Bài tập tích phân hàm lượng giác có đáp án thầy nguyễn bá tuấn

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

TÍCH PHÂN HÀM L

Nguyên hàm – tích phân

NG GIÁC

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N BÁ TU N
Các bài t p trong tài li u này đ

c biên so n kèm theo bài gi ng Tích phân hàm l

ng giác thu c khóa h c Luy n thi

THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n – Phan Huy Kh i – Tr n Ph
s d ng hi u qu , B n c n h c tr

ng) t i website Hocmai.vn.

c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Tính các tính phân sau

2

Bài 1. I =  sin 5 xdx
0


2


2

I   1  cos 2 x  s inxdx= -  1  2cos 2 x  cos 4 x  d  cosx 
2

0

0


2
1
2

3
5 
  cosx+ cos x  cos x  2 
3
5

 0 15

2

Bài 2. I   sin 3 x cos 4 xdx
0





  1  cos 2 x cos 4 x.s inxdx    cos6 x  cos4 x d  cosx 
2

2

0

0



1
2
1

  cos7 x  cos5 x  2 
5
7
 0 35

2

Bài 3. I =

 sin

4

x dx

0


2


2

1 
1  cos4x 
 1  cos2x 
I  
 dx   1  2cos 2x 
 dx
2
4 0
2


0
2


2


1
1
1
3
3 1

3

    cos2x+ cos4x  dx   x  sin 2x  sin 4x  2 
8 2
8
4
32

8
 0 16
0

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân


4

dx

 cos x

Bài 5.

4

0







4
1
1
4
dx


=

  1  tan 2 x d  t anx    t anx+ tan 3 x  4 
2
2
3
cos x cos x 0

 0 3
0
4


4

 sin

Bài 6.

2

x cos 4 xdx

0

H b c:
 1  cos2x  1  cos2x  1
2
sin x cos x  

  1  cos2x  1  2cos 2 x  cos 2 x
2

2
8



2

2

4



1
1  2cos 2 x  cos 2 2 x  cos2x-2cos 2 2 x  cos3 2 x

8



1
1
1+cos4x
 1+cos4x  
1  cos2x-cos 2 2 x  cos3 2 x  1  cos2x cos2x 


8
8
2

2





1
1
cos6x+cos2x 
1  cos2x-cos4x+cos4x.cos2x   1  cos2x-cos4x+

16
16 
2


1
 2  3cos 2 x  cos6x-cos4x 
32

V y




1
3
1
1
4 3 

 1

I    2  3cos 2 x  cos6x-cos4x  dx   x  sin 2 x 
sin 6 x 
sin 4 x  4 
32
64
32.6
32.4
 32
 0 192
0
4


2

Bài 7: I =

 (cos x  1)cos xdx
3

2

0

Gi i

I=







2

2

2

0

0

0

3
2
5
2
 (cos x  1)cos xdx   cos xdx   cos xdx  I1  I 2 .







2

2

2

0

0

0

• V i I1   cos5 xdx   cos4 x.cos xdx   (1  sin 2 x)2 d sin x
1

1

t s inx  t  I1   (1  t ) dt   (1  2t 2  t 4 )dt
2 2

0

Hocmai.vn – Ngôi tr

0

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân

1 2 1 4 1 8
 t  t3  t5 
0 3 0 5 0 15








1
1

12
• V i I 2   cos 2 xdx   (1  cos2x)dx  x 2  sin 2 x 2 
20
2
4
4
0
0

0
2

• V y I  I1  I 2 

8 
 .
15 4



4sin 3 x
0 1  cos x dx
2

Bài 8: I =

Gi i:
Ta có:
4sin 3 x 4sin 3 x(1  cos x)

 4sin x  4sin x cos x  4sin x  2sin 2 x
1  cos x
sin 2 x




2

 I    4sin x  2sin 2 x dx   cos2 x  4 cos x 2  2
0
0

4

cos 2 x
dx
3  sin 2 x
0

Bài 9: I  

Gi i
t t = 3  sin 2 x  dt  cos 2 xdx
ic n

4

x

t 4
4
x0t 3

dt
 ln t
t
3

I= 



4
3

 ln 4  ln 3

Bài 10: Tính nguyên hàm I  

s inx  sin 3x
dx
cos2 x
Gi i:

I 


sinx  sin 3x
2sin 2 x cos x
4sin xcos 2 x
dx  
dx  
dx
2cos 2 x  1
cos2 x
cos2 x

4cos 2 xd (cos x) 4t 2 dt

dt
 2


 
 2  dt  
 2 dt
2
2
2
1 2
1  2cos x
1  2t
 1  2t

t
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân

1
1  2t
1
1  2 cos x
ln
ln
 2t  C 
 2cos x  C
2 1  2t
2 1  2 cos x





sin 2x cos x
dx
1  cos x
0
2

Bài 11. H, C Kh i B – 2005 . I  

KQ: 2 ln 2  1

Gi i




2
 2cos x  1 s inx dx
sin 2 x  sin x
I 
dx  
1  3cos x
1  3cos x
0
0
2

1


t 2 1
2
osx=
;s inxdx=- tdt
c

3
3
t : t  1  3cos x  
 x  0  t  2; x    t  1

2

 t 2 1 

2
 1
1 
2
2
3

   2 tdt   2 2t  1 dt  2  1 t 3  t  2  34
Khi đó : I  


1 9
9  3
t
 3 
 1 27
2

2

sin 2 x cos x
dx
1  cos x
0

Bài 12. I  

2



0


2

2
2sin x cos x
cos 2 x
dx  2 
s inxdx
1  cos x
cosx+1
0

1




 t 1
dt=-sinxdx,
x=0
t=2;x=

2

t : t  1  cosx  
2
 f ( x)dx   t  1 dt   t  2  1  dt




t
t


2
1

1
Do đó : I  2  f ( x)dx  2  t  2   dt  2  t 2  2t  ln t
t
2
0
2
1

2
 1  2ln 2  1




cos2x
dx .
1  2sin 2x
0
4

Bài 13. I  

1

dt  4 cos 2 xdx  cos2xdx= 4 dt
t : t  1  2sin 2 x  
 x  0  t  1; x    t  3

4

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân



3
3 1
cos2x
1 dt 1
dx    ln t  ln 3

1  2sin 2x
41 t 4
1 4
0
4

V y: I


2

 cos 2x(sin x  cos
4

Bài 14. I =

4

x)dx

0

1
Vì : sin 4 x  cos4 x  1  sin 2 2 x
2

Cho nên :










12 2
1
1
 1 2 
I   1  sin 2 x  cos2xdx=  cos2xdx-  sin 2 x cos 2 xdx  sin 2 x 2  sin 3 2 x 2  0
2
20
2
3

0
0
0
0
2

2



s inxcos3 x
dx
2

1

c
os
x
0
2

Bài 15. I  




1 2 cos 2 x
(sin 2 x)dx
2 0 1  cos 2 x

1

dt  2sin x cos xdx   sin 2 xdx

t : t  1  cos x   2

cos x  t  1; x  0  t  2; x   t  1

2

2

1

2
2 ln 2  1
1  t  1
1 1 
1
V y: I  
 dt      1 dt   ln t  t  
1
22 t
2 1t 
2
2


2

Bài 16.

 cos x cos
2

2

2 xdx .

0

Ta có : f ( x)  cos 2 x cos 2 2 x 

1  cos2x 1  cos4x 1

 1  cos2x+cos4x+cos4x.cos2x 
.
2
2
4

1
1
1
1
 1 3
 1  cos2x+cos4x+  cos6x+cos2x     cos2x+ cos4x+ cos6x
4
2
4
8
 4 8




1
1
3
1
1

1 3

1


V y : I     cos2x+ cos4x+ cos6x  dx   x  sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  2 
4 8
4
8
16
16
48

4
 0 8
0
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân


2

Bài 17: J   sin 2 x sin 7 xdx

2
Gi i









1 2
1 2
1
1
4
2
2
 sin 9 x

sin 5 x
 cos 5 xdx 
 cos 9 xdx 
2 
2 
 18
 45
10

2
2


2
2

J 


2

Bài 18: K   cos x(sin 4 x  cos 4 x)dx
0

Gi i:
2


Ta có cos x(sin 4 x  cos4 x)  cos x  sin 2 x  cos2 x  2sin 2 x cos2 x


1
 1

 1
 3
 cos x 1  sin 2 2 x   cos x 1  1  cos 4 x  cos x  cos x cos 4 x
4
 2


 4
 4








32
12
12
K   cos x(sin 4 x  cos 4 x)dx   cos xdx   cos 5 xdx   co3xdx
40
80
80
0
2







3
1
1

3 1
1 11
 sin x 2  sin 5 x 2  sin 3x 2   
 .
4
40
24
4 40 24 15
0
0
0


4sin 3 x
dx
0 1  cos x
2

Bài 19: M  

Gi i

4sin 3 x 4sin 2 x sin x 4(1  cos 2 x)sin x


 4(1  cos x)sin x
1  cos x
1  cos x
1  cos x
=> M  2 .


4

sin 4 x
dx
2
1
cos

x
0

Bài 20: I= 

Gi i


2 sin 2 x(2 cos 2 x  1)
dx
0
1  cos 2 x
4

I=

t t = cos2x  dt = -2sin2xdx.
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

V i x = 0 thì t = 1; V i x =
1
2

I = 2

Do đó:

1

Nguyên hàm – tích phân

1

thì t =
2
4

1
2t  1
3
(dt )  2 (2 

)dt  2(2t  3 ln t  1 ) 1  2(1  6 ln 2  3 ln 3)
t 1
1 t
1
2
1

2


4

sin 2 x
dx
2
0 sin x  2 cos x

Bài 21: I= 

2

Gi i:
t t = sin2x + 2cos2x  dt = (2sinxcosx + 4cosx(-sinx))=-sin2xdx
V i x= 0 thì t = 2; V i x =


3
thì t =
2
4

3
2

2
dt
4
  ln t 3  ln
t
3
2
2

Do đó: I =  

4

Bài 22: I=  tg 3 xdx
0

Gi i:
t t = tgx  dt = (1 + tg2x)dx  dx =


dt
. V i x = 0 => t = 0; V i x=
=> t = 1.
4
t 1
2

1
t3
t
t2 1
1  ln 2
2






dt
(
t
)
dt
(
ln(
1
t
)
Do đó: I = 
2
2

2 2
2
1 t

0
0 1 t
0
1

1



1  2 sin 2 x
dx
1  sin 2 x
0
4

Bài 23: I= 

Gi i:


I=



4
1  2 sin x
cos 2 x
dx
=
0 1  sin 2 x

0 1  sin 2 x dx
4

2

t t = 1 + sin2x  dt = 2cos2xdx.

V i x = 0 => t = 1; V i x =


=> t =2
4

2

2
1
1 dt 1
Do đó: I =   ln t  ln 2
2
21 t
2
1

Giáo viên: Nguy n Bá Tu n
Ngu n
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn
- Trang | 7 -