SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chon đề tài
Bài toán về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng
đã được đưa nhiều vào trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. Khi gặp
phải dạng toán này học sinh thường gặp khó khăn trong việc liên hệ các giả thiết
cùng tính chất trong từng trường hợp về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt
phẳng, đường thẳng với nhau để đưa ra lời giải. Hơn nữa, hệ thống bài tập về
phần này trong sách giáo khoa không nhiều.
Quá trình giảng dạy và nghiên cứu tôi đã hệ thống được một số bài toán
theo từng dạng giả thiết và yêu cầu để học sinh được rèn luyện nhiều hơn và có
hệ thống giúp các em có thể giải được một cách dễ dàng hơn khi gặp phải
những bài cùng chủng loại.
2. Các chữ viết tắt
Trong chuyên đề này, tôi sử dụng một số chữ viết tắt sau:
- VTCP: véc tơ chỉ phương
- VTPT: véc tơ pháp tuyến
- PTTS: phương trình tham số
- PTCT: phương trình chính tắc
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của chuyên đề là việc đổi mới phương pháp dạy
học phần các bài toán VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VỚI MẶT
PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN được áp dụng trong
giảng dạy đối với lớp 12A1 trường THPT xxx
4. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài có sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:
- Nghiên cứu lí thuyết, tài liệu, văn bản;
3
- Sử dụng phiếu điều tra;
- Sử dụng toán thống kê.
5. Phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu chỉ tiến hành trong giảng dạy môn Toán 12 đối với học sinh

khối 12 trường THPT xxx trong thời gian 1 năm.
4
PHẦN II. NỘI DUNG
A. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1. Một số kiến thức cơ bản
- Mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình là

2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =
- Mặt phẳng (P) có VTPT
( ; ; )n A B C=
r
và đi qua điểm
0 0 0
( ; ; )A x y z
. Khi
đó (P) có phương trình là
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =

- Đường thẳng
∆
có VTCP
( ; ; )u a b c=
r
và đi qua điểm. Khi đó
∆
có
PTTS là

0
0
0
x at x
y bt y t
z ct z
= +


= + ∈


= +

¡
Nếu
0abc ≠
thì
∆
có PTCT:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng.
Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P). Kí hiệu
( ,( ))d d I P=
. Khi đó ta có
- Nếu d>R thì (S) và (P) không có điểm chung. Ta nói mp(P) không cắt

mặt cầu (S)
- Nếu d=R thì (S) và (P) có điểm chung duy nhất. Ta nói mp(P) và mặt
cầu (S) tiếp xúc với nhau. Điểm chung gọi là tiếp điểm.
- Nếu d<R thì (S) và (P) có vô số điểm chung. Các điểm chung tạo thành
một đường tròn. Ta nói (P) cắt mc(S).
Tính chất:
- Nếu (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A thì
( )IA P⊥
.
5
- Nếu (P) cắt mặt cầu (S) thì giao tuyến là đường tròn có tâm là hình
chiếu của I lên (P) và bán kính đường tròn giao tuyến
2 2
r R d= −
- Nếu (P) không cắt mặt cầu (S) thì với hai điểm
( ), ( )M S N P∈ ∈
mà
MN có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi N là hình chiếu của I lên (P)
và M là giao điểm của đoạn IN với (S).
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng.
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và đường thẳng
∆
, kí hiệu
( ; )d d I= ∆
. Khi đó
- Nếu d>R thì
∆
và (S) không có điểm chung. Ta nói
∆
không cắt mặt cầu

(S)
- Nếu d=R thì
∆
và (S) có một điểm chung duy nhất. Ta nói đường thẳng
tiếp xúc với mặt cầu.
- Nếu d<R thì
∆
và (S) có hai điểm chung. Ta nói
∆
cắt mặt cầu.
Tính chất:
- Nếu
∆
tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A thì
IA ⊥ ∆
.
- Nếu
∆
cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A và B thì
2 2
2AB R d= −
- Nếu
∆
không cắt mặt cầu (S) thì với hai điểm
( ), ( )M S N∈ ∈ ∆
mà
MN có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi N là hình chiếu của I lên (
∆
)
và M là giao điểm của đoạn IN với (S).

B. NỘI DUNG
1. Bài toán về đường thẳng và mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.
Ví dụ 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
1 2
:
1 1 2
x y z− −
∆ = =
và mặt phẳng (P): 2x-y-2z+2=0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm
trên
∆
, tiếp xúc với (P) và có bán kính là 2.
6
Phân tích: Do mặt cầu đã có bán kính nên chỉ cần tìm tọa độ tâm.
Tâm I thuộc
∆
nên I phụ thuộc 1 biến tham số. Dựa vào khoảng
điều kiện tiếp xúc ta tìm được I.
Giải:
PTTS của
∆
:
1
2 2
x t
y t
z t
=



= +


= +

Gọi I là tâm mặt cầu, do
I ∈∆
, gọi I(t; t+1; 2t+2).
Có mặt cầu tiếp xúc với (P) và có bán kính là 2

| 2 1 4 4 2|
( ,( )) 2 2 | 3 3| 6
3
1
3
t t t
d I P t
t
t
− − − − +
⇔ = ⇔ = ⇔ + =
=

⇔

= −

Với t=1, I(1; 2; 4), phương trình mặt cầu (S) là:
2 2 2

( 1) ( 2) ( 4) 4x y z− + − + − =
Với t=-3, I(-3; -2; -4), phương trình mặt cầu (S):

2 2 2
( 3) ( 2) ( 4) 4x y z+ + + + + =
Ví dụ 2:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: x=-2t; y=t;
z=-1-2t và mặt cầu (S):
2 2 2
2 2 0x y z x y+ + − − =
. Viết phương trình các đường
tiếp tuyến của (S) biết tiếp tuyến song song với d và nằm trong mặt phẳng
chứa d và đi qua tâm mặt cầu.
Phân tích: - Tiếp tuyến song song với d nên tiếp tuyến đã có phương. Vậy
để có phương trình của tiếp tuyến chỉ cần tìm thêm tiếp điểm.
- Nếu gọi M là tiếp điểm thì điều kiện của M là
( )
( , )
M S
M I d
MI d
∈


∈


⊥

Giải:

7
mc(S) có tâm I(1; 1; 0), bán kính
2R =
. Đường thẳng d có VTCP
( 2;1; 2)u = − −
r
Gọi H là hình chiếu của I lên d. H(-2t; t; -1-2t)
Ta có
(1 2 ;1 ;1 2 )HI t t t= + − +
uur
. Do H là hình chiếu của I lên d nên
HI u⊥ ⇔
uur r
-2(1+2t)+1-t-2(1+2t) = 0 <=>
1
3
t = −
2 1 1
( ; ; ) 2 ( )
3 3 3
H IH H S⇒ − − ⇒ = ⇒ ∈
, suy ra d là tiếp tuyến của (S)
Gọi d’ là đường thẳng qua I và H.
Ta có d’ có VTCP
1 4 1
( ; ; )
3 3 3
HI =
uur
(1; 4;1)v⇒ =

r
cũng là VTCP của d’.
PTTS của d’ là x=t+1; y=4t+1; z=t.
Gọi M là giao điểm của d’ và (S). M(t+1; 4t+1; t)
Do M thuộc (S) ta có
2
1 1
18 2 ;
3 3
t t t= ⇔ = − =
Gọi
∆
là tiếp tuyến cần tìm. Ta có M là tiếp điểm của
∆
và (S). Do
∆
// d
nên véctơ chỉ phương của d cũng là véctơ chỉ phương của
∆
Với
1 4 7 1
( ; ; )
3 3 3 3
t M= ⇒
, phương trình tham số của
∆


4 7 1
2 ; ; 2

3 3 3
x t y t z t= − + = + = − +
Với
1 2 1 1
( ; ; )
3 3 3 3
t M H= − ⇒ − − ≡
(loại)
Ví dụ 3: ( Đề thi thử đại học trường ĐẶNG THỨC HỨA/ Nghệ An)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 2
:
4 1 1
x y z+ −
∆ = =
−
và mặt phẳng (P):
2 2 6 0x y z− − − =
. Viết phương trình
8
mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng tại A(0; -1; 2) và tiếp xúc với mặt
phẳng (P) tại điểm B(1; 0; -2).
Phân tích: Nếu gọi I là tâm mặt cầu thì ta có

, //IA u IB n
IA IB

⊥



=


uur r uur r

với
u
r
là VTCP của
∆
và
n
r
là VTPT của (P).
Giải:
Đường thẳng
∆
có VTCP
(4;1; 1)u = −
r
. Mp(P) có VTPT là
(2; 1; 2)n = − −
r
. Gọi
I là tâm mặt cầu (S).
Gọi d là đường thẳng qua B và vuông góc với (P). d có VTCP là
' (2; 1; 2)u n= = − −
ur r
.
PTTS của d là

2 1; ; 2 2x t y t z t= + = − = − −
.
(S) tiếp xúc với (P) tại B suy ra I thuộc d. Gọi
(2 1; ; 2 2)I t t t+ − − −
.
Có
(2 1; 1; 2 4)AI t t t+ − + − −
uur
,
(2 ; ; 2 )BI t t t− −
uur
(S) tiếp xúc với
∆
tại A và tiếp xúc với (P) tại B, nên

2 2 2 2 2 2
4(2 1) 1 2 4 0
(2 1) ( 1) (2 4) (2 ) (2 )
1
1
1 4 4 4 1 4
t t t
AI u
t t t t t t
AI BI
t
t
+ − + + + =



⊥

⇔
 
+ + − + + = + +
=



= −

⇔ ⇔ = −

+ + = + +

uur r

Suy ra tâm I(-1; 1; 0), bán kính (S) là R=3. Phương trình (S) là

2 2 2
( 1) ( 1) 9x y z+ + − + =
2. Bài toán về đường thẳng và mặt phẳng cắt mặt cầu.
Ví dụ 1: (Đề thi thử đại học năm 2010 trường THPT chuyên Lê Quí
Đôn)
9
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương
trình
2 2 2
2 4 6 11 0x y z x y z+ + − + − − =
và mặt phẳng (P):

2 2 1 0x y z+ − − =
.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và cắt mặt cầu theo giao
tuyến là đường tròn có diện tích là
9
π
.
Phân tích: Mặt phẳng (Q) đã có VTPT nên để có phương trình (Q) cần tọa
độ một điểm hoặc hệ số D trong phương trình.
Do đường tròn giao tuyến có diện tích nên ta tính được khoảng
cách từ tâm mặt cầu đến (Q). Do vậy ta tìm được hệ số D trong phương trình
của (Q).
Giải:
Đường tròn có diện tích là
9
π
, suy ra bán kính đường tròn giao tuyến là r=3.
Mặt cầu (S) có tâm là
(1; 2;3)I −
, bán kính R=5.
Gọi mp(Q) là mặt phẳng cần tìm. Do (Q)//(P) nên mp(Q) có phương trình
dạng

2 2 0 ( 1)x y z m m+ − + = ≠ −
Gọi
( ,( )d d I Q=
, ta có
2 2
4d R r= − =
Theo công thức tính khoảng cách

2 4 3 5
( ;( ))
3
4 4 1
m m
d I Q
− − + −
= =
+ +
Suy ra
17
| 5| 12
7
m
m
m
=

− = ⇔

= −

(thỏa mãn)
Phương trình mặt phẳng (Q) là

2 2 17 0; 2 2 7 0x y z x y z+ − + = + − − =
Ví dụ 2: (Đề thi thử đại học năm 2010_ trường THPT Thái Phiên/ Hải
Phòng)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S):
2 2 2

2 2 4 19 0x y z x y z+ + − + − − =
, mặt phẳng (P):
2 2 1 0x y z− + + =
và điểm
10
A(5; 0; 1). Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua điểm A, vuông góc với
mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi là
8
π
.
Phân tích :
- Mặt phẳng
( )
α
để có phương trình thì cần có VTPT.
- Giao tuyến có chu vi nên tính được khoảng cách từ tâm I của mặt
cầu tới
( )
α
- Dựa điều kiện vuông góc với (P) và khoảng cách từ I đến
( )
α
ta
tìm được VTPT của
( )
α
từ đó suy ra phương trình cần tìm.

Giải
Mặt cầu (S) có tâm I(1; -1; 2) và bán kính R=5. mặt phẳng (P) có VTPT
1
(1; 2;2)n = −
r
.
Gọi
2 2 2
( ; ; ), 0n A B C A B C= + + ≠
r
là VTPT của mp
( )
α
.
Ta có
1
2 2 0 2( )n n A B C A B C⊥ ⇔ − + = ⇔ = −
r ur
(1)
Mp
( )
α
cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi
8
π
, suy ra đường tròn
giao tuyến có bán kính r=4.
Suy ra khoảng cách từ I đến
( )
α

là
2 2
3d R r= − =
(*)
mp
( )
α
qua A nên phương trình có dạng

( 5) ( 1) 0A x By C z− + + − =

2 2 2
2 2 2
4
(*) 3 4 3
A B C
A B C A B C
A B C
− − +
⇔ = ⇔ − − + = + +
+ +
(2)
Thế A từ (1) vào (2) ta biến đổi thành phương trình

2 2
2 5 2 0 2B BC C B C− + = ⇔ =
hoặc
1
2
B C=

Với B=2C, chọn C=1, ta có
(2;2;1)n =
r
, phương trình mp
( )
α
11
2x+2y+z-11=0
Với C=2B, chọn B=1, ta có
( 2;1;2)n = −
r
, phương trình mp
( )
α
2x-y-2z-8=0
Ví dụ 3. (Đề thi đại học khối A năm 2010)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(0; 0; -2) và đường
thẳng
2 2 3
:
2 3 2
x y z+ − +
∆ = =
. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng
∆
.
Viết phương trình mặt cầu tâm A và cắt
∆
tại hai điểm B, C sao cho BC=8.
Phân tích: Mặt cầu (S) cần có bán kính nữa thì viết được phương trình.

Biết độ dài BC ta tính được bán kính theo công thức

2
2 2 2
2 2
BC BC
R d R d
 
− = ⇔ = +
 ÷
 

Giải:
Đường thẳng
∆
có VTCP là
(2;3;2)u =
r
và qua điểm M(-2; 2; -3).
Ta có
(2; 2;1)MA = −
uuur
,
, ( 7; 2;10)MA u
 
= − −
 
uuur r
.
Ta có khoảng cách từ A đến

∆
là
,
( ; ) 3
MA u
d d A
u
 
 
= ∆ = =
uuur r
r
.
Mặt cầu (S) cắt tại hai điểm B, C và BC=8. Khi đó bán kính mặt cầu là (S)

2
2
16 9 5
2
BC
R d
 
= + = + =
 ÷
 
Phương trình mặt cầu (S) là
2 2 2
( 2) 25x y z+ + + =
3. Bài toán về đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung với mặt
cầu.

Ví dụ 1: (Đề thi thử đại học năm học 2010 trường THPT chuyên Lê Quí
Đôn_ Quảng Trị)
12
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-3=0 và
mặt cầu (S):
2 2 2
2 4 2 5 0x y z x y z+ + + − − + =
. Tìm những điểm
( ), ( )M S N P∈ ∈
sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.
Phân tích: Để tìm M, N ta dựa vào tính chất của mặt phẳng không cắt mặt
cầu.
Giải:
Ta có (S) có tâm I(-1; 2; 1) bán kính R=1.
( ,( )) 2 1d I P R= > =
, suy ra (P) và
(S) không có điểm chung.
Gọi
∆
là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp(P).
∆
có VTCP là
(1; 2;2)u = −
r
.
Ta có PTTS của
∆
là
1
2 2

2 1
x t
y t
z t
= −


= − +


= +

Gọi N
0
, M
1
, M
2
lần lượt là giao của
∆
với mp(P), và mặt cầu (S) với M
1
nằm
giữa N
0
và M
2
.
Với
( ), ( )M S N P∈ ∈

, ta có N
0
là hình chiếu của N lên
∆
và gọi M’ là hình
chiếu của M lên
∆
.
Ta có M’ nằm trên đoạn M
1
M
2
. Ta có
0
'N M
là đoạn vuông góc chung của
hai đường thẳng NN
0
và MM’. Suy ra
0 1 0
'MN M N M N≥ ≥
. Vậy điểm
( ), ( )M S N P∈ ∈
sao cho MN có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi
0 1
;N N M M≡ ≡
.
Gọi N
0
( t-1; -2t+2; 2t+1).

0
2
( ) 1 2( 2 2) 2(2 1) 3 0
3
N P t t t t∈ ⇒ − − − + + + − = ⇔ =
vậy
0
1 2 7
; ;
3 3 3
N
 
−
 ÷
 
Gọi
( )M S∈ ∩∆
, gọi M(t-1; -2t+2; 2t+1).
13
Do
2 2 2
1 1
( ) 4 4 1
3 3
M S t t t t t∈ ⇒ + + = ⇔ = ∨ = −
.
Suy ra
1 2
( ) {M ;M }S ∩ ∆ =
với

1 2
2 4 5 4 8 1
; ; ; ; ;
3 3 3 3 3 3
M M
   
− −
 ÷  ÷
   
Có
1 0
1M N =
;
2 0
3M N =
suy ra M
1

nằm giữa N
0
và M
2
. Vậy hai điểm M, N
cần tìm là
1 2 7
; ;
3 3 3
N
 
−

 ÷
 
và
2 4 5
; ;
3 3 3
M
 
−
 ÷
 
.
Ví dụ 2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: x=-2t; y=t-3;
z=-1-2t và mặt cầu (S):
2 2 2
2 2 0x y z x y+ + − − =
. Tìm điểm
( ),M S N d∈ ∈
sao
cho độ dài đoạn thẳng MN là nhỏ nhất.
Phân tích: Để tìm được M, N ta dựa vào tính chất của đường thẳng không
cắt mặt cầu.
Giải:
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 0), bán kính
2R =
. Đường thẳng d có VTCP
( 2;1; 2)u = − −
r
Gọi H là hình chiếu của I lên d. H(-2t; t-3; -1-2t)

Ta có
(1 2 ;4 ;1 2 )HI t t t= + − +
uur
. Do H là hình chiếu của I lên d nên
HI u⊥ ⇔
uur r
-2(1+2t)+4-t-2(1+2t) = 0 <=>
0t =
(0; 3; 1) 3 2H IH R⇒ − − ⇒ = >
,
suy ra d và (S) không có điểm chung.
Gọi d’ là đường thẳng qua I và H.
Ta có d’ có VTCP
(1;4;1)HI =
uur
(1; 4;1)v⇒ =
r
cũng là VTCP của d’.
PTTS của d’ là x=t+1; y=4t+1; z=t.
Gọi M là giao điểm của d’ và (S). M(t+1; 4t+1; t)
14
Do M thuộc (S) ta có
2
1 1
18 2 ;
3 3
t t t= ⇔ = − =
Suy ra
1 2
( ) ' {M ;M }S d∩ =

với
1
4 7 1
( ; ; )
3 3 3
M

2
2 1 1
( ; ; )
3 3 3
M − −
.
Có HM
1
=
4 2
, HM
2
=
2 2
suy ra M
2
nằm giữa H và M
1
.
Với
( ),M S N d∈ ∈
, ta có H là hình chiếu của N lên d’, gọi M’ là hình chiếu
của M lên d’ ta có M’ nằm trên đoạn M

1
M
2
.
Ta có HM’ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng HN và MM’. Suy
ra
2
' 2 2MN M H HM≥ ≥ =
. Suy ra N, M thỏa mãn để độ dài đoạn NM nhỏ
nhất là
2
,N H M M≡ ≡
.
Vậy tọa độ hai điểm M, N cần tìm là:
2 1 1
( ; ; )
3 3 3
M − −
,
(0; 3; 1)N − −
Bài tập tự luyện
Bài số 1.( Đề thi thử đại học năm học 2010 trường THPT Lương Thế Vinh_ Hà
Nội)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
1
1 1 1
:
2 1 2
x y z− + −
∆ = =

.
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I(1; 0; 3) và cắt đường thẳng
1
∆
tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB là tam giác vuông cân.
Bài số 2. (Đề thi thử đại học năm học 2010 trường THPT Đặng Thức Hứa_
Nghệ An)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
1 2
:
4 1 1
x y z+ −
∆ = =
−
và
mặt phẳng (P): 2x-y-2z-6=0. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với đường
thẳng
∆
tại A(0; -1; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại B(1; 0; -2).
Bài số 3. (Đề thi thử đại học năm 2010 trường THPT Thạch Thành I)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x+y+z-3=0 và điểm
A(2; 2; 2). Lập phương trình mặt cầu (S) qua A và cắt mặt (P) theo giao tuyến là
15
đường tròn sao cho tứ diện ABCD là tứ diện đều và tam giác BCD là tam giác
đều nội tiếp đường tròn giao tuyến.
Bài số 4. (Đề thi thử đại học năm học 2010 trường THPT chuyên Lê Quí Đôn_
Quảng Trị)
Trong khôn gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng
(P

1
): x-2y+2z-3=0, (P
2
): 2x+y-2z-4=0 và đường thẳng
2 4
:
1 2 3
x y z
d
+ −
= =
− −
.
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và cùng tiếp xúc với hai mặt
phẳng (P
1
) và (P
2
).
Bài số 5.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
1
2 1
:
1 1 2
x y z
d
− −
= =
−

và
2
2 2
: 3
x t
d y
z t
= −


=


=

. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với d
1
tại A(2; 1; 0) và
tiếp xúc với d
2

tại B(2; 3; 1).
Bài số 6. (Đề thi đại học khối B năm 2005)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
với A(0;

-3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B
1
(4; 0; 4). Viết phương trình mặt cầu tâm A và
tiếp xúc với mặt phẳng (BCC
1
B
1
).
Bài số 7. (Đề thi đại học khối B năm 2007)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x-y+2z-14=0 và mặt
cầu (S) :
2 2 2
2 4 2 3 0x y z x y z+ + − + + − =
. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S)
sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là nhỏ nhất.
Bài số 8. (Đề thi đại học khối A năm 2009)
16
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0 và mặt
cầu (S):
2 2 2
2 4 6 11 0x y z x y z+ + − − − − =
. Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt
cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
PHẦN III. KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN
Tài liệu phần nào đã hệ thống được phương pháp giải quyết một số bài
toán về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng. Sau khi
biên soạn xong tôi đã thực nghiệm giảng dạy cho 1 lớp 12 với thời lượng là 4
tiết và có kiểm tra. Kết quả tốt hơn nhiều so với lớp học sinh không được học.
2. KIẾN NGHỊ

Do thời lượng phân bố cho dạng bài tập này không nhiều nên các giáo
viên có thể đưa phần này vào tiết dạy tự chọn để cho học sinh có thể giải quyết
tốt hơn vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng.
Tài liệu này là ý kiến cá nhân, chắc hẳn không tránh khỏi những thiếu sót,
tác giả kính mong được sự góp ý của các đồng nghiệp để tài liệu có giá trị hơn.
17