Bài tập ứng suất trong nền đất (giải chi tiết)

B. BÀI TẬP CHƯƠNG 2
B.1. BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI
Cho nền đất gồm 2 lớp có các đặc trưng như hình Bài 2.1. Tính và vẽ biểu đồ phân
bố ứng suất v, u, v từ độ sâu 0 m đến 9 m trong các trường hợp sau:

2.1.

a. Khi mực nước nằm cách mặt đất +2m.
b. Khi MNN nằm ngay tại mặt đất.
c. Khi MNN cách mặt đất -2m. Nêu nhận xét.
+2m
Nước
w = 10 kN/m

A

3

0m
Cát mịn
t = 16.3 kN/m

3

sat = 17.5 kN/m

3

B
-4m
Cát trung

sat = 18.5 kN/m

C

-9m

hình Bài 2.1
Giải
a) Khi mực nước nằm cách mặt đất +2m
Tại A

 v  2  10 = 20 kN/m2
u  2  10 = 20 kN/m2

 v   v  u = 0

Tại B

 v  2  10  4  17.5 = 90 kN/m2
u  6  10 = 60 kN/m2

 v   v  u = 90 – 60 = 30 kN/m2

Tại C

 v  2  10  4  17.5  5  18.5 = 182.5 kN/m2

u  11  10 = 110 kN/m2
 v   v  u = 182.5 – 110 = 72.5 kN/m2

39

3


+2m
Nc
0m

A

w = 10 kN/m

3

20

20

Cỏt mn
sat =17.5 kN/m

-4m

3

B

90

60

30

Cỏt trung
sat = 18.5 kN/m

-9m

3

182.5

C

110

72.5
2

v (kN/m )
2

u (kN/m )

v (kN/m )
2

b) Khi MNN naốm ngay taùi maởt ủaỏt
Taùi A

v v u = 0

Taùi B

v 4 17.5 = 70 kN/m2
u 4 10 = 40 kN/m2

v v u = 70 40 = 30 kN/m2
v 4 17.5 5 18.5 = 162.5 kN/m2

Taùi C

u 9 10 = 90 kN/m2

v v u = 162.5 90 = 72.5 kN/m2
0m

A

MNN

Cỏt mn
sat = 17.5 kN/m
-4m

3

B

70

40

30

Cỏt trung
sat = 18.5 kN/m

-9m

3

162.5

C

90

v (kN/m )
2

c) Khi MNN caựch maởt ủaỏt -2m
Taùi A

v v u = 0

Taùi B

v 2 16.3 2 17.5 = 67.6 kN/m2

u 2 10 = 20 kN/m2

v v u = 67.6 20 = 47.6 kN/m2

40

72.5
2

u (kN/m )

v (kN/m )
2


 v  2  16.3  2  17.5  5  18.5 = 160.1 kN/m2

Tại C

u  7  10 = 70 kN/m2
 v   v  u = 160.1 – 70 = 90.1 kN/m2
0m

A
Cát mịn

-2m

MNN

t = 16.3 kN/m

3

32.6

sat = 17.5 kN/m
-4m

32.6

3

B

67.6

20

47.6

Cát trung
sat = 18.5 kN/m

-9m

3

C

160.1

70

90.1
2

v (kN/m )
2

u (kN/m )

v (kN/m )
2

Ứng suất có hiệu trong nền đất không thay đổi khi mực nước dao động phía trên mặt đất.
(trường hợp a và b). Ngược lại ứng suất có hiệu càng tăng khi mực nước ngầm càng hạ thấp
sâu hơn mặt đất (trường hợp b và c).

2.2.

Cho nền đất gồm các lớp đất có chiều dày và các đặc trưng như hình Bài 2.2.

2m

piezometer
Mực nước
Nước
3
w = 10 kN/m

2m

Mặt đất

A

Cát
3m

sat = 17.2 kN/m

3

K0 = 0.5
B
Sét
sat = 15.6 kN/m

2.5m

3

K0 = 0.6
D
2m

Cát
sat = 18.4 kN/m

4m

C

E

41

K0 = 0.4

3


hình Bài 2.2

a. Tính ứng suất  v , u,  v ,  h ,  h tại các điểm A, B và C
b. Vẽ biểu đồ phân bố ứng suất  v , u,  v ,  h ,  h theo chiều sâu.
Giải
a. Ứng suất tại A, B và C
Tại A

 v  2  10 = 20 kN/m2

u  2  10 = 20 kN/m2
 v   v  u = 0
 h   h  0

Tại B

 v  2  10  3  17.2 = 71.6 kN/m2

u  2  3  10 = 50 kN/m2
 v   v  u = 71.6 – 50 = 21.6 kN/m2

Cận trên điểm B
 h  K 0   v  0.5  21.6 = 10.8 kN/m2
 h   h  u = 10.8 + 50 = 60.8 kN/m2

Cận dưới điểm B
 h  K 0   v  0.6  21.6 = 12.96 kN/m2
 h   h  u = 12.96 + 50 = 62.96 kN/m2

Tại C

 v  2  10  3  17.2  2.5  15.6  2  18.4 = 147.4 kN/m2
u  2  2  3  2.5  2  10 = 115 kN/m2
 v   v  u = 147.4 – 115 = 32.4 kN/m2
 h  K 0   v  0.4  32.4 = 12.96 kN/m2
 h   h  u = 12.96 + 115 = 127.96 kN/m2

b. Biểu đồ ứng suất theo chiều sâu
Tương tự cách tính toán giá trò ứng suất tại A, B, C, ta xác đònh thêm giá trò ứng suất
tại 2 điểm D và E, từ đó vẽ được biểu đồ phân bố ứng suất  v , u,  v
Tại D

 v  2  10  3  17.2  2.5  15.6 = 110.6 kN/m2
u  2  2  3  2.5  10 = 95 kN/m2
 v   v  u = 110.6 – 95 = 15.6 kN/m2

Tại E

 v  2  10  3  17.2  2.5  15.6  4  18.4 = 184.2 kN/m2
u  2  2  3  2.5  4   10 = 135 kN/m2
 v   v  u = 184.2 – 135 = 49.2 kN/m2

42


2m

piezometer

Nước
3
w = 10 kN/m

2m

A

Mặt đất

20

20

Cát
3
sat =17.2 kN/m

3m

B

71.6

50

Sét
3
sat = 15.6 kN/m

2.5m

110.6

D
2m
4m

95

15.6

Cát
3
sat =18.4 kN/m
C

184.2

E

135

v (kN/m )
2

2.3.

21.6

49.2
2

u (kN/m )

v (kN/m )

1 Từ sơ đồ các pha của mẫu đất tự nhiên, hãy chứng minh biểu thức sau:

t 
trong đó:

Sre  Gs
 w
1e

t – trọng lượng riêng tự nhiên
Sr – độ bão hòa
e – hệ số rỗng

43

Gs – tỷ trọng hạt rắn
w – trọng lượng riêng của nước

2


MNN (Tháng 9)
0m
Sr =50%
-2m
Sr =75%

Bụi sét
e = 0.45

-4m

Gs = 2.70
Sr =90%
MNN (Tháng 4)

-6m

Sr =100%

-10m

hình Bài 2.3
2 Một nền sét bụi có hệ số rỗng e = 0.83, tỷ trọng hạt rắn Gs = 2.7 và mực nước ngầm
(MNN) thay đổi theo mùa như hình Bài 2.3. Lấy trọng lượng riêng của nước w = 9.81
kN/m3. Vẽ biểu đồ phân bố ứng suất v, u,  v do trọng bản thân đất nền từ độ sâu 0m đến
10m cho các trường hợp sau:

a. Đầu tháng 9 mực nước ngầm (MNN) nằm ở mặt đất và giả thiết nền đất bão hòa
hoàn toàn (Sr = 100%) từ 0m đến độ sâu 10m.

b. Đầu tháng 4 mực nước ngầm (MNN) hạ thấp xuống độ sâu 6m và giả thiết độ bão hòa
của nền đất thay đổi theo độ sâu từ 0m đến 10m như trên hình Bài 7. (Không xét
hiện tượng mao dẫn).

c. Nêu nhận xét từ kết quả tính của trường hợp a và b.
Giải
1 Chứng minh biểu thức:

t 

Sr e  Gs
 w
1e

Ta có sơ đồ các pha của mẫu đất và đònh nghóa của các đại lượng như sau:

44


Va

K.Khí

W a=0

Vw

Nước

Ww

Vv

V

W
Vs

Ws

H.rắn

Trọng lượng

Thể tích

-

Trọng lượng riêng tự nhiên

-

Độ bão hòa

-

Tỷ trọng hạt rắn

-

Trọng lượng riêng hạt rắn

-

Hệ số rỗng

Sr 

W
V

s 

Ws
Vs

Vw
 100%
Vv
Gs 

e

t 

s
w

Vv
Vs

Cách 1: Khai triển từ công thức gốc

t 

W
W  Ws
W V  Ws Vs
= w
= w s
Vs  Vv
1  Vv Vs
V
Ww Vw
V V
 s w w v  s
 S e  s
S e  Gs
V V
Vv Vs
 w r

 r
 w
 w s

1e
1e
1e
1e



Cách 2: Thay các đònh nghóa của các đại lượng vào vế phải công thức

Sr e  Gs
 w
1e

Vw Vv Ws 1

W  Ws W
V V
Vs  w
V   w  Ws
 w = w
= v s
= w
=
 t
Vv
V


V
V
V
s
v
1
Vs



2 Vẽ biểu đồ phân bố ứng suất v, u,  v
Từ công thức ở Câu 1, trọng lượng riêng tự nhiên của nền đất thay đổi theo độ bão hòa
như sau:
e = 0.83, Gs = 2.7 và Sr = 50%   t 

0.5  0.83  2.7
 9.81 = 16.70 kN/m3
1  0.83

Tính toán tương tự, ta được bảng sau:
Độ bão hòa Sr (%)
3

Trọng lượng riêng (kN/m )

50

75

90

100

16.70

17.81

18.48

18.92

a. Mực nước ngầm nằm ở mặt đất và nền đất bão hòa hoàn toàn
45


- Tại độ sâu z1 = 6m:
 v   sat  z1  18.92  6 = 113.5 kN/m2
u   w  z1  9.81  6 = 58.9 kN/m2
 v   sat   w   z1  18.92  9.81  6 = 54.7 kN/m2

hay  v   v  u  113.52  58.86 = 54.7 kN/m2
- Tại độ sâu z2 = 10m:
 v   sat  z2  18.92  10 = 189.2 kN/m2
u   w  z2  9.81  10 = 98.1 kN/m2
 v   sat   w   z2  18.92  9.81  10 = 91.1 kN/m2

b. Mực nước ngầm nằm ở độ sâu 6m và độ bão hòa của đất thay đổi theo độ sâu
- Tại độ sâu z1 = 6m:
 v   t1  h1   t 2  h2   t 3  h3  16.70  2  17.81  2  18.48  2 = 106.0 kN/m2

u   w  0 = 0 kN/m2
 v   v  u  105.98  0 = 106.0 kN/m2

- Tại độ sâu z2 = 10m:

 v   t1  h1   t 2  h2   t 3  h3   sat  h4
= 16.7×2 + 17.81×2 + 18.48×2 + 18.92×4 = 181.7 kN/m2
u   w  h4  9.81  4 = 39.2 kN/m2
 v   v  u  181.66  39.24 = 142.4 kN/m2

c. Từ biểu đồ phân bố ứng suất v, u,  v theo độ sâu 6m đến 10m ta có nhận xét như sau:
Khi mực nước ngầm hạ xuống độ sâu 6m vào cuối mùa khô thì ứng suất tổng v giảm đi
không đáng kể (113.5 – 106.0 = 7.5 kN/m2), trong khi đó ứng suất có hiệu  v tăng lên
rất nhiều (106.0 – 54.7 = 51.3 kN/m2). Như vậy, khi hạ mực nước ngầm thì ứng suất có
hiệu  v sẽ tăng và gây lún cho nền đất (xem Chương 3).

46


0

0

0

Tháng 9

Tháng 9
Tháng 4

Độ sâu (m)

2

Tháng 9

Tháng 4

2

4

4

4

106.0

6

113.5

0

6

58.9

181.7

39.2

98.1

91.1

50

100

150

200

142.4

10

10
0

106.0

8

189.2

10

54.7

6

8

8

Tháng 4

2

0

2

sv (kN/m )

50

100

0

150

50

100

150

2

s' v (kN/m )

2

u (kN/m )

Cho nền đất gồm các lớp có chiều dày và các đặc trưng như hình Bài 2.4. Hãy vẽ
biểu đồ phân bố ứng suất v, u, v từ độ sâu 0 m đến 10 m.

2.4.

0m
Cát mịn lẫn bụi
w = 12%, Sr = 40%, Gs = 2.68

A

-2 m

Cát mịn bão hòa do mao dẫn
B

-3 m

MNN

w = 42%, Gs = 2.65

Cát mịn
w = 42%, Gs = 2.65

C

-5 m

Sét yếu
w = 52%, Gs = 2.7

D

-10 m

hình Bài 2.4
Giải
Trọng lượng riêng của các lớp đất được xác đònh theo công thức tương quan
-

Lớp cát mòn lẫn bụi: w = 12%, Sr = 40%, Gs = 2.68
 

-

1  w w

w Sr  1 G s



1  0.12  10
0.12 0.4  1 2.68

= 16.6 kN/m3

Lớp cát mòn bão hòa: w = 42%, Sr = 100%, Gs = 2.65
47


 sat 

-

1  w w
w  1 Gs



1  0.42  10 = 17.8 kN/m3
0.42  1 2.65

Lớp sét yếu: w = 52%, Sr = 100%, Gs = 2.7
 sat 

1  w w
w  1 Gs



1  0.52  10 = 17.1 kN/m3

0.52  1 2.7

Ứng suất tại các điểm A, B, C và D
 v (kN/m2)

Ứng suất

 v (kN/m2)

u (kN/m2)

Tại A

= 16.62 = 33.2

= 101 = 10

= 33.2  (10) = 43.2

Tại B

= 16.62 + 17.81 = 51

=0

= 51  0 = 51

Tại C

= 16.62 + 17.81 + 17.82 = 86.6

= 102 = 20

= 86.6  20 = 66.6

Tại D

= 16.62 + 17.83 + 17.15 = 172.1 = 107 = 70

= 172.1  70 = 102.1

Biểu đồ phân bố ứng suất v, u, v từ độ sâu 0 m đến 10 m
0m
t = 16.6 kN/m
-2 m
-3 m

-5 m

3

A
B

33.2
MNN

sat = 17.8 kN/m

3

sat = 17.8 kN/m

3

33.2

51

C

43.2
51

86.6

sat = 17.1 kN/m

-10 m

-10

66.6

20

3

D

172.1

102.1

70

v (kN/m )
2

2

u (kN/m )

v (kN/m )
2

Cho một nền đất có các đặc trưng như hình Bài 2.5. Chiều cao cột áp trong
piezometer cao hơn mực nước ngầm (MNN) tự nhiên 3m. Xác đònh v, u,'v và h tại M và
N. Cho trọng lượng riêng của nước w = 10kN/m3.

2.5.

48


piezometer

5.6m

Cát

t = 17 kN/m

3

3.0m

K0 = 0.5
MNN

5.0m

sat = 18.5 kN/m

3

K0 = 0.5
M
sat = 17.5 kN/m

5.0m

Sét

3

3.0m

K0 = 0.6

Cát

sat = 18.5 kN/m

3

K0 = 0.5
N

hình Bài 2.5
Giải
Các thành phần ứng suất tại điểm M
- Ứng suất tổng theo phương đứng v tại M
v =  (i zi) = 17 5.6 + 18.5 5.0 = 187.7 kN/m2
- Áp lực nước lỗ rỗng tại M
u = w h = 105 = 50 kN/m2
- Ứng suất có hiệu theo phương đứng 'v tại M
'v = v – u = 187.7 – 50 = 137.7 kN/m2
- Ứng suất tổng theo phương ngang tại M (cận trên)
h = 'h + u = K0'v + u = 0.5137.7 + 50 = 118.9 kN/m2
- Ứng suất tổng theo phương ngang tại M (cận dưới)
h = 'h + u = K0'v + u = 0.6137.7 + 50 = 132.6 kN/m2
Các thành phần ứng suất tại điểm N
- Áp lực nước lỗ rỗng tại N
Từ chiều cao cột nước trong ống piezometer, ta có
u = w h = 10(3+5+5+3) = 160 kN/m2
- Ứng suất tổng theo phương đứng v tại N
v =  (i zi) = 17 5.6 + 18.5 5.0 + 17.5 5.0 + 18.53.0 = 330.7 kN/m2
49

- Ứng suất có hiệu theo phương đứng 'v tại N
'v = v – u = 330.7 – 160 = 170.7 kN/m2
- Ứng suất tổng theo phương ngang tại N
h = 'h + u = K0'v + u = 0.5170.7 + 160 = 245.4 kN/m2
Một lớp sét cứng bão hòa nước dày 10m có trọng lượng riêng sat = 18.5 kN/m3 nằm
trên một lớp cát dày 3m như hình Bài 2.6. Trong lớp cát tồn tại nước có áp và chiều cao
cột áp bằng 7m (tính từ đáy lớp sét). Lấy trọng lượng riêng của nước w = 9.81 kN/m3 và
không xét áp lực thấm. Xác đònh chiều sâu H lớn nhất có thể đào trong lớp đất sét mà
không xãy ra phình trồi đáy hố đào cho các trường hợp sau:

2.6.

a. Trong hố đào không tồn tại nước.
b. Nước trong hố đào cao 2m (tính từ đáy hố đào)

Sét bão hòa
sat = 18.5 kN/m

H

3

10 m
7m

A
Cát
sat = 17.8 kN/m

3

Hình Bài 2.6
Giải

a. Trong hố đào không tồn tại nước
Khi đào đất áp lực do trọng lượng bản thân sẽ giảm. Goi H là chiều sâu đào khi đó xảy
ra hiện tượng phình trồi đáy hố đào, xét ổn đònh của điểm A:
-

Ứng suất tổng theo phương đứng tại A
 v  10  H    sat  sét 

-

Áp lực nước lỗ rỗng tại A
u  7  w

Điểm A mất ổn đònh (bò phình trồi) khi ứng suất có hiệu tại A bằng 0 hay
 v   v  u  10  H    sat  sét   7   w  0
H  10 

7  w
7  9.81
 10 
 6.29 m
 sat  sét 
18.5

50




b. Nước trong hố đào cao 2m (tính từ đáy hố đào)
Ứng suất tổng theo phương đứng tại A

-

 v  10  H    sat  sét   2   w

Áp lực nước lỗ rỗng tại A

-

u  7  w

Điểm A mất ổn đònh (bò phình trồi) khi ứng suất có hiệu tại A bằng 0 hay
 v   v  u  10  H    sat  sét   2   w  7   w  0
H  10 

5  w
5  9.81
 10 
 7.35 m
 sat  sét 
18.5



Như vậy được phép đào sâu hơn khi tồn tại nước bên trong hố đào.
Ứng suất bên dưới một móng băng tuyệt đối cứng đặt trên nền đất dính chòu tải
đúng tâm được xấp xỉ như hình Bài 2.7. Xác đònh ứng suất z, x và xz tại A và B.

2.7.

Tải hình băng

2

p2 = 200kN/m

2

p1 = 100kN/m

1m

2m

1m
2m

B

A

hình Bài 2.7
Giải
Dùng phương cộng tác dụng, ứng suất tại điểm A và B là hiệu của ứng suất do 2 hình bên

dưới gây ra
2

Tải băng p2 = 200 kN/m

Tải băng p1 = 100 kN/m2

1m

2m

1m

1m

2m

2m

B

2m

A

B

Ứng suất tại điểm A có chiều như hình bên dưới
51

A


+ Ứng suất tại điểm A do tải băng p2 = 200 kN/m2
Điểm A: x = 1m, z = 2m, b = 4m
x
 b  0.25
z
  0.5
b



  z  0.735  200  147 kN / m 2

2
 x  0.186  200  37.2 kN / m
  0.157  200  31.4 kN / m 2
 zx

 K z  0.735

 K x  0.186 
 K  0.157
 

+ Ứng suất tại điểm A do tải băng p1 = 100 kN/m2
Điểm A: x = 1m, z = 2m, b = 2m
x
 b  0.5

z
  1.0
b



 z  0.409  100  40.9 kN / m 2

2
 x  0.091  100  9.1 kN / m
  0.159  100  15.9 kN / m 2
 zx

 K z  0.409

 K x  0.091 
 K  0.159
 

2
Tải băng p2 = 200 kN/m

Tải băng p1 = 100 kN/m2

z

z

zx

zx
x

x

xz

xz

+ Ứng suất tại điểm A
z = 147 – 40.9 = 106.1 kN/m2
z = 37.2 – 9.1 = 28.1 kN/m2
zx = 31.4 – 15.9 = 15.5 kN/m2
Ứng suất tại điểm B có chiều như hình bên dưới
+ Ứng suất tại điểm B do tải băng p2 = 200 kN/m2
Điểm B: x = 2m, z = 2m, b = 4m
x
 b  0.5
z
  0.5
b



 z  0.480  200  96 kN / m 2

2
 x  0.225  200  45 kN / m
  0.255  200  51 kN / m 2
 zx

 K z  0.480

 K x  0.225 
 K  0.255
 

+ Ứng suất tại điểm B do tải băng p1 = 100 kN/m2
Điểm B: x = 2m, z = 2m, b = 2m

52


x
 b  1.0
z
  1.0
b

 z  0.185  100  18.5 kN / m 2

2
 x  0.146  100  14.6 kN / m
  0.157  100  15.7 kN / m 2
 zx

 K z  0.185

 K x  0.146 
 K  0.157

 



2

Tải băng p2 = 200 kN/m

Tải băng p1 = 100 kN/m2

z

z

zx

zx
x

x

xz

xz

+ Ứng suất tại điểm B
z = 96 – 18.5 = 77.5 kN/m2
z = 45 – 14.6 = 30.4 kN/m2
zx = 51 – 15.7 = 35.3 kN/m2
Một áp lực thẳng đứng p = 150 kN/m2 phân bố đều trên diện truyền tải như hình

Bài 2.8. Tính ứng suất theo phương đứng z tại điểm A, B và C nằm ở độ sâu 2m.

2.8.

3m

2m
B
3m

A
1m

C
1m

hình Bài 2.8
Giải
Áp dụng phương pháp điểm góc để tính ứng suất tại A, B và C
-

Ứng suất tại điểm A
53


3m
G

E

F

2m
3m

H

M

A
1m

D

C

Kz(A) = Kg(AHGE) + Kg(AEFM) + Kg(AMDC)

1m

Diện truyền tải

l (m)

b (m)

z (m)

l/b

z/b

Kg

AHGE

3

2

2

1.5

1.0

0.193

AEFM

2

1

2

2.0

2.0

0.120

AMDC

1

1

2

1.0

2.0

0.084

z(A) = (0.193 + 0.120 + 0.084)150 = 59.6 kN/m2
-

Ứng suất tại điểm B
3m
G

P

E

F

N

2m

M
B
3m

A
H
1m

Q

D

C
1m

Kz(B) = K0(AHGE) + Kg(BPFM) - Kg(BPEN) + Kg(BMCQ) - Kg(BNDQ)

Diện truyền tải

l (m)

b (m)

z (m)

l/b

z/b

Kg

AHGE (K0)

3

2

2

1.5

1.0

0.428

BPFM

2.5

1

2

2.5

2.0

0.126

54


BPEN

1.5

1

2

1.5

2.0

0.107

BMCQ

2.5

2

2

1.25

1

0.187

BNDQ

2

1.5

2

1.33

1.33

0.155

z(B) = (0.428 + 0.126 - 0.107 + 0.187 – 0.155)150 = 71.9 kN/m2
Ứng suất tại điểm C

-

3m
G

E

F

2m

3m
A
P

H
1m

M

N

C
1m

Kz(C) = Kg(CMGF) - Kg(CMHP) + Kg(CNAP)

Diện truyền tải

l (m)

b (m)

z (m)

l/b

z/b

Kg

CMGF

4

3

2

1.33

0.67

0.226

CMHP

4

1

2

4.0

2.0

0.135

CNAP

1

1

2

1.0

2.0

0.084

2

z(A) = (0.226 - 0.135 + 0.084)150 = 26.3 kN/m

Áp lực dưới đáy móng hình chữ nhật 3m2m được giả thiết phân bố đều p = 100
kN/m như hình Bài 2.9.

2.9.

2

a. Tính ứng suất z do tải trọng p gây ra tại các điểm O, M và N cách mặt đất 2m.
b. Vẽ đồ thò biểu diễn ứng suất z theo chiều sâu z trên các trục đi qua các điểm O, M và
N từ độ sâu 0 đến 10 m.

c. Xác đònh độ sâu của điểm nằm trên trục qua O có z = 0.1p

55

2

3m

p =100kN/m

1m

A

A
2m

O

1.5m

1.5m

1m

2m

N
1m

N

M

O

M

A–A

hình Bài 2.9
Giải
a) Ứng suất z do tải trọng p gây ra tại các điểm O, M và N
Tại O: z = 2m, l = 3m, b = 2m
l
 b  1.5
z
  1.0
b

 K0 = 0.4275

 z(O) = K0 p= 0.4275100 = 42.75 kN/m2

Tại M: z = 2m, l = 3m, b = 2m
l
 b  1.5
z
  1.0
b

 Kg = 0.193

 z(M) = Kg p= 0.193100 = 19.3 kN/m2

Tại N: z(N) = 2Kz(EFMA) p
Kz(EFMA) = Kg(AENG)  Kg(MFNG)
Kg(AENG)

Kg(MFNG)

3m

4
l
b  1  4

 Kg(AENG) = 0.135
z 2
  2
b 1

1m

B

2m E

l 1
  1
b 1
 Kg(MFNG) = 0.084

z 2
  2
b 1

C

O

F

D

N
1m

A

M

z(N) = 2(0.135  0.084)100 = 10.2 kN/m2
b) Ứng suất z do tải trọng p gây ra tại các điểm O, M và N từ độ sâu 0 đến 10m
-

Ứng suất tại O và M
Độ sâu
(m)
0
0.5
1
1.5

2

l/b

z/b

K0

Kg

1.5

0.00
0.25
0.50
0.75
1.0

1
0.993
0.951
0.873
0.775

0.250
0.248
0.238
0.218
0.194
56

z(O)
(kN/m2)
100
99.3
95.1
87.3
77.5

z(M)
(kN/m2)
25.0
24.8
23.8
21.8
19.4

G


3
4
6
8
10

1.5
2.0
3.0
4.0

5.0

0.58
0.428
0.245
0.153
0.103

0.145
0.107
0.061
0.038
0.026

58
42.8
24.5
15.3
10.3

14.5
10.7
6.1
3.8
2.6

Ứng suất tại N

-

Hình chữ nhật AENG

Độ sâu z
(m)

z/b

Kg(MFNG)

z(N)
(kN/m2)

0.250

0

0.250

0

0.5

0.240

0.5

0.232

1.5

1

1

0.204

1

0.175

5.8

1.5

1.5

0.166

1.5

0.121

9

2

0.135

2

0.084

10.2

3

0.093

3

0.045

9.7

4

4

0.067

4

0.027

8.1

6

6

0.039

6

0.013

5.2

8

8

0.025

8

0.007

3.5

10

10

0.017

10

0.005

2.4

l/b

z/b

Kg(AENG)

0

0

0.5

2

4

3

-

Hình chữ nhật MFNG
l/b

1

Biểu đồ biểu diễn ứng suất tại O, M và N theo độ sâu từ 0 đến 10m
σz(O) (kN/m 2)
10

20

30

40

50

60

70

80

0

90 100 110

10

σz(N) (kN/m 2)
0

20 30

0

0

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

5
6

5
6

Độ sâu z (m)

0

Độ sâu z (m)

Độ sâu z (m)

0

σz(M) (kN/m 2)

5
6

7

7

7

8

8

8

9

9

9

10

10

10

c) Độ sâu của điểm nằm trên trục qua O có z = 0.1p
57

10

20 30


 K0 = 0.1 ứng với tỷ số l/b = 1.5

z = 0.1p

Dựa vào bảng tra hệ số ứng suất trên trục qua tâm diện truyền tải hình chữ nhật có tải
trọng phân bố đều suy ra
z/b = 2.55

 z = 2.55b = 2.552 = 5.1 m

Áp lực bên dưới móng hình chữ nhật tuyệt đối cứng chòu tải đúng tâm lên nền đất
dính được xấp xỉ gần đúng như hình Bài 2.10. Giả thiết nền đất là bán không gian đàn hồi
đẳng hướng. Xác đònh ứng suất theo phương đứng z do áp lực đáy móng gây ra tại O và M.

2.10.

2

p2 =200kN/m

2

p1 =100kN/m
2

1m

O

A

m

2

p1 =100kN/m

3m

p2 =200kN/m

A

1m

1m

1m

1m
2m

m

1m

M

4m

O

M
A–A

hình Bài 2.10
Giải
Ứng suất z tại tâm O
2

p2 = 200 kN/m

3m

m

O
(I)

m

O

1m

3m

2

p1 = 100 kN/m

1m

2

p1 = 100 kN/m

2

p2 = 200 kN/m

O

2m

4m

4m

Diện truyền tải được chia thành hiệu của hai diện truyền tải I và II

 z   zI   zII
 zI – ứng suất tại O do diện truyền tải I

 zI  K 0I  p2

 l b  4 3  1.333
với K 0I  
 z b  2 3  0.667

 zII – ứng suất tại O do diện truyền tải II

58

 K 0I  0.613

(II)

1m



l b  2 1  2
với K 0II  
z b  2 1  2

 zII  K 0II  p1



Ứng suất z tại điểm M

E

A
2

p2 =200kN/m

B

(I)
2

p2 =200kN/m

m

1m

3m

2

p1 =100kN/m

1m

G
1m

1m

M

D

2m
C

F

4m

4m

Diện truyền tải được chia thành hiệu của hai diện truyền tải I và II

 z   zI   zII
 zI – ứng suất tại A do diện truyền tải I:





 zI  K gI ( AEMG)  K gI (GMFD)  K gI ( EBHM )  K gI ( MHCF )  p2



 l b  3 2  1.5
K gI ( AEMG )  
z b  2 2  1

 K gI ( AEMG)  0.193

l b  2 1  2
K gI (GMFD )  
z b  2 1  2

 K gI (GMFD)  0.120

l b  1 1  1
I
K g ( EBHM )  
z b  2 1  2

 K g ( EBHM )  0.084

l b  3 1  3
K gI ( MHCF )  
z b  2 1  2

 K gI ( MHCF )  0.131

I

 zI  0.193  0.120  0.084  0.131  200 = 105.6 kN/m2

 zII – ứng suất tại A do diện truyền tải II:
 zII  K gII  p1

với


2

H

M

với

(II)
p1 =100kN/m

1m



 z  0.613  200  0.190  100 = 103.6 kN/m2

3m



 K 0II  0.190

l b  2 1  2
K gII  
z b  2 1  2

 K gII  0.120

 z  105.6  0.120  100 = 93.6 kN/m2

59



M


Một điểm trong nền đất có trạng thái ứng suất phẳng như trên hình Bài 2.11(a).
Hãy xác đònh:

2.11.

a. Ứng suất chính 1, 3 và phương của các mặt chính.
b. Ứng suất trên mặt phẳng m-m hợp với mặt phẳng nằm ngang 1 góc 200 theo chiều kim
đồng hồ như trên hình (a).


 = 20

0

60 kPa

P

20

(60,20)
p

20 kPa

(m ,m)

m
 = 20

0

40 kPa

20 kPa
40 kPa

20 kPa

2p

3
40

O

C

1



60

m
-20

20 kPa

(40,-20)
60 kPa
(a)

(b)

Hình Bài 2.11: (a) trạng thái ứng suất tại 1 điểm; (b) phương pháp giải bằng đồ thò.
Giải
a) Ứng suất chính 1, 3 và phương của các mặt chính
Bằng phương pháp đồ thò dựa trên vòng tròn ứng suất Mohr hình Bài 2.11b ta xác đònh
được 1, 3 hoặc tính bằng biểu thức sau

 1,3 

x  z 1

2
2

 z   x 2  4 xz2

 1,3 

40  60 1

2
2

60  402  4  202

 1  72.4 kPa

và

 3  27.6 kPa

Phương của các mặt chính
Gọi p là góc hợp bởi mặt chính ứng suất cực đại và mặt phẳng nằm ngang, dựa vào hình
Bài 2.11b ta có
tan 2 p 

2 xz

2  20

2
z x
60  40



p = 31043

Vậy phương của mặt phẳng chính so với mặt phẳng nằm ngang là p = 31043 (mặt ứng
chính cực đại) và 1800 + p = 121043 (mặt ứng suất chính cực tiểu) theo chiều kim đồng hồ.
b) Ứng suất trên mặt phẳng m-m

60


Bằng phương pháp đồ thò dựa trên vòng tròn ứng suất Mohr hình Bài 2.11b ta xác đònh
được ứng suất n, nm trên mặt phẳng m-m hoặc tính bằng biểu thức sau





2.12.

m 

z  x z x


 cos 2   xz sin 2
2
2

m 

60  40 60  40

 cos  400  20  sin  400 = 70.5 kPa
2
2

m 

z x
 sin 2   xz cos 2
2

m 

60  40
 sin  400  20  cos  400 = 8.9 kPa
2

















Một nền đất chòu tác dụng của tải trọng hình băng phân bố đều như hình Bài 2.12.
Tải băng

10 m

2

p = 100 kN/m

0m
MNN

Cát bụi

-2m

t = 16.5 kN/m

3

sat = 17.2 kN/m

3

K0 = 0.5
-6m
3m

Sét
sat = 17.5 kN/m

N

M

3

K0 = 0.4

-13m

hình Bài 2.12

a. Tính các giá trò ứng suất  z ,  x và xz do trọng lượng bản thân gây ra tại M và N.
b. Xác đònh độ gia tăng ứng suất do tải trọng băng gây ra tại M và N.
c. Từ kết quả câu b, vẽ vòng tròn ứng suất Morh và tính các giá trò ứng suất chính 1 và
3 tại hai điểm M và N.

d. Xác đònh chiều cao gia tăng cột áp do tải trọng hình băng gây ra tại M và N. Nêu nhận
xét. Cho biết u = 3 + A(1  3), trong đó A = 0.5 và 1, 3 là độ gia tăng ứng

suất chính do tải trọng ngoài.
Giải
a) Ứng suất do trọng lượng bản thân
Vì M và N nằm ở cùng độ sâu nên ứng suất do TLBT gây ra tại M và N là bằng nhau
61


 z  16.5  2  17.2  10  4  17.5  10  3 = 84.3 kN/m2
 x  K 0   z  0.4  84.3 = 33.7 kN/m2

Mặt đất nằm ngang và rộng khắp nên xz = 0
b) Giá trò gia tăng ứng suất tại M và N
Điểm M: x = 0, z = 9m, b = 10m
x
 K z  0.593
b  0


 K x  0.053
z
K  0
  0.9
 
b
Điểm N: x = 5m, z = 9m, b = 10m
x
 K z  0.425
 b  0.5



z
 K x  0.108
  0.9
 K  0.176
 
b



 z  0.593  100  59.3 kN / m2

2
  x  0.053  100  5.3 kN / m
   0  100  0
kN / m2
 zx



  z  0.425  100  42.5 kN / m2

2
  x  0.108  100  10.8 kN / m
  0.176  100  17.6 kN / m2
 zx

c) Vòng tròn ứng suất Mohr




P
(42.5,17.6)

17.6




O

59.3

C

5.3

O

-17.6

Vòng tròn trạng thái ứng suất tại M

3.0

C

50.3

(10.8,-17.6)

Vòng tròn trạng thái ứng suất tại N

Dựa trên hình vẽ vòng tròn ứng suất Mohr ta xác đònh được 1, 3 hoặc tính bằng biểu
thức sau
  z 1
 z   x 2  4 xz2
 1,3  x

2
2
- Tại M
và
 1   z = 59.3 kN/m2
 3   x = 5.3 kN/m2
-

Tại N

42.5  10.8

2
42.5  10.8
 3 

2
 1 

1
2
1

2

42.5  10.82  4  17.62 = 50.3 kN/m2
42.5  10.82  4  17.62 = 3.0 kN/m2

d) Chiều cao cột áp nước lỗ rỗng gia tăng
-

Tại M
u = 5.3 + 0.5(59.3  5.3) = 32.3 kN/m2
Chiều cao gia tăng cột áp nước lỗ rỗng h = u/w = 32.3/10 = 3.23 m
62


-

Tại N
u = 3.0+ 0.5(50.3  3.0) = 26.7 kN/m2
Chiều cao gia tăng cột áp nước lỗ rỗng h = u/w = 26.7/10 = 2.67 m

Càng xa trục qua tâm diện truyền tải thì chiều cao gia tăng cột áp nước lỗ rỗng càng giảm,
điều đó tạo ra sự chênh lệch cột áp làm nước dưới diện truyền tải thoát ra xung quanh gây
lún cho nền đất.
Khối đất đắp một con đường có mặt cắt ngang như hình Bài 2.13. Độ dốc của mái
taluy 2 bên nền đường là 1:1.5. Trọng lượng riêng của đất đắp là  = 20 kN/m3.

2.13.

a. Xác đònh các thành phần ứng suất do khối đất đắp gây ra tại A, B, C và D.
b. Biết rằng mực nước ngầm nằm tại mặt đất tự nhiên, hãy xác đònh chiều cao gia tăng

cột áp nước lỗ rỗng tại A, B, C và D tại thời điểm tức thời sau khi đắp xong tải. Cho
biết u = 3 + A(1  3), trong đó A = 0.5 và 1, 3 là độ gia tăng ứng suất chính.
12m

Đất đấp

1:1.5

4m
MNN

t = 20 kN/m

1:1.5
3

MĐTN

6m
6m

A

3m

B

3m

C

D

hình Bài 2.13
Giải
a) Khối đất đắp có trọng lượng riêng là 20kN/m3 và cao 4m nên gây ra áp lực lớn nhất tại
mặt đất tự nhiên (MĐTN) p = 204 = 80 kN/m2
12 m
2

p = 80 kN/m

MĐTN

6m
6m

A

63

3m

3m

B

C

D