2 đường thẳng song song, cắt nhau

Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

0989552911

Đường Thẳng Song Song và Đường Thẳng Cắt Nhau
1. Xét hai đường thẳng:
 Ta có:
ắ
 Chú ý:
 Hai đường thẳng d  d’

a.a’ = 1.

 Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau trên trục tung:
 Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau trên trục hoành:
2. Đường thẳng y = ax + b

có hệ số a chính là hệ số góc của đường

thẳng.
3. Chú ý:
 Ox có phương trình là y = a, Oy có phương trình là: x = b
 Tạo độ điểm A

thì độ dài đoạn AB =

,B

 Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: A
M là: M

.

 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: A
trọng tâm G là:

thì tọa độ trung điểm

,B

,B

, C(x3; y3) thì tọa độ

G

Bài 1: Cho hai hàm số bậc nhất: y = 3x + 3m và y = (m + 2)x + 4. Tìm m để
a) Hai đường thẳng cắt nhau.
b) Hai đường thẳng song song với nhau.
c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau.
Hướng dẫn
y = (m + 2)x + 4 (d2) là hàm bậc nhất khi m + 2 ≠ 0

m ≠ 2.

 Để d1 cắt d2
 Để d1 // d2
 Để d1  d2

m = 1 (TM điều kiện)
a.a’ = 1

3(m + 2) = 1

m =
1


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

0989552911

Bài 2: Cho hai đường thẳng (d): y = 4x + 5 – m và (d’): y = 3x + 4. Xác định m để:
a) Giao điểm của hai đường thẳng nằm bên trái trục tung.
b) Giao điểm của hai đường thẳng nằm bên phải trung tung.
Hướng dẫn
a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d’): x = m – 1 < 0

m<1

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d’): x = m – 1 > 0

m >1

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (-1; 2) và
song song với đường thẳng y = 3x + 1. Tìm hệ số a và b.
Hướng dẫn
Đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x + 1
Vì đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (1;2) thì tọa độ điểm M là nghiệm của
phương trình:

2 = 3.(1) + b  b= 5 (t/m vì

)

Vậy: a = 3, b = 5 là các giá trị cần tìm.
Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với giá trị nào của a, thì đường thẳng
(d): y = 2ax + 2 và đường thẳng (d’): y = (3  a)x + 7 song song với nhau.
Hướng dẫn
Hai đường thẳng (d) và (d’) song song khi và chỉ khi:
Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm m để đường thẳng (d): y  (m2  1)x  1 song song
với đường thẳng (d) : y  3x  m  1 .
Hướng dẫn
Đường thẳng d và d song song với nhau khi và chỉ khi:
m = 2
Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình:
y = (m – 1)x + n.
a) Với giá trị nào của m thì d song song với trục Ox.
b) Xác định phương trình của d, biết d đi qua điểm A(1; 1) và có hệ số góc bằng 3.
Hướng dẫn
 d song song với trục Ox khi và chỉ khi :
2


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

0989552911

 Đường thẳng (d) qua A nên tọa độ điểm A(1; 1) là nghiêm của pt, mặt khác ta có
hệ số góc của d bằng 3. Vậy ta có:
Vậy đường thẳng d có phương trình: y = 3x + 2

Bài 7: Cho hai đường thẳng (d): y =  x + m + 2 và (d’): y = (m2  2) x + 1
a) Khi m = 2, hãy tìm toạ độ giao điểm của chúng.
b) Tìm m để (d) song song với (d’).
c) Tìm m để (d) vuông góc với (d’).
Hướng dẫn
a) Khi m =  2 thì đường thẳng(d) ,(d’) có dạng : (d) y = x  2 + 2 = x
và (d’) y = (4  2)x + 1 = 2x + 1
Ta có toạ độ giao điểm của 2 đường thẳng trên là nghiệm của hệ
x = 2x + 1

x =  . Từ đó tính được: y = .
1 1
3 3

Vậy tọa độ giao điểm là A(  ; ) .
b) Hai đường thẳng (d)//( d )khi và chỉ khi :
m = 1
Vậy m = 1 thì hai đường thẳng đã cho song song với nhau..
Bài 8:
a) Tìm m để đường thẳng y = 2x – 1 và đường thẳng y = 3x + m cắt nhau tại một
điểm nằm trên trục hoành.
b) Cho hai hàm số bậc nhất y = x – m và y = 2x + m – 1. Với giá trị nào của m thì đồ
thị của các hàm số trên cắt nhau tại một điểm thuộc trục hoành
Hướng dẫn
1
2

 Giao điểm của đường thẳng y = 2x – 1 với trục hoành tại điểm A( ;0).
 Đường thẳng y = 2x – 1 và y = 3x + m cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành

1
2

tọa độ điểm A( ;0) là nghiệm của phương trình y = 3x + m.
Bài 9: Tìm m để đường thẳng y = 3x + 5 và đường thẳng y = 2x  2m + 1 cắt nhau tại
một điểm nằm trên trục tung.
Hướng dẫn
3


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

 (d1): y = 3x + 5

(d2): y = 2x  2m + 1

0989552911

 Giao điểm của (d1) với trục tung tại điểm A(0, 5).
 Để (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung
A(0, 5) là nghiệm của phương trình (d2)

tọa độ điểm

5 = 2.0 – 2m + 1

m = 2.

 Vậy phương trình đường thẳng (d2) có dạng: y = 2x + 5.
Bài 10: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: 3x + 4y = 2.

a) Tìm hệ số góc của đường thẳng d.
b) Với giá trị nào của tham số m thì đường thẳng d1: y = (m2  1)x + m song song với
đường thẳng d.
Hướng dẫn
3
4

a) 3x + 4y = 2  y   x 

1
3
, nên hệ số góc của đường thẳng d là k =  .
2
4

b) d // d1
Vậy với m  

m =
1
thì d1 // d.
2

Bài 11: Cho hàm số: y =

+ 3. Gọi A và B là giao điểm của đồ thị hàm số với các

trục toạ độ. Tính diện tích tam giác OAB (với O là gốc toạ độ).
Bài 12: Cho hàm số bậc nhất y = ax – 2. Hãy xác định hệ số a biết rằng a > 0 và đồ thị
hàm số cắt trục hoành Ox và trục tung Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho OB = 2OA

với O là gốc tọa độ.
Hướng dẫn:
Đồ thì hàm số cắt trục hoành tại điểm A( ;0) và cắt trục tung tại điểm B(0;2).
Ta có: OB = 2 và OA =

=

Mặt khác ta lại có: OB = 2OA
Bài 13: Cho đường thẳng d: y =
: y = 

2 = 2

a = 2 TM yêu cầu của bài toán.

x + 3 với m ≠ 2 và đường thẳng

x + 1 với m ≠ 0.

a) Tìm m để d //

.

b) Tìm m để d cắt Ox tại A, cắt Oy tại B sao cho
Hướng dẫn

4


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

0989552911

 Để d //

=1
 d cắt Ox tại điểm A(

;0)

cắt Oy tại điểm B(0,3)

OA =

OB = 3

mặt khác
tan

= tan

=
m = 2
Bài 14: Cho hàm số y = (3 – 2m)x – 6. Tim m để hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành
một tam giác có diện tích bằng 3 .
Hướng dẫn
 Đường thẳng (d): y = (3 – 2m)x  6 là hàm số bậc nhất khi m ≠ 4.
 Gọi A là giao điểm của đường thẳng d với Oy

A(0; 6)

Gọi B là giao điểm của đường thẳng d với Ox
Ta có:

= OA.OB = 3

B(
= 6

OA = 6

;0)

OB =

|3 – 2m| = 3

đường thẳng d có dạng: y = 3x  6

Vậy với: m = 0

đường thẳng d có dạng: y = 3x  6

m=3

Bài 15: Cho đường thẳng (d): y = mx + m  1 với m là tham số.
a) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của
m.
b) Tính giá trị của m để đường thẳng d tạo với các trụ tọa độ một tam giác có diện
tích bằng 2.

Hướng dẫn
 Điều kiện để đường thẳng (d) đi qua điểm cố định N
=m

với mọi m là:

+ m – 1 = 0 với mọi m


= 0 với mọi m

Vậy đường thẳng d đi qua điểm cố định N(1;1).
5


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

 Đường thẳng (d): y = mx + m  1 là hàm số bậc nhất khi m ≠ 0.
Gọi A là giao điểm của đường thẳng d với Oy

A(0;m  1)

Gọi B là giao điểm của đường thẳng d với Ox

B(

Ta có:

OA =



OB =

= OA.OB = 2
đường thẳng d có dạng: y = (3 ±

Vậy với: m = 3 ±
m = 1

;0)

0989552911

)x + 2 ±

đường thẳng d có dạng: y = x  2
x  2 với m ≠

Bài 16: Cho đường thẳng d có phương trình y =

. Đường

thẳng d cắt Ox tại A, cắt Oy tại B. Tìm m sao cho
a) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d bằng
b) Diện tích tam giác AOB =
Hướng dẫn
 Đường thẳng
cắt Ox tại A(
OA =

x  2

y=

;0) và cắt Oy tại điểm
, OB = 2,

AB =
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
OH.AB = OA.OB
4 =



=4

Bài 17: Cho ba hàm số:

y = x + 2
y =

x

y =
Cho biết

cắt

tại A,

cắt

tại B,

2
+ 2
cắt

tại C. Tìm tọa độ của các điểm A, B, C.

tính điện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn

6


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

0989552911

 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

Vậy tọa độ điểm A(2;0)
 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

Vậy tọa độ điểm B(0;2)
 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình

Vậy tọa độ điểm C(4;6)

 Đồ thị hàm số

y = x + 2 cắt Oy tại điểm M(0,2) và cắt Ox tại điểm

A(2,0).
 Gọi H là hình chiếu của điểm C trên Oy thì H(0,6).
Ta có: BM = 4, CH = 4

=
Bài 18: Cho ba đường thẳng:

= 12 đvdt

+

y = x + 2,
y = 2x + 1
y =

+ m

a) Tìm giá trị của m để
b) Tìm các giá trị của m để ba đường thẳng trên cắt nhau tại một điểm.
Hướng dẫn
a) Tìm giá trị của m để
m = 1
Vậy với m = 1 thì
b) Xét hệ phương trình
 Suy ra
cắt

tại điểm A(1;3). Như vậy
đường thẳng cắt tại một điểm A.

cũng phải đi qua điểm A(1;3) thì ba
7


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

 Thay tọa độ điểm A vào phương trình

0989552911

.

m =
. Vậy với m =
thỏa mãn điều kiện ba đường thẳng cắt nhau tại một
điểm.
Bài 19: Cho đường thẳng d: y = mx + 2
a) Chứng minh khi m thay đổi, đường thẳng d luôn đi qua điểm A(0;2)
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d lớn nhất
c) Khi m ≠ 0, tìm m sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng bằng 1.
Hướng dẫn:
 Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường
thẳng d,
ta có 2 = m.0 + 2 luôn đúng.
Vậy đường thẳng d luôn đi qua điểm A(0;2)
 Hạ OH

d tại điểm H, ta có OH ≤ OA,

dấu “=” xảy ra khi H A
đường thẳng d

Oy

m = 0.

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.
 Khi m ≠ 0, đường thẳng d cắt Oy tại A, cắt Ox tại B
 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

tọa độ

Theo ý a ta có OA = 2. Cho y = 0 thì mx + 2 = 0
điểm B

OB =

thay vào
= 3

 Vậy với m

ta có:

m

là giá trị cần tìm.

 Có thể dùng: OH.AB = OA.OB
Bài 20: Cho các điểm A(1;4) và B(3;1). Xác định đường thẳng (d): y = ax sao cho A và B
nằm về hai phía của đường thẳng và cách đều đường thẳng đó.
8


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

0989552911

Hướng dẫn
Gọi AH và BI là khoảng cách từ A và B đến
đường thẳng (d).
Đường thẳng đi qua A và song song với Ox
cắt d tại điểm
M(

)

AM =

Đường thẳng đi qua B và song song với Ox
Cắt d tại điểm N(

)

BN =
Ta có: AH = BI

AM = BN

=

a=

Vậy đường thẳng d phải tìm là y =
Bài 21: Cho hai hàm số y = (3m + 2)x + 5 với m ≠ 1 và y = x  1 có đồ thị cắt nhau tại
điểm A(x; y). Tìm các giá trị của m để biểu thức P = y2 + 2x – 3 đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn
Tạo độ giao điểm A(x; y) là nghiệm của hệ phương trình:

 

vơi m ≠ 1
Theo giải thiết: P = y2 + 2x – 3 =
 2.

=

 3

+ 2.
 3

=

 2.

+ 1  2.

=

 4.

+ 4  6
 6 ≥ 6

=
Dấu “=” xảy ra

2 =0

 3

m ≠ 1
= 1

m = 0

Vậy Min P = 6 khi m = 0
9