Bài Tập Giải Tích 1 Đại Học Bách Khoa Đà Nẵng

1

Chương 1:
1.1

Hàm số - Giới hạn - Liên tục

Giới hạn hàm số

1.1. Tính các giới hạn sau:
ln(cos 4x)
1.1.1. lim
x→0 x tan 3x
2
e2x − cos 4x
1.1.2. lim
x→0
x2
(1 − ex ) sin 2x
1.1.3. lim
x→0
x2 + 3x
1 − cos 3x cos 4x
1.1.4. lim
x→0
√ x sin 2x√
1 + x2 − cos 2x
1.1.5. lim
x
x→0
tan2

√2
2 − cos x 4 cos 2x
1.1.6. lim
2
x→0
tan
√ 2x
x 3
1 − e 1 − 6x
1.1.7. lim
2
x→0
√ x − 2x√
cos 2x − cos 3x
1.1.8. lim
x→0
x arcsin x
tan 2x − sin 2x
1.1.9. lim
x→0
x3
x2
√
1.1.10. lim √
x→0
cos 2x − 1 − x2

1.1.11.
1.1.12.
1.1.13.

1.1.14.
1.1.15.
1.1.16.
1.1.17.
1.1.18.
1.1.19.
1.1.20.

√
x(1 − cos 4x)
lim
x→0 sin x − tan x
√
√
1 + x sin x − 3 cos 4x
√
lim
x→0
1 − 1 − x2
sin x
lim
x→0 1 − cos x
x2 − sin x
lim
x→0
x2
ln(1 + 2x2 )
lim
x→0
sin2 x

1 − e2x
lim
x→0
2x
sin x
e
− ex
lim
x→0 sin x − x
√
1 + x + x2 − 1
lim
x→0
sin 2x
√
3
1 + sin x − 1
lim
x→0
tan x
1
lim x sin
x→0
x

1.2. Tính các giới hạn sau
xx − 4
x→2 x − 2
ln x
√

lim
x→1 1 −
x3
sin πx
√
lim
x→1 1 − 3 x2
1
lim x sin
x→∞
x
√
√
lim sin x + 1 − sin x
x→+∞
√
x
lim x( 2 − 1)
x→∞
√
√
x2 + 1 + x
lim √
x→+∞ 4 x3 + x − x

1.2.1. lim
1.2.2.
1.2.3.
1.2.4.
1.2.5.

1.2.6.
1.2.7.

2x + 3
√
x→∞ x + 3 x
√
3
x2 + 1
1.2.9. lim
x→∞ x + 1
x2
√
1.2.10. lim
x→+∞ 10 + x x
√
3 √
1.2.11. lim x 2 ( x3 + 1 − x3 − 1)
1.2.8. lim

x→+∞

1
3
−
x→1
1 − x 1 − x3
√
3− 5+x
√

1.2.13. lim
x→4 1 −
5−x
1.2.12. lim

1.3. Tính các giới hạn sau:

Bài tập Giải tích 1

Giảng viên: Phan Đức Tuấn


2
2x + 5
2x + 1

x

1.3.1. lim

3x

1.3.2. lim

1 − 3x
4 − 3x

x→∞

x→∞

x→∞

1.3.4. lim

x→∞

x+1

x + 5x
x2 + 3
x2 − x + 1
x2 + x − 1

1.3.5. lim 2x2 + cos 2x

1.3.10. lim 2e

1.3.6. lim (e + 3x)

(x + 2)2x (x + 3)x−3
x→∞
(x + 1)3(x−1)
(2x + 3)5x (2x + 5)3x+1
1.3.12. lim
x→∞
(2x + 1)8x+1

1
x2

1

1.3.13. lim (1 + tan 3x) 2x
x→0

x→0

2
x

1.3.14. lim

x→0

x→0

1.2

−1

x
x2 −1

1.3.11. lim

x

1
x

1.3.7. lim e2x − sin 3x

x−1
x

x→1

x→0

x

1
x2

x→0

2

1.3.3. lim

cos 2x
1.3.8. lim
x→0
cos 3x
√
x
1.3.9. lim cos 3x

sin x

x

3 sin x
x−sin x

Hàm số liên tục

1.4. Xét sự liên tục của hàm f tại x = 0, với

 1 nếu x = 0
1.4.1. f (x) = x
 0 nếu x = 0

 sin x
nếu x = 0
1.4.2. f (x) =
x
1
nếu x = 0
1.4.3. f (x) =

(sin x) arctan x1
0

1.4.4. f (x) =

x sin x1
1

nếu x = 0,

nếu x = 0.

nếu x = 0,
nếu x = 0.

x arctan x3 nếu x = 0,
3
nếu x = 0.

sin 2x

√
nếu x = 0,
1.4.6. f (x) = 1 − 3 4x + 1

2
nếu x = 0.

 ln(cos 2x)
nếu x = 0,
1.4.7. f (x) =
x2

4
nếu x = 0.

√
 cos x − cos x
nếu x = 0,
1.4.8. f (x) =

x2

1
nếu x = 0.
1.4.5. f (x) =

1.5. Xét sự liên tục của hàm f tại x ± 1, với

 x+1
f (x) = 1 − |x|

1
Bài tập Giải tích 1

nếu x = ±1,
nếu x = ±1.
Giảng viên: Phan Đức Tuấn


3
1.6. Xét sự liên tục của hàm f tại x ± 2, với

 |x| − 2
f (x) = 4 − x2
 1/4

nếu x = ±2,
nếu x = ±2.

1.7. Tìm m để hàm f liên tục trên R, với

1.7.1. f (x) =

1.7.2. f (x) =

1.7.3. f (x) =

x+1
−mx2 + 3
arctan x3
m
sin x. sin
m

nếu x ≤ 1
nếu x > 1
nếu x = 0,
nếu x = 0.

π
x

nếu x = 0
nếu x = 0

sin 2x
√
1.7.4. f (x) = 1 − 4x + 1
 2
x +m


 ln(x)
√
nếu
1.7.5. f (x) = 1 − 3 x
 mx
e − 4 nếu
√
m
 3−x−1
1.7.6. f (x) =
x−2

x+m



nếu x > 0,
nếu x ≤ 0.
x > 1,
x ≤ 1.
nếu x < 2,
nếu x ≥ 2.

1.8. Tìm a, b đề các hàm số sau liên tục trên R

π

−2 sin x
nếu x ≤ −




π 2
π
1.8.1. f (x) = a sin x + b nếu − < x <
2π
2



cos x
nếu x ≥
2
 ex − 1

nếu x < 0


 ax
nếu x = 0
1.8.2. f (x) = √2

3


 1 + bx − 1 nếu x > 0
x
1.9. Tìm và phân loại điểm gián đoạn của các hàm số sau
x
tan x

x3
1.9.2. y =
tan3 x
x
1.9.3. y = x
(2 − 1) sin x

1.9.1. y =

Chương 2:
2.3

2x − 1
x2 − x
2x − 2
1.9.8. y = 2
x −x
√
2 − 3 2x + 4
1.9.9. y = 2
x − 3x + 2

x2
1.9.4. y = x
(3 − 1) sin x
x
1.9.5. y = x
(e − 1) cos x
x2
1.9.6. y =

1 − cos 2x

1.9.7. y =

Đạo hàm và vi phân

Đạo hàm

2.10. Tính f (0), với
2.10.1. f (x) =

x2 cos x
−x3

nếu x ≥ 0
nếu x < 0

2.10.2. f (x) =

x3 sin x
−x2

nếu x ≥ 0
nếu x < 0

2.11. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Bài tập Giải tích 1

Giảng viên: Phan Đức Tuấn

4
√

2.11.1. y = x x
2.11.2. y = xln x
tan x
2.11.3. y = √
3
x2
1
2.11.4. y = arcsin
|x|

2.11.5. y =

ln(1 + x)
x

2.11.6. y =

x2 sin x1
0

nếu x ≥ 0
nếu x < 0
nếu x = 0
nếu x = 0

2.12. Chứng minh hàm: y = a cos(ln x) + b sin(ln x) thoả phương trình:

x2 y + xy + y = 0
2.13. Chứng minh hàm: y = cos ex + sin ex thoả phương trình
y − y + ye2x = 0
2.14. Tính đạo hàm y (x) của các hàm cho bởi phương trình tham số sau:
2.14.1.

y = t − arctan t
x = ln(1 + t2 )

2.14.3.

y = 22t
x = 2−t

2.14.2.

y = b sin2 t
x = a cos2 t

2.14.4.

y = et cos t
x = e−t sin t

2.15. Tính đạo hàm y (x) của các hàm ẩn xác định bởi các phương trình sau:
2.15.1. x3 + ln y − x2 ey = 0
2.15.2. sin(xy) + cos(xy) = tan(x + y)

2.15.3. ex + ey − 2xy − 1 = 0
2

2.15.4. xy + y 2 ln x − 4 = 0

2.16. Tính y (x) của các hàm ẩn cho bởi các phương trình
2.16.1. ex−y − xy = 0

2.16.2. y = 1 + xey

2.17. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
√
2.17.4. y = x2 ex
2.17.1. y = x x
√
2x + 3
2.17.2. y = 2
2.17.5. y = 1 − x
x −9
x+1
3x + 5
2.17.6. y = √
2.17.3. y =
1−x
x+1

2.4

2.17.7. y = ln(x2 − 5x + 6)
2.17.8. y = (2x + 5) sin 2x
2.17.9. y = x ln x

Vi phân

2.18. Tính dy của các hàm số sau:
2.18.1. y =

a
x
+ arctan
x
a

2.18.2. y = ln(x +

√

x 2 + a2 )

2.19. Cho hàm số
f (x) =

x2 + 2x
ax + b

nếu x ≤ 0,
nếu x > 0,

Tìm a, b để hàm f liên tục và khả vi trên R.
2.20. Áp dụng vi phân tính gần đúng
Bài tập Giải tích 1

Giảng viên: Phan Đức Tuấn

5
√
2.20.1. y = 4 17
2.20.2. tan 460

2.20.5. sin 60o 3

2.20.3. arctan 0, 97
√
2.20.4. 3 1042

2.21. Tính d2 y của các hàm số sau
2.21.1. y = e−x

2.5

2

2.21.2. y = arctan

x−1
x+1

Các định lý của hàm khả vi

2.22. Cho f (x) = x(x − 1)(x − 2)(x − 3). Chứng minh rằng phương trình f (x) = 0 có 3
nghiệm thực.
2.23. Giả sử hàm f thỏa mãn

(i) có đạo hàm cấp (n − 1) liên tục trên [x0 , xn ]
(ii) có đạo hàm cấp n trên (x0 , xn )
(iii) f (x0 ) = f (x1 ) = . . . f (xn ), (x0 < x1 < · · · < xn )
CMR tồn tại c ∈ (x0 , xn ) sao cho f (n) (c) = 0.
2.24. Chứng minh rằng
2.24.1. | arctan x−arctan y| ≤ |x−y|, ∀x ∈
R

√
√
2.24.2. 2| x − y| ≤ |x − y|

2.25. Chứng minh rằng hàm f (x) = x + 1/x thỏa mãn các điều kiện của định lý Lagrang
trên [1/2, 2]. Tìm c?
2.26. Cho A(−1, −1), B(2, 8). CMR trên đường cong y = x3 có một điểm mà tiếp tuyến
với đường cong tại đó song song với AB. Tìm điểm đó?
2.27. Viết khai triển Maclauren với phần dư Peano của các hàm số sau:
1
đến x4
2
x + 3x + 2
2
2.27.2. f (x) = e2x−x đến x3

2.27.1. f (x) =

2.27.3. f (x) = tan x đến x5
2.27.4. f (x) = ln(4 + x2 )

2.28. Tính các giới hạn sau

1
x→0 x

2.28.1. lim

1
1
−
x tan x

etan x − ex
2.28.2. lim
x→0 tan x − x
ln(x − a)
2.28.3. lim+
x→a ln(ex − ea )
x
2

xe
x→+∞ x + ex
2.28.5. lim+ ln x ln(x − 1)

2.28.4. lim
x→1

Bài tập Giải tích 1

ex + e−x − 2
x→0

tan x

2.28.6. lim
2.28.7. lim

x→0

tan x
x

1
x2

1

2.28.8. lim x x
x→+∞

2.28.9. lim (x − x2 ln
x→∞

x+1
)
x

2.28.10. lim+ (arcsin x)tan x
x→0

Giảng viên: Phan Đức Tuấn

6
1

2.28.11.
2.28.12.
2.28.13.
2.28.14.
2.28.15.

2.6

sin 2x x2
lim 3 −
x→0
x
√
3
x(1 − cos 2x)
lim
x→0
x − tan x
sin x
lim
x→π x − π
tan x
lim
x→π x − π
sin x − cos x
lim

x→ π4
1 − tan x

2.28.16. limπ
x→ 2

ln(sin x)
π
x−
2
1
x
−
x − 1 ln x

2.28.17. lim

x→1

cos x. ln(x − a)
x→a
ln(ex − ea )

2.28.18. lim

1

2.28.19. lim x ln(ex −1)
x→0

Ứng dụng của đạo hàm

2.29. Tìm tiệm cận của các hàm số sau
ln(x + 1)
2.29.1. y =
+ 2x
x2
2.30. Tìm tiệm cận của các hàm số

3

y =
2
t(t − 4)
a.

x = t − 8
t4 − 4

Chương 3:

x

2.29.2. y = (x − 1)e x−1

b.

y = tet
x = te−t

Tích phân

3.31. Tính các tích phân bất đinh sau:
3.31.1.
3.31.2.
3.31.3.
3.31.4.
3.31.5.
3.31.6.

3.31.7.
3.31.8.
3.31.9.

√ dx
cos x √
x
dx
sin(ln x)
x
e−bx dx
1 − e−2bx
sin x. cos xdx
cos2 x − sin2 x
dx
sin ax. cos ax
dx
1 + cos2 x
x
arccos dx

2
√
4 − x2
tan 3x − cot 3x
dx
sin 3x
xdx
4
x + 6x2 + 13

Bài tập Giải tích 1

3.31.13.

(x3 + 1)dx
x3 − 5x2 + 6x
sin 2xdx
1 + 4 cos2 x
dx
3 cos x + 2
√
1 − 2x − x2 dx

3.31.14.

e−

3.31.15.

cos xdx

√
1 + sin2 x

3.31.16.

x(2x + 5)10 dx

3.31.10.
3.31.11.
3.31.12.

√

3.31.17.
3.31.18.
3.31.19.

x−1

dx

e2x dx
√
ex + 1
dx
√
x 2x + 1
dx
√
x x2 − 1

Giảng viên: Phan Đức Tuấn


7
3.31.20.
3.31.21.
3.31.22.
3.31.23.
3.31.24.

ln 2x dx
.
ln 4x x
x2 dx
√
1 − x2
√
x2 + 1
dx
x
√
x 2 − a2
dx (a > 0)
x
arctan xdx

3.31.43.
3.31.44.
3.31.45.
3.31.46.

3.31.47.

x cos x
dx
sin2 x
x arctan x
√
dx
1 + x2

3.31.48.

3.31.27.

ln2 xdx

3.31.50.

3.31.28.

cos(ln x)dx

3.31.51.

3.31.29.

ln(ln x)
dx
x

3.31.52.

3.31.30.

(x2 − 2x + 5)e−x dx

3.31.53.

3.31.31.

(x2 + 5x + 6) cos 2xdx

3.31.54.

3.31.32.

ex sin xdx

3.31.25.
3.31.26.

√

3.31.33.
3.31.34.
3.31.35.
3.31.36.
3.31.37.
3.31.38.
3.31.39.

e

x

3.31.41.
3.31.42.

3.31.55.

dx

dx
+ 2x + 5
3x − 2
dx
2
x − 4x + 5
dx
√
3 − 2x − x2
x+2
√
dx
x2 − 4x + 5
dx
√
(x + 1) x2 + 2x
ln xdx
x2

1 − 4 ln x − ln2 x
dx
x(x + 1)2
5x − 1
dx
3
x − 3x − 2
dx
2
(3x + 2)(3x2 − 9)
x

3.31.40.

3.31.49.

Bài tập Giải tích 1

3.31.56.
3.31.57.

dx
+1
xdx
x4 − 1
x2 + 1
dx
x4 + 1
dx

4
x + x2 + 1
x4 dx
x4 − 1
x3 + x + 1
dx
x(x2 + 1)
x4 + 1
dx
x6 + 1
1 1+x
dx
x2
x
dx
√
3
(x + 1) x2 + 2x
x2 dx
√
x2 + x + 1
dx
√
√
x+1− x−1
x − 1 dx
.
x + 1 x2
√
1− x

√ dx
1+ x
x3

cos5 x
dx
sin3 x
√
sin5 x. 3 cos xdx

3.31.58.

dx
√
4
3
sin x. cos5 x

3.31.59.

cos6 3xdx

3.31.60.

dx
sin4 x

3.31.61.

cot4 xdx

3.31.62.
3.31.63.
3.31.64.
3.31.65.

cos xdx
dx
1 + cos x
dx
cos x + 2 sin x + 3
cos xdx
2
sin x − 6 sin x + 5
1 + tan x
dx
1 − tan x
Giảng viên: Phan Đức Tuấn


8
3.31.66.

2 cos2

dx
x + sin x cos x + sin2 x

cos x. cos2 3xdx

3.31.67.

3.32. Tính các tích phân xác định sau:
1

y 2 dy

3.32.1.

y6 + 4

0

1

√

3.32.12.
√

1 − x2
dx
x2

2
2

π
4

2

cos2 tdt

3.32.2.

3.32.13.

√
x2 − 1
dx
x

1

0

0

π
2

3

sin ϕdϕ

3.32.3.

dx
√

1+ 3x+1

3.32.14.
−1
1

0
e2

3.32.15.

dx
x ln x

3.32.4.

0
ln 5

e
1

xdx
2
x + 3x + 2

3.32.5.

3.32.16.
0

a

0

3.32.17.

π
3

π
6

3.32.7.

ex dx
1 + e2x

0

x cos xdx
0
π

ex sin xdx

3.32.19.
0

1

sinh2 xdx

3.32.8.

√
a2 − x 2
dx (a > 1)
x

π
2

3.32.18.
1

√
ex ex − 1
dx
ex + 3

1

cot4 xdx

3.32.6.

√
ex dx
√
ex + e−x

e

ln3 xdx

3.32.20.

0
1
4

dx
√
1+ x

3.32.9.

1

x3 e2x dx

3.32.21.

0

0
2

ln 2

√

3.32.10.

ex

− 1dx

0

3.32.23.

3

dx
x x2 + 5x + 1
√

3.32.11.

3.32.22.

0

3.32.24.

dx
+ 4)2
−2
ln 8

dx
√
ex + 1
ln 3
π
2
dx
2
0 1 + 2 sin x
(x2

3.33. Tính các tích phân suy rộng sau:

Bài tập Giải tích 1

Giảng viên: Phan Đức Tuấn


9
3

+∞

2xdx
x2 + 1

3.33.1.

√

3.33.8.
1

−∞
+∞

1

−1

2
+∞

1

dx
√
dx
x 1 + x2

3.33.3.

3.33.10.
−1

a2
+∞

xdx
√

x−1

3.33.11.

−∞
+∞

1

arctan x
dx
x2

3.33.5.

(x + 1)dx
√
3
x5

2

dx
dx
2
x + 2x + 2

3.33.4.

(x − 1)dx

√
3
x5

3.33.9.

ln x
dx
x

3.33.2.

dx
4x − x2 − 3

2

3.33.12.

1
+∞

3.33.6.
−∞
+∞

3.33.7.
0

dx

(1 + x2 )2
dx
3
x +1

dx
− 4x + 3

x2
0
1

x ln xdx

3.33.13.
0

3.34. Xét sự hội tụ, phân kỳ của các tích phân suy rộng sau:
+∞

3.34.1.
3.34.2.
3.34.3.

ln(1 + x2 )dx
x2
1
+∞
arctan xdx
√

3
1 + x4
0
+∞ √
xe−x dx

√

1

1

x
√
dx
1 − x4

3.34.4.

3.34.6.

0

0
1

3.34.5.

100

x2 dx
3

0

1

√
xdx
sin
e x−1
√
3

3.34.7.

(1 − x2 )5

dx
√
x + 2 4 x + x3

0

3.35. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
3.35.1. y = 2 − x2 , y 3 = x2 .

3.35.2. y = x2 , y =

x2

, y = 2x
2

3.36. Tính thể tích vật thể tròn xoay của miền giới hạn bởi:
3.36.1. y = x sin x, y = 0, 0 ≤ x ≤ π quay quanh trục Ox.
3.36.2. y = 2x − x2 , y = 0 quay quanh trục Oy.
3.36.3. y = x2 , y = 4 quay quanh đường thẳng x = 2.
3.37. Tính độ dài cung:
√
√
3.37.1. y = ln x, 3 ≤ x ≤ 8.

Chương 4:Hàm

√
1
3.37.2. y = (3 − x) x, 0 ≤ x ≤ 3.
3

nhiều biến

4.38. Tính zx , zy của hàm z = arctan

u
với x = u + v, y = u − v.
v

4.39. Tính zx , zy của hàm z = u2 v với x = u cos v, y = u sin v.
Bài tập Giải tích 1

Giảng viên: Phan Đức Tuấn


10
4.40. Tính zx , zy của hàm z = u2 ln v với u =

y
, v = x2 + y 2 .
x

4.41. Chứng minh rằng z = xf ( xy ) thỏa mãn zxx zyy = (zxy )2 , trong đó f là hàm có đạo
hàm cấp 2.
4.42. Chứng minh rằng z = yf (x2 − y 2 ) thỏa mãn

1
1
z
zx + zy = 2 , trong đó f là hàm
x
y
y

khả vi.
4.43. Tìm cực trị của các hàm 2 biến sau:
4.43.1. z = 2xy − 3x2 − 2y 2
4.43.2. z = x2 − xy + y 2 − 2x + y
4.43.3. z = 3x2 − x3 + 2y 2 + 4y
4.43.4. z = 4xy − x4 − y 4
4.43.5. z = x2 + xy + y 2 − 2x − y

50 20
+
với x > 0, y > 0
x
y
4.43.7. z = 4(x − y) − x2 − y 2
4.43.8. z = x2 + y 2 + xy + x − y + 1
4.43.9. z = x + y − xey
2
2
4.43.10. z = (x2 + y 2 ) e−(x +y )

4.43.6. z = xy +

4.44. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số sau:
4.44.1.
4.44.2.
4.44.3.
4.44.4.
4.44.5.

z
z
z
z
z

= x2 y + 2 với x + y = 6
= xy 2 với x2 + y 2 = 3
= x2 +12xy+2y 2 với 4x2 +y 2 = 25

= cos2 x + cos2 y với y − x = π4
= x − 2y với x2 + y 2 = 5

4.44.6. z = xy với x2 + y 2 = 8
4.44.7. z = x2 + y 2 với
4.44.8. z =

x y
+ =1
2 3

1 1
1
1
1
+ với 2 + 2 = 2 , (a > 0)
x y
x y
a

4.45. Tìm GTLN và GTNN của hàm
4.45.1. z = x2 + y 2 − xy + x + y trong miền giới hạn bởi x = 0, y = x, x + y = −3
4.45.2. z = x2 − y 2 trong miền x2 + y 2 ≤ 4.
4.46. Ứng dụng vi phân tính gần đúng các số sau:
√
√
3
1, 03 + 4 0, 98 − 1 ;

a. (1, 02)3,01 ;

d. ln

b. (1, 02)3 (0, 97)2 ;

e. sin 32o . cos 59o .

c.

(4, 05)2 + (2, 93)2 ;

Bài tập Giải tích 1

f. arctan

1,03
0,98

.

Giảng viên: Phan Đức Tuấn