Chuyên đề về lũy thừa lớp 7 hay cho học sinh

CHUYÊN ĐỀ: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
I.

Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa về lũy thừa với số mũ tự nhiên
*
a n = a14
.a2
.a....
43a (n ∈ N )
n thua so a

2. Tính chất
Với a, b, m, n, p ∈ N ta có
a m .a n = a m+n ; a m .a n .a p = a m+ n + p
a m : a n = a m−n (a ≠ 0; m > n)

( a.b )

(a )

m

m n

= a m .b m
= a m .n

Quy ước:
a 0 = 1(a ≠ 0)
II.

a1 = a
Bảng mô tả và câu hỏi

Nội dung
Định

Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng Vận dung cao

thấp
biết Tính được tích của So sánh 2

nghĩa Nhận

lũy thừa với số được lũy thừa nhiều số tự nhiên lũy
mũ tự nhiên

với số mũ tự giống
nhiên,

nhau,

đưa bằng cách

phân tích đó về dạng lũy tính

biệt được cơ thừa
Bài 1
số, số mũ.
Viết đúng và
đọc đúng.

thừa
trực

tiếp
Tìm thành
phần chưa
biết

khi

hai

lũy

thừa cùng
cơ số
hoặc cùng
số mũ
Bài 2,3,6
Page 1


Các phép tính Nắm
về lũy thừa

được, Vận dụng các phép Vận dụng Vận

viết được các tính về lũy thừa để các
công

phép biến

dụng

và

đổi

các

thức tính toán
Bài 1;4
tính liên quan

tính về lũy biểu thức về lũy

đến lũy thừa

các

thừa để và thừa, đồng thời
phép liên hệ với các

biến

đổi kiến

thức

về

để làm các chia hết, về dấu
bài

tập hiệu chia hết để

tính

toán giải quyết các

và rút gọn
Bài
5;7;8;9

bài toán phức
tạp (các bà tập
dạng 3, dạng 4,
dạng 5)

Các dạng bài tập
1. Dạng 1: Tính toán trên các lũy thừa
III.

Bài 1: Đưa các biểu thức sau dạng lũy thừa

a)5x.5x.5x

f )410.230

b)164 : 42

g )2550.1253

c)1253 : 253

h)183 : 93

d )278 : 94

i )225 : 324

e)644.165 : 412

k )197 :193

Bài 2: Viết các số sau dưới dạng bình phương của một số tự nhiên

a)13 + 23
b)13 + 23 + 33 + 43
Bài 3: Viết các số sau dưới dạng tổng các lũy thừa của 10
Page 2


a)123 b)421 c)1256 d)2006 e) abcde
Bài 4: Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí

a) A = (217 + 17 2 ).(915 − 315 ).(2 4 − 4 2 )
b) B = (71997 − 71995 ) : (71994.7)
c)C = (28 + 83 ) : (25.23 )
Bài 5: Tính giá trị biểu thức
212.14.125
a) A =
356.6
46.204.182
b) B =
1805
723.542
c)C =
1084

213 + 25
d ) D = 10
2 + 22
310.11 + 310.5
e) E =
39.24
49.36 + 64 4
f )F =
164.100

2. Dạng 2: Tìm số tự nhiên chưa biết
2.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong lũy thừa
Phương pháp: Đưa về hai lũy thừa có cùng số mũ
Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên x biết

a)( x + 1) 2 = 16

b) x 2 = x 5
Giải:

a )( x + 1) 2 = 16 ⇒ ( x + 1) 2 = 42 ⇒ x + 1 = 4 ⇒ x = 3
b) Nếu ở câu a học sinh làm thấy nhẹ nhàng thì đến câu b không tránh khỏi băn khoăn
vì: hai lũy thừa đã cùng cơ số chưa biết, số mũ đã biết lại khác nhau. Vậy phải làm
cách nào đây? Nhiều học sinh mò x=0, x=1. Nhưng cách này không thuyết phục lằm
vì biết đâu còn số tự nhiên c khác cũng thỏa mãn đề bài.
Page 3


GV gợi ý:
x 2 = x 5 ⇔ x 2 − x 5 = 0 ⇔ x 2 (1 − x 3 ) = 0
 x2 = 0
x = 0
⇔ 3
⇔
x = 1
x =1

Bài tập tương tự
Bài 6: Tìm số tự nhiên x biết
a)(2 x + 1)3 = 125

d )(3x − 1)5 = 32

g )( x − 1) 2 = (2 x − 3) 2

b)(7 x − 11)3 = 25.52 + 200

e)( x − 5)5 = ( x − 5)6

h)27 x 3 = ( x + 2) 3

c) x15 = x

f )( x − 1)3 : 27 = 8

h)(2 x − 1)5 = (2 − x)5

2.2.

Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa

Phương pháp: đưa về hai lỹ thừa cùng cơ số
Ví dụ: Tìm số tự nhiên n biết
a)2n = 16
b)2n + 2n + 2 = 5
c)3 < 3n < 81
Giải:

a)2n = 16 ⇔ 2n = 24 ⇔ n = 4
b) Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a. nhưng đến câu b các em vấp
ngay phải khó khăn: tổng của hai lũy thừa có cùng cơ số nhưng không cùng số mũ.
Lúc này giáo viên có thể gợi ý:

2n + 2n+ 2 = 5 ⇔ 2 n (1 + 2 2 ) = 5 ⇔ 2 n = 1 ⇔ n = 0
Page 4

c) đây là dạng bài toán tìm số mũ của lũy thừa trong điều kiện kép. Giáo viên hướng
dẫn học sinh đưa về cùng cơ số.
3 < 3n < 81 ⇔ 31 < 3n < 34

Mà n ∈ N ⇒ 1 < n < 4 ⇒ n = 2, n = 3
Các bài tập tương tự
Bài 7: Tìm số tự nhiên n biết
a)2 x.4 = 128

d )27.3x = 243

b)2 x − 15 = 17

e)49.7 x = 2401

c)3x + 25 = 26.22 + 2.30

f )34.3x = 37

Bài 8: Tìm số tự nhiên n biết
a )9 < 3 < 81
n

b)25 ≤ 5n ≤ 125
c)32 < 2n < 128

d )(22 : 4).2n = 4
1
e) .34.3n = 37
9

1
f ) .2n + 4.2n = 9.25
2

Bài 9: Tìm số tự nhiên n biết

a)125.5 ≥ 5n ≥ 5.25

c)411.2511 ≤ 2 n.5n ≤ 2012.512

b)243 ≥ 3n ≥ 9.27

d )2n+3.2n = 144

Bài 10: Tìm các số tự nhiên x, y biết

a )2 x +1.3 y = 12 x
b)10 x : 5 y = 20 y
Bài 11*: Tìm số tự nhiên n biết

Page 5


45 + 4 5 + 4 5 + 4 5 6 5 + 6 5 + 6 5 + 6 5 + 6 5 + 6 5
.
= 2n
5
5
5
5

5
3 +3 +3
2 +2
3. Dạng 3: Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa
Phương pháp: Cần lắm được một số nhận xét sau:
+) Các số có tận cùng là 0,1,5,6 khi nâng lên lũy thừa ta được số có tận cùng là
0,1,5,6.
+) Các số có tận cùng là 2,4,8 khi nâng lên lũy thừa 4 ta được số có tận cùng là 6.
+) Các số có tận cùng là 3,7,9 khi nâng lên lũy thừa 4 ta được số có tận cùng là 1.
Ví du:
a)Tìm chữ số tận cùng của các số: 20002008 ;1112008 ;123452014 ;4562013
b) Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 2007 2008 ;13582008 ;23456 ;204206 ;20032005
c) Cho M = 17 25 + 244 − 1321 chứng minh rằng M M
10
Giải:
a) Dựa vào nhận xét học sinh dễ dàng tìm ra đáp án
Tận cùng của 20002008 là số 0.
Tận cùng của 1112008 là số 1
Tận cùng của 123452014 là số 5
Tận cùng của 4562013 là số 6
b) Hướng dẫn: đưa các số về dạng lũy thừa của số có tận cùng là 0;1;5;6.

Page 6


+)2007 2008 = (2007 4 )502 = (...1)502 = ...1
+)13582008 = (13584 )502 = (...6)502 = ...6
+)23456 = ( 24 )

864

= 16864 = ...6

+)204 206 = ( 204 2 )

103

( )

= ...6

103

= ...6

+)20032005 = 2003.20032004 = 2003.( 20034 )

501

( )

= ...3. ...1

501

= ...3

c) Ta thấy những số chia hết cho 10 thì có tận cùng là 0. Ta sẽ chứng minh chữ số tận
cùng của M là 0 bằng cách tìm chữ số tận cùng của từng số hạng.

( )
= ( 24 ) = ( ...6 ) = ...6
= ( 13 ) .13 = ( ...1) .13 = ...3

17 25 = ( 17 4 ) .17 = ...1 .17 = ...7
6

6

244
1321

2 2

4 5

2

5

⇒ M = ...7 + ...6 − ...3 = ...0 ⇒ M M
10
Một số bài tập tương tự và nâng cao
Bài 12: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
73

a)22003 ;499 : 7895 ;2335 ;5833 ;7895

b)20122005 ;332003.342003 ;282006.811003
c)1997.19973.19975......1997 201

d )1998.19987.199813....1998151
Bài 13: Tìm chữ số tận cùng của hiệu
2007.2009.2011……2017-2002.2004.2006.2008
Bài 14: Chứng minh rằng các tổng (hiệu) sau chia hết cho 10
a)481n + 19991999
d )8102 − 2102
b)162001 − 82000

e)175 + 244 − 1321

c)192005 + 112004
f )122004 − 21000
Bài 15: Chứng minh rằng số sau là một số tự nhiên

Page 7


94
1 20042005
.(7
− 392 )
10
3
B = (20032013 − 19971997 )
10
2006
1998
1
C = (1997 2004 − 19931994 )
10

Bài 16: Các tổng sau có là số chính phương không?
a)108 + 8

A=

b)100!+ 7
c)10100 + 1050 + 1
Bài 17: Tìm chữ số tận cùng của tổng
a) A = 5 + 52 + 53 + ... + 596
b) B = 30 + 31 + 32 + ... + 330
c)C = 2 + 22 + 23 + ... + 2100
4. Dạng 4: So sánh hai lũy thừa
Phương pháp: Để so sánh hai lũy thừa ta thường đưa về cùng cơ số hoặc cùng số
mũ ( có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh)
Lưu ý với một số tính chất sau
a, b, c, d , m, n ∈ N :
a > b ⇔ am > bm
m > n ⇔ am > an
a > b
 ⇒ ac > bd
c > d
Ví dụ: So sánh các lũy thừa sau
a )2100 và10249
b)3500 và7300
c)291 và535
Giải:
Page 8


a)10249 = (210 )9 = 290 < 2100

⇒ 10249 < 210

b) Ta có
3500 = (35 )100 = 243100
7300 = (73 )100 = 343100
234 < 343 ⇒ 234100 < 343100
⇒ 3500 < 7300
d) Nếu 2 ý a, b là so sánh trực tiếp các lũy thừa thì ý c ta phải sử dụng lũy thừa
trung gian để so sánh.
291 > 290 = (25 )18 = 3218
535 < 536 = (52 )18 = 2518
535 < 2518 < 3218 < 291
⇒ 535 < 291
Một số bài tập tương tự và nâng cao
Bài 18: So sánh
a )528 và2614

b)521 và12410

d )421 và647
e)544 và2112

c)3111 và1714
f )3111 và1714
Bài 19: so sánh các số sau, số nào lớn hơn
a )536 và1124
e)6255 và1257
b)32 n và23n

f )523 và6.522

c)7.213 và216

g )2115 và275.498

d )19920 và200315
Bài 20: So sánh các số sau
a)7245 − 7244 và72 44 − 7243
b)52 n và25 n (n ∈ N *)
c)202303 và303202
d )199010 + 19909 và199110
Bài 21: Tìm số tự nhiên x sao cho
Page 9

h)339 và1121


a)16 x < 128
18
b)5x.5x +1.5x + 2 < 100....0
1 2 3 :2
18 so
2

Bài 22: cho S = 1 + 2 + 2 + ... + 22005
Hãy so sánh S với 5.2 2004
5. Dạng 5: Tính toán trên các lũy thừa
Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính trên các lũy thừa để
tính cho hợp lí và nhanh. Biêt kết hợp hài hòa một số phương pháp trong tính toán
khi biến đổi.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng :
a) A = 102008 + 125M45

b) B = 52008 + 52007 + 52006 M
31
Giải:
Với bài toán này học sinh cần huy động kiến thức về chia hết. kĩ năng và phương
pháp biến đổi. Đặc biệt cần chú ý aMm; aMn;UCLN (m; n) = 1 ⇒ aMm.n
a) A = 102008 + 125M45
Ta có 10

2008

+ 125 = 1000...0
14 2 43 + 125 = 100...0125
123
2008 sô

2005 so

A có tận cùng là 5 nên AM
5
Tổng các chữ số của A là 1+1+2+5=9 nên AM
9
Mà UCLN(5;9)=1 nên AM
5.9 ⇒ AM45
2008
2007
2006
b) B = 5 + 5 + 5 M

31
Ta không thể tính từng giá trị cụ thể của từng lũy thừa rồi thực hiện phép chia.
Giáo viên gợi ý cách tách để đặt thừa số chung
B = 52008 + 52007 + 52006
= 52006.52 + 52006.5 + 52006
= 52006 (52 + 5 + 1) = 31.52006 M
31
Ví dụ 2: Cho A = 2 + 22 + 23 + ... + 260
3; AM
7
Chứng minh rằng AM
Giải:
Với bài này giáo viên hướng dẫn các em nhóm các lũy thừa thành từng nhóm 2
hoặc 3 hoặc 4 lũy thừa…sao cho khi đặt thừa số chung ở mỗi nhóm thì xuất hiện
số cần chứng tỏ A chia hết cho nó.

Page 10


A = 2 + 2 2 + 23 + ... + 260
= (2 + 22 ) + (23 + 24 ) + ... + (259 + 260 )
= 2.(1 + 2) + 23 (1 + 2) + .... + 259 (1 + 2)
= ((1 + 2)(2 + 23 + ... + 259 )
= 3.(2 + 23 + .... + 259 )M
3
Tương tự ta có
A = 2 + 22 + 23 + ... + 260
= (2 + 22 + 23 ) + ... + (258 + 259 + 260 )
= 2.(1 + 2 + 22 ) + .... + 258 (1 + 2 + 22 )
= (1 + 2 + 22 )(2 + 24 + ... + 258 )

= 7.(2 + 24 + .... + 258 )M
7
Một số bài tập tương tự và nâng cao
Bài 23: chứng tỏ rằng
a) A = 3 + 32 + 33 + ... + 32007 M
13

b) B = 7 + 7 2 + 73 + ... + 7 4 n−1 + 7 4 n M400
Bài 24: a) Tính tổng Sn = 1 + a + a 2 + ... + a n
b) Áp dụng tính các tổng sau:
A = 1 + 3 + 32 + ... + 32008
B = 1 + 2 + 22 + ... + 21982
C = 7 + 7 2 + 73 + ... + 7 n−1 + 7 n
Bài 25: Chứng tỏ rằng các tổng sau được viết dưới dạng một số chính phương
M = 13 + 23

N = 13 + 23 + 33
P = 13 + 23 + 33 + 43
Q = 13 + 23 + 33 + 43 + 53
Bài 26: Viết tổng sau dưới dạng một lũy thừa của 2
T = 2 + 22 + 23 + ... + 22008
Bài 27: So sánh
a) A = 1 + 2 + 22 + ... + 22008 vàB = 22009 − 1
b) P = 1 + 3 + 32 + ... + 3200 và3201
c) E = 1 + x + x 2 + ... + x 2008vàF = x 2009 ( x ∈ N *)
Bài 28: Tìm số dư khi chia A cho 7 biết rằng
T = 2 + 22 + 23 + ... + 22008 + 22002
Page 11

Bài 29: Tìm
a) Số tự nhiên n biết
2.P + 3 = 3n
P = 3 + 32 + ... + 3100

b) Chữ số tận cùng của A biết A = 1 + 2 + 22 + ... + 220
Bài 30: Chứng tỏ rằng:
a)87 − 218 M
14
b)122 n+1 + 11n+2 M
133
c)817 − 279 − 913 M405
d )106 − 57M
59
e)1028 + 8M72
f )439 + 4 40 + 441 M28
g )4 + 42 + 43 + ... + 416 M
5
h)3 + 35 + 37 + .... + 31991 M
13và M41
IV. Định hướng hình thành và phát triển năng lực cho học sinh
- NL tính toán: vận dụng các phép tính về lũy thừa để tính giá trị của một
biểu thức phức tạp có liên quan đến lũy thừa.
- NL tư duy toán học: phân tích, suy luận logic, lập luận để đưa bài toán
dạng khác về dạng quen thuộc.
- NL giải quyết vấn đề:
- NL hợp tác, giao tiếp: rèn luyện thong qua quá trình hoạt động nhóm và
V.

giao tiếp trao đổi giữa thầy và trò.

Phương pháp dạy học
- Nêu và giải quyết vấn đề
- Hoạt động nhóm
- Luyện tập thực hành.

Chúc các em học tốt!

Page 12