Lý thuyết và bài tập chương ứng suất trong nền đất

Chương 2

ỨNG SUẤT TRONG NỀN ĐẤT
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
2.1. Khái niệm ứng suất
Xét một vật thể chòu lực tác dụng như hình 2.1, ứng suất trên mặt phẳng  đi qua điểm P
gồm 2 thành phần:
dFn
dA
dFs
  lim
dA  0 dA

-

Ứng suất pháp n vuông góc với mặt phẳng  :  n  lim

-

Ứng suất tiếp nằm trên mặt phẳng  :

dA  0

trong đó dFn và dFs là độ lớn của thành phần nội lực pháp tuyến và tiếp tuyến với mặt
phẳng  trên diện tích vô cùng bé dA
F1
z

z

F1

F4

F4

n
P

P


F2
F2
O
F3

O
x



F3



x

y

y

Hình 2.1 Các thành phần ứng suất tại điểm P trên mặt phẳng bất kỳ
Có vô số mặt phẳng đi qua điểm P, tuy nhiên trạng thái ứng suất tại điểm P hoàn toàn xác
đònh khi biết được ứng suất trên 3 mặt phẳng vuông góc lẫn nhau đi qua điểm P, 3 mặt
phẳng này lần lượt vuông góc với các trục tọa độ Ox, Oy và Oz như trên hình 2.2. Như vậy
ứng suất tại điểm P trong không gian tọa độ Decard gồm có 6 thành phần:
-

3 thành phần ứng suất pháp
x, y và z

-

3 thành phần ứng suất tiếp
xy = yx, zy = yz, xz = zx

Các ứng suất tiếp bằng nhau từng đôi một (xy = yx, zy = yz, xz = zx) là do tính chất đối
ngẫu khi nằm trên các mặt phẳng vuông góc nhau đi qua 1 điểm.
Trạng thái ứng suất tại điểm P được thể hiện bằng ma trận ứng suất như sau:

 
ij

 x  xy  xz 


  yx  y  yz 
 zx  zy  z 



1


z

z
zx
zy
yx

yz
xy

y

x
xz

y

x

Hình 2.2 Các thành phần ứng suất tại điểm P trong hệ trục tọa độ Decard
Trong trường hợp bài toán biến dạng phẳng, kích thước vật thể theo phương y rất lớn so
với hai phương còn lại (nền đường, đê, đập hay móng băng, …) như hình 2.3, thì trạng thái
ứng suất tại điểm M hoàn toàn xác đònh khi biết được ứng suất trên hai mặt phẳng vuông
góc nhau qua M. Như vậy, trong bài toán phẳng, trạng thái ứng suất tại điểm M được xác
đònh bởi 3 thành phần
-

2 ứng suất pháp :

x , z

-

1 ứng suất tiếp :

xz = zx.

Ngoài ra, ứng suất pháp y tại điểm M cũng tồn tại và được tính theo công thức từ lý
thuyết đàn hồi
 y    x   z 


x
z

z
zx

zx

x

x

M

M

x

y

xz

xz
z

z

Hình 2.3 Các thành phần ứng suất tại điểm M trong bài toán phẳng
Trong cơ học đất, ứng suất pháp mang dấu  khi nén và mang dấu  khi kéo. Ứng
suất tiếp mang dấu  khi xoay cùng chiều kim đồng hồ và dấu  khi xoay ngược chiều
kim đồng hồ như trên hình 2.4.
2











M

M




Hình 2.4 Quy ước dấu ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên các mặt phẳng qua M
2.2. Ứng suất do trọng lượng bản thân (TLBT)
2.2.1. Nền đất không có mực nước ngầm (MNN)
Ứng suất pháp theo phương đứng z hay v
-

Trường hợp nền có 1 lớp đất như hình 2.5(a), ứng suất tại điểm M cách mặt đất một độ
sâu z được xác đònh theo công thức
z  v    z

-

Trường hợp nền có nhiều lớp đất như trên hình 2.5(b), ứng suất tại điểm M
z  v 

trong đó:

n

 
i 1

i

 zi 

i – trọng lượng riêng lớp đất thứ i (kN/m3)
zi – chiều dày lớp đất thứ i (m)
MĐTN

MĐTN

Lớp 1



1

z1

K01

z
z

Lớp 2

h

Lớp n

h
(a)

M

z…

…

M
v

hay

z2

K02

x (= y)
y

2

(b)

zn

n
K0n

M

Hình 2.5 Ứng suất tại điểm M do TLBT: (a) nền 1 lớp và (b) nền nhiều lớp đất

-

Trường hợp trọng lượng riêng của đất là hàm số biến thiên theo độ sâu z

3


z 



h

0

với

 ( z) dz

h – chiều dày lớp đất

Ứng suất pháp theo phương ngang x hay h
 x  K0   z

trong đó:

K0 – hệ số áp lực ngang của đất ở trạng thái tónh tại vò trí tính x
Bảng 2.1 Biểu thức tính hệ số áp lực ngang của đất ở trạng thái tónh K0
Đất cố kết thường (K0  1)
K 0  1  sin  

Jaky, 1944

K 0  0.91  sin  

Fraser, 1957

K 0  0.19  0.233 log I p

Kenney, 1959 (đất dính)

2

 1  sin   

K 0   1  sin   
3

 1  sin   

Kezdi, 1962

K 0  0.95  sin  

Brooker and Ireland, 1965

Đất cố kết trước (K0 có thể  1)
K 0  (1  sin  ) OCR

Eurocode 7, 1997

K 0  (1  sin  ) (OCR)sin  

Mayne and Kulhawy, 1982

  – góc ma sát trong có hiệu (xem Chương 4)

OCR – tỷ số cố kết trước (xem Chương 3)
Theo lý thuyết đàn hồi

K0 


1 

 – hệ số poisson

Bảng 2.2 Giá trò K0 của một số loại đất
K0

Loại đất
Cát rời (khô)

0.64

Cát rời (bão hòa)

0.46

Cát chặt (khô)

0.49

Cát chặt (bão hòa)

0.36

Cát chặt (đầm chặt từng lớp)

0.80

Sét yếu (Ip = 30)

0.60

Sét cứng (Ip = 9)

0.42

Sét lẫn bụi (Ip = 45)

0.57

Ứng suất tiếp xz hay zx: Khi mặt đất nằm ngang và rộng khắp thì xz = zx = 0
2.2.2. Nền đất có mực nước ngầm
4


Mặt đất tự nhiên

t

z1
MNN

sat
z2
z

x (= y)
u

y

Hình 2.6 Ứng suất tại điểm M do TLBT trường hợp nền có mực nước ngầm
Ứng suất pháp theo phương đứng
-

Ứng suất pháp tổng theo phương đứng
 v   t  z1   sat  z2

hay

v 

n

 
i 1

i

 zi 

trong đó:
i – trọng lượng riêng lớp đất thứ i, lấy trọng lượng riêng bão hòa sat khi đất
nằm ngập dưới MNN (kN/m3)
zi – chiều dày lớp đất thứ i (m)
-

Trong trường hợp này áp lực nước lỗ rỗng u chính là áp lực nước thủy tónh đẳng hướng
theo mọi phương và tăng tuyến tính theo độ sâu
u  w  z

trong đó: w – trọng lượng riêng của nước (kN/m3)
z – độ sâu tính từ MNN đến điểm tính áp lực nước lỗ rỗng (m)
-

Ứng suất pháp có hiệu theo phương đứng  v (hay  z )
 v   v  u

hay

 v   t  z1     z2

trong đó:   – trọng lượng riêng đẩy nổi của đất (kN/m3)
Ứng suất pháp theo phương ngang

5

-

Ứng suất pháp có hiệu theo phương ngang  h (hay  x )
 h  K 0   v

-

Ứng suất pháp tổng theo phương ngang h (hay x)
 h   h  u  K 0   v  u

trong đó: K 0 – hệ số áp lực ngang của đất ở trạng thái tónh tại vò trí tính  h
Ứng suất tiếp
Do nước không chòu cắt nên ứng suất tiếp xz = zx = 0 khi mặt đất nằm ngang và rộng
khắp.
Khái niệm về ứng suất có hiệu và áp lực nước lỗ rỗng
Ứng suất tổng  tác dụng lên đất bão hòa sẽ được gánh đỡ bởi nước trong lỗ rỗng và khung
hạt đất. Phần ứng suất được gánh đỡ bởi hạt đất gọi là ứng suất có hiệu ký hiệu . Phần
ứng suất gánh đỡ bởi nước trong lỗ rỗng gọi là áp lực nước lỗ rỗng ký hiệu u.
Xét mặt phẳng A  A cắt ngang qua mẫu đất bão hòa tại vò trí tiếp xúc giữa các hạt và
phần nước trong lỗ rỗng như trên hình 2.7.

A

A'

A'

A'

u

F

A'

Aw
A-Aw
Hạt rắn

Nước

Hình 2.7 Ứng suất có hiệu và áp lực nước lỗ rỗng
Cân bằng lực tác dụng trên mặt phẳng A  A
 A  F  u Aw

 
trong đó:

F
A
u w
A
A
A – diện tích phần mặt phẳng A  A
Aw – diện tích phần mặt phẳng cắt ngang qua nước
F – lực truyền tại vò trí tiếp xúc giữa các hạt
u – áp lực nước lỗ rỗng

Đặt    F

là ứng suất có hiệu, và do các hạt tiếp xúc điểm nên có diện tích tiếp xúc
A
vô cùng bé (Aw  A) nên phương trình trên được viết thành
    u

6


Trong thực tế ứng suất tổng  được đo bằng pressuremeter và áp lực nước lỗ rỗng u được
đo bằng piezometer. Trong khi đó, xuất phát từ công thức đònh nghóa    F
thì ứng suất
A
có hiệu  là đại lượng không đo được và được xác đònh thông qua  và u.
2.2.3. Nền đất có nước mao dẫn
Các thành phần suất tại điểm M nằm trong đới mao dẫn có chiều dày hc như hình 2.8(a)
Ứng suất theo phương đứng
-

Ứng suất tổng theo phương đứng
 v   t  z1   sat  z2

-

Áp lực nước lỗ rỗng
u   w  zc

zc – khoảng cách từ MNN lên đến vò trí điểm M
-

Ứng suất có hiệu theo phương đứng
 v   v  u

hay

 v   t  z1   sat  z2   w  zc

Ứng suất theo phương ngang
 h  K 0   v

và

 h   h  u  K 0   v  u

Ứng suất tiếp
Do nước không chòu cắt nên ứng suất tiếp xz = zx = 0

7


ống
đo
áp

Mặt đất tự nhiên

MNN
h
MĐTN

t

z1

Cát

z1

t
MNN

sat

Đới mao dẫn

sat1
z2

z2

z

hc
Sét
x (= y)

sat2
z3

u

y
zc

MNN
Cát

sat3
z4

z

Đất bão hòa dưới NMM
sat
(a)

(b)

y

u

x (= y)

Hình 2.8 Ứng suất do TLBT: (a) nền đất có nước mao dẫn và (b) nền đất có nước có áp
2.2.4. Nền đất có nước có áp
Các thành phần suất tại điểm M nằm trong lớp đất cát có nước có áp như hình 2.8(b)
Ứng suất theo phương đứng
-

Ứng suất tổng theo phương đứng
 v   t  z1   sat1  z2   sat 2  z3   sat 3  z4

-

Áp lực nước lỗ rỗng
u   w  h  z1  z2  z3  z4 

-

Ứng suất có hiệu theo phương đứng
 v   v  u

Ứng suất theo phương ngang
 h  K 0   v

và

 h   h  u  K 0   v  u

Ứng suất tiếp
Do nước không chòu cắt nên ứng suất tiếp xz = zx = 0
8


2.3. Ứng suất trong nền đất do tải trọng ngoài
TẢI TRỌNG THẲNG ĐỨNG TÁC DỤNG TRÊN MẶT ĐẤT
2.3.1. Tải tập trung thẳng đứng trên mặt đất – Bài toán Boussinesq
Lực tập trung thẳng đứng P tác dụng lên mặt đất như hình 2.9, nền được xem là bán
không gian đàn hồi đẳng hướng vô hạn có mô-đun đàn hồi E và hệ số poisson . Theo lời

giải của Boussinesq (1883) các thành phần ứng suất tại một điểm bất kỳ trong hệ tọa độ
vuông góc (x,y,z) như sau
P
x
r
y
x
y
z

R

z

zy
yx
M
z

zx
xz
yz

xy
x

y

Hình 2.9 Các thành phần ứng suất tại điểm M trong bài toán Boussinesq
Các thành phần ứng suất pháp

z 

3 P z3

2 R5

x 

3P
2

 zx2 1  2 
2 R  zx2  z  
1
 5 



3  RR  z R  z2 R3 R3  
 R

y 

3P
2

 zy2 1  2 
2 R  zy2  z  
1
 5 




3  RR  z R  z2 R3 R3  
 R

Các thành phần ứng suất tiếp
 xz   zx 

3P xz2

2 R5

 yz   zy 

3P yz2

2 R5

 xy   yx 

3P  xyz 1  2 2 R  zxy 



2  R5
3
R  z2 R3 

trong đó

9


R

x 2  y2  z2 

và

r 2  z2

r

x 2  y2

Xét thành phần ứng suất pháp theo phương z
z 

3 P z3
3
1
 5 
2 R
2 1  r z2



z  K 



52



P
z2

P
z2





3
2 5 2
là hệ số phân bố ứng suất không thứ nguyên; phụ thuộc
1  r z
2
vào tỷ số r/z và được tra trong bảng 2.3.

trong đó: K 

r – khoảng cách từ điểm đặt lực đến trục qua điểm tính ứng suất
2.3.2. Tải trọng thẳng đứng đều phân bố trên đường thẳng – Bài toán Flamant
Tải thẳng đứng phân bố đều đường thẳng dài vô hạn trên mặt đất đồng nhất đàn hồi
đẳng hướng thể hiện trên hình 2.10. Theo lời giải của Flamant, các thành phần ứng suất
tại một điểm bất kỳ trong hệ trục tọa độ (x,y) như sau
-

p
dy

x
O

y
x

+
z

R
y

zx
xz

z
M

x

z

Hình 2.10 Các thành phần ứng suất tại điểm M trong bài toán Flamant
Áp dụng kết quả bài toán Boussinesq, ta có
Ứng suất pháp theo phương z


z 





z 

3( pdy)

2

x

2p
z3


x 2  z2





z3
2

 y2  z2



5

2

10


Ứng suất pháp theo phương x


x 





x 

3( pdy)

2

x

2p
x2 z


x 2  z2





x2 z
 y2  z2

2



5

2

Ứng suất tiếp trên mặt phẳng song song với xOy


 zx 





3( pdy)

2

 xz   zx 

2.3.3.

x

xz2
 y2  z2

2

2p
xz2


x 2  z2





5



2

Tải thẳng đứng đều phân bố trên diện truyền tải băng

b


d

p
x

z

r

z
xz



x- 

M

zx

x

x
z

Hình 2.11 Các thành phần ứng suất tại điểm M do tải trọng thẳng đứng đều phân bố trên
diện truyền tải băng
Áp dụng kết quả bài toán Flamant, ta có
Ứng suất pháp theo phương z

z 

z 

2 pz3


b2

d

 x   

2

b 2



 z2



2



p
4bz b2  4 z2  4 x2
 b  2x 

 b  2 x 
 arctan
  arctan

 2
2
2
2
2
2
  b  4 z  4 x  16b x
 2z 
 2 z 





11


Ứng suất pháp theo phương x
b2

x   2 d
x   2  z2 2

x 

2 pz

  b 2

x 

p
4bz 4 x2  4 z2  b2
 b  2x 
 b  2 x 
 arctan
  arctan

 2
2
2
2
2
2
  b  4 z  4 x  16b x
 2z 
 2 z 









Ứng suất tiếp trên mặt phẳng song song xOy

 zx   zx 

 xz   zx 

2 pz2


x   d

b2

 x   

b 2

2

 z2



2


p
32bxz2


2
  4 x2  4 z2  b2  16b2 z2 





Để thuận tiện trong quá trình tính toán, các công thức tính ứng suất được viết gọn lại
như sau:
 z  Kz  p
với

 x  Kx  p
 xz   zx  K  p

2.3.4.

x b
K z , K x , K  
z b

tra bảng 2.4

Tải thẳng đứng tam giác phân bố trên diện truyền tải băng


b
d

p
x

O
p / b

r

z

z
zx
x

x- 



M
xz

x
z

Hình 2.12 Các thành phần ứng suất tại điểm M do tải trọng thẳng đứng tam giác phân bố
trên diện truyền tải băng
Áp dụng kết quả bài toán Flamant, ta có:
Ứng suất pháp theo phương z
12


z 

z 

2 pz3
b

b

 d

 x   

2

0



 z2

2

p  z b  x 
x
b  x x
 x 
 arctan
  arctan 

2
2

   b  x  z
b
 z  b
 z 

Ứng suất pháp theo phương x
  x    d
2

x 

2 pz b
b 0

x 

2
p  z x  b
z   x  b  z2  x
b  x x
 x 

ln

arctan

arctan


 




2
2
2
   x  b  z2 b  x  z
 z  b
 z 
 b

x   

2

 z2



2

Ứng suất tiếp trên mặt phẳng song song xOy
 xz   zx 

 xz   zx 

2 pz2
b

b

  x    d

 x   

2

0

 z2



2

p
z2
z
b  x z
 x 
 arctan
  arctan 

2
2
   x  b  z
b
 z  b
 z 

Để thuận tiện trong quá trình tính toán, các công thức tính ứng suất được viết gọn lại
như sau:
 z  K Tz  p

x b
K Tz , K Tx , K T  
z b

với

 x  K Tx  p
 xz   zx  K T  p

2.3.5.

tra bảng 2.5

Tải trọng thẳng đứng phân bố đều trên diện truyền tải hình chữ nhật

Ứng suất pháp theo phương z trên trục qua TÂM diện truyền tải, tại điểm M
l

pdxdy

b

x

O
y

dy

p

x

dx

y

M(0,0,z)
z

13


Hình 2.13 Ứng suất pháp theo phương z tại điểm M trên trục qua tâm diện truyền tải hình
chữ nhật do tải trọng thẳng đứng phân bố đều
Áp dụng kết quả bài toán Boussinesq, ta có:
 z0 

b2

3 pz3
2

l2

dxdy

  
x

 y2  z2

2

b 2 l 2





5

2



 z0 


2p 
2lbz l2  b2  8 z2
lb

 arctan
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2

  l  4z b  4z l  b  4z
 2z l  b  4 z


 z0 


2p 
2mn 1  m2  8n2
m

 arctan
2
2
2
2
2
2
2

  m  4n 1  4n 1  m  4n
 2n 1  m  4 n






















m  l b
tra bảng 2.6
K z0  
n  z b

với

 z0  K z0  p








Ứng suất pháp theo phương z trên trục qua GÓC diện truyền tải, tại điểm M
l

b

y

pdxdy

dy

p
y
x

O
x

dx

M(0,0,z)
z

Hình 2.14 Ứng suất pháp theo phương z tại điểm M trên trục qua góc diện truyền tải hình
chữ nhật do tải trọng thẳng đứng phân bố đều
Áp dụng kết quả bài toán Boussinesq, ta có:
z 

z 

3 pz3
2

b l

 
x
0 0

dxdy
2

 y2  z2





5

2




p 
lbz l2  b2  2 z2
lb

 arctan
2
2
2
2
2
2
2
2
 z l  b2  z2
2  l  z b  z l  b  z









14








 z0 







p 
mn 1  m2  2n2
m

 arctan
 n 1  m 2  n2
2  m2  n2 1  n2 1  m2  n2





 z  K zg  p



với

m  l b
K zg  
n  z b






tra bảng 2.7

Phương pháp điểm góc
A

B

N

A

C

D

Kz(M) = Kg(ABMN) + Kg(NMCD)

A

G

D

B

M

G

M

D

E

F

H

C

Kz(M) = Kg(AEMG) + Kg(EMHB) + Kg(GMFD) + Kg(MFCH)

B

H

C

E

A

B

E

M

F

D

C

F

Kz(M) = Kg(AEMG) + Kg(GMDF) - Kg(BEMH) - Kg(HMFC)
G

H
Kz(M) = Kg(AEMG) - Kg(BEMH) - Kg(DFMG) + Kg(CFMH)

Hình 2.15 Phương pháp điểm góc tính ứng suất tại điểm M bất kỳ
2.3.6.

Tải thẳng đứng phân bố tam giác trên diện truyền tải hình chữ nhật

Ứng suất pháp theo phương z trên trục qua góc có áp lực bằng không của diện truyền tải

15

M


l
y

b

p

(px/l)dxdy
dy
y
O
x
x

dx

M(0,0,z)
z

Hình 2.16 Ứng suất pháp theo phương z tại điểm M trên trục qua góc có áp lực cực tiểu
diện truyền tải hình chữ nhật do tải trọng thẳng đứng tam giác
Áp dụng kết quả bài toán Boussinesq, ta có:
z 

3 pz3
2l

b l

 
x
0 0

x dxdy
2

 y2  z2



5

2



bz
bz3



 l b2  z2 l l2  z2 l2  b2  z2 

z 

p

2

z 


p 
n
n3



2
2
2
2
2
2  m 1  n
m m  n 1  m  n 

 z  K z min  p









với

m  l b
K z min  
n  z b

tra bảng 2.8

Ứng suất pháp theo phương z trên trục qua góc có áp lực lớn nhất của diện truyền tải

16


l
p

b

y

x
O

M(0,0,z)
z

Hình 2.17 Ứng suất pháp theo phương z tại điểm M trên trục qua góc có áp lực cực đại
diện truyền tải hình chữ nhật do tải trọng thẳng đứng tam giác
Áp dụng kết quả bài toán Boussinesq, ta có:
z 

3 pz3
2l

b l

0 0



2

 y2  z2



5

2



z 

p
2

 bz l2  b2  z2  b2  z2


bl



 arctan
2
2
 z l2  b2  z2 
l b z




z 

p
2

 n 1  m 2  n2  1  n2


m


 arctan
2
 n 1  m 2  n2  
m1n






 z  K z max  p

2.3.7.

l  x dxdy

 
x











với

m  l b
K z max  
n  z b

tra bảng 2.9

Tải thẳng đứng phân bố đều trên diện truyền tải hình tròn

17


p

p dd


d

d

O

r



b
a

R

z

C

z

M

Hình 2.18 Ứng suất pháp theo phương z tại điểm M trên trục bất kỳ dưới diện truyền tải
hình tròn tải trọng thẳng đứng phân bố đều
Áp dụng kết quả bài toán Boussinesq, ta có:
Ứng suất pháp theo phương z trên trục cách tâm diện truyền tải một đoạn b
z 

3 pz3
2

r 2

 dd

  b
0 0

  2  z2  2b cos 

2



5

2

Ứng suất pháp theo phương z trên trục qua tâm diện truyền tải (đoạn b = 0), biểu thức tích
phân được rút gọn lại như sau:

z 

3 pz3
2

r 2

 d d

 

0

0

2

 z2



5

2

3

2  2



r  
 z  p 1  1      = K tr 0  p
 z   





với K tr 0

2

r 
 1  1    
 z  


3

2

tra bảng 2.10

TẢI TRỌNG NẰM NGANG TÁC DỤNG TRÊN MẶT ĐẤT
2.3.8.

Tải trọng tập trung nằm ngang trên mặt đất

Lực tập trung nằm ngang P tác dụng lên mặt đất như hình 2.19, nền được xem là bán
không gian đàn hồi đẳng hướng vô hạn có mô-đun đàn hồi E và hệ số poisson . Theo lời

giải của Cerutti, các thành phần ứng suất tại một điểm bất kỳ trong hệ tọa độ vuông góc
(x,y,z) như sau

18


x

P
r

y

x
y

z

R

z
zx
zy
yz

xy

yx
M

x
xz

y

z

Hình 2.19 Ứng suất tại điểm M do tải trọng tập trung nằm ngang trên mặt đất
Các thành phần ứng suất pháp
z 

3P xz2

2 R5

x 

1  2 R2
P x  3x2



1

2



2 R3  R2
R  z2


x2 3R  z  
3



R2 R  z  


y 

1  2 R2
P x  3 y2
 1  2  
3 
2
2 R  R
R  z2


y2 3 R  z  
3  2 

R R  z  


Các thành phần ứng suất tiếp

2.3.9.

 xy 

P y  3 x2 1  2 R2


2 R3  R2
R  z2

 xz 

3P x2 z

2 R5

 xz 

3P xyz

2 R5


x2 3 R  z  
1  2

R R  z  


Tải trọng nằm ngang đều phân bố trên đường thẳng

19


-
p

x
dy

O

y
x

+

z

R
y

zx
z
M

x
xz

z

Hình 2.20 Ứng suất tại điểm M do tải trọng nằm ngang đều phân bố trên đường thẳng
Ứng suất pháp theo phương z


z 





z 

3( pdy)

2

x

2p
xz2


x 2  z2





xz2
2

 y2  z2



5

2

Ứng suất pháp theo phương x


x 





x 

3( pdy)

2

x

2p
x3



x 2  z2





x3
2

 y2  z2



5

2

Ứng suất tiếp trên mặt phẳng song song xOy


 xz 





3( pdy)

2

 xz   zx 

x

x2 z
2

 y2  z2

2p
x2 z


x 2  z2





5



2

2.3.10. Tải trọng nằm ngang đều phân bố trên diện truyền tải băng

20


b
d



p

x
O

r

z
z
zx

x


x- 
x

z

Hình 2.21 Ứng suất tại điểm M do tải trọng nằm ngang đều phân bố trên diện truyền tải
băng
Ứng suất pháp theo phương z
z 
z 

2 pz2


b2

x   d

 x   

b 2

2

 z2



2

p
32bxz2

 4 x2  4 z2  b2 2  16 b2 z2





Ứng suất pháp theo phương x

b2

x   3 d
x   2  z2 2

x 

2p
  b 2

x 

2

p   b  2 x   4 z2 
32bxz2

 ln


2
2
2 
   b  2 x   4 z 
4 x2  4 z2  b2  16 b2 z2 





Ứng suất tiếp trên mặt phẳng song song xOy
b2

 xz 

2 pz
  b 2

 xz   zx 

p


x   2 d
x   2  z2 2







4bz b2  4 x2  4 z2
 b  2x 
 b  2x 
 arctan
  arctan


2

2
2
2
2
2
 2z 
 2z  4 x  4 z  b
 16b z 






Để thuận tiện trong quá trình tính toán, các công thức tính ứng suất được viết gọn lại
như sau:
 z  K zh  p

21


với

 x  K xh  p

x b
K zh , K xh , Kh  
z b

tra bảng 2.12

 xz   zx  Kh  p
2.3.11. Tải trọng nằm ngang đều phân bố trên diện truyền tải hình chữ nhật
Ứng suất pháp theo phương z trên trục qua góc diện truyền tải
y
b

D

C

l
p

O

x

B

z

M
z

Hình 2.22 Ứng suất pháp theo phương z tại điểm M trên trục qua góc diện truyền tải hình
chữ nhật do tải trọng nằm ngang phân bố đều
z 

3 pz2

2

b2 l2

  x

b 2 l 2

y dxdy
2

 y2  z2



5

2

z  

p
2



l
lz2

 2


2
2
2
2
2
2
l  z b  l  z 
 b  z

z  

p
2


m
mn2


1  n2 1  m 2  n2
 m2  n2



h
 z  K zg
p





với







m  l b
h
K zg

n  z b

tra bảng 2.11

Lưu ý: Khi tra bảng, chiều dương của trục x hướng theo chiều của tải trọng ngang. Giá trò
h
K zg
có độ lớn lấy trong bảng tra và mang dấu  khi trục z đi qua điểm O và D; và mang
dấu  khi trục z đi qua điểm B và C
2.4. Vòng tròn ứng suất Mohr
Vòng tròn Mohr biểu diễn trạng thái ứng suất tại một điểm trên tất cả mặt phẳng cắt
qua điểm đó, hoành độ n và tung độ n của mỗi điểm trên vòng tròn là thành phần ứng
suất pháp và ứng suất tiếp trên một mặt phẳng tương ứng.
22

Trong bài toán phẳng, vòng tròn ứng suất Mohr sẽ được xác đònh khi biết được các thành
phần ứng suất trên 2 mặt phẳng vuông góc nhau qua điểm đó (ví dụ x, z và xz = zx trong
tọa độ Oxz). Khi vòng tròn ứng suất Mohr tại một điểm đã được vẽ trong hệ tọa độ ,  thì
có thể dùng xác đònh ứng suất trên các mặt phẳng bất kì qua điểm đó.
Có 3 phương pháp xác đònh ứng suất trên mặt phẳng bất kì qua điểm P khi biết vòng
tròn ứng suất Mohr hoặc các thành phần ứng suất (x, z và xz = zx) trên hai mặt phẳng
vuông góc nhau tại điểm P, đó là:
i)

phương pháp hình học;

ii)

phương trình cân bằng tónh học phân tố ứng suất;

iii)

dùng đònh lý ứng suất Cauchy.

Phương pháp 1: Phương pháp hình học
Cho các thành phần ứng suất trên hai mặt phẳng qua điểm M và vuông góc với trục tọa
độ x và y như trên hình 2.23, các bước vẽ vòng tròn ứng suất Mohr biểu diễn trạng thái
ứng suất tại điểm M và xác đònh ứng suất trên các mặt phẳng bất kỳ khác qua M như sau:
Bước 1: Biểu diễn các thành phần ứng trên 2 mặt phẳng vuông góc tại điểm M
(mặt phẳng Ⓐ và Ⓑ) thành tọa độ 2 điểm A và B trên hệ trục tọa độ , . (giá trò ứng suất
tuân theo quy ước dấu trên hình 2.4)
z
Ⓓ

zx
Ⓐ
x

n
n

m

xz

xz
x

M

x
m
zx

mn
n

x

nm
M

xz

z

m

m

y

zx

Ⓑ

m

Ⓒ

m

M
xz
zx

n
z

z

x

O



C(n,nm)


P

A(z,zx)
2





1

3
I

O

B(x,xz)
D(m,mn)

23




Hình 2.23 Vòng tròn ứng suất Mohr: phương pháp mặt phẳng góc

Bước 2: Nối đường thẳng AB cắt trục hoành tại điểm I chính là tâm của vòng tròn
ứng suất Mohr và đoạn AB là đường kính của vòng tròn Mohr. Dễ dàng nhận thấy hoành
1
độ tâm I của vòng tròn bằng    z   x  và bán kính vòng tròn là
2
1
2
 z   x   4 xz2
R
2
Bước 3: Trên vòng tròn Mohr, từ A hoặc B vẽ đường thẳng song song với mặt phẳng
Ⓐ hoặc Ⓑ, đường thẳng này cắt vòng tròn ứng suất Mohr tại điểm P, điểm P được gọi là
gốc của các mặt phẳng hay điểm cực.
Bước 4: Điểm cực P dùng để xác đònh ứng suất trên các mặt phẳng bất kỳ qua M,
bằng cách từ P vẽ đường thẳng song song với mặt phẳng cần tìm ứng suất, đường thẳng
này cắt vòng tròn Mohr tại một điểm có tọa độ là các thành phần suất trên mặt phẳng cần
tìm. Ví dụ trên hình 2.23, ứng suất trên mặt phẳng m-m và n-n được xác đònh bằng cách từ
P vẽ các đường thẳng lần lượt song song với mặt phẳng m-m và n-n cắt vòng tròn Mohr tại
C và D; tọa độ điểm C(n,nm) và D(m,mn) chính là các thành phần ứng suất trên mặt
phẳng m-m và n-n.
Phương pháp 2: Phương trình cân bằng tónh học phân tố ứng suất
Xét mặt phẳng m-m tạo một góc  ngược chiều kim đồng hồ so với mặt phẳng nằm ngang
(có pháp tuyến theo chiều trục y), các thành phần ứng suất trên mặt phẳng m-m được xác
đònh bằng cách xét cần bằng lực cho nêm ứng suất (hình 2.24b) theo phương trục x và y
như sau:
z

z

zx

ds
n

m

m

xz
x



xz

m

x

nm

x

dz

xz

m
zx

zx

z

(a)
z

(b)
dx

x

O

Hình 2.24 Phương pháp cân bằng tónh học phân tố ứng suất
Xét cân bằng lực theo hai phương trục x và z của phân tố nêm ứng suất trên hình 2.24(b)

F

 0   n  ds  sin    nm  ds  cos    x  dz   zx  dx  0

F

 0    n  ds  cos    nm  ds  sin    z  dx   xz  dz  0

x

z

Giải hệ phương trình trên với dz/ds = sin và dx/ds = cos, ta được:

24


z  x z x

 cos 2   zx sin 2
2
2

n 
 nm 

z x
 sin 2   zx cos 2
2

Lưu ý: Biểu thức tính n và nm lấy  > 0 khi mặt phẳng m-m xoay ngược chiều kim đồng hồ
so với mặt phẳng nằm ngang; ngược lại lấy  < 0
Nếu ta thay  bằng   900 thì tìm được giá trò ứng suất pháp trên mặt phẳng n-n vuông
góc với mặt phẳng m-m

m 

z  x z x

 cos 2   xz sin 2
2
2

Từ biểu thức tính n và nm, suy ra

2

  x 

  x

 cos 2   xz sin 2 
 n  z
  z
2
2





 nm 

2

  x

 z
 sin 2   xz cos 2 
2



2

2

Cộng 2 biểu thức trên ta được
2

2

  x 

  x 
2
2
 n  z
   nm   z
   xz
2
2





(2.100)

Biểu thức (2.100) chính là phương trình đường tròn (trong hệ trục tọa độ (, )) có tâm
1
1

 z   x 2  4 xz2
I   z   x ,0  và bán kính R 

2
2


Phương pháp 3: Đònh lý ứng suất Cauchy
Xét cân bằng lực theo hai phương trục Ox và Oz, suy ra áp lực trên mặt phẳng m-m theo
phương trục z và x

F

 0  px  ds   x  dz   zx  dx

F

 0  pz  ds   z  dx   xz  dz

x

z



dz

 px   x  ds   zx 

 p    dx   
z
xz
 z

ds

dx
ds
dz
ds

Theo quy ước dấu hình 2.4 thì zx và xz có giá trò âm, nên biểu thức trên được viết lại như
sau:


 px   x  sin    zx  cos 

 pz   z  cos    xz  sin 

 px
p
 z



pz   x  xz  sin 


px   zx  z  cos 

cos  
sin  

Chiếu các giá trò px và pz lên các phương n và m

  n  pz  cos   px  sin 

 nm  pz  sin   px  cos 

 n  mn   px


 nm  n   pz



25

pz  sin 

px  cos 

cos  
sin  