BÀI GIẢNG: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Giáo viên giảng dạy: NGUYỄN THÀNH LONG

Email:


Bỉm sơn: 16 – 02 – 2014
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

1

BÀI GIẢNG: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Dạng 1: Tính tích phân dạng
 
cos .sin
I f x x dx





đặt
cos sin
t x dt dx
   


Bài tập giải mẫu:

Bài 1: (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau
 
2
2
0
sin cos 1 cos
I x x x dx

 


Giải:
Cách 1: Ta có:
 
   
2 2 2
2
2 2 3

0 0 0
sin cos 1 cos sin cos 1 2cos cos cos 2cos cos .sin
I x x x dx x x x x dx x x x xdx
  
       
  

Đặt cos sin
t x dt xdx
   

Đổi cận
0
1
0
2
x
t
t
x







 







Khi đó
   
0 1
2 3 4
2 3 2 3
1 0
1
2 17
2 2
0
2 3 4 12
t t t
I t t t dt t t t dt
 
          
 
 
 

Cách 2:
 
   
 
2 2 2
2
2 2 3

0 0 0
2 3 4
sin cos 1 cos sin cos 1 2cos cos cos 2cos cos . cos
cos 2cos cos 17
2
2 3 4 12
0
I x x x dx x x x x dx x x x d x
x x x
  

        
 
    
 
 
  

Cách 3:
Đặt
sin
1 cos
cos 1
xdx dt
t x
x t
 

  


 

… bạn đọc tự giải (cách này là dễ nhất)
Cách 4:
Đặt
     
 
3
2 2 1 cos
sin 1 cos 1 cos 1 co
sin
cos
s
3
du
x
x x
xdx
u x
d
v
d xv xdx
 



 

 
 


  
 





Khi đó
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

2
       
 
2 2
3 3 3
0 0
4
1 2 1
1 cos sin 1 cos 1 cos 1 cos
2
3 3 3
0
2 1 17
1 cos
2
3 12
1
c
12

os .
3
0
x x x dx x d x
I
x
x
 


      
   
 
 

Bài 2: Tính tích phân sau
2
3
sin
dx
I
x





Giải:
Cách 1:
Nhân cả tử và mẫu cho

sin
x
ta được
2 2 2
2 2
3 3 3
sin sin
sin
sin 1 cos
dx xdx xdx
I
x
x x
  
  
  

  

Đặt
cos sin
t x dt xdx
   

Đổi cận
0
2
1
2
3

t
x
t
x







 

 

 





Khi đó
 
1 1 1 1
0
2 2 2 2
2 2
1
0 0 0 0
2

1 1 1 1 1
2 1 1 2 1 2 1
1 1
1
1 1
ln 1 ln 1 ln3
2
2 2
0
dt dt dt dt
I dt
t t t t
t t
t t

 
      
 
   
 
 
     
    

Cách 2:
Đặt
2
2
1 2
tan tan 1

2 2 2
1
x x dt
t dt dx dx
t
 
     
 

 

2
2
1 1 2 1
.
2
sin
1
1
tdt
dx dt
t
x t
t
t
  



Đổi cận

3
3
3
1
2
x
t
x
t







 

 
 






Khi đó
 
1
2

3
3
3
1
1 1 3 1
ln ln ln3.
3
sin 3 2
3
I dx dt t
x t


     
 

Cách 3:
2 2 2 2
2
3 3 3 3
tan
1
2
2
ln tan ln3
sin 2 2
2sin cos 2 tan cos tan
2 2 2 2 2
3
x

d
dx dx dx x
I dx
x x x x x
x
   
   


 
 
 
     
   

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

3
Cách 4:
   
  
 
2 2 2 2
2 2
3 3 3 3
1 cos 1 cos
sin sin 1
cos
sin 2 1 cos 1 cos
sin 1 cos

x x
dx xdx xdx
I d x
x x x
x x
   
   
  
    
 

   

     
2 2 2
3 3 3
1 1 1 1 1 1 1
cos 1 cos 1 cos
2 1 cos 1 cos 2 1 cos 2 1 cos
d x d x d x
x x x x
  
  
 
       
 
   
 
  

1 1 1
2 2
ln 1 cos ln 1 cos ln3
2 2 2
3 3
x x
 
 
     

Cách 5:
Đặt
2
sin
c
c
os
o
n
t
si
u x
du xdx
dx
v
d
x
x
v







 
 




…. Bạn đọc tự giải nhé
Bài 2: (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
I dx
x






Giải:
Cách 1:
Ta có



sin 2 sin sin 2cos 1
x x x x
  
.
Đặt
1 3cos
t x
 
ta được
3sin sin 2
3
2 1 3cos 1 3cos
x x dt
dt dx dx
x x

   
 
;
2 2
1 2 1
cos 2cos 1
3 3
t t
x x
 
   
Đổi cận
0

2
1
2
x
t
t
x







 






Khi đó
2
2
3
1
2
4 2 4 2 34
1
9 9 27 9 27

t
I dt t t
 
 
    
 
 
 
 


Cách 2: Đặt
1 3cos
t x
 
… bạn đọc tự giải
Cách 3:
Đặt
 
2cos 1
2sin
1 3cos
2sin
1 3cos
3
1 3cos 3 1 3cos
u x
du x
d x
x

v x
dv dx
x x
 

 

 


 
    
 

 


Khi đó

   
 
2 2
0 0
3
2 4 2 4
2cos 1 1 3cos sin 1 3cos 1 3cos 1 3cos
2
3 3 3 9
0
2 8 34

1 3cos
2
3 27 27
0
I x x x xdx xd x
x
 


         
   
 

Cách 4:
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

4
Phân tích
 
 
 
   
2 1
1 3cos
sin 2 sin 1 2cos 1 1
3 3
. 1 3cos . 1 3cos
3 3
1 3cos 1 3cos 1 3cos
2 1

1 3cos 1 3cos 1 3cos
9
9 1 3cos
x
x x x
dx d x d x
x x x
xd x d x
x
 
 
      
  
     


… Đến đây thì quá dễ rùi, bạn đọc tự làm nhé
Chú ý:
Nếu ta đặt
cos
t x

thì tích phân ban đầu trở thành tích phân hàm hữu tỷ lại phải đặt lần nữa mất công nên
ta lựa chọn cách nào là phù hợp nhất
Tổng quát:






dx
xdc
xbxa
cos
sin2sin.
hoặc
.sin 2
s
a x bcosx
dx
c d inx





ta đặt cos
c d x t
 
.
Bài 3: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau
2
0
sin 2 .cos
1 cos
x x
I dx
x






Giải:
Cách 1:
Ta có
2
2 2
0 0
sin 2 .cos sin .cos
2
1 cos 1 cos
x x x x
I dx dx
x x
 
 
 
 

Đặt
sin
1 cos
cos 1
dt xdx
t x
x t
 

  


 


Đổi cận
1
2
2
0
t
x
t
x







 






Khi đó



2
1 2
2
2 1
1
2
1
2 2 2 2 2 ln 2ln2 1
1
2
t
t
I dt t dt t t
t t

 
 
         
 
 
 
 
 

Cách 2:
 
 
 
2
2

2 2 2
0 0 0
22
0
1 cos 1
sin 2 .cos sin .cos
2 2 cos
1 cos 1 cos 1 cos
1 cos
2 1 cos cos sin ln 1 cos 2ln 2 1
2
1 cos 2
0
x
x x x x
I dx dx d x
x x x
x
x d x x x
x
  


 
 
 
  
  
 
 

        
 
 

 
 
  


Chú ý:




cos 1 cos
d x d x
 
và ta có thể đặt
cos
t x


Tổng quát:
sin 2 .cos
.cos
a x x
I dx
b c x






ta đặt
.cos
t b c x
 
hoặc
cos
t x


Bài 4: (Đề 68 IVa) Tính tích phân sau
32
0
4sin
1 cos
x
I dx
x





Giải:
Ta có


  



3 3
3
2
4sin 1 cos 4sin 1 cos
4sin
4sin 4sin cos 4sin 2sin 2
1 cos 1 cos 1 cos
sin
x x x x
x
x x x x x
x x x
x
 
     
  

Cách 1:
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

5
Khi đó
   
3
2 2
0 0
4sin
4sin 2sin2 cos2 4cos 2

2
1 cos
0
x
I I dx x x dx x x
x
 

      

 

Cách 2:
   
3 2 2
2
2 2
0 0
0 0
4sin
4sin 4sin cos 4 sin 4 cos cos 4cos 2cos 2
2 2
1 cos
0 0
x
I dx x x x dx xdx xd x x x
x
 
 
 

        

   

Cách 3:
 
2
3
2 2
0 0
4 1 cos sin
4sin
1 cos 1 cos
x x
x
I dx dx
x x
 

 
 
 

Đặt
sin
1 cos
cos 1
dt xdx
t x
x t

 

  

 


Đổi cận
1
2
2
0
t
x
t
x







 






Khi đó
 
 
 
2
1 2
2
2 1
4 1 1
2
4 8 2 8 2
1
t
I dt t dt t t
t
 
 
 
        
 

Chú ý: Có thể đặt
cos
t x


Cách 4:
Đặt
2
2

2
2
tan sin
2 1
1
cos
1
dt
dx
x t
t x
t
t
x
t





  










Chú ý: Nếu ta phân tích theo hướng sau
3
4sin 4sin (1 cos )(1 cos )
4sin 2sin 2
1 cos 1 cos
x x x x
x x
x x
 
  
 
… lại có mấy cách khác, bạn đọc tự làm và khám
phá nhé!
Tương tự
32
0
4cos
2
1 sin
x
I dx
x

 



Bài 5: Tính tích phân sau
12

0
tan 4
I xdx




Giải:
Cách 1:
Ta có
12 12
0 0
sin 4
tan 4
cos4
x
xdx dx
x
 

 

Đặt cos4 4sin 4 sin 4
4
dt
t x dt xdx xdx
      

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

6
Đổi cận
0 1
1
12 2
x t
x t

 
 
 

 
 
 
 

Khi đó
1
1
12 12 2
1
0 0 1
2
1
sin 4 1 1 1 1
tan 4 ln ln 2.
1
cos4 4 4 4 4
2

x dt dt
I xdx dx t
x t t
 
      
   

Cách 2:
 
12 12 12
0 0 0
cos4
sin 4 1 1 1
tan4 ln cos4 ln 2
12
cos4 4 cos4 4 4
0
d x
x
I xdx dx x
x x
  

      
  

Bài 6: Tính tích phân sau
32
4
cos

1 sin
x
I dx
x






Giải:
 
 
2
3 22 2 2 2
4 4 4 4
1 sin
cos cos
cos cos 1 sin cos
1 sin 1 sin 1 sin
x
x x
I dx xdx xdx x xdx
x x x
   
   

    
  
   

Đến đây ta đặt
1 sin
t x
 

Hoặc
 
2 2 2
4 4 4
1 1 3 2 2
2
cos cos sin cos sin 2 sin sin 2
2 4 4
4
I x x x dx xdx xdx x x
  
  



 
      
 
 
  


Bài tập tự giải có hướng dẫn:
Bài 1: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân:

2
2 2
0
3sin 4cos 3
ln3
6
3sin 4cos
x x
I dx
x x



  



HD:
Tách làm hai tích phân
2 2
2 2 2 2
0 0
sin cos
3 4
3sin 4cos 3sin 4cos
x x
I dx dx
x x x x
 
 

 
 
kết hợp với công thức
2 2
sin cos 1
x x
 
ta sẽ được kết quả
Cách khác: Sử dụng tích phân liên kết là
2
2 2
0
3cos 4sin
3sin 4cos
x x
J dx
x x






Bài 2: (DBĐH – A 2005) Tính tích phân sau
3
2
0
3
sin .tan ln 2
8

I x xdx

  


HD:
Ta có
 
2 2
sin
sin .tan 1 cos
cos
x
x x x
x
 
và đặt
cos
t x


Bài 3: (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau
2
0
sin3
1 3ln 2
1 cos
x
I dx
x


   



Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

7
HD:
Ta có
 
2
32 2 2
0 0 0
sin 4cos 1
sin3 3sin 4sin
1 cos 1 cos 1 cos
x x
x x x
I dx dx dx
x x x
  


  
  
  
và đặt
1 cos
t x

 

Bài 4: (ĐHQGHN – A 1997) Tính tích phân sau
32
2
0
sin
1
2
1 cos
x
I dx
x


  



HD:
Ta có
3 2
2 2
sin 1 cos
sin
1 cos 1 cos
x x
x
x x



 
và đặt
cos
t x


Bài 5: Tính tích phân sau
2
2 2
0
sin
ln2
sin 2cos .cos
2
x
I dx
x
x x

 



HD:
Ta có
 
2 2 2
sin 2cos .cos sin cos 1 cos 1 cos
2

x
x x x x x x
      và đặt
1 cos
t x
 

Bài 6: (ĐHNN І – B 1998) Tính tích phân:
2
0
cos2
1
1 cos 2
x
I dx
x


  



Bài 7: Tính tích phân:
36
0
sin3 sin 3 1 1
ln2
1 cos3 6 3
x x
I dx

x


   



HD:
Phân tích


3 2
sin3 sin 3 sin3 1 sin 3 sin3 .cos3
x x x x x x
    và đặt
1 cos3
t x
 

Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau:
2
cos
0
sin 2 2
x
I e xdx

 


HD:
Sử dụng công thức nhân đôi
sin 2 2sin cos
x x x

và đặt
cos
t x


Bài 9: (ĐHDB – 2005) Tính tích phân sau:
 
1
4
sin
2
0
tan cos ln 2 1
x
I x e x dx e

    


HD:
Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản
Bài 10: (ĐH – D 2005) Tính tích phân sau:
 
2
sin

0
cos cos 1
4
x
I e x xdx e


    


HD:
Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản
Bài 11: (TN – 2005) Tính tích phân sau:
2
2
0
sin 2
4 cos
x
I dx
x





Bài 12: Tính tích phân sau:
3
0
2sin2 sin

6cos 2
x x
I dx
x






HD:
Đặt
6cos 2
t x
 
hoặc
6cos 2
t x
 

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

8
Bài 13: (HVKTQS – 1996) Tính tích phân sau:
 
2
34 4
4 4
0 0
1 cos sin

4sin
4
1 cos 1 cos
x x
x
I dx dx
x x
 

 
 
 

HD: Đặt
cos
t x


Bài 14: Tính tích phân sau:
2
2
0
cos
4
1 cos
x
I dx
x



 



HD:
Phân tích
2 2
1 cos 2 sin
x x
  
từ đó đặt
sin
t x


Bài 15: Tính tích phân sau
2
2
0
sin 4 3
2 6ln
4
1 cos
x
I dx
x

  



HD:
Phân tích
2
sin 4 2sin 2 cos2
1 cos2
1 cos
1
2
x x x
x
x




và đặt
3 cos2
t x
 
hoặc
cos2
t x


Dạng 2: Tính tích phân dạng
 
sin .cos
b
a

I f x xdx


đặt
sin cos
u x du xdx
  

Để tính tích phân dạng
.sin 2 .sin
.cos
a x b x
dx
c d x



ta đổi biến bằng cách đặt
.cos
t c d x
 


Bài tập giải mẫu:

Bài 1: (ĐH – B 2003) Tính tích phân sau
2
4
0
1 2sin

1 sin 2
x
I dx
x






Giải:
Cách 1:
Ta có
2
4 4
0 0
1 2sin cos2
1 sin 2 1 sin2
x x
I dx dx
x x
 

 
 
 

Đặt 1 sin 2 cos2
2
dt

x t xdx
   

Đổi cận
2
4
1
0
t
x
t
x







 






Khi đó
2
1
2

1 1 1
ln ln 2
1
2 2 2
dt
I t
t
  


Hoặc đặt
sin 2
x t


Cách 2:
 
 
 
'
4 4 4
0 0 0
1 sin 2
cos2 1 1 (1 sin 2 ) 1 1
ln 1 sin2 ln 2
4
1 sin 2 2 1 sin 2 2 1 sin 2 2 2
0
x
x d x

I dx dx x
x x x
  



     
  
  

Cách 3:
Biến đối




2
1– 2sin cos sin cos – sin
x x x x x
 
và
 
2
1 sin 2 cos sin
x x x
  
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

9
 

2
4 4 4
0 0 0
cos sin
1 2sin cos sin 1
ln cos sin ln2
4
1 sin 2 cos sin cos sin 2
0
d x x
x x x
I dx dx x x
x x x x x
  


 
     
  
  

Hoặc đặt
sin cos
t x x
 

Bài 2: Tính tích phân sau




3
0
2
2cos2
cos

dx
x
x
I
Giải:
Đặt
sin cos
t x dt xdx
  

Đổi cận
0
0
3
3
2
t
x
x
t






 

 


 



Khi đó







2
3
0
2
2
3
0
2
3
0
2
2

32
1
23
2cos2
cos
t
dt
t
dt
dx
x
x
I


Đặt
3 3
cos sin
2 2
t u dt udu
   

Đổi cận
0
2
3
2
4
t
u

t
u







 

 

 





Khi đó
 
3
2
2 2 4
2 20
4 4
4
3
sin
1 1 1 1

2
2 3 2 3 2 2 4 2
1 cos
2 2
udu
dt
I du u
t u

 
 


    
 
  

Chú ý:
Ta có thể dùng một bước đặt là
3
sin cos
2
x u
 thì bài toán sẽ nhanh hơn
Bài 3: Tính tích phân sau
cos3
sin
x
I dx
x




Giải:
   
 
   
2 2
3
2
0
2
4cos 3 4 1 sin 3
cos3 4cos 3cos
.cos . sin
sin sin sin sin
1 1
4sin sin 4. sin ln sin
sin 2
x x
x x x
I dx dx xdx d x
x x x x
x d x x x C
x

  

    
 

      
 
 
   


Hoặc đặt
sin
t x


Bài 4: Tính tích phân sau
2
2
sin
0
sin 2
x
I e xdx




Giải:
Đặt
2
sin sin 2
t x dt xdx
  

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

10
Đổi cận
0
0
1
2
x
t
t
x







 






Khi đó
2
1
2

sin
0 0
1
sin 2 1.
0
x t t
I e xdx e dt e e

    
 

Hoặc
 
2 2 2
2 2
sin sin 2 sin
0 0
sin 2 sin 1
2
0
x x x
I e xdx e d x e e
 

    
 


Bài tập tự giải và có hướng dẫn
Bài 1: (Bộ đề 96) Tính tích phân sau

2
0
cos
2 cos2
x
I dx
x





HD:
Ta có
2
2 cos2 3 2sin
x x
  
và đặt
sin
t x


Bài 2: (CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006) Tính tích phân sau
 
2
3
2
0
15

sin 2 1 sin
4
I x x dx

  


HD:
Ta có




3 3
2 2
sin 2 1 sin 2sin 1 sin cos
x x x x x
   và đặt
sin
t x


Bài 3: Tính tích phân sau
4
0
1 tan .tan sin
2
x
I x xdx


 
 
 
 


HD:
Ta có
2
2sin cos sin
sin 1 cos
2 2 2
tan .tan .sin . .sin .sin .sin
2 cos cos 2 cos
cos
2
x x x
x x x x
x x x x
x
x x x

  
và đặt
cos
t x


Đs:
2 1

1 ln2
2 4 2
I

   
Bài 4: (ĐHĐN – 1998) Tính tích phân sau
2
2
0
cos
4
1 cos
x
I dx
x


 



HD:
Phân tích
2 2 2
1 cos 1 1 sin 2 sin
x x x
      và đặt
2
2 sin
t x

  hoặc
2
2 sin
t x
 
Bài 5: (ĐHBKHN – 1998) Tính tích phân:
 
2
4 4
0
cos2 sin cos . 0
I x x x dx

  


HD:
Phân tích
4 4 2
1
sin cos 1 sin 2
2
x x x
   và đặt
sin 2
t x


Bài 6: (TN – KHP 2005) Tính tích phân sau:
2

2
0
sin 2 4
ln
3
4 cos
x
I dx
x

 



Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

11
Bài 7: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau:
32
2
0
sin cos
1 cos
x x
I dx
x





Bài 8: (CĐSP HCM – 1997) Tính tích phân sau:
6
2
0
cos 10
ln
9
6 5sin sin
xdx
I
x x

 
 


Bài 9: (CĐHQ – 1999) Tính tích phân sau
2
0
cos
7 cos2 6 2
x
I dx
x


 



Bài 10: (CĐHQ HCM – 1999) Tính tích phân sau
2
2
0
cos
11 7sin cos
xdx
I
x x


 


Bài 9: Tính tích phân
2
6 3 5
0
12
1 cos .sin .cos
91
I x x xdx

  


HD:
6
3 3 6

1 cos cos 1
t x x t
    
. Hoặc
3
1 cos
t x
 

Dạng 3: Tính tích phân dạng
2
2
sin
sin 2
cos
b
a
x
I f xdx
x
 


 


 

 


đặt
2
2
sin sin 2
sin 2
cos
x du xdx
u
du xdx
x



 


 





Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Tính tích phân sau
2
2
0
sin 2
1 cos

x
I dx
x





Giải:
Đặt
2
1 cos sin 2 sin 2
t x dt xdx xdx dt
       

Đổi cận
0
2
1
2
x
t
t
x








 






Khi đó
1 2
2
2
0 2 1
2
sin 2
ln ln 2.
1
1 cos
x dt dt
I dx t
t t
x

     

  

Hoặc
 
2

2 2
2
2 2
0 0
1 cos
sin 2
ln 1 cos ln 2
2
1 cos 1 cos
0
d x
x
I dx x
x x
 


      
 
 

Bài 2: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau
4
2
0
sin 4
1 cos
x
I dx
x






Giải:
Ta có:
4 4
2 2
0 0
sin 4 2sin 2 cos2
1 cos 1 cos
x x x
dx dx
x x
 

 
 

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

12
Đặt
2
1 cos 2sin cos sin 2
t x dt x xdx xdx
       và



2 2
cos 1 cos2 2cos 1 2 1 1 2 3
x t x x t t
         

Đổi cận
0 2
3
4 2
x t
x t

 
 
 

 
 
 
 

Khi đó
 
 
3 3
2
2 2
3
2 2
2

2
2 2 3
6 6 4
4 4 4 6ln 2 6ln
3
3
2
t dt
I dt dt t t
t t t
 
   
         
   
   
  

Cách khác:
 
 
 
 
 
 
2
2
4 4 4 4
2 2
2 2 2 2
0 0 0 0

2
4 4
2 2
2
0 0
2 1 cos 3
sin 4 2sin 2 cos2 2cos 1
2 1 cos 2 1 cos
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
1 cos
4
8 sin sin 6 4sin 6ln 1 cos 2 6ln
4
3
1 cos
0
x
x x x x
I dx dx d x d x
x x x x
d x
xd x x x
x
   
 

 

       
   


        

   
 

Hoặc phân tích
2
sin 4 2sin 2 .cos2 sin 2 .cos2
4
1 cos2
3 cos2
1 cos
1
2
x x x x x
x
x
x
 



và đặt
3 cos2
t x
 

Bài 3: Tính tích phân sau
 

2
3
2
0
sin 2 1 sin
I x x dx

 


Giải:
Đặt
2
1 sin 2sin cos sin 2
t x dt x xdx xdx
    

Đổi cận
0
1
2
2
x
t
t
x








 






Khi đó
 
2
4
2
3
2 3
0 1
2
1 15
sin 2 1 sin 4
1
4 4 4
t
I x x dx t dt

      
 

Cách khác:

     
 
4
2
2 2
3 3
2 2 2
0 0
1 sin
15
sin 2 1 sin 1 sin 1 sin
2
4 4
0
x
I x x dx x d x
 


      
 

Bài 4: (ĐH – A 2006) Tính tích phân sau:
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x
I dx

x x





HD:
Cách 1: Phương pháp phân tích kết hợp biến đổi số
2 2
2 2 2
0 0
sin 2 sin 2
1 sin 4sin 1 3sin
x x
I dx dx
x x x
 
 
  
 

Đặt
2
1 3sin sin 2
3
dt
t x xdx
   
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

13
Đổi cận
4
2
1
0
t
x
t
x







 






Khi đó
14 4
2
1 1
4
1 1 2 2

1
3 3 3 3
dt
I t dt t
t

   
 

Hoặc đặt
2
1 3sin
t x
 

Chú ý: Không cần biến đổi mà có thể đặt luôn
2 2
cos 4sin
t x x
  hoặc
2 2
cos 4sin
t x x
 

Cách 2:
   
 
1
2 2 2

2 2
2
2 2 2
0 0 0
2
sin 2 sin 2 1
1 3sin 1 3sin
3
1 sin 4sin 1 3sin
2 2
1 3sin
2
3 3
0
x x
I dx dx x d x
x x x
x
  


    
  
  
  

Cách 3:
Ta có
2 2
0 0

sin 2 sin 2
1 cos2 1 cos2 5 3cos2
4
2 2 2
x x
I dx dx
x x x
 
 
  

 

Và đặt
5 3cos2
2
x
t

 hoặc
5 3cos2
2
x
t


Tổng quát: Để tính I =
2
2 2 2 2
0

sin cos
cos
x xdx
a x b sin x



với a, b

0
Ta đặt: u =
2 2 2 2
cos
a x b sin x

Bài 5: Tính tích phân sau
I
2
2 2
0
sin cos
4cos 9
x xdx
x sin x





HD :

Đặt u =
2 2
4cos 9
x sin x

 u
2
=
2 2
4cos 9
x sin x
 5sin cos
udu x xdx
 

Khi đó
I
3
3
2
2
1 1 1
.
5 5 5
u d u
u
u
  


Bài 6: (ĐHTCKTHN - 95) Tính tích phân sau
2
2 2 2 2
0
sin .cos
cos sin
x x
I dx
b x c x





HD:
Nếu
2 2
b c b c
   
thì
2
0
1 1
sin 2
2 2
I xdx
b b

 


;
Nếu
2 2
b c b c
   
thì đặt
2 2 2 2
cos sin
t b x c x
  . Khi đó


2 2
2 2 2 2
sin .cos .
cos sin
c b x x dx
dt
b x c x




và tính được
1
I
b c



Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

14
Bài 7: Tính tích phân sau
2
2 2 2 2
0
sin cos
sin cos
x x
I dx
a x b x





Giải:
Cách 1:
Ta có
   
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
sin cos sin cos sin cos
cos sin
1 sin sin sin
x x x x x x
I dx dx dx

a x b x
a x b x b a x a
  
  

   
  

Đặt
   


2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 sin cos
sin sin
sin cos
tdt b a x xdx
t b a x a t b a x a
tdt
x xdx
b a

 

       







Đổi cận
2
0
t b
x
t a
x


 

 

 







Khi đó
 
2 2
2 2
2 2
1 1

.
b
a
b
b a
tdt
I t
b a a b
t b a a
b a

   
 




Cách 2:
Đặt
2 2 2 2 2 2
sin cos 2( )sin cos
t a x b x dt b a x xdx
     
Đổi cận
2
2
0
2
x t a
x t b



  


  



Nếu
ba 

Khi đó
 
2
2
2
2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
0
sin .cos 1 1 1
2
.sin .cos
b
b
a
a

a b
x x dt
I dx t
a b
b a b a
b a
t
a x b x


    

 


 

Nếu ba 
Khi đó
2 2 2
2
2 2 2 2
0 0 0
0
sin .cos sin .cos 1 1 1
sin 2 cos2
2 4 2
.sin .cos
x x x xdx
I dx xdx x

a a a a
a x b x
  

     

  


Bài tập tự giải có hướng dẫn:
Bài 1: (ĐHNT – 2001) Tính tích phân sau
4
6 6
0
sin 4 4
ln2
3
sin cos
x
I dx
x x

 



HD:
Phân tích
6 6
2

sin 4 2sin2 cos2
3
sin cos
1 sin 2
4
x x x
x x
x



và đặt
sin 2
t x

hoặc
2
3
1 sin 2
4
t x
 
Hoặc
4
2 2
2
0
1 1 3 1 3 4
1 sin 2 ln 1 sin 2 ln 2
4

3
3 4 3 4 3
1 sin 2
0
4
I d x x
x



 
     
 
 



Bài 2: Tính tích phân sau:
tan4
2
0
cos
x
e
I dx
x




Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

15
HD: Đặt
tan
t x


Bài 3: (Đề 104) Tính tích phân sau:
3 3
8 8
2 2 2 2
8 8
1 1
4
sin cos cos sin
dx
I dx
x x x x
 
 
 
   
 
 
 

Cách 2: Phân tích
3
8

2
8
4
sin 2
dx
I
x





Cách 3: Đặt
tan
2
x
t 

Dạng 4: Tính tích phân dạng
 
2
1
tan
cos
I f x dx
x





đặt
 
2
2
1
tan 1 tan
cos
u x du dx x dx
x
    

Hoặc:
 
 
2
tan 1 tan
I f x x dx


 

đặt
2
1
tan
cos
u x du dx
x
  

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Tính tích phân sau
4
0
1 tan
dx
I
x





Giải:
Đặt
 
2
2 2 2
1
tan 1 tan
cos 1 tan 1
dt dt
t x dt dx x dx dx
x x t
       
 

Đổi cận
0

0
1
4
x
t
t
x







 






Khi đó
 
 
 
 
1 2 3
1 1
2 2
2 2

0 0
1 1 1
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 2
1 1
1 1 2 1
0 0 0
J J J
dt t dt tdt dt
I dt
t t
t t
t t t
 

 
     
  
 
 
  
 
 
 
  

Tính:
1
1
0

1
1 1 ln2
ln 1
0
2 1 2 2
dt
J t
t
   



Tính:


2
1 1
2
2
2 2
0 0
1
1
1 1 1 ln 2
ln 1
0
2 4 4 4
1 1
d t
tdt

J t
t t

    
 
 

Tính:
1
4
3
2
0 0
1 1
2 2 8
1
dt
J du
t


  

 
(với
tan
t u

)
Vậy

ln 2 ln2 ln 2
2 4 8 8 4
I
 
    
Cách 2:
Phân tích




cos sin cos sin
1 cos 1
.
1 tan sin cos 2 sin cos
x x x x
x
x x x x x
  
 
  

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

16
Khi đó
 
 
4 4
0 0

sin cos
1 1 1 1
ln sin cos ln 2
4
2 2 sin cos 2 8 4
0
d x x
I dx x x x
x x
 



      

 

Hoặc: Sử dụng đồng nhất thức




cos cos sin cos sin
x A x x B x x
   
đồng nhất hai vế tìm A và B

Bài 2: Tính tích phân
 
24

4 2
4
sin
cos tan 2tan 5
x
I dx
x x x




 


Giải:
Phân tích
   
2 24 4
4 2 2 2
4 4
sin tan
cos tan 2tan 5 tan 2tan 5 .cos
x x
I dx dx
x x x x x x
 
 
 
 
   

 

Đặt
2
1
tan
cos
t x dt dx
x
  

Đổi cận
1
4
1
4
x
t
t
x









 

 


 



Khi đó


 
 
1 1 1 1
2
2 2 2
1 1 1 1
2
1 1
2 2
3
2 5 2 5
1 4
1
ln 2 5 3 2 5ln 2 3
1
t
t dt
I dt dt dt
t t t t
t

t t t I I
   

   
   
 
       

   

Tính
 
1
1
2
1
1 4
dt
I
t


 


Đặt


2
1 2tan 2 tan 1

t u dt u du
    
Khi đó
 
 
2
0 0
1
2
4 4
0
2 tan 1
1 1
2 2 8
4 tan 1
4
u
I du du u
u
 


 

   


 

Vậy

3
2 5ln 2
8
I

  

Bài 3: Tính tích phân sau
4
4
0
1
cos
I dx
x




Giải:
Cách 1:
Ta có
4 4
4 2 2
0 0
1 1 1
.
cos cos cos
I dx dx
x x x

 
 
 

Đặt
2
1
tan
cos
t x dt dx
x
  
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

17
Đổi cận
0
0
1
4
x
t
t
x








 






Khi đó
 
1
34
2
4
0 0
1
1 4
1 .
0
3 3
cos
t
I dx t dt t
x

 
     
 
 
 

Cách 2:
   
 
34 4 4
2 2
4 2
0 0 0
1 1 tan 4
1 tan 1 tan tan tan
4
3
cos cos
0
x
I dx x dx x d x x
xx x
  

 
       
 
 
  

Cách 3:
Phân tích
2 2 2 2
4 4 4 2 2 2
1 sin cos sin 1 tan 1

cos cos cos cos cos cos
x x x x
x x x x x x

    

… đến đây thì quá dễ rùi phải không
Cách 4:
Đặt
2
2
1
cos
1
cos
u
x
dv dx
x









… Mời bạn đọc tự làm, dễ thôi mà
Hoặc : Đặt

tan
t x


Bài 4: Tính tích phân sau
4
6
0
tan
I xdx




Giải:
Cách 1:
Đặt
 
2
2
tan tan 1
1
dt
t x dt x dx dx
t
     


Đổi cận
0

0
1
4
x
t
t
x







 






Khi đó
1
1 1
6 5 3
4 4
6 4 2
2 2
0 0 0 0
0

1 13
tan 1
5 3 15 4
1 1
t dt t t
I xdx t t dt t du
t t
 

 
 
           
 
 
 
 
 
   

Cách 2:
Phân tích






     
 
6 6 4 4 2 2

4 2 2 2 2
4 2
2
tan tan tan tan tan tan 1 1
tan tan 1 tan tan 1 tan 1 1
1
tan tan 1 1
cos
x x x x x x
x x x x x
x x
x
      
      
   

Khi đó
 
5 34 4
4 2
2
0 0
1 tan tan 13
tan tan 1 tan
4
5 3 15 4
cos
0
x x
I x x dx dx x x

x
 


 
         
 
 
 

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

18
Bài 5: Tính tích phân sau
4
3
0
tan
I xdx




Giải:
   
2 2
2
tan 1 tan 1
1
dt

t x dt x dx t dt dx
t
       


Đổi cận
0
0
1
4
x
t
t
x







 






Khi đó
 

 
 
2
1 1 1 1 1
3 2
4
3
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2
1
1
1 2 1
tan
0
2 2 2
1 1 1 1
1
1 1 1 1 1
ln 1 ln 2 1 ln 2 .
02 2 2 2 2
d t
t t t t
I xdx dt t dt tdt dt
t t t t
t


 
       

 
   
 
      
     

Hoặc phân tích
 
3 3
2
1
tan tan tan tan tan . tan
cos
x x x x x x
x
    
…bạn đọc tự giải
Bài 6: Tính tích phân sau
/4
2 2
0
sin 2sin .cos cos
dx
I
x x x x


 


Giải:
Chia cả tử và mẫu cho
2
cos
x
ta được
 
/4 /4
2
2 2
0 0
tan
cos
tan 2tan 1 tan 2tan 1
dx
d x
x
I
x x x x
 
 
   
 

Đặt
2
1
tan
cos
t x dt dx

x
  
Đổi cận
1
4
0
0
t
x
t
x







 






Khi đó
 
 
1 1
2 2

2
0 0
1
1 1 2
ln
0
2 1
2 2 1 2
1 2
dt dt t
I
t t
t
t
 
  
 
 
 
 

Cách khác:
Đặt
2
2
1
tan
2
2sin cos
1

dt
dx
t
x t
t
x x
t





 






… bạn đọc tự giải

Bài tập tự giải có hướng dẫn:
Bài 1: Tính tích phân sau
 
2
4
2
0
tan 1
7

3
cos
x
I dx
x


 


HD: Đặt
tan 1
t x
 

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

19
Bài 2: Tính tích phân sau
 
3
4
2
2 5
0
sin
tan 1 cos
x
I dx
x x






HD:
Phân tích
   
3 3
2 2 2
2 5 2
sin tan 1
.
cos
tan 1 cos tan 1
x x
x
x x x

 
và đặt
tan
t x


Bài 3: (ĐH – A 2008) Tính tích phân sau
 
46
0
tan 1 10

ln 2 3
cos2 2
9 3
x
I dx
x

   


HD:
Biến đổi


2 2 2 2
cos2 cos sin 1 tan cos
x x x x x
    và đặt
tan
t x


Hoặc sử dụng công thức
2
2
1 tan
cos2
1 tan
x
x

x




Bài 4: (ĐHKTHCM – 2001) Tính tích phân sau
36
0
tan
cos2
x
I dx
x




HD:
Biến đổi


2 2 2 2
cos2 cos sin 1 tan cos
x x x x x
    và
đặt
2
1
tan
cos

t x dt dx
x
  

Đổi cận khi
0 0
x t
  
và khi
3
6 3
x t

  
Khi đó
3 3
3 3 3
6 6 3 3
2 2 2 2 2
0 0 0 0
2
2
tan tan 1
cos sinh 2 cos (1 tan ) 1 1
3
1 1 1 2
3
ln 1 ln
2 2 6 2 3
0

x x t
I dx dx dt t dt
x x x x t t
t
t
 
 
      
 
   
 
 
      
 
 
   

Hoặc sử dụng công thức
2
2
1 tan
cos2
1 tan
x
x
x




Bài 5: Tính tích phân sau
3
2
4
tan
5 3
cos . 1 cos
x
I dx
x x


  



HD:
Phân tích
2 2 2 2
2
1
cos 1 cos cos cos 1 cos tan 2
cos
x x x x x x
x
 
    
 
 
và đặt

2
tan 2
t x
 

Hoặc đặt
tan
t x


Bài 6: (ĐHCĐ – 1999) Tính tích phân sau
2
0
1
1 sin 2
dx
I
x

 



HD:
Phân tích
   
2
2 2 2
1 sin 2 sin cos 2sin cos sin cos cos tan 1
x x x x x x x x x

       
và đặt
tan 1
t x
 

Cách khác:
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

20
 
2 2 2
2
2
0 0 0
4
1 sin2
sin cos
2cos
4
d x
dx dx
I
x
x x
x
  


 


 
 
  



  

Bài 7: (ĐHSP TPHCM – 2001) Tính tích phân:
 
4
2
0
1
sin 2cos
I dx
x x





HD:
Phân tích
   
2
2
sin 2cos cos tan 2
x x x x

  
và đặt
tan 2
t x
 

Bài 8: (ĐH Y HN – 1999) Tính tích phân sau
4
3
ln3
sin
2
dx
I
x


 


HD:
2
tan
1
4
2
2
sin 2sin .cos tan .cos tan
2 4 4 4 4 4
x

d
dx dx dx
x x x x x x
 
 
 
  

Bài 9: (HVQY – 1999) Tính tích phân sau
2
0
1
1 cos
dx
I
x

 



HD:
2
tan
1 cos 2
2cos
2
dx dx x
d
x

x
 
 
 

 

Bài 10: (ĐHTS – 2001) Tính tích phân sau
4
0
cos2
sin 2 cos2
x
I dx
x x





HD:
Phân tích




2 cos2 sin 2 2 cos2 sin 2
cos2 1
sin 2 cos2 4 sin 2 cos2
x x x x

x
x x x x
  

 

Bài 11: Tính tích phân sau
 
4
8
0
76
1 tan
105
I x dx

  


HD:
Phân tích








8 8 6 6 4 4 2 2

1 tan tan tan tan tan tan tan tan 1
x x x x x x x
 
         
 


Dạng 5: Tính tích phân
 
2
1
cot
sin
I f x dx
x




đặt
2
1
cot
sin
u x du dx
x
   
Hoặc:
 
 

2
cot 1 cot
I f x x dx


 

đặt
2
1
cot
sin
u x du dx
x
   


Bài tập giải mẫu:

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

21
Bài 1: (KTQS – 1997) Tính tích phân sau:
32
3
3
sin sin
cot
sin
x x

I xdx
x






Giải:
Cách 1:
3 32 2
3
3 2 2
3 3
sin sin 1 cot
cot 1 .
sin sin sin
x x x
I xdx dx
x x x
 
 

  
 

Đặt
2
1
cot

sin
t x dt dx
x
   

Đổi cận
0
2
1
3
3
t
x
t
x







 

 

 






Khi đó
5 8
0 0
3 2
3 3
3
1 1
3 3
0
3 1
.
1
8
8 3
3
I t tdt t dt t      
 

Cách 2:
     
3 33 3
2 2
3 2
3 3
5 8
2 2 2
3 2
3 3

3
2
3
3 3 3
sin sin sin sin cot
cot
sin
sin sin
1 3 1
2
1 .cot cot cot .cot cot cot cot cot
8
sin
8 3
3
x x x x x
I xdx dx
x
x x
xd x x xd x xd x x
x
 
 
  
  


 
 
         

 
  

Cách 3:
3 33 32 2
3 4
3 3
sin sin cos sin sin
cot
sin sin
x x x x x
I xdx dx
x x
 
 
 
 
 

Đặt sin cos
t x dt xdx
  

Đổi cận
1
2
3
2
3
t

x
t
x







 

 

 





Khi đó
3
1 1
3 3
2
4 3
3 3
2 2
1
1

t t
t
I dt dt
t t


 
 

Đặt
3 2
3
2 2 3
1 1 3
1 1
2
dt
u u u du
t t t
      

Đổi cận
3
1
0
1
3
3
2
t

u
u
t


 
 

 
 

 



Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

22
Khi đó
3
0
4
3
3
1
3
3
0
3 3 1
1

2 2 4
8 3
3
u
I u du

   



Bài 2: (ĐHY TB – 2000) Tính tích phân sau
2
2
0
1
2 cos
I dx
x





Giải:

Ta có
 
1
4 4
2 2 2

2 2
0 0 0
2
1
2
2sin cos
cos 2tan 1
1
2
dx dx dt
I
x x
x x
t
 
  


 

 
 
  

Đặt
2
0
2
1 1
tan

2
2
1
2
dt
t u I
u

  
 

 
 

, (với
tan 2)



Khi đó
2
2
I


(với
tan 2


)

Bài tập tự giải có hướng dẫn:
Bài 1: Tính tích phân sau
2
4
4
4
3
sin
dx
I
x


 


HD:
Phân tích
 
2
4 2 2 2
1 1 1 1
. 1 cot
sin sin sin sin
x
x x x x
   và đặt
cot
t x



Bài 2: Tính tích phân sau
2
2
4
3cot 1
sin
x
I dx
x






HD: Đặt
3cot 1
t x
 
hoặc
3cot 1
t x
 

Bài 3: Tính tích phân sau:
4
2
6

1
sin cot
I dx
x x





HD: Đặt
cot
t x


Bài 6: Tính tích phân sau:
3
2 2
3
1
sin 9cos
I dx
x x







HD:

Phân tích


2 2 2 2
sin 9cos 9cot 1 sin
x x x x
   và đặt
cot
t x


Bài 7: Tính tích phân sau:
cot2
2
4
1
sin
x
e
I dx e
x


  

đặt
cot
t x


Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

23
Dạng 6: Tính tích phân dạng
   
sin cos . sin cos
I f x x x x dx


  

đặt


sin cos sin cos
u x x du x x dx
     

Hoặc
   
sin cos . sin cos
I f x x x x dx


  

đặt


sin cos sin cos

u x x du x x dx
    

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Tính tích phân sau:
 
4
3
0
cos2
sin cos 2
x
I dx
x x


 


Giải:
Ta có
 
  
 
4 4
3 3
0 0
cos sin cos sin
cos2

sin cos 2 sin cos 2
x x x x
x
dx dx
x x x x
 
 

   
 

Đặt


cos sin 2 cos sin
t x x dt x x dx
     
Đổi cận
0
2
2 2
4
x
t
x
t






 

 

 





Khi đó


 
2 2 2 2
3 2 3 2
0 0
2
1 2 1 1 4 2 5
2 2
0
18 2 1
t
I dt dt
tt t t t
 




   
      
   
   

 

Bài 2: Tính tích phân sau
4
0
cos2
sin cos 2
x
I dx
x x


 


Giải:
Ta có:
  
4 4
0 0
cos sin cos sin
cos2
sin cos 2 sin cos 2
x x x x
x

dx dx
x x x x
 
 

   
 

Đặt


cos sin 2 cos sin
t x x dt x x dx
     

Đổi cận
0
2
2 2
4
x
t
x
t





 


 

 





Khi đó


 
2 2 2 2
0 0
2
2 3
2 2
1 2ln 2 1 2ln
0
2 2
t
I dt dt t t
t t
 


 
       
 

 
 

Bài 3: (ĐHĐN – 2000) Tính tích phân sau
2
4
sin cos
sin cos
x x
I dx
x x







HD:
Cách 1:
Đặt


sin cos cos sin
t x x dt x x dx
    

Cách 2:
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail:

24
 
 
2 2
4 4
sin cos
sin cos
2
ln sin cos ln 2
sin cos sin cos
4
d x x
x x
I dx x x
x x x x
 
 


 

 
     
 
 
 
 

Cách 3:
2 2

4 4
cos
2 sin
4
1
4
2
ln cos ln 2
4 2
2 cos cos
4 4
4
d x
x
I dx dx x
x x
 
 




  
 
 
 


 
 

 
 
   
   
      
 
 
   
 
 
 
   
   
 

Bài 4: Tính tích phân sau
2
4
1 sin 2
dx
I
x






Giải:
 

2 2 2 2
2 2
2
4 4 4 4
1 1 1
2
tan
1 sin 2 2 2 4 2
sin cos
cos
2 cos
4 4
4
dx dx dx dx
I x
x
x x
x
x
   
   


 

 
      
 

 

 

 
 

 
 
 
 
 
 
   


Bài tập tự giải có hướng dẫn:
Bài 1: Tính tích phân sau
2
3
3
sin cos
sin cos
x x
I dx
x x







HD:
Đặt
3
sin cos
t x x
  hoặc
sin cos
t x x
 
hoặc biến đổi vi phân
Bài 2: (ĐHTCKT – 1999) Tính tích phân sau
3
4
cos sin 3 1
arcsin
4
3 sin 2
x x
I dx
x


 
 



HD:
Phân tích

 
2
3 sin 2 4 sin cos
x x x
    và đặt
sin cos
t x x
 

Bài 3: Tính tích phân sau
2
4
sin cos 1
ln2
2
1 sin 2
x x
I dx
x



 



HD:
Phân tích
 
2

2 2
1 sin2 sin cos 2sin .cos sin cos sin cos
x x x x x x x x x
       

và đặt
sin cos
t x x
 

Bài 4: (ĐHNN І – A 1998) Tính tích phân sau
2
6
1 sin 2 cos2
1
sin cos
x x
I dx
x x


 
 



HD: Phân tích