Bài giảng GiaiPT VT.doc

Mở đầu.
Hiện nay việc sử dụng máy tính bỏ túi cho phép học sinh có thể tính nhanh giá trị
đúng (hoặc gần đúng) nghiệm của phơng trình ,giúp cho học sinh tránh đợc những
sai sót trong lời giải,kiểm tra nhanh kết quả tìm đợc.
Phơng trình vô tỉ là một trong những dạng bài toán khó đối với học sinh cấp THCS,
trong phần phơng trình nói chung,cả trong chơng trình và trong các bài toán của đề
thi.Đặc biêt là các kì thi HSG và thi vào lớp 10 PTTH.Giải phơng trình vô tỉ nói
chung có nhiều phơng pháp và rất đa dạng.Tuy nhiên đa số các bài toán giải phơng
trình vô tỉ thờng gặp ,học sinh có thể giải đợc bằng cách áp dụng một trong những
phơng pháp sau.
Một vài phơng pháp giải phơng trình vô tỉ
dạng đơn giản.
I.Phơng pháp nâng lên lũy thừa
1. Ví dụ 1.
Giải phơng trình
X +
x 1

= 7
Lời giải:
X +
x 1

=7 (1)
ĐK: x 1 (*)
(1)

x 1

=7 x (2).
ĐK:x 7 (**)

Bình phơng hai vế
(2)

(7-x)
2
= x- 7

x
2
- 15x + 50 = 0

x
1
=5; hoặc x
2
=10 (loại)
Tập nghiệm của phơng trình là:
S =
{ }
5
.
Dùng máy tính kiểm tra kết quả:
(Ta thực hiện lần lợt các bớc từ trên xuống dới với máy CASIO fx-570MS).
*Bớc 1.
Viết phơng trình vào máy :

ALPHA
X

( ALPHA X

-
1 ) ALPHA = 7
*Bớc2.Lệnh cho máy giải nh sau :

( +
_
1
)
7
SHIFT SOLVE
=
SHIFT SOLVE
Tiếp tục:
SHIFT SOLVE SHIFT SOLVE
lặp lại lệnh trên vơí các nghiêm thứ nhất và thứ 2,,thứ n,để máy tính
giải
*Bớc3.Chờ cho máy giải xong và lấy kết quả,so sánh với đáp số của lời giải.
Máy tính cho kết quả phơng trình chỉ có một nghiệm duy nhất X = 5

Ghi nhớ là : Phơng trình bậc n nếu có nghiệm ,thì sẽ có không quá n nghiệm.
II. Phơng pháp đặt ẩn phụ:
1.Dùng ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai:
Ví dụ1.
Giải phơng trình
1
2

xx
+
1

2
+
xx
= 2 (1)
Lời giải:
1
2

xx
+
1
2
+
xx
= 2 (1)
Đặt
1
2

xx
= t
ĐK: t > 0;


1
2
+
xx
=
t

1
(1) có dạng:
t +
t
1
= 2. (2)
(2)

t
2
- 2t +1 = 0

t =1

1
2

xx
=1

x - 1 =
1
2

x

1- 2x + x
2
= x
2

- 1

2x 2 = 0
=
2 =

x = 1
S =
{ }
1
.
*Sử dụng máy tính làm tơng tự ta cũng có kết quả phơng trình chỉ có một
nghiệm duy nhất X= 1
3.Sử dụng ẩn phụ đa về phơng trình tích
a.Dùng một ẩn phụ
Ví dụ1:
Giải phơng trình:
x
2
+
1
+
x
= 1 (1)
Lời giải:
x
2
+
1
+

x
= 1 (1)
ĐK : x -1 (*)

x
2
-1+
1
+
x
=0

(x+1)(x-1) +
1
+
x
=0

(x+1)(x+1-2) +
1
+
x
=0
Đặt
1
+
x
= t
ĐK: t 0
(1)

t
2
(t
2
-2)+t=0

t [ t
3
-2t+1]=o
(1)

t(t-1)(t
2
+t-1) = 0


hoặc t
1
= 0
hoặc t
2
= 1
hoặc t
3
=
2
51
+
hoặc t

4
=
2
51

(loại)
S =
{
0 ; -1 ;
}
2
51

.
Kết quả của máy tính là :
Một nghiệm X
1
= 0 và hai nghiệm âm.
X
2
=-1 ;
x
3
- 0,618033908 (giá trị gần đúng của
}
2
51

b.Sử dụng 2 ẩn phụ đa về phơng trình tích
Ví dụ 1.

Giải phơng trình
2(x
2
+ 2) = 5
1
3
+
x
(1)
Lời giải:
2(x
2
+ 2) = 5
1
3
+
x
(1)
ĐK: x -1(*)
Đặt :
1
+
x
= u
1
2
+
xx
= v .
ĐK: U 0 và V 0 (**)

(1)


U
2
= x + 1

V
2
= x
2
x + 1

(2u-v)(u-2v) = 0

hoặc u = 2v ,hoặc v = 2u
với u = 2v

1
+
x
= 2
1
2
+
xx

4x
2

-5x +3 = 0 ; (2)
Phơng trình(2) vô nghiệm
Với v = 2u

1
2
+
xx
= 2
1
+
x
; (3)
( 3)

x
2
- 5x - 3 = 0
x
1
=
2
375
+
x
2
=
2
375

S =



+
2
375
;
2
375
Kết quả Máy tính cho hai nghiệm là :
X
1
= 5,541381265
2
375
+
X
2
= - 0,541381265
2
375

4.Sử dụng ẩn phụ đa về phơng trình đẳng cấp
Ví dụ 1
Giải phơng trình
2x
2
- 3x + 2 = x.
23

x
(1)
Lời giải:
2x
2
- 3x + 2 = x.
23

x
(1)
ĐK : x
3
2
(1)

2x
2
- (3x-2) = x.
23

x
Đặt :y =
23

x

ĐK : y 0 (*)
(1)

2x
2
-y
2
= xy (2), Có hai cách giải phơng trình (2)
*Cách 1 :Đặt y = tx.
(2)

2x
2
-t
2
x
2
= tx
2

x
2
(2-t
2
-t) = 0

t
1
=1
t
2
=- 2
*Với t

1
= 1

23

x
= x

x
2
-3x+2 = 0
x
1
= 1 hoặc
x
2
=

2
*với : t
2
= - 2

y = -2x

y < 0 (loại).
Vậy S =
{ }
2;1
*Cách 2 : (T ơng tự phần 5 sau đây).

Giải phơng trình bậc 2 đối với ẩn y ;
(2)

y
2
+ xy -2x
2
= 0 . (3)

hoặc y
1
= x hoặc y
2
=- 2x (loại)
+ Với y
1
ta có x
1
= 1 ; x
2
= 2
Vậy S =
{ }
2;1
Kết quả Máy tính cũng cho hai nghiệm là :
X
1
= 1
X
2

=2
5.Dùng ẩn phụ đa về phơng trình bậc 2 đối với ẩn phụ
Ví dụ1 :
Giải phơng trình dạng :
x
2
+
ax
+
=a (1)
Lời giải:
x
2
+
ax
+
=a (1)
ĐK : x - a (*).........
(1)

ax
+
= a-x
2
ĐK: a- x
2
0 (**)
Bình phơng hai vế ta đợc :
x+ a = a
2

- 2.a.x
2
+ x
4
. (2)
(2)

a
2
(2x
2
+ 1).a + x
4
x = 0. (3)
Giải phơng trình bậc hai với ẩn a ta đợc hai nghiệm:
Hoặc a
1
= x
2
+ x + 1
*ĐK : (*) và (**) ; ta có : x
2
+ x + 1 a = 0. (I)