giáo án hình học- hai mặt phẳng vuông góc docx

Giáo sinh: Trịnh Thị Lệ
Tổ: Toán

A’
D C
A
B
D’
C’
B’

§4:
1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
a. Định nghĩa
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với
hai mặt phẳng đó.
P
Q
b
a

§4:
Khi hai mặt phẳng (P) và (Q)
song song hoặc trùng nhau
thì góc giữa chúng bằng bao
nhiêu?
Khi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì hai đường
thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó sẽ song song hay trùng nhau,
vì vậy góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 0°
b. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

R
Q
P
∆
q
p
a
b
•
Dựng (R)⊥∆
•
Giả sử: (R)∩(Q)= q
và (R)∩(P) = p
⇒ Khi đó: góc giữa (P) và
(Q) là góc giữa p và q
•
Hạ a⊥(P) và b⊥(Q)
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q), (R)∩(Q)= ∆

§4:
Kết luận:
Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng: Giả sử cho hai mặt phẳng (α) và
(β) cắt nhau theo giao tuyến c. Từ một điểm H bất kì trên c ta dựng trong
(α) đường thẳng a⊥c, và dựng trong (β) đường thẳng b⊥c. Khi đó góc
giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là góc giữa hai đường thẳng a và b
c. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Cho hình chóp SABC có SA ⊥ (ABC). φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC)
và (SBC). Cmr S
∆ABC
= S

∆SBC
.cosφ
Ví dụ 1
Lời giải:
B
S
CA
H
φ
Kẻ đường cao SH của ∆ABC.
Do SA ⊥ (ABC)
BC ⊂ (ABC)
⇒ SA⊥BC
Lại có: BC ⊥ SH (cách vẽ) và SA ∩ SH = S
⇒BC ⊥(SHA) ⇒ BC ⊥ AH ( vì AH ⊂ (SHA))
Từ đó suy ra: φ =
SHA
Mặt khác ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ AH
⇒
∆SHA vuông ở A
⇒
AH = SH.cosφ
S∆ABC = ½.AH.BC= ½.SH.BC.cosφ = S∆SBC.cosφ
c
α
β
H
a
b

§4:
Định lý 1:
Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (P) và S’ là diện
tích hình chiếu H’ của H trên mặt phẳng (P’) thì S’ = S.cosφ, trong
đó φ là góc giữa (P) và (P’).

§4:
2. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
a. Định nghĩa
Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°
Hoạt động 1: Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD
đôi một vuông góc. Hãy chỉ ra các đường
thẳng lần lượt vuông góc với các mặt phẳng
(ABC),(ACD), (ABD) và từ đó suy ra các mặt
phẳng ấy đôi một vuông góc?
Gợi ý:
Đường thẳng nào vuông góc với (ABC)?
Đường thẳng nào vuông góc với (ACD),
(ABD)?
Xét xem các cặp mặt phẳng đã cho có
vuông góc với nhau không?
A
B
C
D

§4:
b. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
Định lý 2:
Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng

khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
P
Q
a
H
b
Chứng minh:
(P)⊥(Q)
⇓
Góc ((P),(Q)) = 90°
⇓
Góc giữa a,b =90°
⇓
a⊥(Q), b⊂(Q)
⇓
a⊥b
⇑
⇑
⇑
⇑

§4:

Nếu cho (P) ⊥ (Q) thì (P)
có chứa đường thẳng
nào vuông góc với (Q)
không?

§4:
c. Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

Định lý 3:
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường
thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q)
đều vuông góc với mặt phẳng (Q).
Chứng minh: Gọi c = (P)∩(Q), H = a∩c . Trong (Q), kẻ b qua H và b⊥c
a⊥(Q)
⇑
⇑
⇑
⇑
a⊥b, a⊥c
a⊥b
Góc giữa (a,b) = góc
giữa ((P),(Q)) = 90°
(P)⊥(Q)
⇓
⇓
⇓
⇓
P
Q
a
b
c
→giả thiết
H

§4:
Hệ quả 1:
Nếu hai mặt phẳng(P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm

nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q)
sẽ nằm trong (P)
P
Q
a
Vì (P) ⊥ (Q) nên có đường thẳng a
1

trong (P) mà a
1
⊥ (Q).
Mặt khác: a ⊥ (Q)
⇒
a≡a
1
hoặc a//a
1
Lại có: A ∈ a, A⊂(P)
⇒ a⊂(P).
Chứng minh

§4:
Hệ quả 2:
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng
thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
• O
R
P
Q
Chứng minh:

Lấy A∈a.
Do (P)⊥(R) nên từ A
kẻ a
1
⊥(R) thì a
1
⊂(P).
Tương tự: a
1
⊂(Q).
⇒a≡a
1
,tức a⊥(R)
a

Nếu đường thẳng a⊥(P) thì qua a
có vô số mặt phẳng vuông góc
với (P).
Vậy khi a không vuông góc với
(P) thì có bao nhiêu mặt phẳng
qua a và vuông góc với (P)?
§4:
a
P

Hệ quả 3:
Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có duy nhất
một mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P).
§4:
a

A
P
Q
b

§4:
3. Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương
a. Hình lăng trụ đứng
Định nghĩa: Là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy
A’
E’
D’
C’
B’
E
D
C
A
B
- Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình
gì?
- Các mặt bên của hình lăng trụ đứng có
vuông góc với mặt đáy không?
⇒ Phân biệt hình lăng trụ đứng và
hình lăng trụ

§4:
3. Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương
b. Hình lăng trụ đều
Định nghĩa: Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

A’
E’
D’
C’
B’
E D
C
A
B
- Các mặt bên của hình lăng trụ đều có
bằng nhau không?
c. Hình hộp đứng
Định nghĩa: Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành
-
Hình hộp đứng có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật?
-
Hai mặt đáy là hình gì?

§4:
3. Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương
d. Hình hộp chữ nhật
Định nghĩa: Là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật
- Sáu mặt của hình hộp chữ nhật là hình
gì?
- Một hình hộp có 6 mặt là hinh chữ nhật
có phải là hình hộp chữ nhật không?

§4:
3. Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương
e. Hình lập phương

Định nghĩa: Là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau
- Hình hộp chữ nhật mà diện tích các mặt
đều bằng nhau có phải là hình lập phương
hay không?

§4:
Bài toán: Tính độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật khi biết độ dài
ba cạnh xuất phát từ một đỉnh là a, b, c (a, b, c gọi là ba kích thước của
hình hộp chữ nhật).
A D
CB
A’
B’
C’
D’
Lời giải:

§4:
Bài toán: Tính độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật khi biết độ dài
ba cạnh xuất phát từ một đỉnh là a, b, c (a, b, c gọi là ba kích thước của
hình hộp chữ nhật).
A D
CB
A’
B’
C’
D’
Lời giải:
AA 'AC AB AD
= + +

uuur uuur uuur uuuur
Có:
⇒
2 2 2 2
' AA ' . .AA ' .AA 'AC AB AD AB AD AB AD
= + + + + +
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur
Mà:
. .AA ' .AA ' 0AB AD AB AD= = =
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur
Do đó ta có:
2
2 2 2
'AC a b c
= + +
uuuur
Hay:
2 2 2
AC a b c
= + +
Tương tự các đường chéo còn lại cũng bằng
2 2 2
a b c
+ +
AA 'AC AB AD
= + +
uuur uuur uuur uuuur
Có:
⇒
AA 'AC AB AD

= + +
uuur uuur uuur uuuur
Có:
2 2 2 2
' AA ' . .AA ' .AA 'AC AB AD AB AD AB AD
= + + + + +
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur
⇒
AA 'AC AB AD
= + +
uuur uuur uuur uuuur
Có:
⇒
2 2 2 2
' AA ' . .AA ' .AA 'AC AB AD AB AD AB AD
= + + + + +
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur
⇒
Mà:
. .AA ' .AA ' 0AB AD AB AD= = =
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur
Mà:
Do đó ta có:
2
2 2 2
'AC a b c
= + +
uuuur
Do đó ta có:
Hay:

2
2 2 2
'AC a b c
= + +
uuuur
Do đó ta có:
2 2 2
AC a b c
= + +
Hay:
2
2 2 2
'AC a b c
= + +
uuuur
Do đó ta có:

4. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều
Định nghĩa:
Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều và
các cạnh bên bằng nhau.
§4:

S
B
C
A
H
M
§4:

S
H
D
C
B
A
S
H
E
DC
B
A
F

§4:
- Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là
đa giác đều và đường cao của hình chóp đi qua tâm của đáy
(tâm của đa giác đều chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đa
giác đó)
S
H
D
C
B
A
Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa
giác đều và các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

§4:
Định nghĩa:

Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với đáy để được một
hình chóp cụt thì đáy thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.
S
H
E
DC
B
A
F
K
I
M QPN

Bài tập: Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song
với nhau;
Hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với
nhau;
Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng
vuông góc với một phẳng cho trước ;
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông
góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước;
Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông với
một mặt phẳng cho trước thì luôn đi qua một một đường thẳng
cố định;
Hình lăng trụ có hai mặt bên là hình chữ nhật là hình lăng trụ đứng;
Hình chóp có đáy là đa giác đều và ba cạnh bên bằng nhau là
hình chóp đều
A
B

C
D
E
F
G
⇒sai
⇒sai
⇒sai
⇒sai
⇒Đúng
⇒Đúng
⇒Đúng