Thế năng của dao động tử biến dạng

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

N G U Y Ễ N T HỊ T H U H U Y Ề N

THẾ NĂNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ BIỂN DẠNG

LUẬN V Ă N THẠC s ĩ K H O A HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2016


B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

N G U Y Ễ N T HỊ T H U H U Y Ề N

THẾ NĂNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ BIỂN DẠNG

Chuyên ngành: V ật lí lí thuyết và V ật lí toán
M ã số: 60 44 01 03

LUẬN V Ă N THẠC s ĩ K H O A HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

HÀ NỘI, 2016


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan, ngưòi
đã hướng dẫn tôi thực hiện luận văn này. Cô đã cung cấp những tài liệu và
truyền thụ cho tôi những kiến thức mang tính khoa học và hơn nữa là phương
pháp nghiên cứu khoa học. Sự quan tâm, bồi dưỡng của cô đã giúp tôi vượt
qua những khó khăn ừong qua trình hoàn thành luận văn cũng như trong quá
trình học tập và nghiên cứu. Đối với tôi, cô luôn là tấm gương sáng về tinh
thần làm việc không mệt mỏi, lòng hăng say với khoa học, lòng nhiệt thành
quan tâm bồi dưỡng thế hệ trẻ.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Vật Lý trường
Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 và các thầy cô ừong phòng sau đại học, tạo mọi
điều kiện giúp tôi hoàn thành khóa học.
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Học viên thực hiện

Nguyễn Thị Thu Huyền


LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình nghiên cứu luận văn về đề tài: “Thế năng của dao động
tử biến dạng”, tôi đã thực sự cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu đề tài để hoàn
thành khóa luận. Tôi xin cam đoan luận văn này được hoàn thành do sự nỗ
lực của bản thân cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình hiệu quả của PGS.TS
Nguyễn Thị Hà Loan. Đây là đề tài không trùng với các đề tài khác và kết quả
đạt được không trùng vói kết quả của các tác giả khác.
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Học viên thực hiện

Nguyễn Thị Thu Huyền

MUC
• LUC
•
MỞĐẦƯ............................................................................................................ 1
1. Lý do chọn đề tài..................................................................................... ..1
2. Mục đích nghiên cứu............................................................................... ..2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.............................................................................. ..2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu........................................................... ..2
5. Phương pháp nghiên cứu......................................................................... ..2
6. Những đóng góp m ớ i.............................................................................. ..2
Chương 1. DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG CỦA CÁC HẠT CÓ SPIN NGUYÊN .3
1.1. Dao động của các hạt có spin nguyên................................................. ..3
1.1.1. Dao động của các hạt có spin nguyên.......................................... ..3
1.1.2. Thế năng của dao động của các hạt có spin nguyên.................... ..5
1.2. Dao động tử Boson biến dạng - q ....................................................... ..8
1.2.1. Dao động tử Boson biến dạng - q ................................................ ..8
1.2.2. Thế năng của dao động tử Boson biến dạng - q .......................... ..9
Chương 2. DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG CỦA CÁC HẠT CÓ SPIN
BÁN NGUYÊN............................................................................................... 15
2.1. Dao động biến dạng của các hạt có spin bán nguyên......................... 15
2.1.1. Dao động của các hạt có spin bán nguyên................................... 15
2.1.2. Thế năng của dao động của các hạt có spin bán nguyên............. 16
2.2. dao động tử Fermion biến dạng - q .................................................... 18
2.2.1. dao động tử Fermion biến dạng - q ............................................. 18
2.2.2. Thế năng của dao động tử Fermion biến dạng - q....................... 19
Chương 3. DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG - (q, R)........................................ 25
3.1. Dao động tử biến dạng - (q, R)........................................................... 25
3.2. Thế năng của dao động tử biến dạng - (q, R )..................................... 26
KẾT LUẬN..................................................................................................... 33

TÀI L Ệ U THAM KHẢO................................................................................ 34


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Vật lý được xem như là ngành khoa học cơ bản bởi vì các định luật vật
lý chi phối tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác. Trong lịch sử vật lý, các
quy luật vật lý cơ bản đã nhiều lần được biến dạng để tạo nên các lý thuyết
mới đáp ứng nhu cầu thực tiễn.
Bất kì hạt nào trong một trường lực, đều có thế năng. Thế năng của hạt là
do tương tác mà có. Để nghiên cứu chuyển động và hạng thái của một hệ nào
đó bao giờ cũng phải biết thế năng của hệ đó, ví dụ: Hạt vi mô chuyển động
trong một hố thế sâu vô hạn, để biết được trạng thái của hạt này ta phải biết
thế năng của hạt từ đó ta tìm được toán tử Hamilton của hạt rồi giải phương
trình cho hàm riêng và trị riêng tìm được trạng thái của hạt. Vậy để nghiên
cứu trạng thái của một hệ vi mô cần phải biết toán tử năng lượng và việc tìm
thế năng của hệ chính là đi tìm toán tử năng lượng của hệ.
Từ đó mô tả được chuyển động thực tế của hệ là phi điều hòa, có thể
dùng dao động biến dạng để mô tả chuyển động của hệ, do đó càn phải biết
thế năng của dao động tử biến dạng, biết được thế năng của hạt electron nằm
trong nguyên tử, ta đi nghiên cứu được dao động mạng tinh thể hay tính chất
vật lý của các chất rắn.
Dao động biến dạng được xem như là một sự biến dạng của dao động
thông thường, phụ thuộc vào một hoặc nhiều thông số biến dạng. Khi thông
số biến dạng tiến đến một giá trị nào đó thì dao động biến dạng trở về dao
động thông thường vì vậy dao động biến dạng tổng quát hơn dao động chưa
biến dạng và dao động tử biến dạng có ưu điểm hơn so với dao động tử chưa

biến dạng.
Vì vậy trong luận văn này tôi chọn đề tài “Thế năng của dao động tử
biến dạng” làm luận văn tốt nghiệp của mình.


2

2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu thế năng của các loại dao động tử biến dạng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các dao động tử biến dạng.
- Nghiên cứu các dạng thế năng của các dao động tử biến dạng và xây
dựng biểu thức tính thế năng của các dao động tử biến dạng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu dao động tử biến dạng cho các hệ hạt có spin nguyên và có
spin bán nguyên.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phưomg pháp nhóm lượng tử.
- Phương pháp nghiên cứu của cơ lượng tử.
6. Những đóng góp mới
- Nghiên cứu và tính toán các thế năng của các dao động tử biến dạng.


3

Chương 1

DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG CỦA CÁC HẠT CÓ SPIN NGUYÊN
1.1. Dao động của các hạt có spin nguyên
1.1.1. Dao động của các hạt có spin nguyên([5])

Những hạt có spin nguyên được gọi là những hạt Boson. Các toán tử
sinh, toán tử hủy các dao động tử Boson tuân theo hệ thức giao hoán:
[oc,oc+] = l

(1.1)

Và toán tử số dao động N được biểu diễn theo các toán tử hủy dao động
tử oc và toán tử sinh dao động tử oc+có dạng:
N =oc+oc
Trong đó:

oc: là toán tử hủy dao động tử
0C+: là toán tử sinh dao động tử

Kết họp (1.1) với (1.2) ta có:
[N, oc] = [oc+oc, oc]
=oc+ococ —ococ+oc
= (oc+oc —ococ+) oc
= —(aoc+—a +a ) oc
= —[oc,oc+] oc= —oc
[N, oc+] = [oc+oc, OC+]
=oc+ococ+—oc+OC+oc
=oc+ (ococ+—ococ+)
=oc+ [oc,oc+] =oc+

(1.2)


4

Như vậy:
\[N, oc] = -oc
[[N,oc+] =oc+

(1.3)

Không gian Fock là không gian mà vector cơ sở của nó là những trạng
thái vói số hạt xác định. Trong không gian Fock, trạng thái chân không |0)
được định nghĩa là trạng thái thỏa mãn điều kiện:
foc |0) = 0
l<0|0> = 1

(1.4)

Đưa vào cơ sở không gian Fock In) là trạng thái riêng của toán tử số dao
động ứng vói trị riêng n:
roc+ V 1

n = 0 ,1 ,2 ,....

m> = ^ ầ H 0 >
VnT

(1.5)

Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ Q và toán tử
xung lượng p liên hệ vói các toán tử hủy, sinh dao động oc, oc+ như sau:
Q = [—

\ 2m(ú

^

(oc+ + o ,

hmcư ,

.

P = iJ

,

,

(«

.

- « )•

Và chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán:
[Q, P] = ih

( 1.6)

Thật vậy:
ih
[«Q,p] = y [(K+ + ° 0 ,( « + - « ) ]
= — ((o c + + o c )(o c + —oc) — (oc+ —a ) ( a + + o c ) )

iĩl
= y 2(ococ+ —oc+ oc) = ih[oc,oc+ ] = ih


5

Từ hệ thức (1.6) dẫn đến hệ thức bất định Heisenberg ([2]):
h2

h2

4

4

<(AỢ )2)<(AP)2) = ^ ( 2 n + 1) > ỹ .

(1.7)

Thật vậy ta dễ dàng thấy:
(Ọ) = <n|Ọ|n> = 0,(P) = (n\p\n) = 0.

(1.8)

Do đó độ lệch toàn phương ((AỌ)2),((AP)2) của tọa độ và xung
lượng là:
<(AỌ)2> = < (Ọ - <AỌ»2> = <ọ2>
h ■ (tt|(oc+ + oc)2 |n )

2 mù)

h
2 mù)

h
2 mù)

(n\2 a +a + l |n )
(2 n + 1),

<(AP Ỵ ) = ( Ợ - ( P ) Ỵ ) = (P2)
h mù)
2

h mo)
2

h ma)

< n | ( a + — oc)2|n )

( n |2 « + « + 1 | n)
(2 n + 1),

Suy ra:
<(AỌ)2X(AP)2> = ^ ( 2 n + l ) 2 > ^ .
1.1.2. Thế năng của dao động cửa các hạt có spin nguyên ([1])
Toán tử Hamiltonian mô tả dao động tử điều hòa:
H= T+ U
Hay:

H = ——P 2 + - m ú ) 2Q2
2m


6

r
>
Vói u là toán tử thê năng của dao động tử điêu hòa
0 = ^mù)2Q2
Đưa vào ữ các toán tử sinh, hủy dao động ta có:
1

u = ^m= ị m o ) 2- í — (oc+ +oc) 2
2
2m=

(oc+ + « ) ( « + -foc)
4
hù)
= — (oc+ oc+ +oc+ oc +ococ+ +OCOC)
4
ĨÌCt)
= -j-(o c+oc+ +OCOC +(2 N + 1))
/V
l o
/V

Và toán tử động năng T = — p , đưa vào T cắc toán tử sinh, hủy dao
2m

động ta có:
Ä

—1 hmù) ,
(oc+ —oc) 2
2771 2
—hít)
4 (« +
—hco
4 (« +
—heo
foc+

T = TT— 1

Vậy:
Ä

H=

—h á) ,

“

N

heo ,

N

(oc+oc+ +OCOC —(2 N + 1)) + -^-(oc+oc+ +OCOC +(2N + 1))
2há)
H = - J - (2N + 1)
4
H = — (2V + 1)

(1.9)


7

Phổ của toán tử Hamiltonian được xác định bằng phương trình hàm
riêng, trị riêng của toán tử Hamiltonian như sau:
H |n) = En \n)
H |n) = — ( 2 N + 1)1 n )
= ^ ( 2 n + 1)1 n)
Suy ra:

En = — (2 n + 1)

n = 0,1,2,....

(1.10)

Trường họp n = 0, Năng lượng của dao động tử:

Trường họp n = 1, Năng lượng của dao động tử:

3hứ)
*> -2
Trường họp n = 2, Năng lượng của dao động tử:
5 hú)
E2 = - ^ 2
2
Trường hợp n= 3, Năng lượng của dao động tử:
7 hù)
E* = 2
Hiệu hai mức năng lượng: AEn = En+1 — En — hú)
Ta thấy các mức năng lượng cách đều nhau và khoảng cách giữa hai
vạch phổ kế tiếp bằng hù).
Vậy ừong dao động điều hòa thì

vx = -mừ)2Q2 là

năng lượng là những mức cách đều nhau và vô hạn.

parabolic và phổ


8

1.2. Dao động tử Boson biến dạng - q
1.2.1. Dao động tử Boson biến dạng - q
Dao động tử Boson biến dạng q được định nghĩa thông qua các hệ thức
giao hoán:
aa+ —qa+a = q~N
Trong đó:

(1.11)

q: là thông số biến dạng
N: là toán tử số dao động

Và N thỏa mãn hệ thức giao hoán:
[ N, a ] = - a,
[ N, a+ ] = a+.
Và:
a+a = [V]q
aa+ = [N + l] q

(1.12)

Phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử số N là:
[N]q In)q = [n]q In)q

(1.13)

Trong không gian Fock với vector cơ sở là véc tơ trạng thái của số hạt N
có dạng:

\n)q

(a+r

7 = = 10)Q

4 W q\

Ở đây sử dụng kí hiệu:
M í1

q n —q ~ n
q -q -1

[n],! = [l],[2],[3],...[n].
Và : lo) q là ttạng thái chân không thỏa mãn điều kiện :

(1.14)


9

alo), =0
N In)q = n In),
a+ \n)q = J [ n + 1], |n + 1)^
a In)q = Ạ n ] q In - 1),
1.2.2.

(1.15)

Thế năng của dao động tử Boson biến dạng -

q

Toán tử năng lượng của dao động tử Boson biến dạng - q có dạng:
K
‘ = — + - m W 2x 2
2m

(1.16)

2

Toán tử sinh, hủy a+, a của dao động biến dạng q có thể biểu diễn qua
toán tử tọa độ và toán tử xung lượng theo công thức:
a=

l ^ ( x + — p)
*\J 2h \
mW )

a+= fe ñ (x
i.
^ 2h V

(1.17)

__Lp)

mW )

Ngược lại các toán tử tọa độ và xung lượng tương ứng có thể biểu diễn
qua các toán tử sinh, hủy dao động tử a+, a dao động Boson như sau:
X=

2mW

( a + + ã)

(1.18)

Ạ ^ ( a + _ a)
Thay (1.18) vào (1.16) ta được:

K =

hmW
hw2m
( a ++a ) 2
4m ( a + - ^ + w

hw

hw

4

4

H = — — ( a + — a ) 2 + —— ( a + + a ) 2
hw
K — - j - ( a +a + a a +)
Chọn lại gốc tọa độ để TC có dạng đơn giản:

(1.19)


10

H = hW aa+

Dao động Boson biến dạng là một dao động tử phi tuyến với tính phi
tuyến thể hiện ở tần số dao động, phụ thuộc vào biên độ dao động theo một
hàm số nào đó mà ta cần tìm.
Toán tử năng lượng của dao động tử Boson biến dạng có thể viết:
H = ftWaa+

(1.20)

Toán tử sinh a+, toán tử hủy a của dao động tử Boson biến dạng có thể
được biểu diễn thông qua các toán tử sinh, toán tử hủy của dao động Boson
bình thường oc+, oc như sau:

a+ =
a=

OCOC'

( 1.21)

/(««+)
oc
ococ'

Từ (1.21) ta thu được:
aa+ = [N + 1] = / ( OCOC+)

(1.22)

a+a = [ N ] = f ( oc+oc)

(1.23)

Ta tính đạo hàm của các toán tư sinh a+ và toán tử hủy a theo thời gian:
a

da d H
dx dP

à = hú)

da ( d a
da+'
da ( da
da+Y
d x \ d P a + a d P , ~ d P \ d x a + a ~dx)

à = hù)a
❖

Ta đi tính

Ta có:

da d H
dP dx

ída d a +
yớx dP

dada+
dP dx

(dada+

d a ỡ a+ \

\ d x dp

dP dx )

(1.24)


11
fd a d a +

d a d a +'

,dx dP

dP dx
/(o c o c + )

\ a

OCOC+

I dP

/(0 C 0 C + )
------------ 0CH
OCOC+

/( « « + )

\ a

/ ( ^ ) K+

--------°c

OCOC+

OCOC+

dP J
/(0CO C+)
OCOC+

/(OCOC+) / a o ca oc+
OCOC+

y ax

dP

OCOC+

/ ax ’

ax

3PỤ

a o ca OC+'
dP

+ /'(o c o c + ) -

dx

/(o c o c + )
ococ1

/( « « + )
ococ+

= - i — ------------- i

'a oc a oc+

a oc a oc+

^ax

dp

/'(ococ+) -

dp
/ ( ococ+ )
OCOC+

= - i / ' ( OCOC+)
Vậy
vớ i

dada+
( dx dP
ỡoc ỡ oc+

( dx

dp

a oc4

/ ( OCOC+) \ / a oc

dada+
) = -¿/'(OCOC+)
dP dx
dec 5 o c + \

dp dx

j = -i

T h a y v à o ( 1. 24) ta CÓ:

d = — ic d fta /'(o c o c + )

dx


12

Sử dụng hệ thức (1.22) và dùng kí hiệu (1.14) ta được:
,

í

,

fc(ỊK« + - <7 - « K + 1_

)

ả = ] —iù)h--------3 — l n ơ l a
(
q-q-1
J

(1.25)

Tương tự ta có:
a+ =

da+ dữ€
dx dP

à+ = ù)h

da+ í da
da+'
— a + adx \dP
dP

a+ = ứ)ha+
❖

da+ dữ£
dP dx

da+ da
dx dP

da+ (da

iK ia

da+
+a dx

da+ da'
dP d x ,

(1.26)

Tính
fda+ da
dx dP

da+ da'
dP d x ,

Ta có:
fda+ da
dx dP

da+ day
dP d x t

dP )

+

/(OCOC+)
OCOC+

OCOC+

dP dx

d ị / ( OCOC+) \ (d oc+ oc —0c
dx
apụ OCOC
d oc

d oc+
oc
dP

d oc'
dx ,


13

/(ocOCOC+ ỵ dx dp

d oc+ d oc\
dp dx )

/(OCOC+)
+ / ' ( OCOC+) —
OCOC+

/(ococ-n
«0C+

oc+ d oc
ỚX dp

d oc+ d oc>
dP dx

/(OCOC+)

= i -------- :----- 1- i

/ ' ( ococ+) —

OCOC+

= i/'(ococ+)
Vậy
với

/ ỡ a + ỡa

ỡ a + da

V ỡx dp

dP dx

/5oc+ ỡoc

5oc+ 5«

) = i / ' ( OCOC+)

)

dp dxs = i

V ớa: d p

Thay vào (1.26) ta được:
a + = iù)ha+f ' { « « +)
Sử dụng hệ thức (1.22) và dùng kí hiệu (1.14) ta được:
,«ocn
a + — i iú)h

q -q

,-«ocn
■ln q a
,-l

Vậy dao động tử biến dạng chính là dao động phi tuyến với tần số w
thì có thể viết:
â + = iW a+
à = —i W a
Tần số dao động biến dạng:
( oK0C+- ơ _K0C+

w = ị hq

1
ln g ịù )

(1.27)

Vói a a + tưomg ứng với số mức kích thích hoặc số hạt
Thế năng của dao động tử Boson biến dạng - q:

v ( x ) = - m W 2x 2

(1.28)


14

Thay (1.27) vào (1.28) ta được:
,ococ
V(x) =

h

,-ococn

q - q ,- l

ln q

Ù) 2 X 2

Khi q tiến gần đến 1 thì thế của dao động Bosson biến dạng (dao
đông phi tuyến) trở về dao đông điều hòa thông thường, V = - m ứ ) 2x 2.


15

Chương 2
DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG CỦA CÁC HẠT CÓ SPIN BÁN NGUYÊN
2.1. Dao động biến dạng của các hạt có spin bán nguyên

2.1.1. Dao động cửa các hạt có spin bán nguyên([2])
Những hạt có spin bán nguyên được gọi là những hạt Fermion. Các toán
tử sinh, toán tử hủy các dao động tử Fermion thỏa mãn hệ thức giao hoán:

{P.P+} = 1
p 2 = (/?+) 2 = 0

( 2 . 1)

Và toán tử số dao động N được biểu diễn theo các toán tử hủy dao động
tử /? và toán tử sinh dao động tử p +, có dạng:

N = p +p
Trong đó:

( 2 .2)

/? là toán tử hủy dao động tử
Ị3+ là toán tử sinh dao động tử

Ta cũng thấy toán tử dao động N thỏa mãn hệ thức giao hoán:

[N,P\=NP-PN
= p +p p - p p +p
= - 0 ( 1 - 2/?/?+) =

-p

[N,p+] = NP+ - P+N
=

r

r

-

m

= p +{ l - 2 p +p) = p +
Như vậy:

(2.3)

Không gian Fock là không gian mà vector cơ sở của nó là những trạng
thái với số hạt xác định. Trong không gian Fock, trạng thái chân không 10)
được định nghĩa là trạng thái thỏa mãn điều kiện:


16

(ß\0) = 0

(2.4)

l ß +\0) = l

Đưa vào cơ sở của không gian Fock In) là ttạng thái riêng của toán tử số
dao động tử ứng với trị riêng n:
(b+)n

ln) = ^ - | 0 )

n = 0,1

(2.5)

Đối vói hệ Fermion phải thỏa mãn nguyên lý loại trừ Pauli nên trong
(2.5) có hai giá trị của n l à n = 0 v à n = 1.
Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử toạn độ Q và toán tử
xung lượng p liên hệ với các toán tử hủy, sinh dao động ß, /?+như sau:

Q=ỉ ĩ ^ u ++V ’
p = i j ^ ( ß +- ß i
Chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán:
[Q,P] = - i h

(2.6)

Thật vậy:

iQ.p]=ji(fi*+n c r - « ]
[
+ + « G 8 + - « - (Pf - ( W + + « )

[Q’P ] = J 2(W?+ - /S+/S)
lQ,P) = - i h
2.1.2. Thế năng của dao động của các hạt có spin bán nguyên ([2])
Toán tử Hamiltonian mô tả dao động tử điều hòa:
H= T+ ữ

Hay:

H = ^ - P 2 + - m ù ) 2Ọ2
2m

2

x

(2.7)


17

Với ữ là toán tử thế năng của dao động tử điều hòa
Đưa vào ữ các toán tử sinh, hủy dao động ta có:
ữ = ^m(i)2Q2
2
= -m ù) ------ (P+ + P):
2
2mo)
hù)

= =ụ(.p+ + p ỵ p * + p )

Và toán tử động năng ĩ = — P2, đưa vào ĩ các toán tử sinh, hủy dao
động ta có:
f^ = _- 1 ±h7710),
^ y ^+ _ p y

2771 2
—hít)
4
—hít)

Vậy:
—hù)

H = —

ho)

(P+P+ - p * p - p p * + m + T (P*P* + p + p + pp* + PP)

H =^{2P+P+2PP+)
híd , ^

H = - f ( p * p + pp*)
ho)

H==-{p,p*ì
hủ)
H = -f

(2.8)

Phổ năng lượng của dao động tử được xác định bởi phương trình hàm
riêng và trị riêng của toán tử H:

18

Hi n ) = En \n)

(2.9)

Với toán tử năng lượng được xác định bởi (2.8)
Thay vào (2.9) ta được:
hù) ,
2

ỉn > = En \ n )

E = —2

( 2 . 10)

Kết quả tính toán ở công thức (2.10) phù họp với nguyên lý loại trừ pauli:
“không tồn tại hai Fermion có cùng các trạng thái lượng tử”.
Mỗi dao động tử Ferrmion ở trạng thái xác định có năng lượng

En

hừ)
2

2.2. dao động tử Fermion biến dạng - q
2.2.1. dao động tử Fermion biến dạng - q ([3])
Dao động tử Fermion biến dạng q được biểu diễn qua các toán tử sinh,
hủy các dao động tử b+, b như sau:

bb+ + q b +b = q~N

(2.11)

b2 = (b+y = 0
Trong đó:

q: là thông số biến dạng
N: là toán tử số dao động

Và N thỏa mãn hệ thức giao hoán:
[ N, b ] = - b ,
[ N, b+ ] = b+.
Khi q = 1 thì (2.11) có dạng:
b b + + b +b = 1
Tức là trở vê dạng dao động tử Fermion thông thường.

(2.12)


19

Phương trình hàm riêng, trị riêng của toan tử sô N:
N In)q = n In)q

(2.13)

Trạng thái riêng đã chuẩn hóa của N được viết dạng:
(2.14)

Ở đây sử dụng kí hiệu: {n}q =

q-q-1

(2.15)

Trong không gian Fock, với vector cơ sở là vector trạng thái In)q ta có:
b+b = m q = f ( f i +fi)

(2.16)

bb+ = [N + l] q = /(/?/?+)

(2.17)

Khi q = 1 ta có dao động tử Fermion thông thường. Khi đó không gian
Fock được phân thành không gian con hai chiều và nguyên lý loại trừ pauli có
thể suy ra từ b2 = (h+) z = 0
2.2.2. Thế năng của dao động tử Fermion biến dạng - q ([6])
Toán tử năng lượng của dao động tử Fermion biến dạng - q có dạng:
1
1
•K = - — P 2 + ^ m W 2x 2
2m
2
Toán tử xung lượng

p

và toán tử tọa độ

X

(2.18)

có thể biểu diễn qua các toán

tử sinh b+ và toán tử hủy b của dao động Fermion như sau:

4

(2.19)


20

Thay (2.19) vào (2.18) ta được:
mWh
1
h
H = — — - (b+ - b y + ^ m W 2 —
(b+ + b Ỵ
4m v
J
2
2mWK
J
H =-

hw
-

7 (b+ - b y

4

-

hw ,

hw
+

-

4

7

-

(

b+ + b y

x

H = - ^ - ( b +b + bb+)

( 2.20)

Chọn lại gốc tọa độ sao cho năng lượng ở mức thấp nhất để H có dạng:
H = hWbb+
Dao động Fermion biến dạng là một dao động tử phi tuyến với tính phi
tuyến thể hiện ở tần số dao động phụ thuộc vào biên độ dao động.
Toán tử năng lượng của dao động tử Fermion biến dạng có thể viết như
sau:
K = hWbb+

(2.21)

Toán tử sinh b+ và toán tử hủy b của dao động tử Fermion biến dạng có
thể được biểu diễn thông qua các toán tử sinh, toán tử hủy ß +, ß của dao động
Fermion bình thường như sau:

(

/ w +)r

b+ =
N
b=
N

ßß<

( 2 .22 )

ßß<+ P

Từ (2.22) ta thu được:
bb+ = [N + 1] = f ( ß ß +)

(2.23)

b+b = [JV] = f ( ß * ß )

(2.24)

Ta tính đạo hàm của các toán tử sinh b+ và toán tử hủy b theo thời gian:
..
db+ d H
b+ =
dx dP

db+ d H
dP dx