Phép biến đổi laplace rời rạc với phương trình sai phân

✣❸■ ❍➴❈ ◗❯➮❈ ●■❆ ❍⑨ ◆❐■
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ❚Ü ◆❍■➊◆
✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲

P❤↕♠ ▼✐♥❤ ❚✐➳♥

P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ▲❆P▲❆❈❊ ❘❮■ ❘❸❈ ❱❰■
P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❙❆■ P❍❹◆
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒

❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ P❍×❒◆● P❍⑩P ❚❖⑩◆ ❙❒ ❈❻P
▼➣ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✶✶✸

◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
P●❙✳❚❙✳ ◆●❯❨➍◆ ❚❍Õ❨ ❚❍❆◆❍

❍⑨ ◆❐■✲ ✷✵✶✹


✶

▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉
▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶ ❈⑩❈ ❑❍⑩■ ◆■➏▼ ❇✃ ❚❘Ñ

✶✳✶ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ s❛✐ ♣❤➙♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ✈➼ ❞ö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✷ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ s❛✐ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠
❝õ❛ ♥â ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✳✷✳✶ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈î✐ ❤➺ sè ❤➡♥❣ ✈➔
❞↕♥❣ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✷ ❈→❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✸ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t♦→♥ tû ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✸✳✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ rí✐ r↕❝ ✳
✶✳✸✳✷ ❈→❝ ✤à♥❤ ❧þ ✈➔ ❝æ♥❣ t❤ù❝ t❤÷í♥❣ ❞ò♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✸✳✸ ❚➻♠ ❣è❝ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ↔♥❤ ❝❤♦ tr÷î❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✹ P❤ö ❧ö❝ ❝❤÷ì♥❣ ■ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✹✳✶ ❇↔♥❣ ✤è✐ ❝❤✐➳✉ ❣è❝ ↔♥❤✿ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✹✳✷ ❇➔✐ t➟♣ ❝❤÷ì♥❣ ■ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✹

✻
✻
✻
✽

✾
✾
✶✶
✶✷
✶✷
✶✹
✶✺
✷✶
✷✶

✷✺

✷ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❙❆■ P❍❹◆ ✷✼
✷✳✶

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✶✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✶✳✷ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ✶ t❤✉➛♥
♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✶✳✸ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ t❤✉➛♥
♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✶✳✹ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜✐➳♥ t❤✐➯♥ ❤➡♥❣ sè t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ r✐➯♥❣
f ∗ (n) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼
✷✼

✷✽
✷✽
✷✽


✷

✷✳✶✳✺ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤å♥ ✭ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤➺ sè ❜➜t ✤à♥❤ ✮
✷✳✷ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✷ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ❤❛✐ t❤✉➛♥
♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✸ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ❤❛✐ ❦❤æ♥❣

t❤✉➛♥ ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✹ ❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ❤❛✐ ❦❤æ♥❣ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ✳ ✳ ✳
✷✳✸ ❑❤→✐ q✉→t ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ❝❛♦ ✳
✷✳✸✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✸✳✷ ❈→❝❤ ❣✐↔✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✹ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
t♦→♥ tû ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✹✳✶ ❈→❝ ✣à♥❤ ❧þ ✈➔ ❝æ♥❣ t❤ù❝ t❤÷í♥❣ ❞ò♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✹✳✷ ▲÷ñ❝ ✤ç ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ t♦→♥ tû ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✹✳✸ ❈→❝ ✈➼ ❞ö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✷
✸✽
✸✽
✸✾
✹✶
✹✶
✹✽
✹✽
✹✾
✺✶
✺✶
✺✹
✺✺

✸ ▼❐❚ ❙➮ Ù◆● ❉Ö◆● ❈Õ❆ ❙❆■ P❍❹◆ ❱⑨ P❍➆P ❇■➌◆
✣✃■ ▲❆P▲❆❈❊ ❘❮■ ❘❸❈ ❚❘❖◆● ●■❷■ ❚❖⑩◆ P❍✃
❚❍➷◆●

✻✸
✸✳✶ ❚➻♠ sè ❤↕♥❣ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ❞➣② sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✷ ❚➼♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ♥ sè ❤↕♥❣ ✤➛✉ tr♦♥❣ ♠ët ❞➣② sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✸ ❙❛✐ ♣❤➙♥ ✈î✐ ✈✐➺❝ ①→❝ ✤à♥❤ ✤❛ t❤ù❝ ❤♦➦❝ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❤➔♠✿ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✹ ❇➔✐ t➟♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❑➳t ❧✉➟♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✻✸
✻✻

✻✾
✼✷
✼✸
✼✹





õ t số số tt ớ ừ
ú õ t t tr ỗ ữ t ổ tự số tờ qt ừ ởt
số ổ tự tr ỗ t tờ số ừ ởt
số ữỡ tr ỳ t õ tợ
ữỡ tr s tổ tữớ ữỡ tr s
ỹ tr ữỡ tr trữ t r ộ ữỡ

tr s õ ồ r t
r ữỡ tr trữ tứ tr ổ t õ

t ộ số ữ tr ừ ởt số t ố số
t ữỡ tr s õ t ỹ tr t
ừ số tỷ rớ r ởt tr ỳ ổ ử ú
ữỡ tr s õ q ỹ t t sỷ ử t tỷ
t ổ ữỡ tr trữ õ t tõ tt
ữỡ tr s t tổ tữớ ờ s ữỡ
t tỷ rớ r t ữợ P ừ
tổ t
P ờ rớ r ợ ữỡ tr s
ữủ ữỡ
ữỡ ờ trủ
ở ừ ữỡ ỡ s
ữỡ tr s t t ởt số t t
ừ ờ rớ r
ữỡ Pữỡ ữỡ tr s t t
ở ừ ữỡ tr ữỡ tr s
t t ởt ữỡ ồ r tũ
t ừ ố ỡ ợ t ữỡ
ữỡ tr s q ờ rớ r




✹

❈❤÷ì♥❣ ■■■✳ ▼ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ s❛✐ ♣❤➙♥ ✈➔ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐

▲❛♣❧❛❝❡ rí✐ r↕❝ tr♦♥❣ ❣✐↔✐ t♦→♥ ♣❤ê t❤æ♥❣✳

◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❧➔ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ s❛✐ ♣❤➙♥
tr♦♥❣ ❣✐↔✐ t♦→♥ ♣❤ê t❤æ♥❣ ♥❤÷ ①→❝ ✤à♥❤ ❝æ♥❣ t❤ù❝ sè ❤↕♥❣ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛
❞➣② sè✱ t➼♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ♥ sè ❤↕♥❣ ✤➛✉ ❝õ❛ ♠ët ❞➣② sè✱ ù♥❣ ❞ö♥❣ s❛✐ ♣❤➙♥
tr♦♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ✤❛ t❤ù❝✱ ù♥❣ ❞ö♥❣ s❛✐ ♣❤➙♥ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠✳✳✳
❉♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❦❤æ♥❣ ♥❤✐➲✉✱ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥
❦❤✐ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ ❤↕♥ ❝❤➳ ✈➔ s❛✐ sât✳ ❚→❝ ❣✐↔ ♠♦♥❣
♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ sü ❣â♣ þ ✈➔ ♥❤ú♥❣ þ ❦✐➳♥ ♣❤↔♥ ❜✐➺♥ ❝õ❛ q✉þ t❤➛② ❝æ ✈➔ ❜↕♥ ✤å❝✳


ớ ỡ
t ữủ sỹ ộ ỹ ừ t tổ
ữủ sỹ ú ù tứ ừ t ổ

ổ tọ ỏ t ỡ s s tợ ữớ t
ữớ trỹ t tr tử
tự qt ữợ ự t t ữợ tổ
t
ổ t ỡ t ổ ỡ ồ
rữớ ồ ồ tỹ ồ ố ở ỳ
ữớ trỹ t ú ù tổ tr q tr ồ t t
trữớ ũ t t ữớ t õ õ ỵ ú ù
ở tổ tr q tr ồ t ự t

tớ tỹ ổ tự ỏ
ổ tr ọ ỳ s sõt
ữủ ỵ õ õ ừ t ổ ỗ
ữủ ỡ
t ỡ

P ừ

ở t

ồ
P


✻

❈❤÷ì♥❣ ✶

❈⑩❈ ❑❍⑩■ ◆■➏▼ ❇✃ ❚❘Ñ
✶✳✶ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ s❛✐ ♣❤➙♥ ❤ú✉ ❤↕♥
✶✳✶✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ✈➼ ❞ö

❱î✐ ❤➡♥❣ sè h = 0✱ ❤➔♠ sè y = f (x) ❝â ❣✐→ trà t↕✐ ❝→❝ ✤✐➸♠
x0 , x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, . . . , xn = x0 + nh, . . . (n ∈ N) t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔
y0 , y1 , . . . ., yn , . . . ♥❣❤➽❛ ❧➔
y0 =f (x0 ) = f0 ;
y1 =f (x1 ) = f (x0 + h) = f1 ;
y2 =f (x2 ) = f (x1 + h) = f2 ;
...

②♥ =f (xn ) = f (xn−1 + h) = fn ;
...

❑➼ ❤✐➺✉ ∆y = f (x + h) − f (x) = ∆f (x) ❧➔ s❛✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ ♠ët ❝õ❛ ❤➔♠ sè
f (x) t↕✐ ✤✐➸♠ x.✳

❱➟②
∆y0 = ∆f (x0 ) = y1 − y0 ; ∆y1 = ∆f (x1 ) = f (x1 + h) − f (x1 ) = y2 − y1 ; . . .
∆yn−1 = ∆f (xn−1 ) = yn − yn−1
∆yn = yn+1 − yn .

❚❛ t❤÷í♥❣ ①➨t ❤ ❂ ✶ ✤➸ ♣❤ò ❤ñ♣ ✈î✐ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❞➣② sè ✈➻ ♠é✐ sè ❤↕♥❣
tr♦♥❣ ❞➣② sè ✤÷ñ❝ ❝♦✐ ❧➔ ❣✐→ trà ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ sè ♥➔♦ ✤â t↕✐ ❝→❝ ✤è✐ sè ♥❣✉②➯♥✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ●✐↔ sû ❤➔♠ sè y = f (x) ✤÷ñ❝ ❝❤♦ t↕✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ xk =
x0 + k, k ∈ N✳ ❑❤✐ ✤â

∆yk = ∆fk = f (xk+1 ) − f (xk )


✼

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ s❛✐ ♣❤➙♥ ✭ ❤ú✉ ❤↕♥ ✮ ❝➜♣ ♠ët ❝õ❛ ❤➔♠ sè f (x) t↕✐ ✤✐➸♠ xk ✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳ ❚➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ f (x) ∈ R[x] t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

s❛✉
❛✮f (x + 1) − f (x) = 0 ∀x.
❜✮(x + 1) − f (x) = x ∀x.

●✐↔✐✳

❛✮ ❈❤♦ x = 0, 1, 2 . . . n . . . t❛ ✤÷ñ❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f (x) = f (0) ❝â ✈æ sè
♥❣❤✐➺♠✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ f (x) ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ♥➯♥ f (x) = f (0) ∀x.
❚❤û ❧↕✐ t❛ t❤➜② ✤ó♥❣✳
✭

❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ s❛✐ ♣❤➙♥ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ♣❤➛♥ ❛✮ t❤➻ ∆f (x) = 0 ∀x
❞➝♥ tî✐ f (x) ❧➔ ❤➡♥❣ sè✳ ✮
❜✮ ❈❤å♥ g(x) s❛♦ ❝❤♦ g(x + 1) − g(x) = x ∀x.
❚❛ ❝❤å♥ g(x) = ax2 + bx✱ t❛ ❝â

❈❤ó þ✿

a(x + 1)2 + b(x + 1) − ax2 − bx = x ∀x ⇔ 2ax + a + b = x.
1 2
1
❙✉② r❛ a = 21 , b = −1
2 ✱ ✈➟② g(x) = 2 x − 2 x.
❉♦ ✤â (f (x + 1) − g(x + 1)) − (f (x) − g(x)) = 0 ∀x✱✈✐➳t t❤❡♦ s❛✐ ♣❤➙♥
❝➜♣ ♠ët ❧➔ ∆(f (x) − g(x)) = 0.
❚❤❡♦ ❝➙✉ ❛✮ t❤➻ f (x) − g(x) = C ✭❈ ❧➔ ❤➡♥❣ sè ✮ ♥➯♥ f (x) = 21 x2 − 12 x + C.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ ❚❛ ❣å✐ s❛✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ ❤❛✐ ❝õ❛ ❤➔♠ sè f (x) ❧➔ s❛✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛

s❛✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ ♠ët ❝õ❛ ❤➔♠ sè f (x)✳ ❙❛✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ s❛✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ ♥✲✶ ❣å✐ ❧➔
s❛✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ ♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè f (x)✳
❑➼ ❤✐➯✉ ∆n f (xk ) ❧➔ s❛✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ ♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè f (x) t↕✐ ✤✐➸♠ xk
∆n yk = ∆n f (xk ) = ∆(∆n−1 f (xk )) = ∆n−1 f (xk+1 ) − ∆n−1 f (xk ).

❉♦ ✤â
∆2 yk = ∆2 fk = ∆f (xk+1 ) − ∆f (xk ) = f (xk+2 ) − 2f (xk+1 ) + f (xk )

❱î✐ ❤➔♠ sè y = f (x) s❛✐ ♣❤➙♥ ❝→❝ ❝➜♣ ❝õ❛ ♥â t↕✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ xk ✤÷ñ❝ s➢♣ ①➳♣
t❤❡♦ ❜↔♥❣ s❛✉✿
x = xk
yk = f (xk )

∆yk
∆2 yk
...

x0
x1
x2
x3
x4 . . .
y0
y1
y2
y3
y4 ✳ ✳ ✳
∆y0
∆y1
∆y2
∆y3 . . .
2
2
2
∆ y0
∆ y1
∆ y3 . . .
...


✽

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳ ❳→❝ ✤à♥❤ ❝æ♥❣ t❤ù❝ sè ❤↕♥❣ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ❞➣② sè ❜✐➳t ❝→❝ sè

❤↕♥❣ tr♦♥❣ ❞➣② ❧➔ ✲✶✱ ✷✱ ✶✸✱ ✹✹✱ ✶✵✼✱ ✷✶✹ ✳✳✳

●✐↔✐✳

●å✐ f (n) ❧➔ sè ❤↕♥❣ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ❞➣② sè ✤➣ ❝❤♦✳ ❇↔♥❣ s❛✐ ♣❤➙♥ ❝→❝ ❝➜♣
❝õ❛ f (n) ❧➔
n
0
1
2
3
4
5...
f (n)
−1
2
13
44 107
214✳ ✳ ✳
∆f (n)
3
11
31
63
107 . . .
2
∆ f (n)
8
20
32

44 . . .
3
∆ f (n)
12
12
12 . . .
4
∆ f (n)
0
0
...
❚❤❡♦ ❜↔♥❣ s❛✐ ♣❤➙♥ tr➯♥✱ f (n) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ sè ❜➟❝ ✸ ❝õ❛ ♥ ♥➯♥ t❛ ✤➦t
f (n) = an3 + bn2 + cn + d (a = 0).

❉♦
 f (0) = −1, f (1) = 2, f (2) = 13, f (3) = 44 ♥➯♥ t❛ ❝â ❤➺
d = −1


a+b+c+d=2
8a
+ 4b + 2c + d = 13


27a + 9b + 3c + d = 44
●✐↔✐ ❤➺ ♥➔② t❛ ✤÷ñ❝ a = 2, b = −2, c = 3, d = −1✳
❱➟② sè ❤↕♥❣ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ❞➣② sè ✤➣ ❝❤♦ ❧➔
f (n) = 2n3 − 2n2 + 3n − 1.

✶✳✶✳✷ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ s❛✐ ♣❤➙♥

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✳ ❙❛✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➡♥❣ sè ❜➡♥❣ ✵
✭ ❈ ❧➔ ❤➡♥❣ sè✮✳

∆C = 0,

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✷✳ ❙❛✐ ♣❤➙♥ ♠å✐ ❝➜♣ ❝â t❤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❧↕✐ t❤❡♦ ❝→❝ ❣✐→ trà ❝õ❛
❤➔♠ sè

k

(−1)i Cki yn+k−i

k

∆ yn =
i=0

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✸✳ ❙❛✐ ♣❤➙♥ ♠å✐ ❝➜♣ ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤
∆k (αf + βg) = α∆k f + β∆k g.

❱î✐ α, β ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè tò② þ❀ f, g ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ sè ❝õ❛ ❜✐➳♥ sè x


✾

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✹✳ ❍➡♥❣ sè ∀k, m ∈ N, m < k✳ ❚❛ ❝â
k−m
i
Ck−m

∆i f (xm ).

yk = f (xk ) =
i=0

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✺✳ ❙❛✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ ❦ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ ♥ ❝â ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t
❛✮ ▲➔ ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ n − k ✳
❜✮ ❇➡♥❣ ❤➡♥❣ sè ❦❤✐ n = k ✳
❝✮ ❇➡♥❣ ✵ ❦❤✐ k > n✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✻✳ ❈æ♥❣ t❤ù❝ s❛✐ ♣❤➙♥ tø♥❣ ♣❤➛♥
∆(fk .gk ) = fk .∆gk + gk+1 .∆fk .

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✼✳ ❚ê♥❣ s❛✐ ♣❤➙♥
n

∆yk = yn+1 − y1 .
k=1

✶✳✷ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠
❝õ❛ ♥â
✶✳✷✳✶ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈î✐ ❤➺ sè ❤➡♥❣ ✈➔ ❞↕♥❣ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥
P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❞↕♥❣
F (n, yn , ∆yn , . . . , ∆k yn ) = 0

✭✶✳✶✮

F (n, yn , yn+1 , . . . , yn+k )

✭✶✳✷✮

❤❛②
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ ❦✱ tr♦♥❣ ✤â y(n) ❧➔ ➞♥ ❤➔♠✳
❚❛ ❝â t❤➸ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✮ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✮ ✈➔ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✳
❚❤➟t ✈➟②✱ tø ❝æ♥❣ t❤ù❝
k

(−1)i Cki yn+k−i

k

∆ yn =
i=0

s✉② r❛

∆yn = yn+1 − yn
∆2 yn = yn+2 − C21 yn+1 + yn
∆3 yn = yn+3 − C31 yn+2 + C32 yn+1 − yn
...


✼✹

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦
❬✶❪ ◆❣✉②➵♥ ❚❤õ② ❚❤❛♥❤✱ ❍➔♠ ❜✐➳♥ ♣❤ù❝ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡✱
◆❳❇✣❍◗●❍◆✱ ✷✵✶✵
❬✷❪ ◆❣✉②➵♥ ❚❤õ② ❚❤❛♥❤ ✱ ❍÷î♥❣ ❞➝♥ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t➟♣ ❤➔♠ ❜✐➳♥ ♣❤ù❝✱
◆❳❇✣❍◗●❍◆✱ ✷✵✶✶✳
❬✸❪ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▼➟✉✱ ❚r➛♥ ◆❛♠ ❉ô♥❣✱ ◆❣✉②➵♥ ▼✐♥❤ ❚✉➜♥✱ ❈❤✉②➯♥ ✤➲

❝❤å♥ ❧å❝ ❞➣② sè ✈➔ →♣ ❞ö♥❣✱ ◆❳❇●❉✱ ✷✵✵✽✳
❬✹❪ ▲➯ ✣➻♥❤ ✣à♥❤✱ ❇➔✐ t➟♣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥✱ ◆❳❇✣❍◗●❍◆✱ ✷✵✶✶
❬✺❪ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▼➟✉✱ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❚✐➳♥✱ ▼ët sè ❝❤✉②➯♥ ✤➲ ✤↕✐ sè ❜ç✐
❞÷ï♥❣ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ tr✉♥❣ ❤å❝ ♣❤ê t❤æ♥❣✱ ◆❳❇●❉✱ ✷✵✶✵