Nghiên cứu phương trình tích phân phi tuyến volterra và một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân phi tuyến volterra, lập trình maple trong tính toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ LỆ HOA

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ LỆ HOA

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI, 2016

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Khuất Văn Ninh, người
đã định hướng chọn đề tài, tận tâm hướng dẫn và động viên tôi trong suốt
quá trình thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy (cô) phòng Sau
đại học, các thầy cô dạy lớp Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích K18-đợt
2 và trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi
trong suốt khóa học.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Trần Thị Lệ Hoa


LỜI CAM ĐOAN
Luận văn “Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích
phân phi tuyến Volterra” là kết quả nghiên cứu của bản thân dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS. Khuất Văn Ninh. Ngoài ra, tác giả còn tham khảo
thêm một số tài liệu như đã trình bày trong phần tài liệu tham khảo.
Vì vậy tôi xin khẳng định luận văn này không có sự trùng lặp với đề
tài của các tác giả khác.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Trần Thị Lệ Hoa


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1. Định nghĩa không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2. Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.2. Điều kiện để một hàm khai triển thành chuỗi lũy thừa . . . . .

5

1.4. Phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.3. Bảng biến đổi Laplace của một số hàm thường gặp . . . . . . . .

9

1.4.4. Phép biến đổi Laplace của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4.5. Biến đổi Laplace ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4.6. Tích chập về biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5. Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.5.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.5.2. Các phương trình tích phân phi tuyến Volterra . . . . . . . . . . .

13

1.5.3. Sự tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân phi tuyến
Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.6. Lập trình trong Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6.1. Tính tích phân của hàm f (x) trên đoạn [a, b] . . . . . . . . . . . . .

16

i

1.6.2. Vòng lặp f or . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.6.3. Lệnh điều kiện if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.6.4. Một số lệnh khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Chương 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG
TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA . . . . . . . . .

19

2.1. Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II. . . . . . . . . . . . .

19

2.1.1. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1.2. Phương pháp chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.3. Phương pháp khai triển Adomian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2. Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại I . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.1. Phương pháp biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.2. Phương pháp biến đổi về phương trình tích phân phi tuyến
Volterra loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương

35

3. PHƯƠNG PHÁP SỐ VÀ ỨNG DỤNG MAPLE

TRONG TÍNH TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.1. Phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.1.1. Phương pháp cầu phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.1.2. Phương pháp cầu phương giải phương trình tích phân phi tuyến
Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

ii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong Toán học hiện đại, Giải tích số là một môn học quan trọng. Cùng
với sự phát triển của máy tính điện tử, giải tích số ngày càng thâm nhập
sâu vào hầu hết các lĩnh vực của khoa học công nghệ, kỹ thuật và kinh tế.
Giải số là lĩnh vực toán học rất rộng. Nó nghiên cứu các bài toán xấp
xỉ, các bài toán giải xấp xỉ phương trình và bài toán tối ưu. Lý thuyết

phương trình tích phân Volterra là một lĩnh vực quan trọng. Nó có nhiều
ứng dụng trong khoa học và công nghệ.
Nhà toán học Volterra bắt đầu tìm hiểu các phương trình tích phân từ
năm 1884. Tới năm 1908, các phương trình này chính thức được mang tên
ông.
Việc giải chính xác phương trình này thường gặp nhiều khó khăn hoặc
không thể giải được. Do đó, các nhà khoa học đã nghiên cứu một số
phương pháp giải gần đúng các phương trình này như phương pháp xấp
xỉ liên tiếp, phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp khai triển Adomian,. . . Dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Khuất Văn Ninh tôi chọn đề tài:
" Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi
tuyến Volterra" để làm luận văn tốt nghiệp bậc sau đại học.

2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu về phương trình tích phân phi tuyến Volterra, một
số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân phi tuyến Volterra,
1


lập trình Maple trong tính toán.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phương trình tích phân phi tuyến Volterra và một số phương
pháp giải gần đúng phương trình tích phân phi tuyến Volterra,lập trình
Maple trong tính toán.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại
một, loại hai.
Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình,
một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình và ứng dụng vào giải gần

đúng một số phương trình tích phân phi tuyến Volterra cụ thể, lập trình
Maple trong tính toán.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan.
Vận dụng một số phương pháp của giải tích hàm, giải tích số, lí thuyết
phương trình tích phân .
Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới phương
trình tích phân phi tuyến Volterra.

2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian metric
Định nghĩa 1.1. Một tập X được gọi là không gian metric nếu
1. Với mỗi cặp phần tử x, y của X đều xác định, theo một quy tắc nào
đó, một số thực ρ(x, y), gọi là "khoảng cách giữa x và y ".
2. Quy tắc nói trên thỏa mãn các điều kiện sau đây
a) ρ(x, y) > 0 nếu x = y ; ρ(x, y) = 0 nếu x = y .
b) ρ(x, y) = ρ(y, x) với ∀x, y (tính đối xứng).
c) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) với ∀x, y, z (bất đẳng thức tam giác)
Hàm số ρ(x, y) gọi là metric của không gian.
Ví dụ 1.1. Tập M bất kỳ của đường thẳng R, độ dài đoạn nối x và
y : ρ(x, y) = |x − y| là một metric. (M, ρ) là một không gian metric.
Định nghĩa 1.2. Cho không gian metric X bất kỳ. Một ánh xạ P từ X
vào chính nó gọi là ánh xạ co, nếu có một số 0 ≤ θ < 1 sao cho, nếu P x
là phần tử ứng với x trong ánh xạ P , ta có

∀x1 , x2 ∈ X,

ρ(P x1 , P x2 ) ≤ θρ(x1 , x2 ).

Điểm bất động trong ánh xạ là những điểm mà ảnh của nó trùng với chính
nó.
3


Định lý 1.1.1. (Nguyên lý Banach về ánh xạ co) Mọi ánh xạ co P từ một
không gian metric đủ X vào chính nó đều có một điểm bất động duy nhất.

1.2. Không gian định chuẩn
1.2.1. Định nghĩa không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.3. Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính
định chuẩn) là một không gian tuyến tính X trên trường P(P là trường số
thực R hay trường số phức C) cùng với một án h xạ từ X vào tập hợp số
thực, kí hiệu . (đọc là chuẩn), thỏa mãn các tiên đề sau
1) (∀x ∈ X)

x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ.

2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P)
3) (∀x, y ∈ X)

αx = |α| x .

x+y ≤ x + y .

Số x được gọi là chuẩn của véctơ x.

Các tiên đề 1), 2), 3) được gọi là các tiên đề chuẩn.
Định lý 1.2.1. Cho không gian định chuẩn X. Đối với hai véctơ bất kỳ
x, y ∈ X ta đặt

d(x, y) = x − y ,
khi đó d là một metric trên X. Vì vậy, mọi không gian định chuẩn đều là
không gian metric.
Định lý 1.2.2. Dãy điểm (xn ) của không gian định chuẩn X gọi là hội
tụ tới điểm x ∈ X, nếu: lim xn − x = 0 và kí hiệu lim xn = x hay

xn → x(n → ∞).

n→∞

n→∞

Định lý 1.2.3. Dãy điểm (xn ) của không gian định chuẩn X gọi là dãy
cơ bản nếu lim

n,m→∞

xn − xm = 0.

Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ
bản trong X đều hội tụ.
4


1.2.2. Ví dụ
Ví dụ 1.2. (L2[a,b] , . ) là một không gian định chuẩn với chuẩn . xác

định bởi
 b
 21

|x(t)|2 dt , x ∈ (L2[a,b] , . )

x =
a

và L2[a,b] là không gian Banach.
Ví dụ 1.3. Cho không gian vecto l2 . Đối với x = (xn ) bất kỳ, x ∈ l2 ta
đặt
∞

|xn |2

x =
n=1

1.3. Chuỗi lũy thừa
1.3.1. Định nghĩa
∞

an (x − x0 )n trong đó x0 , a1 , a2 , . . . là

Chuỗi lũy thừa là một hàm dạng
n=0

những số thực.
Điểm x0 được gọi là tâm của chuỗi lũy thừa. Để ý rằng chuỗi lũy thừa

luôn luôn hội tụ tại x = x0 .

∞

Nếu đặt y = x − x0 thì ta có thể đưa chuỗi lũy thừa về dạng

an y n ,

n=0

chuỗi có tâm tại y = 0.

1.3.2. Điều kiện để một hàm khai triển thành chuỗi lũy thừa
∞

Định lý 1.3.1. Giả sử chuỗi lũy thừa
∞

và S(x) =

an xn có bán kính hội tụ R > 0

n=0

an xn , với x ∈ (−R, R). Khi đó

n=0

5

∞

a)

nan xn−1 nhận được bằng cách đạo hàm từng số hạng tổng quát

n=0

của chuỗi lũy thừa đã cho cũng có bán kính hội tụ là R.
b) Tổng S là hàm khả vi trong khoảng hội tụ (−R, R) và S (x) =
∞

nan xn .

n=0
∞

Định lý 1.3.2. Giả sử chuỗi lũy thừa
∞

R > 0 và f (x) =

an (x − x0 )n có bán kính hội tụ

n=0

an (x − x0 )n , x ∈ (x0 − R, x0 + R). Khi đó

n=0

a) f là hàm khả vi vô hạn trong (x0 − R, x0 + R)

f (n) (x0 )
b) an =
(x − x0 )n ,
n!

∀x ∈ (x0 − R, x0 + R)

Chứng minh. Áp dụng định lý 1.4.1 ta có f là hàm khả vi trong khoảng
+∞

(x0 − R, x0 + R) và f (x) =

nan (x − x0 )n−1 , khi đó f (x0 ) = a1 . Áp

n=1

dụng định lý trên cho tổng lũy thừa
+∞

nan (x − x0 )n−1 ,

f (x) =

x ∈ (x0 − R, x0 + R)

n=1

Ta suy ra rằng f là hàm khả vi đến cấp 2 và
+∞

n(n − 1)an (x − x0 )n−2 ,

f ”(x) =

x ∈ (x0 − R, x0 + R)

n=1

và f ”(x0 ) = 2!a2 .
Tiếp tục quá trình này ta đẫn đến kết luận của định lý.
Định nghĩa 1.4. Giả sử f là một hàm khả vi vô hạn trong một lân cận
∞ f n (x )
f (x0 )
0
nào đó của điểm x0 thì chuỗi
(x − x0 )n = f (x0 ) +
(x −
n!
1!
n=0
f (n) (x0 )
x0 ) + . . . +
(x − x0 )n + . . . được gọi là chuỗi Taylor của hàm số
n!
6

f (x) tại điểm x0 .
f (n) (0) n
f (0)
f ”(0) 2
Nếu x0 = 0 thì chuỗi
x = f (0) +
x+
x + ... +
n!
1!
2!
n=0
f (n) (0) n
x + . . . được gọi là chuỗi Mac-Laurin của hàm f (x).
n!
∞

Định nghĩa 1.5. Hàm số f khai triển được thành chuỗi Taylor tại điểm
∞ f n (x )
0
(x − x0 )n có tổng
x = x0 nếu trong khoảng hội tụ của nó chuỗi
n!
n=0
đúng bằng hệ số f (x), tức là

f (x0 )
f (n) (x0 )
f (x) = f (x0 ) +
(x − x0 ) + . . . +

(x − x0 )n
1!
n!

Định lý 1.3.3. Giả sử f là hàm có đạo hàm mọi cấp trong một lân cận
nào đó của x0 . Kí hiệu Rn (x) là phần dư dạng Lagrange của công thức
Taylor
f (n+1) (x0 + θ(x − x0 ))
(x − x0 )n+1
Rn (x) =
(n + 1)!
và trong lân cận của điểm x0 : lim Rn (x) = 0 thì hàm f (x) có thể khai
n→∞

triển thành chuỗi Taylor tại điểm x0 .
Chứng minh. Thật vậy, theo công thức Taylor ta có
n

f k (x0 )
(x − x0 )k + Rn (x),
k!

f (x) =
k=0

∀n

Theo giả thiết lim Rn (x) = 0 trong lân cận của điểm x0 và chú ý rằng
n→+∞

n

k

f (x0 )
(x − x0 )k là tổng riêng thứ n của chuỗi Taylor của hàm
k!
k=0
f (x) tại điểm x0 . Do đó, ta có
Pn (x) =

n

f (x) = lim

n→+∞
∞

=
k=0

f

k=0
(k)(x0 )

k!

f (k) (x0 )
(x − x0 )k + Rn (x)

k!

(x − x0 )k
7


Định lý 1.3.4. Nếu trong một δ lân cận (x0 − δ, x0 + δ) của điểm x0 , hàm

f (x) có đạo hàm mọi cấp f (n) (n = 1, 2, 3 . . .) và tồn tại một số M > 0 để
|f (n) (x)| ≤ M

(n = 1, 2 . . .)(∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ)

thì hàm f có thể khai triển được thành chuỗi Taylor tại điểm x0 .
Chứng minh. Theo giả thiết ta có

|f (n+1) (x0 + o(x − x0 ))|
|Rn (x)| =
|x − x0 |n+1
(n + 1)!
M
|x − x0 |n+1 , ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ)
≤
(n + 1)!
|x − x0 |n+1
= 0 nên lim Rn (x) = 0 (∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ))
n→+∞
n→+∞ (n + 1)!
Vậy hàm f (x) có thể triển khai được thành chuỗi Taylor tại điểm x0 .
vì lim

1.4. Phép biến đổi Laplace
1.4.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.6. Cho x ≥ 0, biến đổi Laplace của hàm f (x) được xác
định và ký hiệu bởi
∞

e−sx f (x)dx,

F (s) = L{f (x)} =
0

trong đó s là số thực hoặc phức, L được gọi là toán tử của phép biến đổi
Laplace. Biến đổi Laplace có thể không tồn tại.
Định nghĩa 1.7. Hàm số f (x) được gọi là có bậc mũ α nếu tồn tại hằng
số M > 0 và một số α sao cho |f (x)| ≤ M.eαx ( với x ≥ x0 ).
Chú ý
Điều kiện để biến đổi Laplace F (s) của hàm số f (x) tồn tại là
8


i) f (x) liên tục từng khúc trên [0, A), ∀A > 0.
ii) f (x) có bậc mũ α.

1.4.2. Tính chất
1.

L{af (x)} = aL{f (x)},

a là hằng số

2.

L{af (x) + bg(x)} = aL{f (x)} + bL{g(x)},
3.

L{xf (x)} = −

a,b là hằng số

d
L{f (x)} = −F (s)
ds

1.4.3. Bảng biến đổi Laplace của một số hàm thường gặp
∞

f (x)

e−sx f (x)dx

F (s) = L{f (x)} =
0

c
x
xn
eax
sin ax
cos ax

sin2 ax
cos2 ax

c
, s>0
s
1
, s>0
s2
n!
Γ(n + 1)
=
, s > 0, Ren > −1
sn+1
sn+1
1
, s>a
s−a
a
s 2 + a2
s
s 2 + a2
2a2
, Re(s) > |Im(a)|
s(s2 + 4a2 )
s2 + 2a2
, Re(s) > |Im(a)|
s(s2 + 4a2 )
9

∞

f (x)

e−sx f (x)dx

F (s) = L{f (x)} =
0

2as
(s2 + 4a2 )2
s 2 − a2
(s2 + 4a2 )2
a
, s > |a|
s 2 − a2
s
, s > |a|
s 2 − a2

x sin ax
x cos ax
sinh ax
cosh ax
2

sinh ax
cosh2 ax
x sinh ax

x cosh ax
xn eax
eax sin bx
eax cos bx
eax sinh bx
eax cosh bx
H(x − a)

2a2
, Re(s) > |Im(a)|
s(s2 − 4a2 )
s2 − 2a2
, Re(s) > |Im(a)|
s(s2 − 4a2 )
2as
, s > |a|
(s2 − a2 )2
s 2 + a2
, s > |a|
(s2 − a2 )2
n!
,
(s − a)n+1

s > a, n là một số nguyên dương
b
,
(s − a)2 + b2
s−a
,

(s − a)2 + b2
b
,
(s − a)2 − b2
s−a
,
(s − a)2 − b2
s−1 e−as ,

δ(x)

s>a
s>a
s>a

a≥0

1
e−as ,

a≥0

se−as ,

a≥0

δ(x − a)
δ (x − a)

s>a

10


1.4.4. Phép biến đổi Laplace của đạo hàm
L{f (x)} = sL{f (x)} − f (0)
L{f ”(x)} = s2 L{f (x)} − sf (0) − f (0)
L{f (x)} = s3 L{f (x)} − s2 f (0) − sf (0) − f ”(0)
···
L{f (n) (x)} = sn L{f (x)} − sn−1 f (0) − . . . − sf (n−2) − f (n−1) (0)
1.4.5. Biến đổi Laplace ngược
Nếu biến đổi Laplace của hàm f (x) là F (s) thì ta nói rằng biến đổi Laplace
ngược của F (s) là f (x). Nói cách khác ta có

L−1 {F (s)} = f (x)
trong đó L−1 là toán tử của biến đổi Laplace ngược.
Chú ý: Biến đổi Laplace ngược có tính chất

L−1 {aF (s) + bG(s)} = aL−1 {F (s)} + bL−1 {G(s)}
= af (x) + bg(x)
1.4.6. Tích chập về biến đổi Laplace
Giả sử rằng tồn tại biến đổi Laplace của hai hàm số f1 (x) và f2 (x). Biến
đổi Laplace của mỗi hàm

L{f1 (x)} = F1 (s)
L{f2 (x)} = F2 (s)
Tích chập của hai hàm số được định nghĩa như sau
x

(f1 ∗ f2 )(x) =

f1 (x − t)f2 (t)dt
0

11


Hoặc
x

(f2 ∗ f1 )(x) =

f2 (x − t)f1 (t)dt
0

Do đó

(f1 ∗ f2 )(x) = (f2 ∗ f1 )(x)
Chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng biến đổi Laplace của tích chập
(f1 ∗ f2 )(x) được cho bởi
x

L{(f1 ∗ f2 )(x)} = L

f1 (x − t)f2 (t)dt = F1 (s)F2 (s)
0

1.5. Phương trình tích phân
1.5.1. Các định nghĩa
Cho A là toán tử từ không gian Banach X vào chính nó.

Định nghĩa 1.8. Phương trình dạng

Ax = f
f ∈ X cho trước được gọi là phương trình toán tử loại I;
Phương trình dạng
x = f + λAx

(1.1)

(1.2)

được gọi là phương trình toán tử loại II.
Ở đây tham số λ trên trường số thực hoặc phức.
Khi A là toán tử tích phân thì phương trình (1.1) và (1.2) gọi là phương
trình toán tử tích phân hay phương trình tích phân.
Dựa vào cận của tích phân, người ta chia ra hai loại sau
1) Nếu các cận của tích phân là không thay đổi thì phương trình tích
phân được gọi là phương trình tích phân Fredholm.
12


2) Nếu ít nhất một cận tích phân là biến thì phương trình tích phân
được gọi là phương trình tích phân Volterra.
Khi A không tuyến tính thì phương trình (1.1) và (1.2) được gọi là các
phương trình phi tuyến.
Định nghĩa 1.9. Có hai loại phương trình tích phân phi tuyến
b

Các phương trình dạng f (x) =

K[x, t, u(t)]dt được gọi là phương trình
a

tích phân phi tuyến loại I.
b

Các phương trình dạng u(x) = f (x) + λ

K[x, t, u(t)]dt được gọi là
a

phương trình tích phân phi tuyến loại II.
Trong đó

K[x, t, u(t)] (còn gọi là nhân hay hạch của tích phân) là các hàm số ba
biến liên tục trên miền D = [a, b] × [a, b] × R,
u(t), f (t) là các hàm số liên tục trên đoạn [a, b],
tham số λ ∈ R hoặc λ ∈ C.
1.5.2. Các phương trình tích phân phi tuyến Volterra
Tùy theo sự xuất hiện của hàm ẩn u(x) mà phương trình tích phân phi
tuyến Volterra được chia thành các loại sau
a. Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II
Trong các phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II, hàm u(x)
chưa biết xuất hiện bên trong và bên ngoài dấu tích phân.
Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II có dạng sau
x

u(x) = f (x) +

K(x, t)F (u(t))dt

0

b. Phương trình tích phi tuyến Volterra loại I
Trong các phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại I, hàm phi tuyến
F (u(x)) nằm trong dấu tích phân. Phương trình tích phân phi tuyến
13


Volterra của loại I có dạng
x

f (x) =

K(x, t)F (u(t))dt
0

c. Các ví dụ
Các phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại I
x

(x − t)u2 (t)dt

Nhân gồm các hàm lũy thừa f (x) =
0
x

eλ(x−t) u2 (t)dt

Nhân gồm các hàm mũ f (x) =
0

x

cosh[λ(x − t)]u2 (t)dt

Nhân gồm các hàm hypebolic f (x) =
0
x

ln(x − t)u2 (t)dt

Nhân gồm các hàm logarit f (x) =
0

x

cos[λ(x − t)]u2 (t)dt. . .

Nhân gồm các hàm lượng giác f (x) =
0

Các phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II
x

u2 (t)dt

Nhân gồm các hàm lũy thừa f (x) = u(x) − λ
0
x

eλ(x−t) u2 (t)dt. . .

Nhân gồm các hàm mũ f (x) = u(x) + A
0

Các phương trình tích phân Volterra dạng khác
x

1
tu2 (t)dt − x4 + x,
4

u(x) =

0≤x≤1

0

14


x

1
xu2 (t)dt − x4 + x,
3

u(x) =

0≤x≤1

0
x

xu2 (t)dt − 2x,

u(x) =

0≤x≤1

0

1.5.3. Sự tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân phi
tuyến Volterra
Cho phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II
x

G[x, t, u(t)]dt

u(x) = f (x) +
0

Định lý 1.5.1. Nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn thì phương trình
tích phân Volterra có nghiệm duy nhất
i) Hàm f (x) liên tục trên [a, b].
ii) Hàm G(x, t, u(t)) là khả tích và bị chặn |G(x, t, u(t))| < k trong

a ≤ x, t ≤ b.
iii) Hàm G(x, t, u) xác định trên tập [a, b] × [a, b] × R thỏa mãn điều
kiện Lipschitz: ∃M > 0 sao cho |G(x, t, u1 ) − G(x, t, u2 )| < M |u1 −

u2 |,

∀u1 , u2 ∈ R.

Ví dụ 1.4. Xét phương trình tích phân phi tuyến Volterra
x

u(x) = 2x + 1 +

x|u(t)|dt,

0≤x≤1

(1.3)

0

i) Hàm số f (x) = 2x + 1 xác định trên [0, 1]
ii) Hàm số f (x) = 2x + 1 liên tục trên [0, 1].
Thật vậy, ∀x0 ∈ (0, 1) ta có lim (2x + 1) = 2x0 + 1 = f (x0 ). Do đó
x→x0

15


hàm số đã cho liên tục trên (0, 1) (∗).
Mặt khác

lim f (x) = lim+ (2x + 1) = 1 = f (0)

x→0+

x→0

lim f (x) = lim− (2x + 1) = 3 = f (1)

x→1−

x→1

Do đó kết hợp với (∗) suy ra hàm số đã cho liên tục trên [0, 1].
iii) Hàm G[x, t, u] = x|u(t)| xác định trên

D = {0 < x, t < 1, −∞ < u < +∞}
iv) ∀u1 , u2 ∈ C[0, 1], ta có

|G(x, t, u1 (t)) − G(x, t, u2 (t))| ≤ |u1 (t)| − |u2 (t)| ≤ |u1 (t) − u2 (t)|
(1.4)
Đặt L = 1. Ta thấy G(x, t, u) thỏa mãn điều kiện Lipschitz.

1.6. Lập trình trong Maple
Các thuật toán giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến khi thực hiện
trên máy tính với các phần mềm hỗ trợ sẽ đạt hiệu quả cao hơn rất nhiều.
Trong phần này chúng tôi xin giới thiệu phần mềm Maple, phần mềm hữu
ích trong tính toán.

1.6.1. Tính tích phân của hàm f (x) trên đoạn [a, b]
Tính tích phân của hàm f (x) trên đoạn [a, b] bằng dòng lệnh có cú pháp
như sau [> int(f (x), x = a..b);

Sau khi thực hiện lệnh ta sẽ có ngay đáp số.

16


1.6.2. Vòng lặp f or
Cấu trúc cú pháp
for name from start by change to finish
do
statement sequence
od;
Chức năng
Vòng lặp for được dùng để lặp một chuỗi các bài toán được đặt giữa
do và od mỗi lần lặp tương ứng với một giá trị phân biệt của biến chỉ số
name đứng sau từ khóa for. Ban đầu, giá trị start được gán cho biến chỉ
số. Nếu giá trị của biến name nhỏ hơn hay bằng giá trị finish thì chuỗi
lệnh nằm giữa do và od được thực hiện, sau đó biến name được gán trị
tiếp theo bằng cách cộng thêm vào nó giá trị change. Sau đó, biến name
được so sánh với finish để quyết định xem việc thực hiện chuỗi lệnh có
được tiếp tục nữa không? Quá trình so sánh biến chỉ số name và thực hiện
chuỗi lệnh được lặp liên tiếp cho đến khi giá trị của biến name lớn hơn giá
trị finish. Giá trị cuối cùng của biến name sẽ là giá trị vượt quá finish đầu
tiên.
Trường hợp muốn thoát khỏi từ giữa vòng lặp, ta có thể dùng các câu
lệnh break, quit, return.

1.6.3. Lệnh điều kiện if
Cấu trúc cú pháp
if condition then
statement sequence

| elif condition then statement sequence |
| else statement sequence |
17


fi;
Chức năng
Nếu muốn một dãy biểu thức được thực hiện khi điều kiện nào đó được
thỏa mãn và một dãy biểu thức khác được thực hiện nếu trái lại nó có
thể dùng câu lệnh if - then - else - fi. Trong câu lệnh trên, nếu điều kiện
condition là đúng thì chuỗi biểu thức đứng sau then được thực hiện, nếu
trái lại thì điều kiện condition sau từ khóa elif sẽ được kiểm tra, nếu nó
đúng thì chuỗi lệnh tương ứng sau then được thưc hiện, cứ tiếp tục cho
đến khi các điều kiện condition đều không thỏa mãn, thì các biểu thức sau
lệnh else được thực hiện.
Lưu ý rằng cấu trúc lệnh (tùy chọn) elif . . . then . . . được lặp lại với số
lần tùy ý. Từ khóa elif là dạng viết tắt của else if
Các biểu thức điều kiện (condition) được sử dụng trong câu lệnh if phải
được tạo thành từ các bất đẳng thức, các đẳng thức ( các phép toán quan
hệ), các biến số, các phép toán logic, các hàm có giá trị trả lại là giá trị
logic. Nếu trái lại thì sẽ gây ra lỗi.

1.6.4. Một số lệnh khác
Lệnh evalf(p,m) là lệnh tính giá trị của đại lượng p chính xác tới m con
số.
Hàm Sum(f,k) hoặc Sum(f,k=n..m): lấy tổng các số hạng.
Hàm Solve: solve(eqns1(x), eqns2(y),x,y): giải phương trình hoặc hệ
phương trình.
Hàm lprint(bt1, bt2,. . .) với bt1,bt2,. . . là các biểu thức cần in ra. Hàm
lprint hiển thị kết quả của phép toán dưới dạng lệnh vào của Maple và kết

quả đó nằm ngay bên trái màn hình.
Hàm subs(x=a, expr) là hàm thay thế x trong biểu thức expr bởi biểu
thức a.

18


Chương 2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
PHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA
Ở chương này chúng tôi giới thiệu một số phương pháp giải tích giải xấp
xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra với giả sử rằng các phương
trình này tồn tại nghiệm.

2.1. Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II
Các phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II thường được giải
bằng ba phương pháp sau: phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp
chuỗi lũy thừa, phương pháp khai triển Adomian (ADM).

2.1.1. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp
Xét phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II
x

u(x) = f (x) +

K(x, t)F (u(t))dt,
0

19

(2.1)