Bài tập vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng có đáp án thầy nguyễn bá tuấn

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

V TRÍ T

NG

Hình h c t a đ Oxyz

I (PH N 1)

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N BÁ TU N
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng V trí t ng đ i (Ph n 1) thu c khóa h c Luy n thi
THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n – Phan Huy Kh i – Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn.
s d ng hi u qu , B n c n h c tr

M T C U VÀ

c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

NG TH NG, M T PH NG

Bài 1. Cho m t c u (S): x2  y2  z2  2 x  2 y  2 z  2  0 .
Xét v trí t

ng đ i c a đi m A đ i v i m t c u (S) trong các tr

a. i m A(1; 1; 0).

1


b. i m A1;1;  .
2


ng h p sau:

c. i m A(3; 5; 0).
Gi i

a. i m A(1; 1; 0)  PA/( S )  1  1  2  2  2  0  A n m trên m t c u.
1
1
1

b. i m A1;1;   PA/( S )  1  1   2  2   2  0  A n m trong m t c u.
4
2
2


c. i m A(3; 5; 0)  PA/( S )  9  25  6  10  2  0  A n m ngoài m t c u.

x  13 y  1 z

 và m t c u
1
1
4
2

2
2
(S) : x  y  z  2 x  4 y  6 z  67  0. L p ph ng trình m t ph ng ( P ) ch a đ ng th ng (d )
và ti p xúc v i m t c u ( S ).
Bài 2. Trong không gian v i h to đ Oxyz cho đ

ng th ng (d ) :

Gi i
M t c u (S) tâm I (1;2;3) R  9 . G i mp( P ) có vtpt n( A; B; C )  0 .
ng th ng d có vtcp u  (1;1;4) và M (13; 1;0)  d .
Vì d  ( P )  M  ( P )  pt ( P ) : A( x  13)  B( y  1)  Cz  0 (1) . M t khác

nP .ud  0   A B  4C  0  A  B  4C . Thay vào (1) ta có pt

x( B  4C )  By  Cz  12B  52C  0 . Do ( P ) ti p xúc v i (S) nên d ( I ;( P ))  9
 B  4C
 B  5C  2B2  8BC  17C 2  
 B  2C
TH1: B  4C , N u C  0  B  0  A  0 (lo i)
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Hình h c t a đ Oxyz

N u C  0 , ch n C  1  B  4  n (8;4;1) .
TH2: B  2C , N u C  0  B  0  A  0 (lo i)
N u C  0 , ch n C  1  B  2  n (2;1;1) .
ng trình (P) là 8x  4 y  z  100  0 ho c 2 x  2 y  z  28  0 .

Khi đó ph

Bài 3. Trong không gian v i h t a đ Oxyz. Cho m t c u (S) : x  12  y2  z  22  9 . L p ph
m t ph ng (P) vuông góc v i đ

ng th ng a :

x y 1 z


và c t m t c u (S) theo đ
1
2
2

ng trình

ng tròn có bán

kính b ng 2 .
Gi i

(S) có tâm J (1,0 ,2) bán kính R = 3




ng th ng a có vtcp u (1, 2 ,  2 ) , (P) vuông góc v i a nên (P) nh n u làm vtpt
Ph

ng trình (P) có d ng : x  2 y  2 z  D  0

(P) c t (S) theo đ

nên ta có :

ng tròn có bán kính r = 2 nên d( J , (P) ) =

R2  r 2  5

 D  5  3 5
1  2.0  2.(2)  D
 5 
3
 D  5  3 5

V y có 2 m t ph ng : (P1) : x  2 y  2 z  5  3 5  0

và

(P2) : x  2 y  2 z  5  3 5  0

Bài 4. Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho m t c u (S): x 2  y 2  z2  2 x  2 y  4z  2  0 và đ
th ng d:

x 3 y 3 z

 . L p ph
2
2
1

ng

ng trình m t ph ng (P) song song v i d và tr c Ox, đ ng th i ti p xúc

v i m t c u (S).
Gi i
(S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u  (2;2;1) .
(P) // d, Ox  (P) có VTPT n  u , i   (0;1; 2)
 Ph

ng trình c a (P) có d ng: y  2z  D  0 .

1 4  D
(P) ti p xúc v i (S)  d (I ,(P))  R 
 (P): y  2z  3  2 5  0

Hocmai.vn – Ngôi tr

ho c

ng chung c a h c trò Vi t

12  22

2

D  3  2 5

 D  3  2 5  D  3  2 5

(P): y  2z  3  2 5  0 .

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Hình h c t a đ Oxyz

Bài 5. Trong không gian Oxyz cho b n đi m A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0).
G i (S) là m t c u đi qua b n đi m A, B, C, D. Hãy vi t ph
t i đi m A.

ng trình m t ph ng ti p xúc v i m t c u (S)

Gi i
Tâm I ( x; y; z) c a (S) có t a đ là nghi m c a h ph

ng trình:

 IA2  IB2
( x  6)2  ( y  2)2  ( z  3)2  x2  ( y  1)2  ( z  6)2
 2

2
2
2
2
2
2
2
 IA  IC  ( x  6)  ( y  2)  ( z  3)  ( x  2)  y  ( z  1)
 IA2  ID 2
( x  6)2  ( y  2)2  ( z  3)2  ( x  4)2  ( y  1)2  z2


12 x  6 y  6 z  12
2 x  y  z  2
x  2



 8 x  4 y  8 z  44  2 x  y  2 z  11   y  1
4 x  6 y  6 z  32
2 x  3 y  3z  16
z  3




V y m t c u (S) có tâm I(2; -1; 3).
M t ph ng (P) ti p xúc v i (S) t i A nên (P) có vect pháp tuy n là IA (4; 1;0 .
Ph

ng trình m t ph ng (P) là: 4( x  6)  ( y  2)  0 hay 4 x  y  26  0 .

Bài 6. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t c u (S): x 2  y2  z2  2 x  4y  4  0 và m t ph ng
(P): x  z  3  0 . Vi t ph

ng trình m t ph ng (Q) đi qua đi m M(3;1; 1) vuông góc v i m t ph ng (P)

và ti p xúc v i m t c u (S).
Gi i
(S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT nP  (1;0;1) .
PT (Q) đi qua M có d ng: A( x  3)  B( y  1)  C(z  1)  0, A2  B2  C 2  0
(Q) ti p xúc v i (S)  d (I ,(Q))  R  4 A  B  C  3 A2  B2  C 2

(*)

(Q)  (P)  nQ .nP  0  A  C  0  C   A (**)
T (*), (**)  B  5A  3 2 A2  B2  8B2  7 A2  10 AB  0  A  2B  7 A  4B
 V i A  2B . Ch n B = 1, A = 2, C = –2  PT (Q): 2 x  y  2z  9  0
 V i 7 A  4B . Ch n B = –7, A = 4, C = –4  PT (Q): 4 x  7y  4z  9  0
Bài 7: Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho m t c u (S): x2  y2  z2  2 x  4 y  2 z  3  0 và m t
ph ng (P): 2 x  y  2 z 14  0 .Vi t ph

ng trình m t ph ng (Q) ch a tr c Ox và c t (S) theo m t đ

ng

tròn có bán kính b ng 3.
Gi i
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Vi t ph

Hình h c t a đ Oxyz

ng trình m t ph ng (Q)

(S) : ( x 1)2  ( y  2)2  ( z  1)2  9 có tâm I(1; -2; -1) và bán kính R = 3.

M t ph ng (Q) c t (S) theo đ
(Q) có c p vect ch ph

ng tròn có bán kính R = 3 nên Q ch a I.

ng là: OI  (1; 2; 1), i  (1;0;0)

 Vect pháp tuy n c a (Q) là: n  (0; 1; 2) .
Ph

ng trình c a (Q) là: 0.( x  0) 1( y  0)  2( z  0)  0  y  2 z  0

Bài 8. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t ph ng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và m t c u (S): x2 +
y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Ch ng minh r ng m t ph ng (P) c t m t c u (S) theo m t đ ng tròn. Xác
đ nh t a đ tâm và tính bán kính c a đ ng tròn đó.
HD
I (1; 2; 3); R = 1  4  9  11  5 ; d (I; (P)) =
V y (P) c t (S) theo đ
Ph

2(1)  2(2)  3  4
4  4 1

 3 < R = 5.

ng tròn (C)

 x  1  2t

ng trình d qua I, vuông góc v i (P) :  y  2  2t
 z  3  t

G i J là tâm, r là bán kính đ

ng tròn (C). J  d  J (1 + 2t; 2 – 2t; 3 – t)

J  (P)  2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – 3 + t – 4 = 0  t = 1
V y tâm đ

ng tròn là J (3; 0; 2) , bán kính r =

R2  IJ 2  4

Giáo viên: Nguy n Bá Tu n
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 4 -