 3 9 tại x = 3 .
3
1

( ln(1+ 4 x )1/ x −ln e4 )

(

)

11
11


. Xét lim  ln (1 + 4 x ) − 4  = lim  4 x − 8 x 2 + o( x 2 ) − 4  =

x →0 x  x
 x →0 x  x

−8 x + o ( x )
−8 x
= lim
== lim
= 8 ⇒ I = e −8 .
x →0
x
→
0
x
x

2/ I = e

lim

x →0 x

ðáp án ñề thi 2006.

(

Câu 1. 1/ a/ Nghiệm tổng quát y = e − ∫ pdx ∫ q ( x) ⋅ e ∫ pdx dx + C

)

 5x4


y = e ∫ 2 / xdx ∫ 5 x5 ⋅ e− ∫ 2 / xdx dx + C = x 2 ∫ 5 x3dx + C = x 2 
+C
 4

'
y
'
b/ Py = e = Qx . Phương trình vi phân ñã cho là phương trình vi phân toàn phần.

(

)

(

)

Nghiệm của phương trình: u ( x, y ) = C .
x

y

x

x0

y0

0

(

)

y

u ( x, y ) = ∫ P ( x, y )dx + ∫ Q ( x0 , y )dy = ∫ e y + sin x dx + ∫ cos ydy

(

u ( x, y ) = xe y − cos x

)

x
0

0

y

+ sin y 0 = xe y − cos x + 1 + sin y

Kết luận: Nghiệm của phtrình: xe y − cos x + sin y = C1 .
2/ Phương trình ñặc trưng: k 2 − 4k + 4 = 0 ⇔ k1 = k2 = 2 .
Nghiệm của phương trình thuần nhất: y0 = C1e 2 x + C2 xe2 x .
Tìm nghiệm riêng: f ( x) = 8e2 x , α = 2, Pn ( x) bậc 0.

⇒ yr = x s e 2 x A = Ax 2 e2 x vì α = 2 là nghiệm kép của PTðT, nên s = 2.

Thay vào phương trình ñã cho, ñồng nhất hai vế, ta ñược: A = 4 .
Nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu: ytq = y0 + yr = C1e2 x + C2 xe2 x + 4 x 2 e2 x .
−3

.( n + 2)

− ( n + 2)  n + 2

∞
3
3


−3

Câu 2. 1a/ lim n an = lim  1 −
=
e
<
1
⇒
vn hội tụ theo Côsi.
∑


n→∞
n→∞  
n+2
1




an +1 1.3.5...(2n − 1)(2n + 1) n + 2 2.4.6...(2n) 1
6n + 3
1b/
=
3 ⋅
=
an
2.4.6...(2n)(2n + 2)
1.3.5...(2n − 1) 3n+1 2n + 2
∞
a
6n + 3
lim n+1 = lim
= 3 > 1 . Chuỗi ∑ vn phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alembert.
n→∞ a
n→∞ 2n + 2
1
n

(−1) n .3n +1. X n
1
3
4
. Bán kính hội tụ: R = , với ρ = lim n an = ⇒ R = .
n+ 2 3
n→∞
ρ
4

3
n=0 4
. n +1
∞

2/ ðặt X = x − 1 . Xét chuỗi ∑

146


∞ ( −1) n .3
4
. Có chuỗi số: ∑
. Hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.
3
3
n = 0 16. n + 1
∞
4
3
Xét tại X = − . Có chuỗi số: ∑
. Phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh.
3
3
n = 0 16. n + 1
4
4
1
7
Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: − < x − 1 ≤ ⇔ − < x ≤ .

3
3
3
3
4
2


Câu 3. 1/ Miền xác ñịnh x ≠ 0 . y ' = 2  1 + 2  = 0 ⇔ x = −2.
x  x 
x
−∞
−2
0
'
+
0
y
y

Xét tại X =

+∞
+

Hàm ñạt cực ñại tại x = −2 , giá trị cực ñại y = f (−2) = 4 .

3x 2 − 4 x − 4
= −∞ . Tiệm cận ñứng x = 0.
x →0

x →0
x2
3x 2 − 4 x − 4
lim y = lim
= 3 . Có tiệm cận ngang: y = 3 .
x →±∞
x →±∞
x2

lim y = lim

2/ z x' = 6 xy 3e x

2 3

y

; z 'y = 9 x 2 y 2e x

2 3

y

''
; z xy
= 18 xy 2e x

2 3

y

+ 18 x3 y 5e x

2 3

y

.

''
dz (1,1) = 6edx + 9edy ; z xy
(1,1) = 36e .

 x = r cos ϕ π / 4 ≤ ϕ ≤ π / 3
.
Câu 4. 1/ ðổi biến: 
⇒
 1 ≤ r ≤ 33
 y = r sin ϕ
π /3

33

Vậy I = ∫ dϕ ∫
π /4

1

r
3+ r

2

dr =

π
3

(ñổi biến t = 3 + r 2 )

2/ ðiều kiện:
Py' = Qx' ⇔ emx .x.3.cos(3 y ) + e mx .cos 3 y − 3 ye mx sin 3 y = memx . ( x.cos 3 y − y sin 3 y ) + emx cos 3 y .
⇔ 3 x cos 3 y − 3 y sin 3 y = mx cos 3 y − my sin 3 y ⇒ m = 3
I = ∫ ( P + x + 3 y )dx + (Q + y − 3 x)dy = + ∫∫

∆OAB

C

( ( Q + y − 3x )

'
x

)

− ( P + x + 3 y )'y dxdy .

Vì Py' = Qx' ⇒ I = ∫∫ (−3 − 3)dxdy = −6 ⋅ S ∆OAB = −6
∆OAB

 z x' = 4 x − 4 y = 0
Câu 5a. 1/ ðiểm dừng:  '
, có 3 ñiểm dừng P1 (0, 0), P2 (1,1), P3 (−1, −1)
3
 z y = −4 x + 4 y = 0
''
''
ðạo hàm riêng cấp hai: z xx
= 4, z xy
= −4, z ''yy = 12 y 2 .
Xét từng ñiểm dừng.
''
''
P1 (0, 0) : A = z xx
( P1 ) = 4, B = z xy
( P1 ) = −4, C = z ''yy ( P1 ) = 0 ⇒ ∆ = AC − B 2 = −16 < 0 . Không có cực trị tại P1
2
∆ = AC − B = 32 > 0
''
''
Tại P2 (1,1) A = z xx
.
( P2 ) = 4, B = z xy
( P2 ) = −4, C = z ''yy ( P2 ) = 12 ⇒ 
A>0

Hàm ñạt cực tiểu tại P2 .

Tương tự hoàn toàn, hàm ñạt cực tiểu tại P3 (−1, −1)

1

2/ Chú ý: phải tách ra làm 2 tích phân: I = ∫

0

(

+∞

dx

)(

α

1+ x . 1+ x
3

)

+ ∫

1

(

dx

)(

1 + x . 1 + xα
3

)

= I1 + I 2 .

Vì I1 là tích phân xác ñịnh thông thường nên tính chất hội tụ của I và của I 2 tương ñương nhau.

147


+∞

Xét I 2 = ∫

dx

(

)(

(

)

1 + x3 . 1 + xα

1

)

. Ta có f ( x) =

α >0, x →+∞

1

(

)(

1 + x3 . 1 + xα

)

1
α +3

x

.

Tích phân hội tụ khi α + 3 > 1 ⇔ α > −2 . Số nguyên dương bé nhất ⇒ α = 1 .
+∞
1
A
B
Cx + D

dx
Tính I = ∫
. Phân tích
=
+
+ 2
2
2
3
2
1 + x (1 + x )
x − x +1
0 1 + x . (1 + x )
x − x + 1 . (1 + x )

(

)

1
1
Qui ñồng, ñồng nhất hai vế (hoặc dùng khai triển Heaviside): A = B = D = , C = − .
3
3
+∞
+∞
+∞
+∞
1
dx 1

dx
1 ( 2 x − 1) dx 1
dx
I= ∫
+ ∫
− ∫ 2
+ ∫
.
2
3 0 x + 1 3 0 ( x + 1) 6 0 x − x + 1 6 0 ( x − 1/ 2 ) 2 + 3 / 2 2

(

)

+∞

+∞

+∞
1 1
1
1
1
2x −1
+∞
I =−
+ ln |1 + x | 0 − ln | x 2 − x + 1| +
arctan
0

3 1+ x 0
3
6
3 3
3 0

( x + 1)
1 1
I = + ln 2
3 6 x − x +1
2

+∞

+
0

1 π π  1 2 3
π
 + = +
3 3  2 6  3 27

Câu 5b. 1/ Miền xác ñịnh R. y liên tục trên [ 0, 2] . y ' =

( x − 1)(7 − 3 x)
= 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 7 / 3 (loại)
(3 − x)( x − 1) 2 + 1

y (0) = ln 4; y (1) = 0; y (2) = ln 2 .
Kết luận: Giá trị lớn nhất là ln 4 tại x = 0 ; giá trị nhỏ nhất là 0 tại x = 1 .

1/ x 2

x

2/ I = lim  3 1 + x − 
x →0 
3

=e

lim

1

x →0 x2

1/ 3 x 

ln  (1+ x ) − 
3

.

Xét lim

x →0

1 
x
1/ 3

ln  (1 + x ) − 
2
3
x


 x x2
 x2

x
x
x2
1/ 3

ln  (1 + x ) −  = ln 1 + − + o( x 2 ) −  = ln  1 − + o( x 2 )  = − + o( x 2 ) .
3
3
9
9

 3 9


1 
x
− x 2 / 9 + o( x 2 )
− x2 / 9
1
1/ 3
ln

1
+
x
−
=
lim
=
lim
=
−
⇒ I = e−1/ 9 .
(
)


2
2
x →0 x 2
x
→
x
→
0
0
3
9
x
x


lim

ðáp án ñề thi 2007.
y3
dx dy
1 −1 1
dx
dy
Câu 1. 1/ a/
dx − x 2 dy = 0 ⇔ 2 = 3 ⇒ ∫ 2 = ∫ 3 + C ⇒ −
=
+C
2x 2 y2
2
2x
y
2x
y

ðiều kiện y (4) = 2 ⇒ C = 0. Nghiệm của phtrình: x = y 2 .

(

b/ Nghiệm tổng quát y = e − ∫ pdx ∫ q ( x) ⋅ e ∫ pdx dx + C

(

)

)

y = e ∫ 4 / xdx ∫ x 4 cos x ⋅ e− ∫ 4 / xdx dx + C = x 4 ( ∫ cos xdx + C ) = x 4 ( sin x + C )

2/ Phương trình ñặc trưng: k 2 + 2k − 3 = 0 ⇔ k1 = 1, k2 = −3 .
Nghiệm của phương trình thuần nhất: y0 = C1e x + C2e −3 x .
Tìm nghiệm riêng: yr = x 0 e3 x ( Ax + B) = e3 x ( Ax + B) vì α = 3 không là nghiệm của PTðT.
1
−1
Thay vào phương trình ñã cho, ñồng nhất hai vế, ta ñược: A = , B =
.
2
4
1
1
Nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu: ytq = y0 + yr = C1e x + C2 e−3 x + e3 x  x −  .
4
2

148


− (2 n +1)
 1

−1
.( n −1)
2
 n +1



∞
1
1


Câu 2. 1/a lim n an = lim  1 −
= e−1/ 2 =
< 1 ⇒ ∑ an hội tụ theo Côsi.


n→∞
n→∞  
2n + 1 
1
e



a
1.4.9...n 2 (n + 1)2 .5n +3
1.3.5..(2n − 1) ⋅ n ! (n + 1)2
5
⋅
=
1b/ n +1 =
.
2 n+2
an 1.3.5..(2n − 1)(2n + 1).(n + 1)! 1.4.9...n .5
2n + 1 (n + 1)
∞

a
5(n + 1) 5
lim n +1 = lim
. = > 1 . Chuỗi ∑ an phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alembert.
n→∞ a
n →∞ 2 n + 1
2
1
n
∞

Kết luận: chuỗi ∑ ( un + vn ) phân kỳ.
1

Xn

∞

2/ ðặt X = x + 3 . Xét chuỗi ∑

. Bán kính hội tụ: R =

1

, với ρ = lim

ρ
4n + 2 ⋅ 4 n3 + 1
∞
1

Xét tại X = 4 . Có chuỗi số: ∑
. Phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh.
n = 0 16 4 n3 + 1
∞
(−1)n
Xét tại X = −4 . Có chuỗi số: ∑
. Hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.
n = 0 16 4 n3 + 1
Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: −4 ≤ x + 3 < 4 ⇔ −7 ≤ x < 1 .
x−3
Câu 3. 1/ Miền xác ñịnh x ≥ 0 . y ' =
= 0 ⇔ x = 3.
x 2 − 6 x + 10
x
0
3
'
0
+
y
y
n=0

n

n→∞

an =

1

⇒ R = 4.
4

+∞

Hàm ñạt cực tiểu tại x = 3 , giá trị cực ñại y = f (3) = 1 .
Không có tiệm cận ñứng .

(

y
x 2 − 6 x + 10
= lim
= 1, b = lim ( y − ax ) = lim
x 2 − 6 x + 10 − x
x →+∞ x
x →+∞
x
→+∞
x
→+∞
x
−6 x + 10
= lim
= −3 . Có tiệm cận xiên: y = x − 3 .
x →+∞
x 2 − 6 x + 10 + x
2x
1
6y

3
∂u ∂u
2/ u x' = 2
⇒ u x' (1,1) = . u 'y = 2
⇒ u 'y (1,1) = ⇒
+
=2.
2
2
2
2
∂x ∂y
x + 3y
x + 3y
a = lim

''
u xx
=

6 y2 − 2x2

(x

2

+ 3y

)

2 2

''
⇒ u xx
(1,1) =

1 ''
−12 xy
; u xy =
4
x2 + 3 y 2

(

)

2

''
⇒ u xy
(1,1) =

)

−3
−1
''
⇒ u xx
+ u ''yy =
4

2

 x = r cos ϕ 0 ≤ ϕ ≤ 2π
Câu 4. 1/ ðổi biến: 
.
⇒
 0 ≤ r ≤ 3
 y = r sin ϕ
2π

3

Khi ñó I = ∫ dϕ ∫ r arctan rdr =
0

0

4π
(π − 3) . (tích phân từng phần, ñặt u = arctan r , dv = rdr )
3

2/ ðiều kiện: ( h.P ) y = ( h.Q ) x ⇔ he − y − (1 + x + y )e − y h = h' (1 − x − y )e− y − he− y
'

'

⇔ h' − h = 0 ⇒ h = Ce ∫ 1dy = Ce x . ðiều kiện h(0) = 1 ⇔ C = 1 ⇒ h = e x .
I = ∫ (hPdx + hQdy ) . Tích phân không phụ thuộc ñường ñi. Thay vì tính tích phân trên cung tròn, ta tính
C

tích phân theo ñường thẳng ñứng từ A(0,-3) ñến B(0,3).

149


3

I = ∫ e x P ( x, y )dx + e x Q( x, y )dy = ∫ (1 − y )e− y dy = 3e3 + 3e −3 .
−3

AB

'
 z x

= 3x + 6 x − 3 y + 3 = 0
Câu 5a. 1/ ðiểm dừng:  '
, có 2 ñiểm dừng P1 (0,1), P2 (−1, 0)
2
 z y = 3 y − 3 x − 3 = 0
''
''
ðạo hàm riêng cấp hai: z xx
= 6 x + 6, z xy
= −3, z ''yy = 6 y .
Xét từng ñiểm dừng.
∆ = AC − B 2 = 27 > 0
''
''
. Hàm ñạt cực tiểu tại P1 .

P1 (0,1) : A = z xx
( P1 ) = 6, B = z xy
( P1 ) = −3, C = z ''yy ( P1 ) = 6 ⇒ 
A>0

2

''
''
P2 (−1, 0) : A = z xx
( P2 ) = 0, B = z xy
( P2 ) = −3, C = z ''yy ( P2 ) = 0 ⇒ ∆ = AC − B 2 < 0 . Không có cực trị tại P2 .

1

x →+∞

1

. Tích phân hội tụ vì α = 3 / 2 > 1 .
x
x. x 2 + 1
+∞
+∞
xdx
2t 3
π ln 2
, ñặt t = 4 x 2 + 1 ⇒ I = ∫ 4
= +
− arctan 3 .

I= ∫
24 2
2
2
3 t −1 t
80 x
x +1

2/ f ( x) =

3/ 2

4

(

)

Câu 5b. 1/ Miền xác ñịnh R, y liên tục trên [1,3] .

y ' = ( x − 1)2 (12 − 5 x) + 2 x( x − 1)(12 − 5 x) − 5( x − 1) 2 x = 0 ⇔ ⇔ x = 2 ∨ x = 1 (loại) ∨ x = 3 /10 (loại).
y (2) = 4; y (1) = 0; y (3) = −36 .
Kết luận: Giá trị lớn nhất là 4 tại x = 2 ; giá trị nhỏ nhất là −36 tại x = 3 .
x +1

 x +1   x + 2 
2/ I = lim 
 .

x →+∞  x + 5 

 x+5
I = e−4 ⋅ e−3 ⋅ e−1 = e−8 .

x+2

 x+4
.

 x+5

x+4

4 

= lim 1 −

x →+∞ 
x+5

x +1

3 

.1 −

 x+5

x+2

1 


. 1 −

 x+5

x+4

.

ðáp án ñề thi 2008.

(

Câu 1. 1/ a/ Nghiệm tổng quát y = e − ∫ pdx ∫ q ( x) ⋅ e ∫ pdx dx + C

)

1
 6sin x ∫ 3 / xdx
 1
y = e − ∫ 3 / xdx  ∫
⋅e
dx + C  = 3 ( ∫ 6sin xdx + C ) = 3 ( C − 6 cos x )
3
x
 x
 x
b/ P ( x, y ) = 5 xy 2 + 4 y ⇒ Py' = 10 xy + 4 , Q( x, y ) = 5 x 2 y + 4 x ⇒ Qx' = 10 xy + 4 .
⇒ Qx' = Py' . Phương trình vi phân ñã cho là phương trình vi phân toàn phần.
Nghiệm của phương trình: u ( x, y ) = C .

 u x' = P( x, y )
5
⇒ u ( x, y ) = ∫ P ( x, y )dx + g ( y ) = ∫ (5 xy 2 + 4 y )dx + g ( y ) = x 2 y 2 + 4 xy + g ( y )
 '
2
u y = Q( x, y )
u 'y = 5 x 2 y + 4 x + g ' ( y ) = Q( x, y ) ⇒ g ' ( y ) = 0 ⇒ g ( y ) = C1.
5 2 2
5
x y + 4 xy + C1 . Kết luận: Nghiệm của phương trình: x 2 y 2 + 4 xy = C2 .
2
2
2
2/ Phương trình ñặc trưng: k − 2k − 3 = 0 ⇔ k1 = −1, k2 = 3 .

Vậy u ( x, y ) =

Nghiệm của phương trình thuần nhất: y0 = C1e − x + C2e3 x .
Tìm nghiệm riêng: f ( x) = e0 x (−30 cos 3x + 0.sin 3x), α = 0, β = 3, Pn ( x) bậc 0, Qm ( x) bậc 0.

⇒ yr = x s e0 x ( A cos 3 x + B sin 3x) = x 0 e0 x ( A cos 3x + B sin 3x) vì α + i β = 3i không là nghiệm của PTðT.
Thay vào phương trình ñã cho, ñồng nhất hai vế, ta ñược: A = 2, B = 1 .
Nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu: ytq = y0 + yr = C1e− x + C2e3 x + 2 cos 3 x + sin 3 x.

150


vn+1 2.4...(2n + 2)(n + 1)n +1 4.7...(3n + 1) ⋅ n ! 2n + 2 (n + 1)n
=

⋅
=
.
vn
4.7...(3n + 4)(n + 1)!
3n + 4
nn
2.4...(2n).n n
∞
2n + 2
2e
= lim
.(1 + 1/ n) n =
> 1 . Chuỗi ∑ vn phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alembert.
n→∞ 3n + 4
3
1

Câu 2. 1/
vn +1
n→∞ v
n
lim

−2

.4 n +1

−4 n +1  4 n +1


4 n +1
4
n
−
1
2



 2 
lim n un = lim 
= lim  1 −



n→∞
n →∞  4 n + 1 
n→∞  
4n + 1 




∞

= e−2 < 1 ⇒ ∑ vn hội tụ theo Côsi.
1

∞

Kết luận: chuỗi ∑ ( un + vn ) phân kỳ.
1

∞

2/ ðặt X = x + 1 . Xét chuỗi ∑

(n + 2). X n

. Bán kính hội tụ: R =

1

, với ρ = lim

ρ
n6 + 1
∞
n+2
Xét tại X = 5 . Có chuỗi số: ∑
. Hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.
n = 0 25. n 6 + 1
∞ ( −1) n n + 2
Xét tại X = −5 . Có chuỗi số: ∑
. Hội tụ tuyệt ñối.
n = 0 25. n 6 + 1
Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: −5 ≤ x + 1 ≤ 5 ⇔ −6 ≤ x ≤ 4 .
−2 x + 5
Câu 3. 1/ Miền xác ñịnh x ≠ 5 . y ' =
= 0 ⇔ x = 5 / 2.

( x − 5)2 . x 2 − 6 x + 10
n = 0 5n + 2

x
y'
y

0
+

5/ 2
0

n→∞

an =

1
⇒ R = 5.
5

+∞

5
-

-

Hàm ñạt cực ñại tại x = 5 / 2 , giá trị cực ñại y = f (5 / 2) =

− 5
.
5

x 2 − 6 x + 10
= ∞ . Tiệm cận ñứng x = 5.
x−5

lim y = lim
x →5

n

x →5

x 2 − 6 x + 10
| x | . 1 − 6 / x + 10 / x 2
x. 1 − 6 / x + 10 / x 2
= lim
= lim
=1
x →+∞
x →+∞
x →+∞
x →+∞
x−5
x(1 − 5 / x)
x(1 − 5 / x)
Có tiệm cận ngang: y = 1 .
6x

12
y
1
∂u
∂u 27
2/ u x' =
⇒ u x' (2,1) = ; u 'y =
⇒ u 'y (2,1) = ⇒ 2 + 3 =
.
2
2
2
2
5
5
∂x
∂y 5
6x + y
6x + y
lim y = lim

''
u xy
=

−6 xy

(6x

2

+ y2

)

3

''
⇒ u xy
(2,1) =

−12 ''
; u yy =
125

6 x2

(6x

2

+ y2

)

3

''
⇒ u xy
(2,1) =

24
72
''
⇒ 4u xy
+ 5u ''yy =
125
125

2π
e
 x = r cos ϕ 0 ≤ ϕ ≤ 2π
Câu 4. 1/ ðổi biến: 
⇒
. Khi ñó I = ∫ dϕ ∫ 2r 2 ln rdr
0
1
 y = r sin ϕ
 1≤ r ≤ e
e
4π
= 2π .2 ∫ r 2 ln rdr =
(2e3 + 1) . (tích phân từng phần u = ln r , dv = r 2 dr ).
9
1
1
'
'
2/ ðiều kiện: ( h.P ) y = ( h.Q ) x ⇔ y.h ' + h = 2h ⇔ y.h' − h = 0 ⇔ h ' − h = 0 ⇒ h = Ce ∫ 1/ ydy = Cy .
y

ðiều kiện h(1) = 1 ⇔ C = 1 ⇒ h( y ) = y .

151


I = ∫ (hPdx + hQdy ) . Tích phân không phụ thuộc ñường ñi. Thay vì tính tích phân trên cung ellipse, ta tính
C

tích phân theo ñường thẳng từ A ñến 0 và từ 0 ñến B.
2

I = ∫ y 2 dx + (2 xy − y 2e y )dy + ∫ y 2 dx + (2 xy − y 2e y )dy = − ∫ y 2 e y dy = 2 − 2e2 .
AO

0

OB

 z x' = 3x 2 + 3 y = 0
,
 '
 z y = 3 x + 4 y = 0

Câu 5a. 1/ ðiểm dừng:

có 2 ñiểm dừng P1 (0, 0), P2 (3 / 4, −9 /16)

''
''
ðạo hàm riêng cấp hai: z xx

= 6 x, z xy
= 3, z ''yy = 4 .
Xét từng ñiểm dừng.
''
''
P1 (0, 0) : A = z xx
( P1 ) = 0, B = z xy
( P1 ) = 3, C = z ''yy ( P1 ) = 4 ⇒ ∆ = AC − B 2 = −9 < 0 . Không có cực trị tại P1
2
∆ = AC − B = 9 > 0
''
''
.
P2 (3 / 4, −9 /16) : A = z xx
( P2 ) = 9 / 2, B = z xy
( P2 ) = 3, C = z ''yy ( P2 ) = 4 ⇒ 
A>0

Hàm ñạt cực tiểu tại P2 .
x →+∞

1

2/ f ( x) =

x m .3 x 2 + 1

1
x

m+2 / 3

. Tích phân hội tụ khi m + 2 / 3 > 1 ⇔ m > 1/ 3 .

1 + x2 3
m +1
I= ∫ x
(1 + x )
dx .Tích phân Trêbưsev:
+ p = −1 ∈ Z . ðặt
=t
n
x2
1
−2
−3 2
dx = 3t 2 dt ⇒ x −3dx =
t dt
3
2
x
+∞

+∞

−7 / 3

2 −1/ 3

((1 + x ) x )

−1/ 3

3

2 3
3
.x dx = ∫ tdt =
4
1
1 2
Câu 5b. 1/ Miền xác ñịnh R. y liên tục trên [ −2, 0] .

I= ∫ x

−7 / 3

3

.x .x

−2 / 3

2

−2

−3

(

3

)

4 −1 .

y ' = 12 x3 − 24 x 2 − 12 x + 24 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 2 (loại) ∨ x = 1 (loại).
y (−1) = −17; y (1) = 15; y (−2) = 42 .
Kết luận: Giá trị lớn nhất là 42 tại x = −2 ; giá trị nhỏ nhất là −17 tại x = −1 .
f
x →0+
x →0+
2/ Ta có g ( x) 
→ 0, f ( x) = x + 4 − 3 x + b 
→ 2 − 3 b . ðể lim hữu hạn thì b = 8.
x →0 g
1
1
0
−
( x + 8)−2 / 3
f 0
1
3
Khi ñó: I = lim = lim 2 x + 4
= .
2
x →0 + g
x →0 +

18
3e−9 x

ðáp án ñề thi 2009.

y = e ∫ 3 / xdx

(

(
(

3
y = 2e2 x x3 . Nghiệm tổng quát y = e − ∫ pdx ∫ q ( x) ⋅ e ∫ pdx dx + C
x
2x 3
− ∫ 3 / xdx
dx + C = x3 ∫ 2e 2 x dx + C = x3 e2 x + C
∫ 2e x ⋅ e

Câu 1. 1/ a/ y ' −

)

(

)

)

)

b/ P ( x, y ) = e x sin y + 5 y ⇒ Py' = e x cos y + 5 , Q( x, y ) = e x cos y + 5 x ⇒ Qx' = e x cos y + 5 .
⇒ Qx' = Py' . Phương trình vi phân ñã cho là phương trình vi phân toàn phần.

Nghiệm của phương trình: u ( x, y ) = C .
x

y

x

x0

y0

0

(

)

(

)

y

u ( x, y ) = ∫ P ( x, y )dx + ∫ Q( x0 , y )dy = ∫ e x sin y + 5 y dx + ∫ ( cos y + 0 ) dy
u ( x, y ) = e x sin y + 5 xy

x
0

0

y

+ sin y 0 = e x sin y + 5 xy − sin y + sin y = e x sin y + 5 xy .

2/ Phương trình ñặc trưng: k 2 + 6k + 9 = 0 ⇔ k1 = k2 = −3 .

152


Nghiệm của phương trình thuần nhất: y0 = C1e −3 x + C2 xe−3 x .
Tìm nghiệm riêng: yr = x s e3 x ( Ax + B) = x0 e3 x ( Ax + B) vì α = 3 không là nghiệm của PTðT.
Thay vào phương trình ñã cho, ñồng nhất hai vế, ta ñược: A = 1, B = −1 .
Nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu: ytq = y0 + yr = C1e−3 x + C2 xe−3 x + ( x − 1)e3 x .

un+1
3.5...(2n + 3)(n + 1)! 4.8...(4n) ⋅ n n
2n + 3
nn
2n + 3
1
=
⋅
=
.

=
.
n +1
n
un
3.5...(2n + 1).n ! 4n + 4 (n + 1)
4n + 4 (1 + 1/ n) n
4.8...(4n + 4)(n + 1)
∞
2n + 3
1
1
= lim
.
=
<
1
.
Chu
ỗ
i
un hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert.
∑
n→∞ 4n + 4 (1 + 1/ n ) n
2e
1

Câu 2. 1/
un+1
n→∞ u

n
lim

 4n − 1 
lim vn = lim 

n→∞
n→∞  4n + 2 

4 n +1

n

−4 n + 2
 3


3

= lim  1 −


n→∞ 
4n + 2 



−3
.4 n +1
4

n
 +2





∞

= e−3 < 1 ⇒ ∑ vn hội tụ theo Côsi.
1

∞

Kết luận: chuỗi ∑ ( un + vn ) hội tụ.
1

(−1) n .n. X n
1
1
. Bán kính hội tụ: R = , với ρ = lim n an = ⇒ R = 2 .
2/ ðặt X = x − 2 . Xét chuỗi ∑ n+1
n→∞
ρ
2
n=0 2
(2n + 1)
∞

(−1)n .n

, chuỗi phân kỳ theo ñịnh lý ñiều kiện cần.
n = 0 2.(2 n + 1)
∞
n
, chuỗi phân kỳ theo ñịnh lý ñiều kiện cần.
Xét tại X = −2 . Có chuỗi số: ∑
n = 0 2.(2 n + 1)
Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: −2 < x − 2 < 2 ⇔ 0 < x < 4 .
1− x
Câu 3. 1/ Miền xác ñịnh R. y ' =
. y ' = 0 ⇔ x = 1.
3
x2 + x + 1
∞

Xét tại X = 2 . Có chuỗi số: ∑

(

x
y'
y

−∞

)

+∞

1

0

+

Hàm ñạt cực ñại tại x = 1 , giá trị cực ñại y = f (1) =

-

2
.
3

Tiệm cận ñứng không có.
x +1
x(1 + 1/ x)
x(1 + 1/ x)
lim y = lim
= lim
= lim
=1
2
2
x →+∞
x →+∞
x →+∞
x + x + 1 x→+∞ | x | . 1 + 1/ x + 1/ x
x. 1 + 1/ x + 1/ x 2
x +1
x(1 + 1/ x)
x(1 + 1/ x)

lim y = lim
= lim
= lim
= −1
x →−∞
x →−∞
x 2 + x + 1 x→−∞ | x | . 1 + 1/ x + 1/ x 2 x→+∞ − x. 1 + 1/ x + 1/ x 2
Có hai tiệm cận ngang: y = ±1 .
1
x
1
−x
x
−π
2/ u x' =
cos
⇒ u x' (π / 3, 0) = ; u 'y =
cos
⇒ u 'y (π / 3, 0) =
2
1+ y
1+ y
2
1+ y
6
(1 + y )
⇒π

∂u
∂u π

−1
x
− 3
''
''
+2
= ; u xx
=
sin
⇒ u xx
(π / 3, 0) =
.
2
∂x
∂y 6
2
(1 + y ) 1 + y

2π
ln 3
 x = r cos ϕ 0 ≤ ϕ ≤ 2π
Câu 4. 1/ ðổi biến: 
⇒
. Khi ñó I = ∫ dϕ ∫ er .rdr = 6π (ln 3 − 1) .
0
1
 y = r sin ϕ
1 ≤ r ≤ ln 3

2/ ðiều kiện: ( h.P ) y = ( h.Q ) x ⇔ h( x + 2) cos y = h ' .x cos y + h cos y ⇔ xh' − ( x + 1)h = 0 .

'

'

153


x +1
1+1/ x ) dx
h = 0 ⇒ h = Ce ∫ (
= Cxe x . Từ h(1) = e ⇒ C = 1 . Vậy h( x) = xe x .
x
I = ∫ (hPdx + hQdy ) . Tích phân không phụ thuộc ñường ñi. Thay vì tính tích phân trên cung ellipse, ta tính

⇒ h' −
C

tích phân theo ñường thẳng ñứng từ A ñến B.
π /2

π /2

−π / 2

0

I = ∫ xe x ( x + 2) sin ydx + xe x x cos ydy = ∫ e.cos ydy = 2 ∫ e.cos ydy = 2e .
AB

Câu 5a. 1/ ðiểm dừng:

'
 z x
 '
 z y

= y ( x + y ) + 1 + xy = 0
= x( x + y ) + 1 + xy = 0

, trừ hai ptrình, có 2 ñiểm dừng P1 (1, −1), P2 (−1,1)

''
''
ðạo hàm riêng cấp hai: z xx
= 2 y, z xy
= 2( x + y ), z ''yy = 2 x .
Xét từng ñiểm dừng.
''
''
P1 (1, −1) : A = z xx
( P1 ) = −2, B = z xy
( P1 ) = 0, C = z ''yy ( P1 ) = 2 ⇒ ∆ = AC − B 2 = −4 < 0 . Không có cực trị tại P1
''
''
P2 (−1,1) : A = z xx
( P2 ) = 2, B = z xy
( P2 ) = 0, C = z ''yy ( P2 ) = −2 ⇒ ∆ = AC − B 2 = −4 < 0 . Không có cực trị tại P2

2/ Trường hợp 1. m > 0. f ( x) =
Trường hợp 2. m < 0. f ( x) =

+∞

I= ∫

2

dx
( x + 1) x 2 − 1

x +1 = −

(x

(x

x →+∞

1

m

)

+1

x −1
2

x →+∞

1

m

)

+1

. ðổi biến Euler:

x2 −1

1
x

m +1

. Tích phân hội tụ khi m + 1 > 1 ⇔ m > 0 .

1
. Tích phân phân kỳ.
x

x2 − 1 = x + t ⇒ x = −

1+ t2
1 1− t2
⇒ dx =
dt
2t

2 t2

0
1+ t2
(t − 1) 2
2dt
+1 = −
⇒I= ∫
= 2− 2 .
2
2t
2t
1− 2 (t − 1)

Câu 5b. 1/ Miền xác ñịnh R. y liên tục trên [ −2, 0] . y ' =

− x2 + 2 x + 3
= 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3 (loại).
( x 2 + 3) 2

y (−1) = −1/ 2; y (0) = −1/ 3; y (−2) = −3 / 7 .
Kết luận: Giá trị lớn nhất là −1/ 3 tại x = 0 ; giá trị nhỏ nhất là −1/ 2 tại x = −1 .
f
x →0
x →0
2/ Ta có g ( x) 
→ 0, f ( x) 
→ b + 1 . ðể lim hữu hạn thì b = −1.
x →0 g
Khi ñó: I = lim

e

x →0 0

sin 2 x

∫ ln(1 + sin t )dt

0
,Lopital
0

=

2

2sin x cos xesin x −2
sin x cos xesin
lim
=
lim
x →0 −3ln(1 + sin 3 x )
3 x →0
sin 3x

2

x

=

−2
.
9

3x

154