Phương pháp tiếp tuyến

Phương pháp tiếp tuyến

Phương pháp tiếp tuyến
Bởi:
Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên

Phương pháp tiếp tuyến
Ý tưởng
Ý tưởng của thuật toán như sau: Ở bước lặp thứ k ta thay hàm f(x) bởi tiếp tuyến với đồ
thị tại điểm xk. Nghiệm xấp xỉ tiếp theo là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành.

Ý nghĩa hình học

f là hàm khả vi và dễ tính giá trị đạo hàm thì phương pháp tiếp tuyến có tốc độ hội tụ
nhanh.

1/5


Phương pháp tiếp tuyến

Giả sử f(x) là hàm khả vi liên tục 2 lần trên đoạn [a,b] và thoả mãn: f(a).f(b)<0 và f’, f’’
không đổi dấu trên đoạn [a,b].
Định nghĩa: Điểm x0 gọi là điểm Fourier của f nếu:
f(x0) f’’(x0) >0
Dễ thấy với các điều kiện trên nếu một trong hai điểm a, b là điểm Fourier, thì điểm kia
không là Fourier. (Vì f(a) và f(b) trái dấu, còn f’’(x) không đổi dấu)
Định lý (điều kiện hội tụ theo Furiê_điều kiện đủ)
Giả sử [a,b] là khoảng nghiệm của phương trình f(x)=0. Đạo hàm f’(x), f’’(x) liên tục,
không đổi dấu, không tiêu diệt trên [a,b]. Khi đó ta chọn xấp xỉ nghiệm ban đầu x0
thuộc[a,b] sao cho f(x0)*f’’(x0) > 0 thì quá trình lặp sẽ hội tụ đến nghiệm.

Phương pháp tiếp tuyến hay còn gọi là phương pháp Fourier có tốc độ hội tụ cao.
Xấp xỉ ban đầu x0 được chọn là một điểm Fourier thuộc [a,b] kể cả a và b.
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị y=f(x) tại xk là:
y = f’(xk) (x-xk) +f(xk);
Nghiệm xấp xỉ ở bước k+1 sẽ là nghiệm của phương trình:
f’(xk) (x-xk) +f(xk) =0

2/5


Phương pháp tiếp tuyến

hay ta có công thức lặp:

Ta có thể chứng minh dãy trên đơn điệu và hội tụ đến nghiệm phương trình
Ước lượng sai số:
Giả sử x* là nghiệm của (4.1), đặt m = min{|f’(x)| | x∈[a,b]}. Ta có ước lượng sau:

Thật vậy, ta có
f(xn) = f(xn) – f(x*) = f’(c) (xn – x*)
nên

Vì các đạo hàm f’(x) và f’’(x) không đổi dấu trên [a,b] nên
m = min { |f’(a)|, |f’(b)| } >0

Thuật toán Newton
Dạng giả mã của thuật toán:
Procedure Newton
{
m= min (|f’(a)|, |f’(b)| );

x=x 0 =điểm Fourier

3/5


Phương pháp tiếp tuyến

while (|f(x)/m|>ε) x = x – f(x) / f’(x);
// x là nghiệm gần đúng
}

Ứớc lượng sai số:
Sai số ở bước n được tính theo công thức là:

Ví dụ
Ví dụ 1: Để tính gần đúng 3√15 ta giải phương trình x3 -15 =0 trên đoạn [2,3]. Dễ kiểm
tra thấy f(2).f(3) <0; f’(x) =3x2 >0; f’’(x) =6x>0 trên đoạn [2,3] và x0=3 là điểm Fourier
và m = min{12, 27} = 12
Công thức có dạng:

Ta có x1 = 2,5556; x2 = 2,4693
Sai số |x2- x*| < |f(x2)|/m = 0,005
Vídụ2: Giải phương trình: x3 + x - 5 = 0 bằng phương pháp tiếp tuyến
Giải: - Tách nghiệm:
f(x) = x3 + x - 5
f’(x) = 3x2 + 1 > 0 mọi x
Phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất f(1)* f(2) = (-3)*5 < 0
Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất x thuộc (1, 2)

4/5

Phương pháp tiếp tuyến

- Chính xác hoá nghiệm: f’’(x) = 6x > 0 mọi x thuộc (1, 2) f’(x) > 0 mọi x
Thoả mãn điều kiện hội tụ Furiê, áp dụng phương pháp tiếp tuyến
Chọn với x0 = 2 ( vì f(2). f’’(2) > 0)
Ví dụ 3: Xét phương trình f(x) = x3 - 3x + 1 = 0 trong khoảng cách ly nghiệm [0,1/2].
Ta có

Chọn x0 = 0 thỏa điều kiện Fourier.
Kết quả tính toán theo công thức lặp Newton cho ta bảng sau:

5/5