HÌNH học hai mat song song

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11

TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN TP.HCM

PHẦN 4 – HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1.

Định nghĩa:

2.

Tính chất:

① Nếu mặt phẳng

chứa hai đường thẳng

cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng
thì

song song với

② Nếu đường thẳng
duy nhất một mp

.

song song với
chứa

thì có

và song song với

.
③ Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với
mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
④ Cho điểm
đi qua
một mp

. khi đó mọi đường thẳng

và song song với
đi qua

đều nằm trong

và song song với

.

⑤ Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt
phẳng song song thì cũng cắt mặt phẳng kia và
các giao tuyến của chúng song song với nhau.
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP:
VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẮNG SONG SONG
PHƯƠNG PHÁP 1:

PHƯƠNG PHÁP 2:

Áp dụng 1: Cho tứ diện

gọi

Áp dụng 2: Cho hình chóp

là trung điểm của
gọi

Chứng minh:

là trọng tâm

sao cho

Chứng

minh:
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Bài 1: Cho hình chóp

gọi

Bài 2: Cho hình chóp

.

Bài 3: Cho hình chóp

② Gọi

lần lượt là trung điểm của

là trung điểm của

có đáy là hình bình hành tâm . Gọi

① Chứng minh

. Chứng minh

là trung điểm của

và

, là một điểm trên

cân tại

và cách đều

.
.

là các phân giác trong của
có đáy là hình thang

. Chứng minh
. Chứng minh

Gọi

lần lượt là trung

điểm của
① CM:
14

.

.

② Gọi là trung điểm của
Bài 4: Cho hình chóp

Chứng minh:

có đáy là hình bình hành tâm . Gọi

① Chứng minh

③ Giả sử

là trọng tâm

② Tìm
GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898

. CM:

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11

Bài 5: Cho hình chóp
sao cho

TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN TP.HCM

có đáy

gọi

là hình bình hành Gọi

là trung điểm

① Tìm giao tuyến

là trọng tâm

và điểm

.

và

② Đường thẳng qua

song song

cắt

Bài 6: Cho hai hình bình hành

tại . CM:

và

① CM:

nằm trong hai mặt phẳng khác nhau

② Gọi

Bài 7: Cho hai hình bình hành

là trung điểm

và

. CM:

không đồng phẳng.

① CM:
② Gọi

là trung điểm

③ Gọi

lần lượt là trung điểm của

Bài 8: Cho hai hình vuông
lần lượt lấy các điểm
cắt

tại

. CM:
và

và

. CM:
ở trong hai mặt phẳng khác nhau Trên các đường chéo

sao cho:

Các đường thẳng song song với

VẤN ĐỀ 2: GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
mà



Sử dụng định lí: Nếu



Để xác định thiết diện, ta tìm giao tuyến của
+ Tìm đường thẳng
nên

lần lượt

.

CM:

+ Vì

vẽ từ

và

với các mặt hình chóp, bằng cách:

mà
cắt những mặt chứa

Áp dụng 1: Cho hình chóp

theo các giao tuyến song song với

có đáy

là hình bình hành. Gọi

là mặt phẳng đi qua và

ÁP dụng 2: Cho tứ diện

. Gọi

là điểm đối xứng với

Tìm thiết diện cắt bởi

qua

và hình chóp.

lần lượt là trọng tâm các tam giác

① Chứng minh:

② Xác định thiết diện của tứ diện

với

.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Bài 1: Cho hình chóp

có đáy

diện của hình chóp cắt bởi

qua

Bài 2: Cho hình chóp

có đáy là hình bình hành. Trên các cạnh

sao cho

là hình thang

và song song với

. Xác định thiết
Thiết diện là hình gì?
ta lấy lần lượt các điểm

Chứng minh rằng:

Bài 3: Cho hình chóp

. Gọi

lần lượt là trung điểm của

① Xác định các thiết diện của hình chóp khi cắt các mặt phẳng lần lượt đi qua
② Gọi

là giao điểm của hai mặt phẳng trên với

Bài 4: Cho hình chóp
① Chứng minh:

và song song

Chứng minh:

có đáy là hình bình hành tâm

Gọi

là trung điểm

② Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi

Bài 5: Cho hình chóp

có đáy là hình bình hành tâm

Gọi

và
qua và

là trung điểm

① Chứng minh:
② Gọi

Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi

Bài 6: Cho hình chóp

Một mặt phẳng

, có đáy là hình bình hành tâm

di động luôn song song với mp

① Xác định thiết diện của hình chóp với
15

qua

GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898

.

và
với

và đi qua điểm trên đoạn

. Tam giác

đều.

.

② Tính diện tích thiết diện theo

và

.


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11

TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN TP.HCM

BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Cho hình chóp

có đáy là hình bình hành tâm . Gọi

① Tìm giao tuyến của

và

② Tìm giao điểm

③ Cho

Chứng minh:

Bài 2: Cho tứ diện
③ Chứng minh

lấy các điểm

và

với

bất kỳ.

② Tìm giao điểm

và của

và

với

thẳng hàng.

Bài 3: Cho hình chóp
giác

của

thẳng hàng

. Trên các cạnh

① Tìm giao tuyến của

là trung điểm của cạnh

có đáy là hình bình hành tâm

. Tìm giao điểm của

với

Bài 4: Cho hình chóp

là trung điểm của

với

với

có đáy là hình thang, đáy lớn

① Tìm giao điểm của

và

Bài 5: Hình chóp

đáy là hình thang đáy lớn

Gọi

là trung điểm

. Gọi

trên

② Tìm giao tuyến của

với

là giao điểm của hai giao tuyến trên. Chứng minh rằng:

Bài 6: Cho hình chóp

có

Gọi

① Tìm giao điểm

②

③ Chứng minh

và

② Tìm thiết diện của hình chóp và

① Xác định
③ Gọi

là trọng tâm tam

thẳng hàng.

là trung điểm của
Chứng minh

thẳng hàng

đồng qui.

Bài 7:Cho tứ diện

có

là trọng tâm

, lấy

① Tìm

② Cho

Chứng minh:

thẳng hàng

Bài 8: Cho hình chóp

. Gọi

lần lượt là trung điểm

là một điểm trên cạnh

① Tìm giao tuyến của

và

,

② Tìm giao điểm

③ Gọi

và

. Chứng minh:

.

thẳng hàng.

④ Tìm thiết diện tạo bởi hình chóp và
Bài 9: Cho hình chóp

gọi

là một điểm thuộc miền trong tam giác

① Giao tuyến của

② Giao điểm của

Bài 10: Cho hình chóp

, có đáy

① Xác định giao tuyến của:
② Một mặt phẳng
③ Gọi

cắt

là trọng tâm

. Lấy điểm

và
tại

và

tại

là điểm trên cạnh

Bài 11: Cho hình chóp

③ Thiết diện cắt bởi

là hình bình hành.

và

qua

và

. Xác định:

có đáy

. Chứng minh:

sao cho

Chứng minh

là hình bình hành. Gọi

là trọng tâm

và là trung điểm

sao cho

① Tìm giao tuyến của

và

② Cho

Chứng minh:

③ Chứng minh:
Bài 12: Cho hình chóp

của

và

16

là hình thang đáy lớn

và

là trọng tâm tam giác

① Chứng minh:
③ Giả sử

có đáy
② Cho

sao cho

là trung điểm

Chứng minh:

GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898

Chứng minh:

Gọi

là giao điểm


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11

Bài 13: Cho hình chóp
① Tìm giao điểm

có đáy là hình bình hành tâm

của

và

② Chứng minh
③ Gọi
mp

TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN TP.HCM

của

là trung điểm của

và

và

Gọi

là mặt phẳng chứa

Gọi

là trọng tâm
và song song với

. Chứng minh

Xác định thiết diện của hình chóp

cắt bởi

Xác định hình tính thiết diện thu được.

Bài 14: Cho hình chóp

có đáy

① Tìm giao tuyến của
② Gọi

là hình thang đáy lớn

và

và

lần lượt là trọng tâm các tam giác

③ mp

qua

và song song với

3.1 Tứ giác

và

Bài 15: Cho hình chóp
là trọng tâm tam giác

là hình gì? Chứng minh.
là hình bình hành. Gọi

lần lượt là trung điểm

và

.
và

và

② Chứng minh:

Chứng minh 4

là một điểm thuộc đoạn

Cho tam giác

tại

3.2 Chứng minh:

Tứ giác

③ Tìm giao điểm

mp

đi qua

cân tại , chứng minh:

Bài 16: Cho hình chóp
điểm

lần lượt cắt các cạnh

có đáy

① Tìm giao tuyến của
④ Gọi

Chứng minh

là hình gì? Chứng minh.

④ Gọi là giao điểm của

gấp đôi đáy bé

và song song

lần lượt cắt

tại

là hình thang cân.

co đáy là hình thang đáy lớn

và

Gọi

là trung

là trọng tâm

① Tìm giao tuyến của
②

qua

và

và

cắt

và
lần lượt tại

Chứng minh:

Tứ giác

là hình gì?

③ Chứng minh rằng:
④ Tìm giao điểm
Bài 17: Cho hình chóp
① Tìm giao tuyến của

Chứng minh:
có đáy là hình bình hành tâm
và

Gọi

là trung điểm của

và

và

② Chứng minh rằng:
③ Gọi

Chứng minh rằng:

.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
“làm bài tập để tương lai mua hàng không cần nhìn giá”
17

GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898