125 bài toán hay phần tam giác đồng dạng

 

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH


HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại .
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.

Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®


ĐỊNH LÝ TA ‐ LET VÀ HỆ QUẢ ĐỊNH

LÝ TA‐LET
BÀI TẬP LIÊN QUAN
1. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đường thẳng song song với hai đáy, cắt
các cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại E và F. Tính FC, biết AE = 4 cm; ED = 2 cm;
BF = 6 cm.
 
Xem lời giải tại:
/>2. Cho ΔABC. Điểm D thuộc cạnh BC sao cho 

BD
BC

=

1
4

. Điểm E thuộc đoạn thẳng

AD sao cho AE = 2ED. Gọi K là giao điểm của BE và AC. Tính tỉ số 

AK
KC

 ?

 
Xem lời giải tại:
/>3. Cho ΔABC, điểm D thuộc cạnh BC. Qua D kẻ DE // AC (E ∈ AB); DF // AB (
AE AF

F ∈ AC). Tính: 
+
?
AB AC
 
Xem lời giải tại:
/>4. Cho hình thang ABCD (AB // CD; AB < CD). Đường thẳng song song với hai
đáy cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại M và N. So sánh các tỉ số:
AM
BN
a. 
 và 
.
AD
BC
b. 

AM
MD

 và 

BN
NC

.


c. 

MD
DA

 và 

NC
CB

.

Xem lời giải tại:
/>5. Cho ΔABC (AB < AC), đường phân giác AD (D ∈ BC). Qua trung điểm M của
cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AC và AB theo thứ tự tại E và K.
Chứng minh rằng:
a.  AE = AK
b.  BK = EC.
Xem lời giải tại:
/>6. Cho ΔABC, Aˆ = 90 0, đường cao AD (D ∈ BC). Từ D kẻ DE⊥AB (E ∈ AB);
DF⊥AC (F ∈ AC). Chứng minh khi độ dài các cạnh AB, AC thay đổi thì tổng 
AE AF
+
 không thay đổi.
AB AC
 
Xem lời giải tại:
/>7. G là trọng tâm của ΔABC. Qua G vẽ GD // AB (D ∈ BC); GE // AC (E ∈ BC).
a.  Tính tỉ số 

BD
BC

 ?

b.  Chứng minh: BD  =  DE  =  EC
Xem lời giải tại:
/>8. Cho M là điểm bất kì thuộc miền trong của ΔABC. Tia AM cắt BC tại N. Dựng
hình bình hành ADME (D ∈ AB; E ∈ AC).
AD AE MN
Chứng minh tổng: 
+
+
 có giá trị không đổi.
AB AC AN
 
Xem lời giải tại:
/>

9. Cho hình thang ABCD (AB / / CD). Đường thẳng d / / AB, cắt các cạnh bên và
đường chéo AD; BD; AC; BC theo thứ tự tại các điểm M; N; P; Q.
Chứng minh rằng: MN = PQ.
 
Xem lời giải tại:
/>10. Cho hình thang cân ABCD (AB / / CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại
O. Gọi M; N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC. Biết MD = 3MO, đáy lớn CD
= 5,6 cm. 
a.  Tính MN; AB?
b.  So sánh MN với nửa hiệu các độ dài của CD và AB.
Xem lời giải tại:
/>11. Cho hình thang ABCD (AB / / CD). Lấy E trên cạnh AD sao cho 
Kẻ EF / / CD ; F ∈ BC. Chứng minh rằng: EF =

p. CD + q. AB
p+q

AE
ED

=

p
q

 . 

 .

 
Xem lời giải tại:
/>12. Cho hình thang ABCD (AB / / CD). Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho
AK
AC
BE = CD. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AC với DB, DE. Chứng minh 
=
.
KC
CI
 
Xem lời giải tại:
/>13. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đường thẳng song song với hai đáy
AM

1
cắt các cạnh bên AD, BC tại M, N sao cho 
= .
MD 2


a.  Tính tỉ số 

BN
NC

 ?

b.  Cho AB = 8 cm, CD = 17 cm. Tính MN?
Xem lời giải tại:
/>14. Cho ΔABC, Aˆ = 120 0, AB = 3 cm, AC = 6 cm. Tính độ dài đường phân giác AD
(D ∈ BC).
 
Xem lời giải tại:
/>15. Cho ΔABC cân tại A. Các đường phân giác BD, CE (D ∈ AC, E ∈ AB).
a.  Chứng minh DE // BC.
b.  Tính độ dài AB, biết DE = 6 cm, BC = 15 cm.
Xem lời giải tại:
/>16. Cho hình bình hành ABCD, một đường thẳng đi qua D cắt AC, AB, CB theo
thứ tự tại M, N, K.
a.  Chứng minh: DM 2 = MN. MK
b.  Tính: 

DM
DN

+

DM
DK

= ?

Xem lời giải tại:
/>17. Cho ΔABC, gọi I là trung điểm của AB, E là trung điểm của BI, D thuộc cạnh
1
BF EF
AC sao cho CD = CA. Gọi F là giao điểm của BD và CE. Tính các tỉ số 
;
 .
3
FD FC
 
Xem lời giải tại:
/>

TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA
TAM GIÁC
BÀI TẬP LIÊN QUAN
18. Cho ΔABC có AB = 12 cm, AC = 20 cm, BC = 28 cm. Kẻ đường phân giác AD
^
của BAC (D ∈ BC). Qua D kẻ DE // AB (E ∈ AC).
a.  Tính BD, DC, DE?
b.  Cho biết S ΔABC = a cm 2. Tính S ΔABD ; S ΔADE ; S ΔDCE ?
Xem lời giải tại:

/>19. Cho ΔABC, Aˆ = 90 0, AB = 15 cm, AC = 20 cm, đường cao AH (H ∈ BC).
^
^
Tia phân giác của HAB cắt HB tại D. Tia phân giác của HAC cắt HC tại E.
a.  Tính AH.
b.  Tính DH, HE.
Xem lời giải tại:
/>20. Cho ΔABC, AB = AC = 10 cm, BC = 12 cm. Gọi I là giao điểm các đường
phân giác của ΔABC. Tính BI.
 
Xem lời giải tại:
/>21. Cho ΔABC, Aˆ = 90 0, AB = 21 cm, AC = 28 cm. Đường phân giác AD (
D ∈ BC), DE⊥AC (E ∈ AC).
a.  Tính BD, DC, DE.
b.  Tính S ΔABD; S ΔACD ?
Xem lời giải tại:
/>

22. Cho ΔABC, AB = AC = 15 cm, BC = 10 cm. Đường phân giác BD (D ∈ AC)
a.  Tính AD, DC.
b.  Đường vuông góc với BD cắt đường thẳng AC tại E. Tính EC.
Xem lời giải tại:
/>23. Cho ΔABC, các đường phân giác BD và CE (D ∈ AC, E ∈ AB). Biết 
AD
2 AE 5
= ;
= .
DC 3 EB 6
Tính các cạnh của ΔABC, biết chu vi của ΔABC bằng 45 cm.
 

Xem lời giải tại:
/>24. Cho ΔABC, AB = 12 cm, AC = 18 cm, đường phân giác AD (D ∈ BC). Điểm
I thuộc đoạn thẳng AD sao cho AI = 2ID. Gọi E là giao điểm của BI và AC.
a.  Tính tỉ số 

AE
EC

.

b.  Tính AE, EC.
Xem lời giải tại:
/>25. Cho ΔABC, AB = AC = b , BC = a, Aˆ = 36 0
Chứng minh: a 2 + ab − b 2 = 0.
 
Xem lời giải tại:
/>26. Cho ΔABC, AB = AC, Aˆ = 36 0. Tính 

AB
BC

 
Xem lời giải tại:
/>
.


27. Cho ΔABC có AB + AC = 2BC. Gọi I là giao điểm các đường phân giác ΔABC
và G là trọng tâm của ΔABC. Chứng minh IG // BC. 
 

Xem lời giải tại:
/>28. Cho ΔABC (AB < AC). Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi M, N
^
^
lần lượt là trung điểm của AD, BC. Tính CMN, biết BAC = 50 0.
 
Xem lời giải tại:
/>

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA
TAM GIÁC
BÀI TẬP LIÊN QUAN
29. Cho hình thang vuông ABCD (Aˆ = Bˆ = 90 0), AD = a, BC = b (a > b), AB = c.
Tính các khoảng cách từ giao điểm các đường chéo hình thang đến đáy AD và
cạnh bên AB.
 
Xem lời giải tại:
/>30. Cho ΔABC. Điểm M thuộc cạnh BC sao cho 
ME // AB (E ∈ AC).

MB
MC

1

=

2

. Kẻ MD // AC (D ∈ AB),

a.  Tìm các cặp tam giác đồng dạng và tỉ số đồng dạng
b.  Tính chu vi ΔDBM; ΔEMC, biết chu vi ΔABC bằng 24 cm.
Xem lời giải tại:
/>31. Cho ΔABC ∼ ΔHIK theo tỉ số đồng dạng k =

2
5

a.  Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho
b.  Tính chu vi ΔHIK biết chu vi ΔABC bằng 60 cm
Xem lời giải tại:
/>32. Cho ΔABC, điểm M thuộc cạnh BC sao cho 
MK // AB (K ∈ AC)

MB
MC

=

a.  Tính MB, MC biết BC = 25 cm
b.  Tính chu vi ΔABC, biết chu vi ΔKMC bằng 30 cm
c.  Chứng minh: HB. MC = BM. KM.

2
3

. Kẻ MH // AC (H ∈ AC),

Xem lời giải tại:
/>33. Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB > CD), AC cắt BD tại F. Từ C vẽ CK // AD
AB
(K ∈ AB), CK cắt BD tại L biết DF = BL. Tính 
CD
 
Xem lời giải tại:
/>34. Cho tứ giác ABCD có E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC. Đường
thẳng EF cắt các đường thẳng AB, CD lần lượt tại M, N. Chứng minh 
MA. NC = MB. ND.
 
Xem lời giải tại:
/>35. Cho ΔABC có BC = 9 cm, AC = 6 cm, AB = 4 cm.  Gọi h a, h b, h c là chiều
cao tương ứng với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh ΔABC đồng dạng với tam
giác có ba cạnh bằng h a, h b, h c.
 
Xem lời giải tại:
/>36. Cho ΔABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại O. Gọi P, Q, R, D, H, K theo
thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC, AB, AC, BC.
a.  Chứng minh ΔKHD ∼ ΔPQR, tìm tỉ số đồng dạng.
b.  Tính chu vi ΔPQR, ΔABC, biết chu vi ΔKHD bằng 100 cm.
Xem lời giải tại:
/>37. Cho điểm H nằm trong ΔABC. Gọi K, M, N theo thứ tự là trung điểm của các
đoạn thẳng AH, BH, CH. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng
KM, KN, MN.
a.  Chứng minh ΔFED ∼ ΔABC, tìm tỉ số đồng dạng?
b.  Biết nửa chu vi của ΔABC là 12 cm. Tính chu vi ΔFED.


Xem lời giải tại:

/>38. Cho ΔABC có AB : BC : AC = 2 : 5 : 4. Biết ΔDEF ∼ ΔABC và chu vi của ΔDEF
là 55 cm. Tính các cạnh của ΔDEF.
 
Xem lời giải tại:
/>39. Cho ΔABC có BC = a, AC = b, AB = c và a 2 = bc. Gọi h a, h b, h c là chiều
cao tương ứng với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh ΔABC đồng dạng với tam
giác có ba cạnh bằng độ dài các đường cao của ΔABC.
 
Xem lời giải tại:
/>^
AB
BC
40. Cho ΔABC, Aˆ = 90 0 và ΔA ′ B ′ C ′ , A ′ = 90 0. Biết  ′ ′ = ′ ′ = k
A B
B C
a.  Tính 

AC
A ′C ′

b.  Chứng minh: ΔABC ∼ ΔA ′ B ′ C ′
c.  Tính tỉ số diện tích của ΔABC và ΔA ′ B ′ C ′ .
Xem lời giải tại:
/>ˆ = 90 0, AB = 20 cm, BH = 12 cm. Trên tia đối của tia HB lấy
41. Cho ΔABH, H
5
điểm C sao cho AC = AH.
3
a.  Chứng minh: ΔABH ∼ ΔCAH
^

b.  Tính BAC = ?
Xem lời giải tại:
/>42. Cho tứ giác ABCD có: 


^
^
BAD = 90 0, CBD = 90 0, AB = 4 cm, BD = 6 cm, CD = 9 cm.
a.  Chứng minh ΔABD ∼ ΔBDC
b.  Tứ giác ABCD là hình thang vuông.
Xem lời giải tại:
/>43. Cho hình thoi ABCD có Aˆ = 60 0. Qua C kẻ đường thẳng d cắt các tia đối của
các tia BA, DA theo thứ tự ở E, F. Goi I là giao điểm của DE và BF.
a.  So sánh 

EB
BA

 và 

AD
DF

 .

b.  Chứng minh ΔEBD ∼ ΔBDF.
^
c.  Tính BID = ? .
Xem lời giải tại:
/>ˆ = 90 0), AB = 10 cm, CD = 30 cm, AD =

44. Cho hình thang vuông ABCD (Aˆ = D
35 cm. 
^
Điểm E nằm trên cạnh AD sao cho AE = 15 cm. Tính BEC?
 
Xem lời giải tại:
/>45. Cho hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại O, AC = 2AB. Vẽ trung tuyến BE của 
ΔABO (E ∈ AO). Gọi M là trung điểm của BC.
^
^
a.  So sánh ABE và ACB.
b.  Chứng minh EM⊥BD.
Xem lời giải tại:
/>46. Cho ΔABC. Đường thẳng d / / BC cắt AB, AC lần lượt tại D, E sao cho 
DC 2 = BC. DE.
a.  So sánh ΔDEC và ΔCDB.


b.  Nêu cách dựng DE.
Xem lời giải tại:
/>47. Cho ΔABC và G là điểm thuộc miền trong tam giác, tia AG cắt BC tại K và tia
CG cắt AB tại M. Biết rằng AG = 2GK; CG = 2GM. Chứng minh rằng G là trọng
tâm của ΔABC
 
Xem lời giải tại:
/>48. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Biết 
^
^
0
AB = 9cm; BD = 12cm; CD = 16cm; ADB = 45 . Tính BCD ?

 
Xem lời giải tại:
/>ˆ BA = 2, 5DE; BC = 2, 5EF; AC + DF = 49cm.
49. Cho ΔABC và ΔDEF có Bˆ = E;
Tính AC và DF.
 
Xem lời giải tại:
/>50. Cho góc xOy có tia phân giác Ot. Trên tia Ox lấy các điểm A và C’ sao cho 
OA = 4cm; OC ′ = 9cm. Trên tia Oy lấy các điểm A’ và C sao cho 
OA ′ = 12cm; OC = 3cm.  Trên tia Ot lấy các điểm B và B’ sao cho 
OB = 6cm; OB ′ = 18cm.
a.  Chứng minh rằng ΔOAB ∼ ΔOA ′ B ′
b.  Tính các tỉ số 

AB

;

BC

;

AC

A ′B ′ B ′C ′ A ′C ′

Xem lời giải tại:
/>51. Trên một cạnh của một góc có đỉnh là O, đặt các đoạn thẳng 
OA = 5cm; OB = 16cm. Trên cạnh thứ hai của góc đó, đặt các đoạn thẳng 
OC = 8cm; OD = 10cm.

a.  Chứng minh rằng ΔOCB ∼ ΔOAD.
b.  Gọi giao điểm của các cạnh AD và BC là I. Chứng minh rằng AI. ID = IB. IC
Xem lời giải tại:
/>52. Cho ΔABC có Aˆ = 90 0, dựng AH⊥BC (H ∈ BC). Đường phân giác BE cắt AH
tại F.
FH
EA
Chứng minh rằng 
=
.
FA
EC
 
Xem lời giải tại:
/>53. Tính độ dài x của đoạn thẳng BD trong hình vẽ biết rằng ABCD là hình thang,
^
^
AB // CD; AB = 12, 5 cm; CD = 28, 5 cm; DAB = DBC.

 
Xem lời giải tại:
/>54. Cho hình thang ABCD, (AB//CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC
và BD.
a.  Chứng minh rằng: OA. OD = OB. OC
b.  Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K. Chứng
OH
AB
minh rằng 

=
 
OK
CD
Xem lời giải tại:
/>ˆ
55. Cho ΔABC có cạnh AB = 24 cm; AC = 28 cm đường phân giác của góc A cắt
cạnh BC tại D. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng
AD.


a.  Tính tỉ số 

BM
CN

b.  Chứng minh rằng 

AM
AN

=

DM
DN

Xem lời giải tại:
/>56. Cho ΔABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên
^
cạnh AC lấy điểm E sao cho DM là tia phân giác của BDE. Chứng minh rằng 

BC 2
BD. CE =
4
 
Xem lời giải tại:
/>^
^
57. Cho ΔABC và ΔA ′ B ′ C ′  biết Aˆ + A ′ = 180 0; Bˆ = B ′ . Chứng minh rằng 
AB. A ′ B ′ + AC. A ′ C ′ = BC. B ′ C ′
 
Xem lời giải tại:
/>ˆ
58. Cho ΔABC có Aˆ = 2Bˆ = 4C. Chứng minh rằng: 

1
AB

=

1
BC

+

1
AC

.

 

Xem lời giải tại:
/>ˆ  Chứng minh rằng 
59. Cho ΔABC có AB = c; BC = a; AC = b; Aˆ = 2B.
a 2 = b 2 + bc
 
Xem lời giải tại:
/>60. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh BA, BC đặt BP = BQ vẽ BH⊥CP. Chứng
minh rằng DH⊥HQ


 
Xem lời giải tại:
/>61. Cho ΔABC đều, gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm P trên cạnh AB và điểm
^
Q trên cạnh AC sao cho PMQ = 60 0. Chứng minh:
a.  ΔPBM ∼ ΔMCQ
b.  ΔMBP ∼ ΔQMP
c. 

S MPQ
S ABC

=

PQ
2BC

Xem lời giải tại:
/>62. Cho ΔABC đều, O là trọng tâm của tam giác và điểm M ∈ BC, M không trùng
với trung điểm của BC. Kẻ MP và MQ lần lượt vuông góc với AB và AC, các đường

vuông góc này lần lượt cắt OB và OC taị I và K.
a.  Chứng minh rằng tứ giác MIOK là hình bình hành
b.  Gọi R là giao điểm của PQ và OM. Chứng minh R là trung điểm của PQ.
Xem lời giải tại:
/>63. Cho hình bình hành ABCD có AC là đường chéo lớn. Gọi E và F theo thứ tự là
hình chiếu của C trên AB và AD. Gọi H là hình hình chiếu của D trên AC. Chứng
minh rằng:
a.  AD. AF = AC. AH
b.  AD. AF + AB. AE = AC 2
Xem lời giải tại:
/>64. Cho ΔABC. Qua D ∈ BC lần lượt kẻ DE / / AC (E ∈ AB); DF / / AB (F ∈ AC).
Biết S ΔBED = 16 cm 2; S ΔDFC = 25 cm 2. Tính S ΔABC ?
 
Xem lời giải tại:
/>

65. Cho ΔABC, ba trung tuyến AK, BN, CM cắt nhau tại O. Gọi A 1; A 2; A 3 là ba
điểm lần lượt trên AK, BN, CM sao cho 
1
1
1
AA 1 = A 1K; BB 1 = B 1N; CC 1 = C 1M.
3
3
3
Tính S ΔA B C  biết S ΔABC = 128 cm 2.
1 1 1

 
Xem lời giải tại:

/>ˆ = 30 0 và đường phân giác BD (D ∈ AC).
66. Cho ΔABC có Aˆ = 90 0; C
a.  Tính tỉ số 

AD
CD

b.  Cho biết độ dài AB = 12, 5cm, tính chu vi của ΔABC
c.  Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng ΔADB = ΔMDC
Xem lời giải tại:
/>67. Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, gọi P là trung điểm của BH, Q là trung
điểm của AH. Chứng minh rằng:
a.  ΔABP ∼ ΔCAQ
b.  AP⊥CQ
Xem lời giải tại:
/>68. Cho ΔABC, đường cao AH, kẻ HI⊥AB; HK⊥AC. Chứng minh rằng:
a.  AH 2 = AI. AB
b.  ΔAIK ∼ ΔACB
^
EB 2
BI
c.  Đường phân giác của AHB cắt AB tại E. Biết 
= .  Tính 
AB 5
AI
Xem lời giải tại:
/>69. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ BH⊥CM, nối DH, vẽ 
HN⊥DH(N ∈ BC). Chứng minh rằng:

a.  ΔDHC ∼ ΔNHB
b.  ΔMHB ∼ ΔBHC
c.  NB = MB
Xem lời giải tại:
/>70. Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 6cm; AB = 8cm và hai đường chéo cắt
nhau tại O. Qua D kẻ đường thẳng d⊥DB , d cắt BC tại E.
a.  Chứng minh rằng: ΔBDE ∼ ΔDCE
b.  Kẻ CH⊥DE tại H, chứng minh DC 2 = CH. DB
c.  Gọi K là giao điểm của OE và HC. Chứng minh K là trung điểm của HC.
S EHC
d.  Tính tỷ số 
S EDB
Xem lời giải tại:
/>71. Cho ΔABC vuông tại A có AH là đường cao, gọi D và E lần lượt là hình chiếu
vuông góc của H lên AB, AC.
a.  Chứng minh rằng ΔAED ∼ ΔABC
b.  Giả sử S ABC = 2S ADHE . Chứng minh rằng ΔABC vuông cân tại A.
Xem lời giải tại:
/>72. Cho hình thang ABCD có (AB//CD), AB = m; CD = n(n > m), các điểm P, Q
lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho PQ / / AB / / CD; S ABQP = S PQCD. Chứng
2

minh rằng: PQ =

m2 + n2
2

 
Xem lời giải tại:
/>73. Cho ΔABC cân tại đỉnh A và H là trung điểm của cạnh BC. Gọi I là hình chiếu

vuông góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh rằng 
ΔBIC ∼ ΔAOH.
 


Xem lời giải tại:
/>74. Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = 12cm, BC = 9cm. Gọi H là chân đường
vuông góc kẻ từ A xuống BD.
a.  Chứng minh rằng ΔAHB ∼ ΔBCD
b.  Tính độ dài đoạn thẳng AH
c.  Tính diện tích ΔAHB
Xem lời giải tại:
/>^
^
75. Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, ABD = ACD. Gọi E
là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Chứng minh rằng:
a.  ΔAOB ∼ ΔDOC
b.  ΔAOD ∼ ΔBOC
c.  EA. ED = EB. EC
Xem lời giải tại:
/>76. Cho ΔABC vuông tại A, AB = 15cm; AC = 20cm đường phân giác BD.
a.  Tính độ dài AD
b.  Gọi H là hình chiếu của A trên BC, tính độ dài HA, HB.
c.  I là giao của AH và BD. Chứng minh rằng ΔAID cân.
Xem lời giải tại:
/>77. Cho ΔABC vuông tại A, AB = 36 cm; AC = 48 cm. Đường phân giác AK. Tia
ˆ
phân giác của B cắt AK ở I, qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB và AC
theo thứ tự ở D và E.
a.  Tính độ dài BK

b.  Tính tỉ số 

AI
AK

c.  Tính độ dài DE.


Xem lời giải tại:
/>78. Cho ΔABC vuông tại A, AB = a; AC = 3a, trên cạnh AC lấy các điểm DE sao
cho AD = DE = EC.
a.  Tính các tỉ số 

DB DC
;
DE DB

b.  Chứng minh rằng ΔBDE ∼ ΔCDB
^
^
c.  Tính tổng AEB + ACB
d.  Tính chu vi ΔBDE
Xem lời giải tại:
/>79. Cho ΔABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G, qua điểm O thuộc
cạnh BC, vẽ OM // CE, ON // BD (M ∈ AB; N ∈ AC), MN cắt BD, CE theo thứ tự
ở I, K.
MH
a.  Gọi H là giao điểm của OM và BD. Tính tỷ số 
MO
b.  Chứng minh rằng MI =

1
3

MN

c.  Chứng minh rằng MI = IK = KN
Xem lời giải tại:
/>80. Cho ΔABC, có trực tâm H, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC.
Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của ΔABC.
a.  Chứng minh rằng ΔOMN ∼ ΔHAB
b.  Tính tỉ số 

OM
AH

c.  Gọi G là trọng tâm của ΔABC. Chứng minh rằng ΔHAG ∼ ΔOMG
d.  Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng và GH = 2GO
Xem lời giải tại:
/>

81. Cho ΔABC cân tại A, vẽ các đường cao BH, CK (H ∈ AC; K ∈ AB)
a.  Chứng minh BK = CH
b.  Chứng minh KH // BC
c.  Biết BC = a; AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.
Xem lời giải tại:
/>82. Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 15cm; AC = 20cm.
a.  Chứng minh rằng CA 2 = CH. CB
^
b.  Kẻ AD là tia phân giác của BAC(D ∈ BC). Tính HD.

c.  Trên tia đối của tia AC lấy điểm I. Kẻ AK⊥BI tại K. Chứng minh rằng 
ΔBHK ∼ ΔBIC
d.  Cho AI = 8cm. Tính diện tích ΔBHK.
Xem lời giải tại:
/>83. Cho ΔABC vuông tại A, (AB < AC) và trung tuyến AD, kẻ đường thẳng vuông
góc với AD tại D lần lượt cắt AC tại E và AB tại F.
a.  Chứng minh ΔDCE ∼ ΔDFB
b.  Chứng minh AE. AC = AB. AF
c.  Đường cao AH của ΔABC cắt EF tại I. Chứng minh rằng 

S ABC
S AEF

=

( )
AD

2

AI

Xem lời giải tại:
/>84. Cho hình chữ nhật ABCD có AB > AD và AD = 5cm. Trên DC lấy điểm M sao
^
cho DM = 2cm. Biết AMB = 90 0
a.  Chứng minh ΔDAM ∼ ΔCMB. Tính độ dài MC.
^
b.  Tia phân giác của AMB cắt AB tại E. Kẻ EK⊥AB(K ∈ MB). Chứng minh rằng
EA=EK.

c.  Tia EK cắt AM tại H, tia AK cắt BH tại N. Chứng minh MN là tia phân giác góc 


^
BMH
Xem lời giải tại:
/>85. Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH (H ∈ BC).
a.  Chứng minh ΔABH ∼ ΔCBA
b.  Trên tia HC, lấy D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH
cắt AC tại E. Chứng minh CE. CA = CD. CB
c.  Chứng minh AE = AB
d.  Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh AH. BM = AB. HM + AM. HB
Xem lời giải tại:
/>86. Cho ΔABC nhọn, các điểm D, E, F lần lượt nằm trên AB, AC, BC. Chứng minh
rằng:
S ADE AD. AE
a. 
=
S ABC
AB. AC
b.  Trong ba tam giác ΔADE; ΔBDF; ΔCEF tồn tại một tam giác có diện tích
1
1
không quá  S ABC . Khi nào thì S ADE = S BDF = S CEF = S ABC
4
4
Xem lời giải tại:
/>87. Cho ΔABC vuông tại A (AB > AC) kẻ đường cao AH.
a.  Chứng minh rằng: 

AB 2
BH

=

AC 2
CH

^
b.  Kẻ AD là tia phân giác của BAH(D ∈ BH). Chứng minh ΔACD cân và 
DH. DC = BD. HC

( )

( )

c.  Tính độ dài AH trong trường hợp S ABH = 15, 36 cm 2 ; S ACH = 8, 64 cm 2

d.  Gọi M là trung điểm của AB, E là giao điểm của hai đường thẳng MD và AH.
Chứng minh rằng: CE / / AD.


Xem lời giải tại:
/>88. Cho tứ giác ABCD, điểm E ∈ AB, qua E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt
BC ở F. Qua F kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại G. Qua G kẻ đường
thẳng song song với AC cắt AD ở H.
a.  Tứ giác EFGH là hình gì?
b.  Để EFGH là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD phải có điều kiện gì?
c.  Nếu EFGH là hình chữ nhật thì tính diện tích các tứ giác ABCD, EFGH biết 
BE 1

AC = 45(cm); BD = 30(cm);
=
BA 2
Xem lời giải tại:
/>89. Hình thang ABCD có AB // CD, đường cao bằng 12cm, AC⊥BD, BD = 15(cm).
a.  Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Tính độ dài DE
b.  Tính diện tích hình thang ABCD.
Xem lời giải tại:
/>90. Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC), phân giác BD. Trên tia đối của tia AB lấy
^
^
điểm F sao cho ACF = ABD . Gọi E là giao điểm của CF và BD.
a.  Chứng minh: ΔBEF ∼ ΔCAF
b.  Chứng minh: ΔBCF cân
c.  Đường thẳng qua E, song song với AC cắt BF tại K. 
Chứng minh: AC 2 = 4KF. BK
Xem lời giải tại:
/>91. Cho ΔABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau ở H. Gọi K là hình chiếu
của H lên BC. Chứng minh rằng:
a.  BH. BD = BK. BC
b.  CH. CE = CK. CB
c.  BH. BD + CH. CE = BC 2


d.  Chứng minh rằng ba điểm A, H, K thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
/>
(

)

92. Cho hình bình hành ABCD có  Aˆ < Bˆ . Gọi E là hình chiếu của C trên AB, K là
hình chiếu của C trên AD, H là hình chiếu của B trên AC. Chứng minh rằng:
a.  AB. AE = AC. AH
b.  BC. AK = AC. HC
c.  AB. AE + AD. AK = AC 2
Xem lời giải tại:
/>93. Cho ΔABC vuông tại A, AB = 6cm; AC = 8cm; đường cao AH.
a.  Chứng minh AB 2 = BC. BH
b.  Tính AH
^
c.  Tia phân giác của AHC cắt cạnh AC tại D. Tính diện tích ΔDHC
Xem lời giải tại:
/>94. Cho ΔABC và một điểm D trên cạnh AB. Đường thẳng đi qua D và song song
với BC cắt AC tại E và cắt đường thẳng qua C song song với AB tại G. Nối BG cắt
AC tại H; qua H kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại I. Chứng minh rằng:
a.  DA. EG = DB. DE
b.  HC 2 = HE. HA
c. 

1
HI

=

1
BA

+

1
CG

Xem lời giải tại:
/>95. Cho hình vuông ABCD và một điểm E bất kỳ trên cạnh BC. Kẻ tia Ax vuông
góc với AE cắt CD tại F. Kẻ trung tuyến AI của ΔAEF và kéo dài cắt CD tại K. Qua
E kẻ đường thẳng song song với AB cắt AI tại G. Chứng minh rằng:
a.  AE = AF