luan van toan

Tên đề tài: NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Khoá: 2005-2008
Người thực hiện: Trần Thu Hà
Người hướng dẫn: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

Lý do chọn đề tài:
Tư duy tổ hợp ra đời rất sớm. Tuy nhiên có thể nói rằng, lý thuyết tổ hợp được hình thành như
một ngành toán học mới vào thế kỷ 17
Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ với số cấu hình tổ hợp khổng lồ. Từ khi máy tính phát
triển và thịnh hành, nhiều vấn đề tổ hợp đã được giải quyết trên máy tính và tổ hợp đã trở thành lĩnh
vực toán ứng dụng với sự phát triển mạnh mẽ.
Tư duy giải toán tổ hợp của học sinh còn yếu.
Trong hơn chục năm trở lại đây, bài toán tổ hợp thường xuyên có mặt trong các đề thi vào các
trường Đại học, Cao đẳng và Trung học chuyên nghiệp. Năm học 2005-2006, Vụ Trung học phổ
thông đã thống nhất 11 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi trong đó chuyên đề 11 là chuyên đề về tổ
hợp.
Trong lý thuyết tổ hợp, nguyên lý bù trừ là phương pháp đếm nâng cao giải các bài toán đếm,
nó có nhiều ứng dụng hay và từ các ứng dụng này ta có thể giải được lớp các bài toán tương tự mà
việc giải chúng giúp củng cố và rèn luyện việc sử dụng linh hoạt các cấu hình tổ hợp cơ bản và mở
rộng – là điểm yếu của rất nhiều học sinh.
Chính vì các lý do trên, tôi chọn: Nguyên lý bù trừ và ứng dụng làm đề tài luận văn thạc sĩ
của mình.

Mục đích nghiên cứu
•
Từ các ứng dụng của nguyên lý bù trừ giải lớp các bài toán tương tự cụ thể.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
•
Đối tượng nghiên cứu là nguyên lý bù trừ.

•
Phạm vi nghiên cứu là nội dung của nguyên lý bù trừ và các ứng dụng của nguyên lý đó.
Phương pháp nghiên cứu
•
Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết.
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
•
Đề tài được xây dựng để giải các bài toán xuất hiện từ thực tiễn cuộc sống và các bài toán của
các khoa học khác được giải quy về bài toán tổ hợp sử dụng nguyên lý bù trừ.
Cấu trúc luận văn
Luận văn được trình bày trong 3 chương
Mở đầu
Chương 1 - Tổng quan về tổ hợp
Chương 2 - Nguyên lý bù trừ
Chương 3 - Ứng dụng của nguyên lý bù trừ
Kết luận

Chương 1-TỔNG QUAN VỀ TỔ HỢP
1.1. Các bài toán tổ hợp nổi tiếng trong lịch sử
1.2. Bài toán tổ hợp
Cho các tập hợp , ,..., . Giả sử là sơ đồ sắp xếp các phần tử của , ,..., được
mô tả bằng các quy tắc sắp xếp và , ,..., là các điều kiện ràng buộc lên mỗi sắp xếp theo sơ
đồ . Khi đó mỗi cách sắp xếp các phần tử của , ,..., thỏa mãn các điều kiện , ,..., gọi là
một cấu hình tổ hợp trên các tập , ,..., .
Trong tổ hợp người ta thường gặp 4 dạng bài toán sau:
1.2.1. Bài toán tồn tại
1.2.2. Bài toán đếm
1.2.3. Bài toán liệt kê
1.2.4. Bài toán tối ưu tổ hợp
1

A
2
A
n
A
S
1
A
2
A
n
A
S
1
R
2
R
m
R
1
A
2
A
n
A
1
R
2
R
m

R
1
A
2
A
n
A

1.3. Bài toán đếm
1.3.1. Giai thừa:
Định nghĩa 1.1. Giai thừa của số tự nhiên khác 0, ký hiệu , là tích của số tự
nhiên liên tiếp từ 1 đến .
Quy ước: 0! = 1.
Tính chất:
1.3.2. Nguyên lý cộng và nguyên lý nhân
1.3.2.1. Nguyên lý nhân
Nguyên lý nhân: Giả sử một cấu hình tổ hợp được xây dựng qua bước, bước 1 có
thể thực hiện theo cách, bước 2 có thể thực hiện theo cách,…, bước k có thể
thực hiện theo cách. Khi đó số cấu hình tổ hợp là .
1.3.2.2. Nguyên lý cộng
Nguyên lý cộng: Nếu có cách chọn đối tượng , cách chọn đối tượng ,…,
cách chọn đối tượng và nếu cách chọn đối tượng không trùng với bất kỳ cách
chọn nào ( ) thì có cách chọn một trong các đối tượng
đã cho.
1
n
2
n
n
x

i
x
n
!n
n
n
))...(1(!)!( knnnkn
++=+
k
k
n
k
nnn ....
21
1
m
1
x
2
m
2
x
n
m
j
x
njiji ,...,2,1,;
=≠
n
mmm

+++
...
21

1.3.3. Các cấu hình tổ hợp cơ bản
1.3.3.1. Chỉnh hợp lặp
Định nghĩa 1.2. Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có thứ tự gồm k thành
phần lấy từ n phần tử đã cho. Các thành phần có thể được lặp lại.
Định lí 1.1. Nếu ký hiệu số tất cả các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là thì
1.3.3.2. Chỉnh hợp không lặp
Định nghĩa 1.3. Một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có thứ tự gồm k
thành phần lấy từ n phần tử đã cho. Các thành phần không được lặp lại.
Định lí 1.2. Nếu ký hiệu số tất cả các chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử là thì
1.3.3.3. Hoán vị
Định nghĩa 1.4. Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó.
Định lý 1.3. Nếu ký hiệu số hoán vị của n phần tử là thì .
1.3.3.4. Tổ hợp
Định nghĩa 1.5. Một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ không kể thứ tự
gồm k thành phần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho (có thể coi một tổ hợp chập k của n phần tử
khác nhau là một tập con có k phần tử từ n phần tử đã cho).
Định lý 1.4. Nếu ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là thì

.
)(nP
),( knAR
k
nknAR =),(
( )
knA ,
( )

!
!
),(
kn
n
knA
−
=
!)( nnP
=
( )
knC ,
( )
)!!.(
!
,
knk
n
knC
−
=

1.3.4. Các cấu hình tổ hợp mở rộng
1.3.4.1. Hoán vị lặp
Định nghĩa 1.6. Hoán vị lặp là hoán vị mà trong đó mỗi phần tử được ấn định một số lần lặp lại cho
trước.
Định lý 1.5. Số hoán vị lặp của k phần tử khác nhau, trong đó phần tử thứ nhất lặp lần, phần tử thứ
2 lặp lần, …, phần tử thứ k lặp lần là
với .
Định lý 1.6. Số cách phân phối n đồ vật khác nhau vào k hộp khác nhau sao cho có vật được đặt

vào hộp thứ i với là .
1.3.4.2. Tổ hợp lặp
Định nghĩa 1.7. Tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần
tử trích từ n phần tử đã cho, trong đó các phần tử có thể được lặp lại.
Định lý 1.7. Nếu ký hiệu số tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử là thì

1.3.4.3. Phân hoạch thứ tự tổ hợp
Định nghĩa 1.9. Cho X là tập gồm n phần tử khác nhau, và có phần tử. Một phân
hoạch có thứ tự của gọi là một phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X . Nếu thì
gọi là phân hoạch thứ tự của X .
Cho các số nguyên dương thoả . Số các phân hoạch thứ tự tổ hợp chập
r của X dạng có , được ký hiệu là .

i
1
n
2
n
k
n
( )
!!...!.
!
,...,,;
21
21
k
k
nnn
n

nnnnP
=
k
nnnn +++= ...
21
i
n
ki ,...,2,1
=
!!....!.
!
21 k
nnn
n
),( knCR
)1,1(),(
−+−=
nknCknCR
nr
≤
XS ⊂
r
{ }
k
SSS ,...,,
21
S
nr
=
k

nnn ,...,,
21
rnnn
k
=+++ ...
21
{ }
k
SSS ,...,,
21
11
nS
=
kk
nSnS
==
,...,
22
),...,,;(
21 k
nnnnC

Định lý 1.8.
1.3.4.4. Phân hoạch không thứ tự
Định nghĩa 1.10. Cho X là tập gồm n phần tử khác nhau và là các số nguyên
dương thoả . Một hệ thống các tập con của X gồm tập có phần tử, tập
có phần tử, …, tập có phần tử gọi là phân hoạch không thứ tự của X.
Định lý 1.9. Số phân hoạch không thứ tự của gồm tập có phần tử, tập có phần tử,…,

tập có phần tử là

(trong số lặp lại lần, số lặp lại lần, …, số lặp lại lần).
),,...,,;(
)!(!!...!
!
),...,,;(
21
21
21
rnnnnnP
rnnnn
n
nnnnC
k
k
k
−=
−
=
kk
pppnnn ,...,,,,...,,
2121
npnpnpn
kk
=+++ ...
2211
1
p
1
n
2

p
2
n
k
p
k
n
X
1
p
1
n
2
p
2
n
k
p
k
n
( ) ( ) ( )
k
p
kk
pp
k
kk
npnpnp
n
ppp

nnnnnnnC
!!...!!!!
!
!!...!
),...,,...,,...,,,...,;(
21
2211
21
2211
=
),...,,...,,...,,,...,;(
2211 kk
nnnnnnnC
1
n
1
p
2
n
2
p
k
n
k
p