Lý luận dạy học hiện đại trong giáo dục Toán

|1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM

BÁO CÁO TỔNG HỢP

LÝ LUẬN DẠY HỌC HIỆN ĐẠI
TRONG GIÁO DỤC TOÁN

GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHÚ LỘC

Học viên thực hiện: NGUYỄN THỊ THANH THÙY
MSHV: M3215030

Năm 2016


|2
MỤC LỤC
LÝ THUYẾT TÌNH HUỐNG DIDACTIC .................................................................................................................... 3
VẬN DỤNG LÝ THUYẾT TÌNH HUỐNG DIDACTIC ĐỂ DẠY BÀI “CÁC TÍNH CHẤT CỦA TỔ HỢP VÀ
TAM GIÁC PASCAL” .................................................................................................................................................................. 3
LÝ THUYẾT DẠY HỌC TÍCH HỢP............................................................................................................................. 8
“KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ” ........................................................................ 8
LÝ THUYẾT HÀNH VI ................................................................................................................................................. 14
1.Cơ sở lý thuyết........................................................................................................................................................... 14
2. DẠY HỌC CHƯƠNG TRÌNH HÓA “PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
BẰNGPHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG OXY” ............................................................................................................... 14
LÝ THUYẾT DẠY HỌC KIẾN TẠO ........................................................................................................................... 22
DẠY HỌC “KHÁI NIỆM TIẾP TUYẾN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ” ............................................. 22

LÝ THUYẾT DẠY HỌC RME ...................................................................................................................................... 28
1. Bài toán 1: Bóng và mặt trời………………………………………………………………………………………..…..28
2 .Bài toán 2: Những cái tủ trong phòng làm việc........................................................................................... 30
3. Bài toán 3: Chỉ dẫn đường đi .............................................................................................................................. 31
4. Bài toán 4: Tính toán bằng cách sử dụng sai số…………………………………………………………..….…33
5. Bài toán 5: Bài toán điều hòa không khí…………………………………………………………………...…….35
LÝ THUYẾT NHẬN THỨC VÀ XỬ LÝ THÔNG TIN………………………………………………...……………..…36
LÝ THUYẾT DẠY HỌC TRẢI NGHIỆM .................................................................................................................. 49
VẬN DỤNG DẠY HỌC ĐỊNH LÝ“TỔNG BA GÓC TRONG MỘT TAM GIÁC” ............................................. 49
VẬN DỤNG DẠY HỌC “ GÓC TRONG MỘT TAM GIÁC CÂN , ĐỀU”............................................................ 49
Trò chơi 1: Đo góc của tam giác trong của tam giác. ..................................................................................... 52
Trò chơi 2 : Ghép tam giác ....................................................................................................................................... 52
LÝ THUYẾT DẠY HỌC THEO PISA ......................................................................................................................... 55
1. Tổng quan về PISA 2015 ...................................................................................................................................... 55
2. Giới thiệu một số dạng bài thi thuộc lĩnh vực Toán học do OECD phát hành................................. 59
THUYẾT ĐA TRÍ TUỆ .................................................................................................................................................. 60
1. Cở sở lý thuyết ......................................................................................................................................................... 62
2. Một số sơ đồ tư duy Toán học............................................................................................................................ 68


|3

LÝ THUYẾT TÌNH HUỐNG DIDACTIC

VẬN DỤNG LÝ THUYẾT TÌNH HUỐNG ĐỂ DẠY BÀI
“CÁC TÍNH CHẤT CỦA TỔ HỢP VÀ TAM GIÁC PASCAL”
 Tình huống: tìm đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh đối
diện của hình chữa nhật cỡ mxn ô vuông. Quy uosc mỗi đường đi
là một đường gấp khúc tạo bởi các cạnh của ô vuông. Độ dài của
mỗi đường đi là số lượng cạnh ô vuông mà nó đi qua.

Màn 1: GV phát cho mỗi nhóm HS một tờ giấy có vẽ hình
chữ nhật cỡ 4x3 ô vuông như hình vẽ ( hình 2a). Yêu cầu
HHS hãy tìm tất cả các hành trình ngắn nhất có thể đi từ
điểm A đến điểm C.
GV ví dụ một hành trình thỏa mãn yêu cầu.

D

Y

C

1

7

1

5

1

Hình 2a

A

1

2

3

4

1

1

1

6

B


|4

Màn 2: Cho HS phát biểu quá trình đếm hành trình theo yêu
cầu ở màn 1 vào một tờ giấy trên đó có ghi các câu hỏi mang tính
chỉ dẫn:
+ Nhận xét xem mỗi đường đi từ A đến C cần ít nhất bao
nhiêu cạnh ngang bao nhiêu cạnh dọc?
+ Đưa ra kết luận để có đường đi ngắn nhất từ A đến C?
+ Hãy xét những điểm có thể đạt tới sau khi đi qua một cạnh
của o vuông, 2 cạnh ô vuông,… và đến những điểm xa hơn.
+ Kiểm tra và đếm tất cả các hành trình ngắn nhất đi từ điểm
A đến mỗi điểm đó? Đánh số bước của các hành trình đếm được
lên mỗi điểm tương ứng? ( ví dụ hình 2b

D

1

Y

C

4
X

Hình 2b

1

3

6

1

2

3

4

5
B'

A

1

1

1

B
1


|5

Màn 3:
+ HS thảo luận về các kết quả thu được từ màn 2, sau đó cho
đại điện phát biểu.
+ GV ghi lại các khám phá đó.
+ Yêu cầu HS phát biểu cho trường hợp tổng quát : Hình chữ
nhật ABCD mxn ô vuông.
Trong màn này GV có thể tác động : Tìm số đường ngắn nhất
từ A(0,0) đến C(m,n) bằng 2 cách đó là chọn m đoạn ngang hoặc
n đoạn dọc.
Màn 4:
Phát cho HS tờ giấy có vẽ sẵn hình 2b đề nghị trả lời các câu
hỏi có sẵn:
+ Phát hiện quan hệ khác thường bất kỳ số nào khác đơn vị
trên hình 2b
+ Tại sao có quy luật trên và giải thích nguyên nhân ?
+ Đưa ra quy luật tổng quát cho trường hợp đặc biệt là hình
chữ nhật ABCD cỡ mxn?
Màn 5:

+ Đưa kí hiệu vào các con số trong hình 2b.Cụ thể là vào tam
giác AB’D.


|6

GV có thể gợi ý: số cạnh ô vuông trên một tam giác cân là n.
số cạnh ô vuông hường từ trái sang phải trong một hành trình từ
A đến điểm đặc trưng bởi hai chữ số n và k tương ứng.
Màn 6:
GV thực hiện thể chế hóa các kiến thức thu được từ tình
huống:
+ Sau màn 3 HS sẽ kết luận được: Số đường đi ngắn nhất từ
A(0,0) đến M(m,n) bằng số đường đi ngắn nhất từ điểm A(0,0)
đến điểm M’(n,m).

D
1

Y

C

4
M

X

1

3

6

1

2

3 M’

4

5
B'

A

1

1

1

B
1

Ví dụ: Hành trình từ A đến M và từ A đến M’ đều là 3.
m
n
Hay là ta đã chứng minh được C m  n  C n  m hay C nk  C nn  k (0k

n).


|7
k
k 1
k
+ Sau màn 4 HS sẽ KL được C m  C n 1  C n 1 . Đay là quy tắc

pascal và GV đưa ra mô hình pascal.
1
1
1
1
1
1
1
1

7

2

4

6

3

10

n=2
1

4
10

20
35

n=1
1

6

15
21

1

3

5

n=0

n=3
1

5
15

35

n=4
1

6
21

n=5
1

7

n=6
1

n=7

H×nh 2c

+ HS dễ dàng xây dựng được tam giác pascal theo tính chất
tổ hợp vừa kết luận được với n bất kỳ.
Ví dụ về tam giác Pascal với n = 7

C00
C10 C11
C20 + C21 C22

C30 C31 C32 C33
C40 C41 C42 C43 C44
C50 C51 C52 C53 C54 C55
C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66
C70 C71 C72 C73 C74 C75 C76 C77


|8

LÝ THUYẾT DẠY HỌC TÍCH HỢP
DẠY HỌC TÍCH HỢP
“KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ”
Tích hợp Toán học 11 với Vật Lý 10 và Địa Lý
1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
1.1 Định nghĩa
Hoạt động 1
Một vật thể rơi từ giá đỡ được quãng đường cho bởi hàm
số s  490 t 2 . Quãng đường s (cm) đi được của vật thể là một hàm
số của thời gian t (giây). Biết thời điểm ban đầu

t0  0

Hãy tính vận tốc tức thời của vận thể ở tại thời điểm

t1  10s

Nêu nhận xét về những kết quả thu được khi thời điểm t càng
gần t1 .
a) Bài toán tìm vận tốc tức thời tại một thời điểm
Vận tốc tức thời của một vật chuyển động tại một thời điểm

chính là vận tốc trung bình
khoảng thời gian

t

v

s
t

khi quãng đường

s

rất nhỏ và

rất ngắn.

Về mặt trực giác, học sinh có thể nhận xét được khi t càng
gần

t1

thì vận tốc của vật thể càng gần với vận tốc tại thời điểm t1 .

Từ đó, dẫn đến xuất hiện đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh


|9

chậm của chuyển động tại thời điểm
chuyển động tại thời điểm

t1

đó là vận tốc tức thời của

t1

s  t   s  t1 
s s  t   s  t1 
 v  t1 

 v  t1  khi t  t1  lim
t t1
t  t1
t
t  t1

Từ đó suy ra :
490(t  t )2  490(t )2
 lim 490(2t  (t )2 )  490.2t  890t
t 0
t 0
t

v  lim

 v  t1   890t1  8900  cm / s 

Vậy vận tốc tức thời tại thời điểm t =10s là 8900 (cm/s)

b) Định nghĩa vận tốc tức thời:
Giới hạn hữu hạn ( nếu có)

lim
t t0

s  t   s  t0 
t  t0

được gọi là vận tốc

tức thời tại thời điểm t0 .
Như vậy ta có thể tính vận tốc tức thời tại mọi thời điểm t0.
c) Định nghĩa đạo hàm:
Nhiều bài toán trong Vật lý, Hóa học… dẫn đến bài toán tìm
f  x   f  x0 
giới hạn xlim
trong đó y  f ( x) là hàm số đã cho.
x
0

x  x0

Cho hàm số

y  f ( x)

xác định trên khoảng (a;b) và

Giới hạn hữu hạn (nếu có)
hàm của hàm số
Kí hiệu:

y  f ( x)

f '  x0 

lim

x  x0

tại điểm

f  x   f  x0 
x  x0

x0

x0   a; b 

được gọi là đạo


| 10

2. Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa
Có 2 bước :
Bước 1: Tính

y  f ( x0  x)  f  x0  ,

Bước 2: Tìm giới hạn
Hoạt động 2

trong đó

x

là số gia của x0

y
x  x0 x
lim

“Ý nghĩa của

y
x

là gì?”

Trích dẫn từ bản dịch “Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được
gì?” by Murray Bourne của Trong Hoang Vo (Chuyên san EXP).
Một cách đơn giản nó có nghĩa là “sự thay đổi của 𝑦 so với
sự thay đổi của x ở giá trị chính xác của x”. Khái niệm trên được
dùng khi đại lượng 𝑦 phụ thuộc vào một hằng số thay đổi x.
Để dễ hiểu hơn, ta hãy lấy nhiệt độ môi trường làm ví dụ.
Giả sử bạn đang ở Melbourne, Úc (nơi có nhiệt độ chênh

lệch khắc nghiệt), và ta muốn biết bây giờ nhiệt độ gia tăng
nhanh đến mức nào.
- Ở mùa đông, về đêm, nhiệt độ thông thường là 2°𝐶, ở mùa
hè (6 tháng sau) về đêm, nhiệt độ có thể lên đến 26°𝐶. Tốc độ
thay đổi trung bình là:
26  2 =4
6

°𝐶 / tháng

- Đây là giá trị trung bình xa, không phải

y
x


| 11

- Nhưng bây giờ hãy nghĩ về một ngày trong hè. Lúc 6: 00
sáng nhiệt độ có thể là 13°𝐶, và 1: 00 chiều lên đến 27°𝐶, giá trị
thay đổi trung bình là:
27  13
 20 C / h
7

- Ta vẫn không có

y
x

- Bây giờ hãy giả sử lúc 9: 00 sáng là 20°𝐶 và lúc 10: 00 sáng
là 22.4°𝐶 nên giá trị thay đổi trung bình là:
22,4  20
60

= 0.04 °𝐶 /phút (tương đương 2.4 °𝐶 ℎ ⁄ )

- Ta có thể tiến đến những khoảng thời gian nhỏ hơn (như 𝑠;
𝑚𝑠; 𝑛𝑠 và hơn nữa) để dự đoán sự thay đổi nhiệt độ lúc 10: 00
sáng.
Sự dự đoán này được biểu diễn bởi khái niệm
Bây giờ ta có thể tìm giá trị dự đoán của

y
x

y
x

bằng các quy

trình toán học dựa trên hàm số mà không cần phải thay số trong
mọi vị trí.


| 12

Tích hợp giữa hai phân môn Hình học và Giải tích,
giữa Toán 10 và Toán 11, có liên hệ thực tế
3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2.1 Tiếp tuyến đường tròn
Hoạt động 1
+ Nhắc lại kiến thức:GV yêu cầu HS nhắc lại cách viết
phương trình tiếp tuyến của đường tròn

2.2 Tiếp tuyến của đường cong bất kỳ
+ Câu hỏi: Đối với đường cong bất kỳ như parabol thì
phương trình tiếp tuyến của xác định như thế nào ?

Hoạt động + Quan sát hình ảnh đường cong của một khúc
cua ( vệt màu vàng ) và dự đoán hướng đi của xe nếu như xe mất
lái hoặc đường trơn trượt ?


| 13

Nhận xét :
Viết phương trình tiếp tuyến của một đường tròn đã được học
sinh tiếp xúc ngay từ cuối năm lớp 10, tuy nhiên cách viết này
vẫn còn rất hạn chế đối với một đường cong bất kì cụ thể như
parabol.
Chúng ta sẽ gặp khó khăn ngay ở việc xác định tâm của
parabol nên tiếp tuyến rất khó tìm và cũng không thể định nghĩa
tiếp tuyến là đường thẳng giao với đường cong tại một điểm (chỉ
đúng trong một số trường hợp đặc biệt).
Vì vậy, với ý nghĩa hình học của đạo hàm sẽ góp phần đơn
giản hóa việc phương trình tiếp tuyến của một đường cong bất kì.
Qua đó ta thấy được mối liên hệ giữa giải tích và hình học được
thiết lập.

| 14

LÝ THUYẾT HÀNH VI
DẠY HỌC “PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG OXY”

1. Cơ sở lí thuyết


Cơ chế của quá trình học tập: Học tập là quá trình thay

đổi hành vi


Mô hình học tập theo thuyết hành vi:

Thông tin đầu vào → HS → GV kiểm tra kết quả đầu ra


Đặc điểm chung của cơ chế học tập theo thuyết hành

o

Dạy học được định hướng theo các hành vi đặc trưng có

vi:

thể quan sát được.
o

Các quá trình học tập phức tạp được chia thành một

chuỗi các bước học tập đơn giản, trong đó bao gồm các hành vi
cụ thể với trình tự được quy định sẵn. Những hành vi phức tạp
được xây dựng thông qua sự kết hợp các bước học tập đơn giản
o

GV hỗ trợ và khuyến khích hành vi đúng đắn của người

học, tức là sắp xếp việc học tập sao cho người học đạt được
những hành vi mong muốn và sẽ được phản hồi trực tiếp (khen
thưởng và công nhận).


| 15

o

GV thường xuyên điều chỉnh và giám sát quá trình học

tập để kiểm soát tiến bộ học tập và điều chỉnh kịp thời những sai
lầm.


Thuyết hành vi được ứng dụng đặc biệt trong dạy học

chương trình hóa, dạy học bằng máy vi tính, trong dạy học thông
báo tri thức và huấn luyện thao tác. Trong đó nguyên tắc quan
trọng là phân chia nội dung học tập thành những đơn vị kiến thức

nhỏ, tổ chức cho học lĩnh hội tri thức, kĩ năng theo một trình tự
và thường xuyên kiểm tra kết quả đầu ra để điều chỉnh quá trình
học tập.
 Chương trình gồm các yếu tố cơ bản được ký hiệu
như sau:
 Thông báo về kiến thức cho HS
 Câu hỏi hoặc bài tập kiểm tra
 Câu trả lời hoặc quyết định của HS
 Đáp án hoặc kết quả xử lý câu trả lời của HS
Thường thì các yếu tố , , ,  liên tiếp được coi là tạo
thành một liều, tuy nhiên mỗi liều không nhất thiết phải có đủ
bốn yếu tố trên. Thông thường trong các tài liệu in ấn chương
trình hóa, mỗi liều được viết thành một phiếu.
Chương trình là một dãy những liều sao cho người học sau
mỗi liều đều xác định được liều tiếp theo một cách duy nhất.


| 16

 Các loại chương trình
Có hai loại chương trình phổ biến gồm:
Chương trình đường thẳng (linear programming)
Chường tình phân nhánh (branching programming).


| 17

2.Vận dụng dạy học chương trình hóa phân nhánh
Dạy học “Phương trình tham số của đường thẳng bằng
phương pháp tọa độ trong Oxy”

Phiếu 1


Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng

M 0  x0 , y0 



đi qua

M ( x, y) là điểm bất kỳ nằm trong mặt phẳng Oxy.



Tìm tọa độ vectơ MM 0



MM 0  ( x  x0 , y  y0 )



Nếu đúng, xem tiếp phiếu 2
Nếu không đúng, sử dụng phiếu bổ trợ 1.1

Phiếu 1.1


 Liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ vectơ trong mặt

phẳng
A( x A ; y A ); B( xB ; yB )  AB  ( xB  x A , yB  y A )



Xem lại phiếu 1


| 18

Phiếu 2



Cho

u0

 Nếu
vtcp u

là một vectơ chỉ phương của

M 



thì có nhận xét gì về phương của

MM 0 và

 Viết biểu thức liên hệ giữa 2 vectơ.


 MM 0 cùng phương với vtcp

u

 MM 0  t. u


Nếu đúng , xem tiếp phiếu 3
Nếu không đúng, xem tiếp phiếu 2.1

Phiếu 2.1


 u là vtcp của
M 

nên

u



nên u song song với

song song với

MM 0 .

Suy ra cùng phương.

 MM 0  k. u  k  0  MM 0  t. u t  0


Xem lại phiếu 2

Phiếu 3


Cho u   u1, u2  .



Tìm tọa độ của vectơ t. u  t  0



tu   tu1, tu2 



Nếu đúng , xem tiếp phiếu 4



Nếu không đúng, xem tiếp phiếu 3.1

| 19

Phiếu 3.1


Tọa độ các vectơ u  v; u  v; ku , trong đó:
ku   ku1, ku2  (k  )



Xem lại phiếu 3
Phiếu 4
MM 0  ( x  x0 , y  y0 ) , tu   tu1, tu2  và MM 0  t. u  t  0



Ta có



Viết biểu thức tọa độ của hai vectơ bằng nhau MM 0 & tu







x  x0  tu1

x  x0  tu1

;t 
y  y0  tu2
y  y0  tu2

o

(*)

Như vậy mọi điểm M ( x, y)  M  x0  tu1, y0  tu2 

Khi đó đường thẳng  đi qua M 0  x0 , y0  có vtcp
u   u1, u2  có phương trình tham số t là
o



x  x0  tu1
;t 
y  y0  tu2

o
Cho t một giá trị cụ thể thì t sẽ tìm được tọa độ
điểm trên đường thẳng 


Nếu đúng , xem tiếp phiếu 5
Nếu không đúng, xem tiếp phiếu 4.1
Phiếu 4.1



Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ
bằng nhau và tung độ bằng nhau.



x  x'
Nếu u  ( x; y ); u '  ( x '; y ') thì u  u '  y  y '



Xem lại phiếu 4


| 20

Phiếu 5


Từ giả thiết ở Hoạt động 1(SGK):
1
 : y  x  M (2;1),M '(6,3)
2
u  (2,1) cùng

Khi đó



phương với

MM 0

có phương trình tham số là:

xy  12t2t ;t 

(**)



Kiểm tra tính đúng đắn của ptts (**)



Nếu đúng, xem tiếp phiếu 6
Nếu không đúng, xem tiếp phiếu 5.1

Phiếu 5.1


Kiểm tra lại: Cho t giá trị bất kỳ, ta luôn được một điểm
thuộc đường thẳng 
t  2  M (6,3)
1
x
2
1

t  3  A(8,4)  y  x
2

t  1  O(0,0)  y 



Xem lại phiếu 5


| 21

Phiếu 6


Phương trình tham số của đường thẳng
M 0  x0 , y0  có vtcp u   u1, u2  là



đi qua



x  x0  tu1
;t 
y  y0  tu2

Muốn viết được ptts của đường thẳng cần biết một điểm
đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.



Kết thúc.
Phiếu 1

Sơ đồ tóm tắt

Phiếu 1.1

, , , 

+

, 

Phiếu 2

Phiếu 2.1

, , , 

+

, 
Phiếu 3

Phiếu 3.1

, , , 

+

, 
Phiếu 4

Phiếu 4.1

+

, 

Phiếu 5

Phiếu 5.1

, , , 

, , , 

+

, 
Phiếu 6
, , , 


| 22

LÝ THUYẾT DẠY HỌC KIẾN TẠO
DẠY HỌC “KHÁI NIỆM TIẾP TUYẾN LIÊN QUAN ĐẾN

ĐỒ THỊ HÀM SỐ”
1. Cơ sở lí thuyết
 Cơ chế của quá trình học tập: Học tập là sự kiến tạo tri
thức. Trong mô hình học tập theo thuyết kiến tạo thì học sinh tự
tìm hiểu kiến thức chứ không tham gia các chương trình dạy học
được lập trình sẵn.
 Những đặc điểm cơ bản của học tập theo thuyết kiến tạo:
o

Tri thức được lĩnh hội trong học tập là một quá trình và

sản phẩm kiến tạo theo từng cá nhân thông qua tương tác giữa
người học và nội dung học tập.
o

Dạy học phải định hướng theo các lĩnh vực và vấn đề

phức hợp gần với cuộc sống và nghề nghiệp, được khảo sát một
cách tổng thể.
o

Việc học tập chỉ có thể thực hiện trong hoạt động tích

cực của người học, vì chỉ từ những kinh nghiệm và kiến thức
mới của bản thân thì mới có thể thay đổi và cá nhân hóa những
kiến thức kĩ năng đã có.
o

Học tập trong nhóm có ý nghĩa quan trọng, thong qua

tương tác xã hội trong nhóm góp phần cho người học tự điều
chỉnh sự học tập của bản thân.
o

Học qua sai lầm là điều có ý nghĩa


| 23

o

Nội dung học tập cần định hướng vào hứng thú người

học vì có thể học hỏi dễ nhất từ những nội dung mà người ta
thấy hứng thú hoặc có tính thách thức
o

Thuyết kiến tạo không chỉ giới hạn ở những khía cạnh

nhận thức của việc dạy và học. Sự học tập hợp tác đòi hỏi và
khuyến khích phát triển không chỉ có lý chí mà cả mặt tình cảm,
thái độ, giao tiếp.
o

Mục đích học tập là kiến tạo kiến thức của bản thân,

nên khi đánh giá các kết quả học tập không định hướng theo các
sản phẩm học tập, mà cần kiểm tra những tiến bộ trong quá trình
học tập và trong những tình huống học tập phức hợp.
2. Vận dụng lý thuyết kiến tạo để khám phá kiến thức

mới
GV giao nhiệm vụ: Quan sát hình ảnh đồ thị và nhận xét về
vị trí tương đối của đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị tại
điểm cực trị và đồ thị hàm số trên cơ sở đó khám phá những kiến
thức mới.
Trợ giúp của GV (nếu cần)
 Nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng d và đồ thị,
đường thẳng d và trục hoành?
 Hệ số góc của đường thẳng d ?


| 24

 Thực hiện chuyển những kết quả quan sát được từ “ ngôn
ngữ đồ thị” sang “ ngôn ngữ hàm số ”.

Hình 2.20. Minh họa đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị hàm
số
Kết quả 1. Nếu hàm số đạt cực trị và có đạo hàm tại
f '(a)  0

xa

thì

hay tiếp tuyến tại điểm cực trị của đồ thị hàm số sẽ có

phương trình y  f (a)
Trường hợp trục hoành tiếp xúc đồ thị ta có kết quả
Kết quả 2. Điều kiện để trục hoành tiếp xúc với đồ thị tại



f ( x)  0

điểm có hoành độ x  a là f '( x)  0 (*) có nghiệm

xa

 f (a)  0

Điều kiện có hoành độ a thỏa mãn f '(a )  0 cũng có nghĩa hệ
pt (*) có nghiệm, kiểm tra điều ngược lại cũng đúng.
Từ đây, ta có kết quả
Kết quả 3. Đồ thị hàm số

 f ( x)  0

y  f ( x)

khi và chỉ khi f '( x)  0 có nghiệm.

tiếp xúc với trục hoành


| 25

Bằng cách xét h( x)  f ( x)  g ( x) và chú ý h '( x)  f '( x)  g '( x)
chúng ta có kết quả mới:
Kết quả 4: Hai đồ thị y  f ( x), y  g ( x) tiếp xúc nhau khi và

 f ( x)  g ( x)

chỉ khi hệ f '( x)  g '( x) có nghiệm.
GV dịch chuyển đường thẳng d sao cho không vuông góc với
trục tung và yêu cầu HS tiếp tục quan sát
Xét đồ thị hàm số y  f ( x) lồi trên (c;b) ta thấy “tiếp tuyến tại
điểm có hoành độ a  (c; b) luôn nằm phía trên đồ thị” có nghĩa là
xét cùng hoành độ thì “tung độ của điểm trên tiếp tuyến luôn
lớn hơn hoặc bằng tung độ của điểm trên đồ thị”, mà tung độ
của điểm trên đồ thị chính là f ( x) tung độ của điểm trên tiếp
tuyến có hoành độ x là
f '(a)( x  a)  f (a)

hay ta có bất đẳng thức f '( x)  f '(a)( x  a)  f (a)
Dấu đẳng thức xảy ra khi x  a

Hình 2.21. Minh họa vị trí tương đối của đồthị hàm số và đường thẳng d