Tài liệu Chuyên đề về đại số lớp 10 pptx

Giáo án : Chuyên đề đại số 10
1.Bất phương trình đa thức
A-Lý thuyết :
Phương pháp giải :
*)Vân dụng định lí dấu tam thức bậc 2(định lí đảo
dấu tam thức bậc 2 )
*)Tính chất của hàm số bậc nhất và bậc 2
B-Bài tập :
Bài toán 1:
Tìm a để bất pt :
ax 4 0
+ >

Đúng với mọi x thỏa mãn điều kiện
4x <
Bài giải :
Đặt f(x) = ax +4
Ta có :
( )
4;4
( ) ax 4 0
( 4) 0 4 4 0
(4) 0 4 4 0
1
1
x
f x
f a
f a
a
a

∈ −
= + > ∀
− ≥ − + ≥
 
⇔ ⇔
 
≥ + ≥
 
≤

⇔

≥ −

Vậy giá trị cần tìm là :
1 1a− ≤ ≤
Bài toán 2:
Cho bpt :
2 2
( 4) ( 2) 1 0m x m x− + − + <
(1)
1.Tìm m để bpt vô nghiệm
2. Tìm m để bpt có nghiệm x = 1
Bài giải :
1.TH
1
:
2
2
4 0

2
m
m
m
= −

− = ⇔

=

* Với m = -2 :
1
(1) 4 1 0 2
4
x x m⇔ − + < ⇔ > ⇒ = −
(ktm)
• Với m = 2 :
(1) 1 0 2Vn m⇔ < ⇒ =
thỏa
mãn .
TH
2
:
2m
≠ ±
(1) vô nghiệm
2 2
2
2 2
( 4) ( 2) 1 0,

4 0
( 2) 4( 4) 0
2 2
( 2)(3 10) 0
x
m x m x
m
m m
m m
m m
⇔ − + − + ≥ ∀

− >

⇔

∆ = − − − ≤


< − ∪ >

⇔

− + ≥

2 2 10
3
10
2
2

3
m m
m
m m
m
< − ∪ >
 
≤ −


⇔ ⇔
−


≤ ∪ ≥

>
 
Từ 2 trường hợp trên ta thấy giá trị cần tìm là :
10
2
3
m m≤ − ∪ ≥
2.Bất phương trình (1) có một nghiệm x = 1
2
2
( 4).1 ( 2).1 1 0
5 0
1 21 1 21
2 2

m m
m m
m
⇔ − + − + <
⇔ + − <
− − − +
⇔ < <
Bài toán 3:
Định m để bpt :
2 2
2 1 0x x m− + − ≤
(1) thỏa mãn
[ ]
1;2x∈
∀
Bài giải:
Cách 1 :
2 2
(1) 2 1(2)x x m
⇔ − ≤ −
Xét f(x) = x
2
– 2x trên [1;2]
(2) thỏa mãn với mọi x thuộc [1;2] khi và chỉ khi
Max f(x)
2
1m≤ −
(3)
Lập bảng bt của f(x) suy ra Maxf(x) = 0:
Vậy (3)

2
1
0 1
1
m
m
m
≤ −

≤ − ⇔

≥

Kết luận :
Cách 2 :
Đặt f(x) = x
2
– 2x + 1 – m
2
,
Ta có :
f(x)
0≤
[ ]
1;2x∈
∀
2
2
2
1. (1) 0 1 2.1 1 0

1. (2) 0
4 2.2 1 0
1
1 0
1
f m
f
m
m
m
m

≤ − + − ≤


⇔ ⇔
 
≤
− + − ≤



≤ −

⇔ − ≤ ⇔

≥

Kết luận :
Bài toán 4:

Với giá trị nào của a thì bất pt sau nghiệm đúng với
mọi giá trị của x :
2 2
( 4 3)( 4 6) (1)x x x x a+ + + + ≥
1
Giáo án : Chuyên đề đại số 10
Bài giải :
Bài toán 4:
Đặt :
2 2
4 3 4 6 3t x x x x t= + + ⇒ + + = +
Ta có :
2
( 2) 1 1 1
( 3) (3)
t x t
t t a
= + − ≥ − ⇒ ≥ −
⇔ + ≥
Xét hàm số : f(t) =
2
3 ,( 1)t t t+ ≥ −
(3)
inf ( )M t a⇔ ≥
Lập bảng biến thiên của f(t):
Suy ra Mìn(t) = -2 Vậy (3)
2a
≤ −
Kết luân :
Bài toán 5:

Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x:
2
2
2
3 2(1)
1
x mx
x x
+ −
− ≤ ≤
− +
Ta có :
2
1 0,
x
x x− + > ∀
Do đó (1)
2 2
2 2
2
2
3( 1) 2
2 2( 1)
4 ( 3) 1 0(2)
( 2) 4 0(3)
x x x mx
x mx x x
x m x
x m x


− − + ≤ + −

⇔

+ − ≤ − +



+ − + ≥

⇔

− + + ≥


(1) đúng với mọi x
2
(2)
2
(3)
( 3) 16 0
( 2) 16 0
1 7
1 2
6 2
m
m
m
m
m


∆ = − − ≤

⇔

∆ = + − ≤


− ≤ ≤

⇔ ⇔ − ≤ ≤

− ≤ ≤

Kết luận :
Bài tập về nhà :
Bài 1:
Tìm m để bpt sau nghiệm đúng với mọi x thỏa mãn
điều kiên :
2 1x− ≤ ≤
2
( 1) 2( 1) 0m x m x x+ + − − >
(1)
Bài 2:
Tìm m để bpt sau nghiệm đúng với mọi x :
2 2
2 1 0x x m− + − >
Bài 3:
Tìm a nhỏ nhất để bpt sau thỏa mãn
[ ]

0;1x∈
∀
2 2 2
( 1) ( 1)a x x x x+ − ≤ + +
(1)
Bài tập về nhà :
Bài giải :
Bài 1:
2
(1) ( 2) 2 0(2)m m x m⇔ + − + + >
Đặt f(x) = (m
2
+ m – 2 )x + m + 2
Bài toán thỏa mãn:
2
2
2
2
( 2) 0 ( 2)( 2) 2 0
(1) 0
( 2)(1) 2 0
3
2 6 0
2
2
2 0
2 0
3
0
2

f m m m
f
m m m
m m
m
m m
m m
m

− > + − − + + >


⇔ ⇔
 
>
+ − + + >





− − + >
− < <
 
⇔ ⇔
 
+ >




< − ∪ >

⇔ < <

Bài 2:
Do a = 1 > 0 Vậy bt tm :
2
2
' 1 1 0
2
2 0
2
m
m
m
m
⇔ ∆ = − + <

< −
⇔ − < ⇔

>


Bài 3:
Đăt :
2
1t x x= + +
= f(x)
Lập bbt f(x) trên [0;1] Suy ra f(x)

1 3t
⇒ ≤ ≤
[ ]
[ ]
2
1;3
2
1;3
(1) ( 2)
2 0 (2)
t
t
a t t
t at a
∈
∈
⇔ − ≤ ∀
⇔ − + ≥ ∀
Đặt f(t) = t
2
– at + 2a
2
2
2
8 0
8 0
(2) 1. (1) 0 1 9
1
2 2
8 0

1. (3) 0
3
2 2
a a
a a
f a
b a
a
a a
f
b a
a






∆= − ≤





∆= − >



⇔ ≥ ⇔− ≤ ≤




−


= <






∆= − >



≥



−


= >



Suy ra a cần tìm là : a = -1
2
Giáo án : Chuyên đề đại số 10

Bài tập tuyển sinh:
Bài 1:
Tìm a để hai bpt sau tương đương :
(a-1).x – a + 3 > 0 (1)
(a+1).x – a + 2 >0 (2)
Bài giải :
Th
1
: a =
1±
thay trực tiếp vào (1) và (2) thấy
không tương đương.
Th
2
: a > 1 :
1
2
3
(1)
1
2
(2)
1
a
x x
a
a
x x
a
−

⇔ > =
−
−
⇔ > =
+
(1)
1 2
(2) 5x x a⇔ ⇔ = ⇔ =
Th
3
: a < -1 :
1
2
(1)
(2)
x x
x x
⇔ <
⇔ <
Để
1 2
(1) (2) 5x x a⇔ ⇔ = ⇔ =
( loại)
Th
4
: -1 < a < 1 : (1) Và (2) không tương đương
Kết luận :
a = 5 thỏa mãn bài toán .
Bài 2:
(ĐHLHN): Cho f(x) = 2x

2
+ x -2 .
Giải BPT f[f(x)] < x (1)
Bài giải :
Vì f[f(x)] – x = f[f(x)] – f(x) +f(x) – x =
[2f
2
(x) + f(x) -2] – (2x
2
+ x – 2) + f(x) – x =
2[f
2
(x) – x
2
] + 2 [f(x) – x ] =
2 [f(x) – x ][f(x) + x +1] =
= 2(2x
2
– 2)( 2x
2
+2x-1)
Vậy (1)
2 2
2(2 2)(2 2 1) 0
1 3
1
2
1 3
1
2

x x x
x
x
⇔ − + − <

− −
< < −


⇔

− +
< <


Bài toán 3: (ĐHKD-2009)
Tìm m để đường thẳng (d) : y = -2x + m cắt đường
cong (C): y =
2
1x x
x
+ −
tại 2 điểm pb A ,B sao cho
trung điểm I của đoạn AB thuộc oy
Bài giải :
Xét pt hoành độ :
2
1
2 (1)
x x

x m
x
+ −
− + =
Để (d) cắt (C) tại 2 điểm pb
(1)⇔
có 2 nghiệm
phân biệt x
1
, x
2
khác 0
2
(1) 3 (1 ) 1 0 ( )x m x f x⇔ + − − = =
Do a .c = -3 <0 ,f(0) = -1 Vậy (1) luôn có 2
nghiệm phân biêt khác 0 .
Để I thuộc oy
1 2
1
0 0 1
2 6
x x m
m
+ −
⇔ = ⇔ = ⇔ =
Bài toán 4:(ĐHKB-2009)
Tìm m để (d) : y = -x + m cắt (C )y =
2
1x
x

−
tại 2 điểm pb A , B sao cho AB = 4.
Bài giải :
Xét pt hoành độ :
2
1x
x m
x
−
− + =
(1)
Để (d) cắt (C ) tại 2 điểm pb
(1)⇔
có 2 nghiệm pb
khác 0
2
2 1 ( ) 0x mx f x⇔ − − = =
có 2 nghiệm pb
khác 0.
Do a.c = -2 < 0 , f(0) = -1 Vậy (1) luôn có 2 nghiệm
pb x
1
, x
2
khác 0.
Để AB = 4
2 2 2
2 1 2 1
16 ( ) ( ) 16AB x x y y⇔ = ⇔ − + − =
2

2 1
2
2
2 1 1 2
2( ) 16
1
2 ( ) 4 2( 4.( )) 16
4 2
2 6
x x
m
x x x x
m
⇔ − =
 
⇔ + − = − − =
 
⇔ = ±
3
Giáo án : Chuyên đề đại số 10
2.Bất phương trình chứa trị tuyệt đối .
A-Lý thuyết
1.
2.
3. ( )( ) 0
A B B A B
A B
A B
A B
A B A B A B

< ⇔ − < <
>

> ⇔

< −

> ⇔ − + >
Các tính chất :
,
,
1.
2. . 0
3. ,
4. ( ). 0
A B
A B
A B A B
A B A B A B
A B A B
A B A B A B B
+ ≤ + ∀
+ < + ⇔ <
− ≥ − ∀
− > − ⇔ − >
B-Bài tập :
Bài 1: Giải các bpt sau :
1. 3 2 1
2. 3 4 7
3. 4 2 1

x x
x x
x x
+ ≤ +
− ≥ +
+ ≥ −
Bài 2:Giải các bpt sau :
2
2 2
2
2
1. 2 3 3 3
2. 3 2 2
3. 2 5 7 4
5 4
4. 1
4
x x x
x x x x
x x
x x
x
− − ≤ −
− + + >
+ > −
− +
≤
−
Bài giải :
Bài 2:

2
2
2
2
2 3 3 3
(1)
2 3 3 3
6 0 3 2
0 5
5 0
2 5
x x x
x x x
x x x x
x
x x
x

− − ≥ − +

⇔

− − ≤ −



+ − ≥ ≤ − ∪ ≥


⇔ ⇔

 
≤ ≤
− ≤



⇔ ≤ ≤
Kết luận:
2 2
2 2
2 2
2
(2) 3 2 2
3 2 2
3 2 2
1
2
2 5 2 0
2
2 0
2
1
2
2
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x

x
x
x
⇔ − + > −

− + > −
⇔

− + < −



< ∪ >
− + >

⇔ ⇔


− >

>


<

⇔

>

Kết luận :

[ ] [ ]
2 2
2 2
(3) (2 5) (7 4 )
(2 5) (7 4 ) 0
(2 5) (7 4 ) (2 5) (7 4 ) 0
(12 2 )(6 2) 0
1
(6 )(3 1) 0 6
3
x x
x x
x x x x
x x
x x x
⇔ + > −
⇔ + − − >
⇔ + + − + − − >
⇔ − − >
⇔ − − > ⇔ < <
Kết luân :
4. Đk: x
2≠ ±
2 2
2 2 2 2
2
(3) 5 4 4
( 5 4) ( 4)
(8 5 )(2 5 ) 0
8

0
5
5
2
x x x
x x x
x x x
x
x
⇔ − + ≤ −
⇔ − + ≤ −
⇔ − − ≤

≤ ≤

⇔


≥


Bài 3:Giải các bpt sau :
2
2
2 2
4 3
1. 1
5
2. 1 2 8
x x

x x
x x x
− +
≥
+ −
− ≤ − +
Bài 4: Giải và biện luận bpt sau :
2 2
3 4 (1)x x m x x m− − ≤ − +
4
Giáo án : Chuyên đề đại số 10
Bài giải :
Bài 3 :
Bảng xét dấu :
x
−∞
0
+∞
4 5
X
2
– 4x + - + +
X - 5 - - - +
+) Xét :
0
4 5
x
x
<



≤ <

2
2
2
4 3
(1) 1
5
3 2
0
5
2
3
x x
x x
x
x x
x
− +
⇔ ≥
− +
+
⇔ ≤
− +
⇔ ≤ −
(do
2
5 0,
x R

x x
∈
− + > ∀
)
+) Xét
0 4x≤ <
:
2
2
2
4 3
(1) 1 2 5 2 0
5
1
2
2
x x
x x
x x
x
− + +
⇔ ≥ ⇔ − + ≤
− +
⇔ ≤ ≤
+) Xét
5x
≥
:
2
2 2

4 3 5 8
(1) 1 0
5 5
1 21 8 1 21
2 5 2
x x x
x x x x
x x
− + −
⇔ ≥ ⇔ ≤
+ − + −
− − − +
⇔ ≤ ∪ ≤ ≤
(ktm)
Vậy nghiệm bpt là :
2
3
1
2
2
x
x
−

≤



≤ ≤



2. Đặt t =
, 0x t ≥
:
vậy
9
0
2
9 9 9
0
2 2 2
t
x x
≤ ≤
⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤
Bài 4:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
(1) 3 4
2 7 2 0
2 7 2 0
x x m x x m
x x x m
x x x m
⇔ − − ≤ − +

⇔ − − ≤
⇔ − − ≤
Ta có :
7
(2 7)( 2 ) 0 2 0
2
x x x m x m x x− − = ⇔ = ∪ = ∪ =
+) Nếu 2m < 0 :
Có trục xác định dấu:
Kết luận :
2
7
0
2
x m
x
≤



≤ ≤

Nếu 2m = 0
Kết luận:
7
2
x ≤
+) Nếu
7 7
0 2 0

2 4
m m< < ⇔ < <
Kết luận:
0
7
2
2
x
m x
≤



≤ ≤

+)Nếu 2m =
7
2
7
4
m⇔ =
Kết luận:
0
7
2
x
x
≤




=

+)Nếu
7 7
2
2 4
m m> ⇔ >
Kết luận:
0
7
2
2
x
x m
≤



≤ ≤

5
Giáo án : Chuyên đề đại số 10
2 2
2 2
2 2
2
(2) 1 2 8
2 8 1
1 2 8

2 2 7 0
9
9
2
2
t t t
t t t
t t t
t t
t
t
⇔ − ≤ − +

− + − ≤ −

⇔

− ≤ − +



− + ≥

⇔ ⇔ ≤

≤


Bài tập về nhà :
Bài 1:

Giải các bpt sau :
2
2 2
2
1. 1 2
2.1 4 2 1
3. 2 2 2 2
4.3 3 9 2
x x
x x
x x x x
x x x
− <
− ≥ +
+ − ≤ − −
− − > −
Bài 2:
Giải các bpt Sau :
2
2
4
2
1. 1
2 3
2. 1
1
3. ( 3)( 1) 5 ( 1) 11
x
x
x

x
x x x
≤ −
−
≤
+
+ − − ≤ + −
Bài 3:
Giải và biện luận bpt sau theo tham số m .
2 2
2 3x x m x x m− + ≤ − −
Bài 4:
Với giá trị nào của m thì bpt sau thỏa mãn với mọi x
:
2
2 2 2 0x mx x m− + − + >
Bài 5:
Với giá trị nào thì bpt sau có nghiệm:
2 2
2 1 0x x m m m+ − + + − ≤
Bài giải :
Bài1 :
Kết quả :
1.)
1 2 1 2x− + < < +
2.)
0
1
x
x

≤


≥

2
2
2
2
2
3 3 9 2
3 9 2 3
3 3 9 2
4 19
3 8 1 0
3
3 10 5 0
4 19
3
x x x
x x x
x x x
x
x x
x x
x
⇔ − < − +

− + − < −


⇔

− < − +



−
<


− − >


⇔ ⇔


− + <

+

>


Bài 2:
1.Đặt :
2
, 0x t t= >
Ta được :
2
2

2
2
2
2 2
1
2
2
2
2 0
0 1
2 0
t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t
t t
−
≤ − ⇔ ≥

− ≤ −
⇔ − ≥ ⇔

− ≥


+ − ≤

⇔ ⇔ < ≤

− + ≤

Vậy
2
1 1
0 1
0
x
x
x
− ≤ ≤

< ≤ ⇔

≠

2.Đk :
1x ≠ −
Th
1
:
x o≥
2 2
2
2 3
(2) 1 2 3 1
1
(2 3 ) (1 )

8 14 3 0
1 3
4 2
x
x x
x
x x
x x
x
−
⇔ ≤ ⇔ − ≤ +
+
⇔ − ≤ +
⇔ − + ≤
⇔ ≤ ≤
(tm)
2.Th
2
:
0
1
x
x
<


≠ −

6
Giáo án : Chuyên đề đại số 10

3.)
2
0 1
x
x
= −


≤ ≤

4.)
2 2
2
2 3
(2) 1 2 3 1
1
(2 3 ) (1 )
8 10 3 0
3 1
4 2
x
x x
x
x x
x x
x
+
⇔ ≤ ⇔ + ≤ +
+
⇔ + ≤ +

⇔ + + ≤
⇔ − ≤ ≤ −
( tm )
Kết luận :
3.
2 4
2 4
(3) 2 3 5 ( 1) 11
( 1) 9 ( 1) 11
x x x
x x
⇔ + − − ≤ + −
⇔ + − ≤ + −
Đặt :
2
( 1) , 0t x t= + ≥
Ta được :
2
2
2
2
2
9 11
9 11
11 9
2 0 1 2
5 4
20 0
5
4

t t
t t
t t
t t t t
t t
t t
t
t

− ≤ −

− ≤ − ⇔

− + ≤ −



− − ≥ ≤ − ∪ ≥


⇔ ⇔
 
≤ − ∪ ≥
+ − ≥



≤ −



≥

Vậy
4t ≥
( tm ):
2
( 1) 4 ( 1)( 3) 0
1
3
x x x
x
x
⇔ + ≥ ⇔ − + ≥
≥

⇔

≤ −

Kết luận :
Bài 3:
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2
(3) 2 3
2 (2 5 ) 0
(2 5)( 2 ) 0
x x m x x m

x m x x
x x x m
⇔ − + ≤ − −
⇔ + − ≤
⇔ + + ≤
Nếu :
5 5
2
2 4
m m− < − ⇔ >
2
(3)
5
0
2
x m
x
≤ −


⇔

− ≤ ≤

5
(3)
2
x⇔ ≤ −
Nếu m < 0:
0 2

5
2
x m
x
≤ ≤ −



≤ −

Kết luận :
Bài 4:
2 2
(4) ( ) 2 2 0x m x m m⇔ − + − + − >
Đặt :
, 0x m t t− = ≥
Ta được : t
2
+ 2t + 2 – m
2
> 0 (5)
Để tmbt
2 2
0
( ) 2 2
t
f t t t m
≥
⇔ = + > − ∀
2

inf( ) 2(6)M t m⇔ > −
Lập bbt của f(t) :
Suy ra Minf(t) = 0 :
Vậy
2
(6) 0 2 2 2m m⇔ > − ⇔ − < <
Bài 5:
2 2
2 2
2( ) 1 0
( )
(5)
2( ) 1 0
( )
x x m m m
I
x m
x x m m m
II
x m


+ − + + − ≤


≥


⇔



− − + + − ≤



<


(5) có nghiệm khi và chỉ khi (I) có nghiệm Hoặc
(II) có nghiệm:
2 2
( )
2 ( ) 1
x m
I
x x f x m m
≥

⇔

+ = ≤ − + +

Có f(m) = m
2
+ 2m
7
Giáo án : Chuyên đề đại số 10
Nếu :
5 5
2

2 4
m m− = − ⇔ =
(3) 0x⇔ ≤
Nếu
5 5
2 0 0
2 4
m m− < − < ⇔ < <
5
(3)
2
2 0
x
m x

≤ −

⇔

− ≤ ≤

Nếu
2 0 0m m− = ⇔ =
(I) có nghiệm
2 2
2
1 2
2 1 0
1
1

2
m m m m
m m
m
⇔ − + ≥ +
⇔ + − ≤
− ≤ ≤
(II)
2 2
2 ( ) 3 1
x m
x x g x m m
<

⇔

− = ≤ − − +

(II)có nghiệm
2 2
2
2 3 1
2 1 0
1
1
2
m m m m
m m
m
⇔ − < − − +

⇔ + − <
⇔ − < <
Kết luận :
1
1
2
m− ≤ ≤
Cách 2:
Đặt :
0t x m= − ≥
,phải tìm m để
f(t) =
2
2 2 1 0t t mx m+ + + − ≤
có nghiệm
0t
≥
.Parabôn y = f(t) quay bề lõm lên trên và có hoanh độ
đỉnh là t = -1< 0 nên phải có f(0) = 2mx + m - 1
0≤
.Khi t = 0 thì x = m suy ra
2
1
2 1 0 1
2
m m m+ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
Bài tập về nhà :
Bài 1 :
Tìm a để với mọi x :
2

( ) ( 2) 2. 3(1)f x x x a= − + − ≥
Bài 2:
Tìm a để bpt :
Ax + 4 > 0 (1) đúng với mọi giá trị của x thỏa mãn
điều kiện
4x <
Bài 3:
Tìm a để bpt sau nghiệm đúng với mọi x :
2 2
( 4 3)( 4 6)x x x x a+ + + + ≥
Bài giải :
Bài 1:
Bài toán thỏa mãn :
2
2
2 1 2 ( ) 0 (2)
6 1 2 ( ) 0 (3)
x a
x a
x x a f x
x x a g x
≥
<

− + − = ≥ ∀

⇔

− + + = ≥ ∀



Bài 2:
Nhận thấy trong hệ tọa độ xoy thì y = ax + 4 với
-4 < x < 4 là một đoạn thẳng . Vì vậy y = ax + 4 >
0
( 4) 0 1
1 1
(4) 0 1
y a
a
y a
− ≥ ≥ −
 
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤
 
≥ ≤
 
Bài 3:
Đặt :
2 2
4 3 ( 2) 1 1
1
t x x x
t
= + + = + − ≥ −
⇒ ≥ −
Bài toán thỏa mãn :
1
( 3) ( )
t

t t f t a
≥−
⇔ + = ≥ ∀
Xét f(t) với t
1≥ −
Suy ra Min f(t) = -2
Vậy bttm
2a⇔ ≤ −
8
Giáo án : Chuyên đề đại số 10
2
' 0
0
0
' 0
(2)
1. ( ) 0 4 1 0
2 3
1
1
2
a
a o
a
f a a a
a
b a
a
∆ ≤


 ≤




 >
≤


∆ >


⇔ ⇔ ⇔





≥ − + ≥
≥ +
 



 
<






− <



(3)
2
' 0
8 2 0
8 2 0
4
' 0
1. ( ) 0 4 1 0
2 3
3
2
a
a
a
g a a a
a
b a
a
a
∆ ≤

 − ≤





 − >
≥


∆ >


⇔ ⇔ ⇔





≥ − + ≥
≤ −
 



 
<





< −




Vậy để thỏa mãn bài toán :
0
4
a
a
≤


≥

3.Bất phương trình chứa căn thức
A-Lý thuyết :
Phương pháp 1:
Sử dụng phép biến đổi tương đương :
2
2
2
2
0
1. 0
0
2. 0
0
0
3.
0
0
0
4.

0
A
A B B
A B
A
A B B
A B
B
B
A B
A
A B
B
B
A B
A
A B

≥

< ⇔ >


<


≥

≤ ⇔ ≥



≤

≥
<


> ⇔ ∪
 
≥
>


>
≤


≥ ⇔ ∪
 
≥
≥


Bài toán 1:
Giải các bpt sau :
2
2
1. 3 2 1
2. 1 3
3. 3 2 4 3

4. 3 4 1
x x
x x x
x x
x x x
− < −
− + ≤ +
− > −
+ − ≥ +
Bài giải :
2 3
2
3 4
1
3
3
1
4
x
x
x

≤ <

⇔ ≤ <


≤ <



4.
2
2 2
1 0
4
3 4 0
3
1 0
1 41
4
3 4 ( 1)
x
x
x x
x
x
x x x
 + ≤




≤ −

+ − ≥



⇔ ⇔


+ >
+
 

≥




+ − ≥ +


Bài toán 2:
Giải các bpt sau :
2
2 2
1. 1 2( 1)
2. ( 5)(3 4) 4( 1)
3. 2 3 5 2
4.( 3) 4 9
x x
x x x
x x x
x x x
+ ≥ −
+ + > −
+ − − < −
− − ≤ −
Bài giải :
.1

9
Giáo án : Chuyên đề đại số 10
1.
2 2
1
2 1 0
2
3 0 3
3 (2 1) 4 5 4 0
x
x
x x
x x x x

>


− >


⇔ − ≥ ⇔ ≥
 
 
− < − − + >



3x
≥
2.

2
2 2
1 0
8
3 0
7
1 ( 3)
x x
x x
x x x

− + ≥

⇔ + ≥ ⇔ ≥ −


− + ≤ +

3.
2
4 3 0
4 3 0
3 2 0
3 2 (4 3)
x
x
x
x x
− ≥
− <



⇔ ∪
 
− ≥
− > −


2
2 2 2
2( 1) 0 1 1
(1) 1 0 1
2( 1) ( 1) 2 3 0
1
1 3
x x x
x x
x x x x
x
x


− ≥ ≤ − ∪ ≥


⇔ + ≥ ⇔ ≥ −
 
 
− ≤ + − − ≤



= −

⇔

≤ ≤

.
2.
2
2
4( 1) 0
( 5)(3 4) 0
(2)
1 0
( 5)(3 4) 16( 1)
1
5
4
5
4
3
1
3
1
1 4
13 51 4 0
x
x x
x

x x x
x
x
x x
x
x
x
x x
 − <



+ + ≥


⇔

− ≥



+ + > −



 <


≤ −






≤ − ∪ ≥ −




⇔ ⇔ − ≤ <


≥



≤ <



− − <


Kết luận :
4
5 4
5
x x≤ − ∪ − ≤ <
3. Đk:
2 0

5
3 0 2
2
5 2 0
x
x x
x
+ ≥


− ≥ ⇔ − ≤ ≤


− ≥

2
(1) 5 2 3 2
2 11 15 2 3
x x x
x x x
⇔ − + − > +
⇔ − + > −
(2)
+) Xét :
3
2
2
x− ≤ <
(3) luôn đúng.
+) Xét :

3 5
2 2
x≤ ≤
2 2
2
(2) 2 11 15 (2 3)
2 6 0
3
2
2
x x x
x x
x
⇔ − + > −
⇔ − − <
⇔ − < <
( )
2
2
2
2
(1) 4 3
3 0
3 0
4 0
4 3
3 3
2 2 6 13 0
3
13

13
6
3
6
x x
x
x
x
x x
x x
x x x
x
x
x
⇔ − ≥ +
+ >

+ ≤


⇔ ∪
 
− ≥
− ≥ +



≤ − > −
 
⇔ ∪

 
≤ − ≥ + ≤
 
≤ −


⇔ ⇔ ≤ −

− < ≤ −

U
(tm )
Vậy kêt luận :
13
6
3
x
x

≤ −


≥

Bài tập về nhà :
Bài 1:
Giải các bpt sau :
10
Giáo án : Chuyên đề đại số 10
Do

3 5
2 2
x≤ ≤
nên nghiệm của bpt là :
3
2
2
x≤ <
Kết luận :
2 2x
− ≤ <
4.Đk:
2
4 0 2 2x x x− ≥ ⇔ ≤ − ∪ ≥
Nhận xét x = 3 là nghiệm bpt .
+) Xét x > 3 :
( )
2
2
2
(1) 4 3
4 3
13
6
x x
x x
x
⇔ − ≤ +
⇔ − ≤ +
⇔ ≥ −

Suy ra x > 3 là nghiệm bpt
+) Xét :
2 2 3x x≤ − ∪ ≤ <
2
2
1. 2 1 8
2. 2 6 1 2 0
3. 6 5 8 2
4. 3 2 8 7
5. 2 1
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
− ≤ −
− + − + >
− + − > −
+ ≥ − + −
+ − + <
Bài 2:
Giải các bpt sau :
( )
( )
2 2
2
2
2
2
1.( 3 ). 2 3 2 0

2
2. 21
3 9 2
3. 4
1 1
x x x x
x
x
x
x
x
x
− − − ≥
< +
− +
> −
+ +
Bài giải :
Bài 1:
1.
2
2
8 0
(1) 2 1 0
2 1 (8 )
8
1
2
18 65 0
1

5
2
x
x
x x
x
x
x x
x

− ≥

⇔ − ≥


− ≤ −

≤



⇔ ≥



− + ≥

⇔ ≤ ≤
2.
5.

Đkiện :
2 0
1 0 0
0
x
x x
x
+ ≥


+ ≥ ⇔ ≥


≥

11
Giáo án : Chuyên đề đại số 10
( )
( )
2
2
2
2
2
(2) 2 6 1 2
2 0
2 0
2 6 1 2
2 6 1 0
2

3 7
2
2
2 3 0
3 7
2
3 7
3
2
x x x
x
x
x x x
x x
x
x
x
x x
x
x x
⇔ − + > −
− ≥

− <


⇔ ∪
 
− + > −
− + ≥




<



−

≥


≤

⇔ ∪
 

− − >



+

≥




−
⇔ ≤ ∪ >

3.
Tương tự :
3 5x
< ≤
4.Đk:
3 0
2 8 0 4 7
7 0
x
x x
x
+ ≥


− ≥ ⇔ ≤ ≤


− ≥

( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
(4) 3 2 8 7
3 1 2 2 8 7
2 2 8 7
4 2 22 56
11 30 0

5
6
x x x
x x
x x
x x
x x
x
x
⇔ + ≥ − + −
⇔ ≥ − + − −
⇔ ≥ − −
⇔ ≥ − + −
⇔ − + ≥
≤

⇔

≥

Kết luận :
4 5
6 7
x
x
≤ ≤


≤ ≤


2.Đk :
9
9 2 0
2
3 9 2 0
0
x
x
x
x

+ ≥

≥ −
 
⇔
 
− + ≠



≠

Khi đó :
( )
2
(5) 2 1
2 2 1 2 ( 1)
1 2 ( 1)
1 0

1
0
1 4 ( 1)
3 2 3
3
1
3 2 3
1
3
3 2 3
3
3 2 3
3
x x x
x x x x
x x x
x
x o
x
x x x
x
x
x
x
x
⇔ + < + +
⇔ + < + + +
⇔ − < +
− ≥


− <


⇔ ∪
 
≥
− < +




+
< −


⇔ > ∪

− +
< ≤



+
< −


⇔

− +
<



Kết luận :
3 2 3
3
x
− +
>
Bài 2:
1.
2
2
2
2 3 2 0
(1)
2 3 2 0
3 0
1
2
2
1
2
2
3
1
2
2
0 3
x x
x x

x x
x
x
x x
x
x
x
x x

− − =

⇔

− − >



− ≥










=
≤ −





⇔ = − ⇔ =




≥



< −







>





≤ ∪ ≥



Bài 2:
12
Giáo án : Chuyên đề đại số 10
( )
2
2
2
2 3 9 2
(2) 21
4
9 2 4
7
2
x x
x
x
x
x
+ +
⇔ < +
⇔ + <
⇔ <
Kết luận :
9 7
2 2
0
x
x

− ≤ <




≠

3.
Đk:
1 0 1x x+ ≥ ⇔ ≥ −
Nhận xét : x = 0 là nghiệm của bpt
+) Xét
0x
≠
:
( )
( )
2
2
2
2
1 1
(3) 4
1 1 4
2 2 1 4
1 3 1 9
8
x x
x
x
x x
x

x x
x
− +
⇔ > −
⇔ − + > −
⇔ − + > −
⇔ + < ⇔ + <
⇔ <
Kết luận :
1 8x− ≤ <
Chú ý : Dạng :
( ). ( ) 0
( ) 0
) ) 0
( ) 0
f x g x
g x
g x
f x
≥

=

⇔
>




≥



Bài tập về nhà :
Bài 1 :
Giải các bpt sau :
2
3 4 2
1. 2
x x
x
− + + +
<
Nhân xét x = 1 là nghiệm
+) Xét x <1 :
2 2 2
2 2 2
2
1. 3 2 4 3 2 5 4
2. 8 15 2 15 4 18 18
3. 1 1 2
4
x x x x x x
x x x x x x
x
x x
− + + − + ≥ − +
− + + + − ≤ − +
+ + − ≤ −
Bài giải :
Bài 1:

Đk :
4
1
3
0
x
x

− ≤ ≤



≠

:
Xét :
4
0
3
x< ≤
:
( )
2
2
2
2
2
3 4 2
(1) 2
3 4 2 2

2 2 0
3 4 2 2
1
9
7
7 9 0
x x
x
x x x
x
x x x
x
x
x x
− + + +
⇔ <
⇔ − + + < −
− ≥


⇔

− + + < −


≥

⇔ ⇔ >

− >


Vậy (1) có nghiệm :
9 4
7 3
x< ≤
Xét :
1 0:x− ≤ <
(1) luôn đúng
Kết luận nghiệm của bpt:
1 0
9 4
7 3
x
x
− ≤ <



< ≤

Bài 2:
1.
Đk:
2
2
2
3 2 0
4 3 0 1 4
5 4 0
x x

x x x x
x x

− + ≥

− + ≥ ⇔ ≤ ∪ ≥


− + ≥

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
(1) 1 2 1 3
2 1 4 (2)
x x x x
x x
⇔ − − + − −
≥ − −
Suy ra :
5x ≤ −
là nghiệm của bpt
+) Xét :
5:x
≥
13
Giáo án : Chuyên đề đại số 10
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
(2) 1 2 1 3
2 1 4

2 3 2 4
x x x x
x x
x x x
⇔ − − + − −
≥ − −
⇔ − + − ≥ −
Ta có :
1
2 3 4 4
2 4 ,
x
x x x x
x
<
− + − < − + −
= − ∀
Suy ra x < 1 bpt vô nghiệm .
+) Xét :
4:x
≥
(2) 2 3 2 4x x x⇔ − + − ≥ −
Ta có :
4
2 3 4 4
2 4,
x
x x x x
x
≥

− + − ≥ − + −
= − ∀
Suy ra :
4 :x ≥
, bất pt luôn đúng .
Vậy nghiệm của bpt là :
1
4
x
x
=


≥

2.
Điều kiện:
2
2
2
8 15 0
3
2 15 0
5 5
4 18 18 0
x x
x
x x
x x
x x


− + ≥
=


+ − ≥ ⇔


≤ − ∪ ≥


− + ≥

( ) ( ) ( ) ( )
(2) 5 3 5 3
(4 6)( 3)(2)
x x x x
x x
⇔ − − + + −
≤ − −
Nhận xét x = 3 là nghiệm của bpt :
+) Xét :
5x
≤ −
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2

(2) 5 3 5 3 6 4 3
5 5 6 4
5 5 2 25 6 4
25 3 25 3
17
3
x x x x x x
x x x
x x x x
x x x x
x
⇔ − − + − − − ≤ − −
⇔ − + − − ≤ −
⇔ − − − + − ≤ −
⇔ − ≤ − ⇔ − ≤ −
⇔ ≤
2
2
(2) 5 5 4 6
5 5 2 25 4 6
17
25 3
3
x x x
x x x x
x x x
⇔ − + + ≤ −
⇔ − + + + − ≤ −
⇔ − ≤ − ⇔ ≤
Suy ra :

17
5
3
x≤ ≤
Là nghiệm của bpt .
Kết luận : Nghiệm của bpt đã cho là :
5
3
17
5
3
x
x
x


≤ −

=


≤ ≤


3.
Đk:
1 0
1 1
1 0
x

x
x
+ ≥

⇔ − ≤ ≤

− ≥

:
Khi đó :
(
)
(
)
[ ]
4
2 2
4
2 2
4
2
2
1;1
(3) 1 1 2 1 4
16
1 2 1 1 0
16
1 1 0
16
x

x
x x x x
x
x x
x
x
∈ −
⇔ + + − + − ≤ − +
⇔ − − − + + ≥
⇔ − − + ≥ ∀
Vậy nghiệm của bpt là :
1 1x
− ≤ ≤
Phương pháp 2: Đặt ẩn số phụ :
14
Giáo án : Chuyên đề đại số 10
Bài 2:
3
1). 2 1 2 1
2
5 1
2).5 2 4
2
2
1
3). 2 3
1
x x x x
x x
x

x
x x
x x
+ − + − − >
+ < + +
+
− >
+
Bài 3:
2
35
12
1
x
x
x
+ >
−
Bài giải :
Bài 1:
1.Đặt :
2
2 2 2
2
2
3 6 4, 0
3 6 4 3( 2 ) 4
4
2
3

t x x t
t x x x x
t
x x
= + + ≥
⇒ = + + = + +
−
⇒ + =
Khi đó :
( )
2
2
2
2 2
2
4
1 2
3
3 10 0 0 2( 0)
0 3 6 4 2
3 6 4 4( 3 6 4 0)
3 6 0 2 0
t
t
t t t t
x x
x x do x x
x x x
−
⇔ < −

⇔ + − < ⇔ ≤ < ≥
⇔ ≤ + + <
⇔ + + < + + >
⇔ + < ⇔ − < <
2.
Đặt :
2
2 2
2 2
3 2 , 0
3 2
2 3
t x x t
t x x
x x t
= − − ≥
⇒ = − −
⇒ + = −
Khi đó :
( )
( )
2
2
2
2
2 2 3 3 1
2 3 5 0
5
0 ( 0)
2

5
0 3 2
2
3 1
3 1
25
3 2
4
t t
t t
t dot
x x
x
x
x x
⇔ − + >
⇔ − − <
⇔ ≤ < ≥
⇔ ≤ − − <
− ≤ ≤


⇔ ⇔ − ≤ ≤

− − <


3.
Đặt :
2

2 2
3 5 2, 0
3 5 2
t x x t
x x t
= + + ≥
⇒ + = −
Ta được :
( )
2
2
2 2
2
2
2
5 1
5 1 5 1
2 4 2
0 3 5 2 2
3 5 2 0
3 5 2 4
2
2 1
1
3
2 1
1
2
3 3
3

t t
t t t t
t t
x x
x x
x x
x
x x
x
x
+ − ≥
⇔ + ≥ + ⇔ + ≥ +
⇔ ≤ ⇔ ≤
⇔ ≤ + + ≤

+ + ≥

⇔

+ + ≤


−

− ≤ ≤ −
≤ − ∪ ≥





⇔ ⇔
−


≤ ≤

− ≤ ≤



Bài 2:
1.
( )
( ) ( )
2 2
3
1 1 1 1 1
2
x x⇔ − + + − − >
Đk :
1x
≥
:
3
1 1 1 1
2
x x⇔ − + + − − >
Đặt :
1, 0t x t= − ≥
Khi đó :

15
Bài toán 1:Giải bpt sau :
( ) ( )
2
1 4 5 5 28(1)x x x x+ + < + +
Bài giải :
Đặt :
2
5 28, 0t x x t= + + >

( Do
2
5 28 0, )
x R
x x
∈
+ + > ∀
Khi đó :
2
2
(1) 24 5
5 24 0
0 8
t t
t t
t
⇔ − <
⇔ − − <
⇔ < <
( do t> 0 )

2
2
0 5 28 8
5 36 0
9 4
x x
x x
x
⇔ < + + <
⇔ + − <
⇔ − < <
Kết luận : -9 < x < 4
Bài toán 2 :
2
7 7 7 6 2 49 7 42 181 14 (1)x x x x x+ + − + + − < −
Đk:
7 7 0
6
7 6 0
7
x
x
x
+ ≥

⇔ ≥

− ≥

:

Đặt :
( ) ( )
( ) ( )
2
2
7 7 7 6, 0
7 7 7 6 2 7 7 7 6
14 2 7 7 7 6 1
t x x t
t x x x x
x x x t
= + + − ≥
⇒ = + + − + + −
⇒ + + − = −
Khi đó :
2
2
2
2
(1) 7 7 7 6 14 2 49 7 42 181
1 181
182 0
0 13( 0)
7 7 7 6 13
49 7 42 84 7
6
12
6
6
7

7
6
x x x x x
t t
t t
t t
x x
x x x
x
x
x
⇔ + + − + + + − <
⇔ + − <
⇔ + − <
⇔ ≤ < ≥
⇔ + + − <
⇔ + − < −

≤ <

⇔ ⇔ ≤ <


<

Kết luận :
6
6
7
x≤ <

Bài toán3:
3 1
3 2 7(1)
2
2
x x
x
x
+ < + −
Đk : x > 0:
1 1
(1) 3 2 7(2)
4
2
x x
x
x
 
 
⇔ + < + −
 ÷
 ÷
 
 
Đặt :
2 2
1 1
2 . 2
2 2
1 1

1 1
4 4
t x x
x x
t x x t
x x
= + ≥ =
⇒ = + + ⇒ + = −
Khi đó :
( )
2
2
(2) 3 2 1 7
2 3 9 0 3( 2)
1
3(3)
2
t t
t t t t
x
x
⇔ < − −
⇔ − − > ⇔ > ≥
⇔ + >
Đặt :
( )
2
, 0
1
3 3 2 6 1 0

2
3 7 3 7
0
2 2
3 7 3 7
0
2 2
8 3 7 8 3 7
0
2 2
u x u
u u u
u
u u
x x
x x
= >
⇔ + > ⇔ − + >
− +
⇔ < < ∪ >
− +
⇔ < < ∪ >
− +
⇔ < < ∪ >
Kết luận :
8 3 7 8 3 7
0
2 2
x x
− +

< < ∪ >
Bài tập về nhà :
Bài 1: Giải các bpt sau :
2 2
2 2
2 2
1). 3 6 4 2 2
2).2 4 3 3 2 1
3). 3 5 7 3 5 2 1
x x x x
x x x x
x x x x
+ + < − −
+ + − − >
+ + − + + ≥
Giáo án : Chuyên đề đại số 10
Bài 2:
3
1 1 (2)
2
) 1:
3 3
(2) 2
2 4
1 1( 1) 2
)0 1:
3
(2) 2
2
t t

t
t t
x dot x
t
⇔ + + − >
+ ≥
⇔ > ⇔ >
⇔ − ≥ ≥ ⇔ ≥
+ ≤ <
⇔ >
Vậy :
1
0 1 1
2
x
x
x
≥

≤ − ≤ ⇔

≤

Kết luận :
1x ≥
2.Đk : x > 0
( )
1 1
2 5 2 4(3)
2

2
x x
x
x
 
⇔ + < + +
 ÷
 
Đặt :
2
1 1
2 . 2, 2
2 2
1
1
4
t x x t
x x
x t
x
= + ≥ = ≥
⇒ + = −
Khi đó :
( )
( )
2
2
3 5 2 1 4
1
2 5 2 0

2
2
t t
t
t t
t
⇔ < − +

<

⇔ − + > ⇔

>

Do đk:Ta có
1
2 2 4 1 0
2
x x x
x
+ > ⇔ − + >
Đặt :
, 0u x u= >
Ta được : 2u
2
– 4u + 1> 0
2 2 2 2
0
2 2
2 2 2 2

2 2
3 2 2
0
2
3 2 2
2
u x
u x
x
x
 
− −
< < <
 
 
⇔ ⇔
 
+ +
> >
 
 

−
< <



+
>



3.
Đk:
1 0:x x
< − ∪ >
Đặt:
2
1 1
, 0
1
x x
t t
x x t
+
= > ⇒ =
+
Ta được :
( )
( )
3 2
2
2
1
2 3 2 3 1 0
1 2 1 0
1
0 ( 0)
2
1 1 4
0 1

2 3
t t t
t
t t t
t dot
x
x
x
− > ⇔ + − <
⇔ + + − <
⇔ < < >
+
⇔ < < ⇔ − < < −
Bài 3:
Đk:
2
1
1 0
1
x
x
x
< −

− > ⇔

>

+) Xét x < -1 :bpt VN
+) x > 1 :

( )
2 2
2
2
2
4 2
2
2
1225
1 2.
1 144
1
1225
2. 0(2)
1 144
1
x x
x
x
x
x x
x
x
⇔ + + >
−
−
⇔ + − >
−
−
16

Giáo án : Chuyên đề đại số 10
Đặt :
2
2
2
2
4 2
2
4 2
2
2
, 0
1
1225
(2) 2 0
144
25
( 0)
12
25
144 625 625
12
1
144 625 625 0
25 5
0 1
16 4
( ox 1)
525
39

x
t t
x
t t
t dot
x
x x
x
x x
x x
d
xx
= >
−
⇔ + − >
⇔ > >
⇔ > ⇔ > −
−
⇔ − + >


≤ < < <


⇔ ⇔ >




>>

 


Còn tiếp !!!
17