Ứng dụng lý thuyết xếp hàng trong mạng máy tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

LÊ ĐỨC HỢP

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT XẾP HÀNG TRONG
MẠNG MÁY TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

LÊ ĐỨC HỢP

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT XẾP HÀNG TRONG
MẠNG MÁY TÍNH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số:

60.460.106

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
NCVCC.TS.NGUYỄN HỒNG HẢI

Hà Nội – Năm 2014


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU.................................................................................................................... 1
CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................. 3
1.1.
Những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất ........................................... 3
1.1.1. Biến ngẫu nhiên ...................................................................................... 3
1.1.2. Những phân phối quan trọng ................................................................... 3
1.1.2.1. Phân phối hình học ............................................................................. 3
1.1.2.2. Phân phối Poisson............................................................................... 3
1.1.2.3. Phân phối mũ ...................................................................................... 3
1.1.2.4. Phân phối Erlang ................................................................................ 4
1.1.2.5. Phân phối siêu mũ (Hyperexponential) ............................................... 4
1.1.2.6. Phân phối dạng Phase ......................................................................... 5
1.1.3. Sơ lược về các quá trình ngẫu nhiên ........................................................ 5
1.1.3.1. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên ......................................................... 5
1.1.3.2. Quá trình Markov ............................................................................... 6
1.1.3.3. Quá trình Poisson ............................................................................... 6
1.2. Quá trình sinh tử ............................................................................................... 8
CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT XẾP HÀNG .................................... 12
2.1 Những mô hình xếp hàng và một số khái niệm cơ bản................................... 12
2.1.1. Mô hình xếp hàng và ký hiệu Kendall ................................................... 12
2.1.2. Tỷ lệ thời gian cư ngụ ........................................................................... 13
2.1.3. Một số đại lượng đặc trưng ................................................................... 14
2.1.4. Định luật Little...................................................................................... 15
2.1.5. Tính chất PASTA ................................................................................. 15
2.2.

Mô hình xếp hàng M/M/1 ......................................................................... 15
2.2.1. Cân bằng xác suất ................................................................................. 16
2.2.2. Các đặc trưng trung bình ....................................................................... 16
2.2.3. Phân phối của thời gian lưu trú và thời gian chờ đợi ............................. 17
2.2.4. Các tính chất ......................................................................................... 18
2.2.5. Quyền ưu tiên tuyết đối ......................................................................... 19
2.2.6. Quyền ưu tiên không tuyệt đối .............................................................. 19
2.2.7. Chu kỳ bận............................................................................................ 20
2.2.8. Trung bình chu kỳ bận .......................................................................... 20
2.2.9. Phân phối của chu kỳ bận...................................................................... 21
2.3.

Mô hình xếp hàng M/M/c.......................................................................... 22


2.3.1. Cân bằng xác suất ................................................................................. 22
2.3.2. Trung bình độ dài hàng đợi và trung bình thời gian chờ đợi .................. 23
2.3.3. Phân phối thời gian chờ đợi và thời gian lưu trú .................................... 24
2.4.
Mô hình xếp hàng M/Er/1.......................................................................... 25
2.4.1. Hai cách mô tả trạng thái ...................................................................... 25
2.4.2. Cân bằng phân phối .............................................................................. 25
2.4.3. Trung bình thời gian đợi ....................................................................... 28
2.4.4. Phân phối thời gian đợi ......................................................................... 29
2.5.
Mô hình xếp hàng M/G/1 .......................................................................... 29
2.5.1. Những phân phối giới hạn ..................................................................... 29
2.5.2. Phân phối của sự rời đi.......................................................................... 31
2.5.3. Phân phối của thời gian lưu trú ............................................................. 35
2.5.4. Phân phối của thời gian chờ đợi ............................................................ 37

2.5.5. Phương pháp giá trị trung bình .............................................................. 38
2.5.6. Thời gian phục vụ còn lại...................................................................... 39
2.5.7. Phương sai của thời gian chờ đợi .......................................................... 40
2.5.8. Phân phối của chu kỳ bận...................................................................... 41
2.6.
Mô hình xếp hàng G/M/1 .......................................................................... 43
2.6.1. Phân phối khách đến ............................................................................. 44
2.6.2. Phân phối của thời gian lưu trú ............................................................. 47
2.6.3. Thời gian lưu trú trung bình .................................................................. 47
CHƯƠNG III: MẠNG JACKSON ............................................................................ 49
3.1.

Mạng mở .................................................................................................. 49

3.2.

Mạng đóng ................................................................................................ 53

3.3.

Mạng nửa mở ............................................................................................ 55

3.4.

Hàm thông lượng ...................................................................................... 58

3.5.
Tính thông lượng ...................................................................................... 60
3.5.1. Thuật toán tích chập .............................................................................. 61
3.5.2. Phân tích giá trị trung bình .................................................................... 61

3.6.

Sự đảo ngược thời gian ............................................................................. 63

CHƯƠNG IV: MẠNG KELLY ................................................................................. 68
4.1.

Mô hình xếp hàng tựa khả nghịch ............................................................. 68

4.2.
Mô hình xếp hàng đối xứng ...................................................................... 73
4.2.1. Các phân phố và quá trình dạng Phase .................................................. 73


4.2.2. Mô hình M/PH/l.................................................................................... 75
4.3.

Mạng đa lớp .............................................................................................. 79

4.4.

Dòng Poisson ............................................................................................ 84

KẾT LUẬN ............................................................................................................... 86
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 87


Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

MỞ ĐẦU

Lý thuyết phục vụ đám đông ra đời từ những năm 50 của thế kỷ XX và có rất
nhiều ứng dụng trong khoa học cũng như trong thực tế. Lý thuyết xếp hàng được xem
như là một nhánh chính của lý thuyết xác xuất ứng dụng. Những lĩnh vực quan trọng
ứng dụng của mô hình xếp hàng là mạng viễn thông, mạng máy tính, hệ thống xử lý
thông tin.
Luận văn với đề tài “ Ứng dụng lý thuyết xếp hàng trong mạng máy tính ”
nghiên cứu các mô hình cơ bản của lý thuyết xếp hàng, tính chất của các mô hình xếp
hàng. Ứng dụng của lý thuyết xếp hàng vào nghiên cứu các mô hình mạng.
Nội dung luận văn gồm bốn chương:
Chương 1: Giới thiệu các kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày về một số phân bố xác suất quan trọng và
một số quá trình ngẫy nhiên bao gồm quá trình Poisson, quá trình Markov và đặc biệt
là quá trình sinh tử.
Chương 2: Tổng quan về lý thuyết xếp hàng
Chương này chúng tôi trình bày về các mô hình xếp hàng cơ bản như mô hình

M / M / 1, M / M / c , M / E r / ...
Chương 3: Mạng Jackson
Trong chương này chúng tôi đi sâu vào trình bày mô hình mạng Jackson gồm:
mạng Jackson đóng, mạng Jackson mở, mạng Jackson nửa mở và mạng thời gian đảo
ngược có cùng phân phối cân bằng và dòng khách hàng đến và rời đi cùng tuân theo
quá trình Poisson độc lập.
Chương 4: Mạng Kelly
Mạng Kelly là mở rộng của mạng Jackson tuy nhiên vẫn giữ lại các giả thiết và
các tính chất cơ bản của mạng Jackson.
Với sự cố gắng hết mình của bản thân, cùng với sự động viên giúp đỡ, hướng
dẫn tận tình của các thầy giáo, bản luận văn đã được hoàn thành. Song do thời gian có
hạn cũng như năng lực bản thân còn hạn chế nên chắc chắn luận văn không tránh khỏi

1

Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học
những thiếu sót, tôi rất mong nhận được thêm những ý kiến đóng góp cho luận văn này
của các thầy cô và các độc giả.
Với lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô Khoa toán
tin – Trường ĐHKHTN Hà Nội đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Đặc biệt tôi muốn tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới NCVCC, TS Nguyễn Hồng Hải cán bộ
thuộc trung tâm KHKT – BQP, người đã tận tình hướng dẫn về khoa học và giúp đỡ
tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, Năm 2014
Tác giả
Lê Đức Hợp

2


Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.

Những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất

1.1.1. Biến ngẫu nhiên
Giả sử (  ,ℱ,P) là không gian xác xuất
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X là ánh xạ đo được X: (Ω, ℱ) → ℝ
Các đại lượng quan trọng của biến ngẫu nhiên X: kỳ vọng ( trung bình ) EX,
phương sai  2  X  , độ lệch chuẩn   X  và hệ số biến thiên cX 

X
( hệ số biến
E X

thiên cX là một thước đo độ biến động của biến ngẫu nhiên X )
1.1.2. Những phân phối quan trọng
1.1.2.1. Phân phối hình học
Biến ngẫu nhiên X có phân phối hình học với tham số p nếu các giá trị của nó là
các số nguyên không âm và với mọi k    ta có: P  X  k   1  p  p k .
Với phân phối hình học ta có: EX 

p
p
1
;  2 (X) 
;C2x 
2
1 p
(1  p)
p

1.1.2.2. Phân phối Poisson
Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số μ nếu các giá
trị của nó là các số nguyên không âm và với mọi k    ta có: P(X  k) 

 k e 
k!

Với phân phối Poisson ta có: E(X)   2 (X)  ;C2x  1

1.1.2.3. Phân phối mũ
Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối mũ với tham số μ nếu hàm
mật độ của nó có dạng:

e t
f t  
0
Hàm phân phối:

1  et
F t   
0

3

t0
t0

t0
t0


Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

Với phân phối mũ ta có: E  X  

1 2
1
;  (X)  2 ;C2x  1




Một tính chất quan trọng của biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số μ là:
Với x  0 và t  0

P(X  x  t / X  t)  P(X  x)  e t

P(X  t  t / X  t)  1  et  t  o(t),(t  0)
Trong đó

(1.1)

o(t)
 0 khi t  0
t

1.1.2.4. Phân phối Erlang
Biến ngẫu nhiên X có phân phối Erlang - k (k = 1,2,…) với trung bình

k
nếu


X  X1  X 2  ...  X k . Trong đó: X1 ,X 2 ,..., X k là k biến ngẫu nhiên độc lập cùng
phân phối mũ với trung bình

Hàm mật độ của E k

1
. Ký hiệu là E k () hoặc E k .



k 1

Hàm phân phối: F(t)  1 

k 1

e t
(k  1)!

 t 
được cho bởi f (t)  



j

e t
j!

 t 

j0

(t  0) .

(t  0)

Tham số μ được gọi là tham số tỷ lệ, k được gọi là kích thước mẫu.

Với biến ngẫu nhiên có phân phối E k ta có: E(X) 

k 2
k
1
;  (X)  2 ;C2x 




1.1.2.5. Phân phối siêu mũ (Hyperexponential)
Cho Xi là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với trung bình:

1
i

Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối siêu mũ nếu: X = Xi với xác suất pi
Ký hiệu: H(p1,…,pk;μ1,...,μk) hoặc Hk
k

Hàm mật độ của X: f (t) 

p  e
i

i t

i

i 1

4

(t  0)


Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học
k

Kỳ vọng: EX 

pi


i 1

i

1.1.2.6. Phân phối dạng Phase
Phân phối dạng phase được đặc trưng bởi xích Markov với không gian trạng
thái 1, 2,..., k và ma trận xác suất chuyển P sao cho lim P n  0 ; thời gian lưu trú
n 

trong trạng thái i có phân phối mũ với trung bình

1
và xích Markov chuyển tại trạng
i

thái i với xác suất pi .

Biến ngẫu nhiên X có phân phối dạng Phase nếu là tổng thời gian lưu trú trong
xích Markov. Phân phối phase được ký hiệu là: PH.
Chúng ta đề cập đến 2 phân phối dạng Phase quan trọng trù mật trong tất cả các
hàm phân phối không âm. Điều này có nghĩa rằng với bất kỳ hàm phân phối không âm
F(.) tìm thấy một dãy các hàm phân phối dạng Phase hội tụ điểm tại những điểm liên
tục của F(.).
Lớp thứ nhất là lớp phân phối Coxian. Ký hiệu: Ck .
Lớp thứ là lớp bao gồm hỗn hợp các phân phối Erlang có cùng tham số tỷ lệ.
Một biến ngẫu nhiên X có phân phối Coxian bậc k nếu nó phải trải qua k giai
đoạn phân phối mũ. Độ dài trung bình của giai đoạn n là:

1
n

n  1, 2,..., k .

Nó được bắt đầu ở bước 1. Sau bước n nó kết thúc với xác suất 1  p n và đi vào
bước tiếp theo với xác suất p n . Hiển nhiên p k  0 .
Một biến ngẫu nhiên X có phân phối hỗn hợp Erlang bậc k nếu xác suất p n là
tổng của n biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với cùng trung bình.
1.1.3. Sơ lược về các quá trình ngẫu nhiên
1.1.3.1. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên
Định nghĩa: Với mỗi T    ánh xạ X  t,  :  0;T      được gọi là một
quá trình ngẫu nhiên nếu với mỗi t cố định X  t,  là một hàm đo được (để đơn giản
ta viết X  t  thay cho X  t, ).

5


Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Đặng Hùng Thắng (2006), Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên,
NXB ĐHQG Hà Nội.
[2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết yên (2003), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục.
[3] Nguyễn Duy Tiến (2000), Các mô hình xác suất và ứng dụng: Phần I –
Xích Markov và ứng dụng, NXB ĐHQG Hà Nội.
[4] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mô hình xác suất và ứng dụng: Phần III –
Giải tích ngẫu nhiên, NXB ĐHQG Hà Nội.
Tiếng Anh
[5] A.N. Kolmogorov (1956), Foundations of the theory of Probability, Chelsea
Publishing Company New Yourk.
[6] A.N Shiryaev (1996), Probability, Springer-Verlang, New York.
[7] Gunter Bolch, Stefan Greiner, Hermann de Meer, Kishor S.Trivedie (2006),
Queueing Networks and Markov Chains, A John Wiley & Sons.
[8] Ivo Adan & Jacques Resing (2002), Queueing Theory, MB Eindhoven, The
Netherlands.
[9] James L. Johnson (2003), Probability and Statistics for Computer Science,
John Wiley & Sons.
[10] Hong Chen, David D. Yao (2001), Fundamentals of Queueing Networks,
Springer New York.
[11] Ng Chee-Hock, Soong Boon-Hee (2008), Queueing Modelling
Fundamentals, John Wiley & Sons.

87