ứng dụng đạo hàm bài toán tiếp tuyến

Chng I: o Hm
I. Kiến thức cơ bản.
1. Bảng đạo hàm các hàm số cơ bản.
Hàm số
Đạo hàm
(y = f(x))
(y = f(x))

Hàm số

Đạo hàm

1
cos 2 x

y=c

0

y = tanx

y=x

1

y = cotx

y = xn

nxn-1

y = ex

ex

y = 1/x



1
x2

y = ax

ax. lna

2 x

y = lnx

1/x

cosx

y = logax

ln a
x

y= x

1

y = sinx



1
sin 2 x

y = cosx
-sinx
2. Đạo hàm của hàm hợp.
Ta xét hàm số y = f(u(x)). Ta tính đạo hàm của hàm số đã cho theo x nh sau

y x' = f x' = f u' .u x'
Bảng đạo hàm của hàm số hợp
Hàm số
Đạo hàm
y = un

y = 1/u

n.un-1.u



1
.u '
u2

1

Hàm số

Đạo hàm

y = tanu

1
cos 2 u

y = cotu



. u

1
sin 2 u

. u

.u '

y = eu

u.eu

y = sinu

u.cosu

y = au

u.au. lna

y = cosu

- u.sinu

y = lnu

1
.u '
u

y = logau

ln a
.u '
u

y= u

2 u

Chú ý: Khi áp dụng tính đạo hàm của hàm hợp ta chú ý ban đầu tính đạo hàm của hàm số theo biến u
rồi nhân với đạo hàm của hàm số u theo biến x.
3. Các phép toán đạo hàm.
Cho hai hàm số y = u(x), y = v(x). Khi đó

*) (u + v) = u + v
*) (u - v) = u v
1


*) (uv) = uv + vu
*) (ku) = k.u ( k là hằng số)
'

u u 'v v 'u
ữ=
v2
v

*)
4. Đạo hàm bậc cao của hàm số.
Đạo hàm bậc n của hàm số y = f(x) là đạo hàm bậc 1 của đạo hàm bậc n 1 của hàm số y =
f(x) ( n > 1).
II. Các dạng toán cơ bản.
1. Dạng 1. Tính đạo hàm của hàm số.
Phơng pháp. Ta vận dụng các quy tắc và phép tính đạo hàm, đặc biệt là đạo hàm của hàm hợp. Nếu
yêu cầu tính đạo hàm tại một điểm ta cần tính đạo hàm rồi thay vào đe đợc kết quả.
Ví dụ 1. Tính đạo hàm các hàm số sau

y = x3 2 x 2 + 3x + 4

y = sin x cos x + tan x

a)

b)

y = cot x 3 x + 2

y= x +2 x
4

c)
a) Ta có

d)

Giải

y ' = ( x3 2 x 2 + 3x + 4 ) = 3 x 2 4 x + 3
'

b) Ta có

y ' = ( sin x cos x + tan x ) = cos x + sin x +
'

c) Ta có

(

)

1
cos 2 x

1
x

'

y ' = x 4 + 2 x = 4 x3 +
d) Ta có

y ' = ( cot x 3x + 2 ) =
'

1
3
sin 2 x

Ví dụ 2. Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm tơng ứng.

y = x3 + 3 x 2 4 x + 1
a)

tại x0 = -1.

x0 =

y = sin 2 x + cos x
b)

tại

4

.

y = x 2x
c)
a) Ta có

tại x0 = 2 .

Giải

y ' = ( x 3 + 3x 2 4 x + 1) = 3x 2 + 6 x 4
'

b) Ta có

y ' (1) = 3 6 4 = 13
suy ra

y ' = ( sin 2 x + cos x ) = 2cos 2 x sin x
'

2



y ' ữ = 2cos ữ sin ữ =
4

2
4 2

suy ra
c) Ta có

2


y' =

(

)

1

'

x − 2x =

2 x

VÝ dô 3. TÝnh ®¹o hµm c¸c hµm sè sau

2x −1
y=
x+2

a)

b)

1

y' ( 2) =

−2

2 2

suy ra

x 2 + 3x − 1
y=
x +1

1− 4 2
2 2

y = x 4 + 3x 2 + 2
c)

y = sin(2 x + 1) + cos(1 − x)

y = 3x + 2

d)

e)

y = x + 4x + 1

y = tan( x 2 + 2 x + 1)

2

f)
a) Ta cã

−2=

g)
Gi¶i

5
 2 x − 1  ( 2 x − 1) ( x + 2 ) − ( 2 x − 1) ( x + 2 ) 2 x + 4 − 2 x + 1
y =
=
=
=
÷
2
2
2
 x+2 
( x + 2)
( x + 2)
( x + 2)
'

'

'

'

b) Ta cã
'

 x 2 + 3 x − 1  (2 x + 3)( x + 1) − ( x 2 + 3 x − 1) x 2 + 2 x + 4
y =
=
÷=
2
2
( x + 1)
( x + 1)
 x +1 
'

c) Ta cã

y ' = ( x 4 + 3x 2 + 2 ) = 4 x3 + 6 x
'

d) Ta cã

y ' = ( sin(2 x + 1) + cos(1 − x ) ) = 2cos(2 x + 1) + sin(1 − x)
'

e) Ta cã

y' =

(

3x + 2 =

y =

(

x + 4x + 1 =

f) Ta cã
'

)

2

'

3
2 3x + 2

)

2x + 4

'

2 x2 + 4 x + 1

g) Ta cã

(

)

1
x
=
=
2
2
cos ( x + 2 x + 1)
2x +

(

'

y ' = tan( x 2 + 2 x + 1) =

=

a)

x2 + 4 x + 1

)

x2 + 2 x + 1

'

cos 2 ( x 2 + 2 x + 1)

2x x + 1
x cos 2 ( x 2 + 2 x + 1)

2. D¹ng 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh y’ = 0.
Ph¬ng ph¸p. Ta tÝnh y’ sau ®ã gi¶i ph¬ng tr×nh
VÝ dô 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh y’ = 0 biÕt.

x2
y=
x −1

x+2

y’ = 0.

y = x3 − 3x 2
b)

y = 4 x3 − 12 x 2 + 9 x − 1
c)

3


d)

x2 + 2 x + 2
y=
x +1

e)

x 2 + 3x + 3
y=
x +1
x +x+2
y=
x −1

y=
f)

2

y = − x4 − 2x2 + 3
g)

h)

Gi¶i

a) Ta cã
'

 x2  x2 − 2 x
y =
÷=
2
x
−
1

 ( x − 1)

y =0⇔

'

'

x2 − 2 x

( x − 1)

2

i)

x4
5

− 3x 2 +
2
2

2x2 + x
y=
x +1

x = 0
= 0 ⇔ x2 − 2x = 0 ⇔ 
x = 2

suy ra
V©y ph¬ng tr×nh y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x = 0 vµ x = 2.
b) Ta cã

y = ( x − 3x
'

3

)

2 '

= 3x − 6 x
2

x = 0
y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6 x = 0 ⇔ 

x = 2

suy ra
V©y ph¬ng tr×nh y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x = 0 vµ x = 2.
c) Ta cã

y ' = ( 4 x 3 − 12 x 2 + 9 x − 1) = 12 x 2 − 24 x + 9
'

Suy ra

3

x
=

2
y ' = 0 ⇔ 12 x 2 − 24 x + 9 = 0 ⇔ 
x = 1

2

V©y ph¬ng tr×nh y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt
d) Ta cã

3
1
x= ,x=
2
2

'

 x2 + 2x + 2  x2 + 2x
y =
÷=
2
x
+
1

 ( x + 1)
'

y =0⇔
'

x = 0
2
=
0
⇒
x
+
2
x
=
0
⇔
2

 x = −2
( x + 1)

x2 + 2x

suy ra
VËy ph¬ng tr×nh y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x = 0 vµ x = -2.
e) Ta cã
'

 x 2 + 3x + 3  x 2 + 2 x
y =
÷=
2
x
+
1

 ( x + 1)
'

y =0⇔
'

x = 0
= 0 ⇒ x2 + 2 x = 0 ⇔ 
( x + 1)
 x = −2
x2 + 2x
2

suy ra
VËy ph¬ng tr×nh y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x = 0 vµ x = -2.
f) Ta cã
'

 x4
5
y =  − 3x 2 + ÷ = 2 x 3 − 6 x
2
 2
'

4


Suy ra

x = 0
y ' = 0 2 x3 6 x = 0
x = 3
x = 0, x = 3

Vậy phơng trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt
g) Ta có

.

y ' = ( x 4 2 x 2 + 3) = 4 x 3 4 x
'

y ' = 0 4 x3 4 x = 0 x = 0
Suy ra
Vậy phơng trình y = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.
h) Ta có
'

x2 + x + 2 x2 2 x 3
'
y =
ữ=
2
x

1
( x 1)


y =0
'

'

x2 2x 3

( x 1)

2

x = 1

= 0 x2 2 x 3 = 0
x = 3

Suy ra
Vậy phơng trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt x = -1 và x = 3.
i) Ta có
'

2 x2 + x 2 x2 + 4 x + 1
y =
ữ=
2
x
+
1
( x + 1)


'


2 2
x=

2x + 4x + 1
2
y' = 0
= 0 2x2 + 4x + 1 = 0
2

( x + 1)
2 + 2
x =

2
2

Suy ra

x=

2 2
2 + 2
,x=
2
2

Vậy phơng trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt
3. Dạng 3: Chứng minh đẳng thức về đạo hàm.
Phơng pháp: Tính đạo hàm và sử dụng các phép biến đổi đặc biệt là về hàm lợng giác.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng
a) y y2 -1 = 0 với y = tanx.
b) y + 2y2 + 2 = 0 với y = cot2x.
c) y2 + 4y2 = 4 với y = sin2x.
Giải

y' =
a) Ta có
Khi đó

1
cos 2 x

1
sin 2 x
1 sin 2 x cos 2 x
y y 1 =

1 =
cos 2 x cos 2 x
cos 2 x
1 ( sin 2 x + cos 2 x )
11
=
=
=0
2
cos x
cos 2 x
'

2

Vậy ta có điều cần chứng minh.
5


y' =
b) Ta có
Khi đó

2
sin 2 2 x

2 + 2 ( sin 2 2 x + cos 2 2 x )
2
2cos 2 2 x
y + 2y + 2 = 2 +
+2=
=0
sin 2 x sin 2 2 x
sin 2 2 x
'

2

Vậy ta có điều cần chứng minh.
c) Ta có
y = 2cos2x

(y)

' 2

+ 4 y 2 = 4cos 2 2 x + 4sin 2 2 x = 4

Khi đó
Vậy ta có điều cần chứng minh.

Bài tập tự luyện. Phn o hm

Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau

y=
a)

x2 + x + 1
x +1

y=
b)

y = x x +1
4

x2 2x + 2
x 1
3

y=

f)

y = x3 3x 2 + 2
b)

3 x + 1
x+2

c)

y=

3 x x + 1
2x 1

a)

x 2 + 3x + 3
x +1

x2
y=
x +1

2

d)
e)
Bài 3. Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm tơng ứng

y=

x 2 3x
x 1

y = 2 x3 + 3x 2 1

2

d)

e)
Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau

a)

c)

y = 2 x + 3x 1

2

x2
y=
x 1

y=

y = 2 x 4 + 3 x 2 4
f)

tại điểm x0 = -1

y = x 5x + 4
4

b)

2

tại điểm x0 = 2

6


y=

2 3
x − 5x 2 + 2 x + 4
3

x0 = 3

c)
t¹i ®iÓm
.
Bµi 4. Gi¶i ph¬ng tr×nh y’ = 0 trong c¸c trêng hîp sau

a)

x 2 + 3x + 3
y=
x +1

b)

y = x − 5x + 4
4

2x2 + 2
y=
−x + 1

y = x3 − 3x 2 + 2
c)

y = −2 x − x + 4

2

4

y = − x3 − 3x + 2

2

d)
e)
Bµi 5: Tính đạo hàm của các hàm số

a)

f)

1
2
3
y = x5 + x 4 − x3 − x 2 + 4 x − 5
2
3
2

y=
b)

1
y = 2x 4 − x3 + 2 x − 5
3
c)
3
2
y=
− x + x x.
2
3
x
e)

d)

1 1
− x + x 2 − 0,5 x 4
4 3

x 4 x3 x2
y = − + − x + a3
4 3 2

(a const)

1
y = 2x 4 − x3 + 2 x − 5

3
f)

y = x5 − 4 x3 + 2 x − 3 x
g)
Bài 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2
− x 2 + 5x − 4
a) y = (x + 3x)(2 − x)
y=
3x − 6
i)
b)
j)
y = (2 x − 3)( x 5 − 2 x)
 1

p)

c)

q)

y = ( x + 1)(5 − 3 x )
2

d)

2

y = x(2 x − 1)(3 x + 2)

(

)


x +1 
− 1÷
 x

3
y=
2x
+1
k)
2x + 1
y=
1 − 3x
l)
y=

y=

1 + x − x2

2
x − 3x + 3
y=
f) y = x x

x −1
n)
2x −1
y=
2x 2 − 4x + 1
4x − 3
y=
g)
x−3
o)
2 x + 10
y=
4x − 3
h)
Bài 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
e)
y = ( x 7 + x) 2

x − 2x − 3

2x −1
x −1

u)

y=

2x
2
x −1

v)
w)

y=

2

5x − 3
x2 + x + 1

y = ( x − x + 1) ( x + x + 1)

y = (2 x3 − 3 x 2 − 6 x + 1) 2
y = (1 − 2 x 2 )3
c)

y = ( x − x 2 )32

2x2 − 4x + 5
y=
2x + 1
x)

x2 + x + 1
y= 2
x − x +1

x2 + x − 1
y=

x −1

3

2
4
f) y = (x + x + 1)
2 5

g) y = (1 − 2x )

3

 2x + 1 
y=
÷
 x −1 
h)

2

y=

2

i)
y=

j)

2
x −1

x2 + 2 x + 2
y=
x +1

t)

2

a)
b)

y = x +1−

2

y=

r)
s)

y=
e)
1 − x + x2
2
2
m)
y = ( x − 2 x + 3).(2 x + 3)

2x 2

(x + 1)2
(x − 1)3
1
2

(x − 2x + 5)2

2)
(
k) y = 3 − 2x

4

d)
7


y=
k)

1
( x 2 − x + 1)5

y=
l)

1− x

2+ x

5x 2 − 4 x − 9
y=
− 2 x 2 + 3x − 8
m)

n)
y = (1 + 2 x)( 2 + 3 x 2 )(3 − 4 x 3 )
o)

y=

( 2 − x 2 )(3 − x 3 )
1− x + x2

8


NGUYỄN THỊ THU HƯỜNG

THPT MÊ LINH -0982586829

f ( x) = 3 x − 2 x
Bài 8: Cho hàm số

f '(4); f '( a 2 )
. Tính

trong đó a là hằng số khác 0

y = f ( x) = ax + bx + cx + d
3

2

Bài 9: Tính đạo hàm của hàm số đa thức

y = f ( x) =

ax + b
cx + d

y = f ( x) =

ax + bx + c
mx + n

Bài 10: Cho hàm số

Bài 11: Cho hàm số

f '( x)
(a, b, c, d là hằng số). Tính

2

f '( x)
(a, b, c, m, n là hằng số). Tính

9

9


NGUYN TH THU HNG

THPT Mấ LINH -0982586829

Chng II: Tip tuyn ca th hm s
I. Kiến thức cơ bản.
1. Bảng đạo hàm các hàm số cơ bản.
Hàm số
Đạo hàm
(y = f(x))
(y = f(x))

Hàm số

Đạo hàm

1
cos 2 x

y=c

0

y = tanx

y=x

1

y = cotx

y = xn

nxn-1

y = ex

ex

y = 1/x



1
x2

y = ax

ax. lna

2 x

y = lnx

1/x

cosx

y = logax

ln a
x

y= x

1

y = sinx



1
sin 2 x

y = cosx
-sinx
2. Đạo hàm của hàm hợp.
Ta xét hàm số y = f(u(x)). Ta tính đạo hàm của hàm số đã cho theo x nh sau

y x' = f x' = f u' .u x'
Bảng đạo hàm của hàm số hợp
Hàm số
Đạo hàm
y = un

y = 1/u

n.un-1.u



1
.u '
u2

1

Hàm số

Đạo hàm

y = tanu

1
cos 2 u

y = cotu



. u

1
sin 2 u

. u

.u '

y = eu

u.eu

y = sinu

u.cosu

y = au

u.au. lna

y = cosu

- u.sinu

y = lnu

1
.u '
u

y = logau

ln a
.u '

u

y= u

2 u

Chú ý: Khi áp dụng tính đạo hàm của hàm hợp ta chú ý ban đầu tính đạo hàm của hàm số theo biến u
rồi nhân với đạo hàm của hàm số u theo biến x.
3. Các phép toán đạo hàm.
Cho hai hàm số y = u(x), y = v(x). Khi đó
*) (u + v) = u + v
10


NGUYN TH THU HNG
*) (u - v) = u v
*) (uv) = uv + vu
*) (ku) = k.u ( k là hằng số)

THPT Mấ LINH -0982586829

'

u u 'v v 'u
ữ=
v2
v

*)
4. Đạo hàm bậc cao của hàm số.

Đạo hàm bậc n của hàm số y = f(x) là đạo hàm bậc 1 của đạo hàm bậc n 1 của hàm số y =
f(x) ( n > 1).
II. Các dạng toán cơ bản.
1. Dạng 1. Tính đạo hàm của hàm số.
Phơng pháp. Ta vận dụng các quy tắc và phép tính đạo hàm, đặc biệt là đạo hàm của hàm hợp. Nếu
yêu cầu tính đạo hàm tại một điểm ta cần tính đạo hàm rồi thay vào đe đợc kết quả.
Ví dụ 1. Tính đạo hàm các hàm số sau

y = x3 2 x 2 + 3x + 4

y = sin x cos x + tan x

a)

b)

y = cot x 3 x + 2

y= x +2 x
4

c)
a) Ta có

d)

Giải

y ' = ( x3 2 x 2 + 3x + 4 ) = 3 x 2 4 x + 3
'

b) Ta có

y ' = ( sin x cos x + tan x ) = cos x + sin x +
'

c) Ta có

(

)

1
cos 2 x

1
x

'

y ' = x 4 + 2 x = 4 x3 +
d) Ta có

y ' = ( cot x 3x + 2 ) =
'

1
3
sin 2 x

Ví dụ 2. Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm tơng ứng.

y = x3 + 3 x 2 4 x + 1
a)

tại x0 = -1.

x0 =

y = sin 2 x + cos x
b)

tại


4

.

y = x 2x
c)
a) Ta có

tại x0 = 2 .

Giải

y ' = ( x 3 + 3x 2 4 x + 1) = 3x 2 + 6 x 4
'

b) Ta có

y ' (1) = 3 6 4 = 13
suy ra

y ' = ( sin 2 x + cos x ) = 2cos 2 x sin x
'

2



y ' ữ = 2cos ữ sin ữ =
4
2
4 2

suy ra
c) Ta có

11


NGUYỄN THỊ THU HƯỜNG

y' =

(

)

THPT MÊ LINH -0982586829

1

'

x − 2x =

2 x

VÝ dô 3. TÝnh ®¹o hµm c¸c hµm sè sau

2x −1
y=
x+2

a)

b)

1

y' ( 2) =

−2

2 2

suy ra

x 2 + 3x − 1
y=
x +1

1− 4 2
2 2

y = x 4 + 3x 2 + 2
c)

y = sin(2 x + 1) + cos(1 − x)

y = 3x + 2

d)

e)

y = x2 + 4x + 1

y = tan( x 2 + 2 x + 1)

f)
a) Ta cã

−2=

g)
Gi¶i

5
 2 x − 1  ( 2 x − 1) ( x + 2 ) − ( 2 x − 1) ( x + 2 ) 2 x + 4 − 2 x + 1
y =
=
=
÷=
2
2
2
 x+2 
( x + 2)
( x + 2)
( x + 2)
'

'

'

'

b) Ta cã
'

 x 2 + 3 x − 1  (2 x + 3)( x + 1) − ( x 2 + 3 x − 1) x 2 + 2 x + 4
y =
=
÷=
2

2
( x + 1)
( x + 1)
 x +1 
'

c) Ta cã

y ' = ( x 4 + 3x 2 + 2 ) = 4 x3 + 6 x
'

d) Ta cã

y ' = ( sin(2 x + 1) + cos(1 − x ) ) = 2cos(2 x + 1) + sin(1 − x)
'

e) Ta cã

y' =

(

3x + 2 =

y =

(

x + 4x + 1 =

f) Ta cã
'

)

2

'

3
2 3x + 2

)

2x + 4

'

2 x2 + 4 x + 1

g) Ta cã

(

)

y ' = tan( x 2 + 2 x + 1) =
1
x
=

=
2
2
cos ( x + 2 x + 1)
2x +

(

'

=

a)

x2 + 4 x + 1

)

x2 + 2 x + 1

'

cos 2 ( x 2 + 2 x + 1)

2x x + 1
x cos 2 ( x 2 + 2 x + 1)

2. D¹ng 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh y’ = 0.
Ph¬ng ph¸p. Ta tÝnh y’ sau ®ã gi¶i ph¬ng tr×nh
VÝ dô 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh y’ = 0 biÕt.

x2
y=
x −1

x+2

y’ = 0.

y = x3 − 3x 2
b)

y = 4 x3 − 12 x 2 + 9 x − 1
c)
12


NGUYỄN THỊ THU HƯỜNG

THPT MÊ LINH -0982586829

x + 2x + 2
y=
x +1
2

d)

e)

x 2 + 3x + 3
y=
x +1
x +x+2
y=
x −1

f)

2

y = − x4 − 2x2 + 3
g)

h)

Gi¶i

a) Ta cã
'

 x2  x2 − 2 x
y =
÷=
2
 x − 1  ( x − 1)

y =0⇔

'

'

x2 − 2 x

( x − 1)

2

i)

x4
5
y = − 3x 2 +
2
2

2x2 + x
y=
x +1

x = 0
= 0 ⇔ x2 − 2x = 0 ⇔ 
x = 2

suy ra
V©y ph¬ng tr×nh y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x = 0 vµ x = 2.
b) Ta cã

y = ( x − 3x

'

3

)

2 '

= 3x − 6 x
2

x = 0
y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6 x = 0 ⇔ 
x = 2

suy ra
V©y ph¬ng tr×nh y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x = 0 vµ x = 2.
c) Ta cã

y ' = ( 4 x 3 − 12 x 2 + 9 x − 1) = 12 x 2 − 24 x + 9
'

Suy ra

3

x=

2
y ' = 0 ⇔ 12 x 2 − 24 x + 9 = 0 ⇔ 

x = 1

2

V©y ph¬ng tr×nh y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt
d) Ta cã

3
1
x= ,x=
2
2

'

 x2 + 2x + 2  x2 + 2x
y =
÷=
x + 1  ( x + 1) 2

'

y =0⇔
'

x = 0
2
=
0
⇒

x
+
2
x
=
0
⇔
2
 x = −2
( x + 1)

x2 + 2x

suy ra
VËy ph¬ng tr×nh y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x = 0 vµ x = -2.
e) Ta cã
'

 x 2 + 3x + 3  x 2 + 2 x
'
y =
÷=
2
x
+
1

 ( x + 1)
y =0⇔
'

x = 0
2
=
0
⇒
x
+
2
x
=
0
⇔
2
 x = −2
( x + 1)

x2 + 2x

suy ra
VËy ph¬ng tr×nh y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x = 0 vµ x = -2.
f) Ta cã

13


NGUYN TH THU HNG

THPT Mấ LINH -0982586829

'

x4
5
y = 3x 2 + ữ = 2 x 3 6 x
2
2
'

Suy ra

x = 0
y ' = 0 2 x3 6 x = 0
x = 3
x = 0, x = 3

Vậy phơng trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt
g) Ta có

.

y ' = ( x 4 2 x 2 + 3 ) = 4 x 3 4 x
'

y ' = 0 4 x3 4 x = 0 x = 0
Suy ra
Vậy phơng trình y = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.
h) Ta có
'

x2 + x + 2 x2 2 x 3
y =
ữ=
2
( x 1)
x 1
'

y =0
'

'

x2 2x 3

( x 1)

2

x = 1
= 0 x2 2 x 3 = 0
x = 3

Suy ra
Vậy phơng trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt x = -1 và x = 3.
i) Ta có
'

2 x2 + x 2 x2 + 4 x + 1
'

y =
ữ=
2
x
+
1
( x + 1)



2 2
x=

2x + 4x + 1
2
y' = 0
= 0 2x2 + 4x + 1 = 0
2

( x + 1)
2 + 2
x =

2
2

Suy ra

x=

2 2
2 + 2
,x=
2
2

Vậy phơng trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt
3. Dạng 3: Chứng minh đẳng thức về đạo hàm.
Phơng pháp: Tính đạo hàm và sử dụng các phép biến đổi đặc biệt là về hàm lợng giác.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng
a) y y2 -1 = 0 với y = tanx.
b) y + 2y2 + 2 = 0 với y = cot2x.
c) y2 + 4y2 = 4 với y = sin2x.
Giải

y' =
a) Ta có
Khi đó

1
cos 2 x

14


NGUYN TH THU HNG

THPT Mấ LINH -0982586829

1

sin x
1 sin 2 x cos 2 x
y y 1 =

1 =
cos 2 x cos 2 x
cos 2 x
1 ( sin 2 x + cos 2 x )
11
=
=
=0
cos 2 x
cos 2 x
'

2

2

Vậy ta có điều cần chứng minh.

y' =
b) Ta có
Khi đó

2
sin 2 2 x

2 + 2 ( sin 2 2 x + cos 2 2 x )

2
2cos 2 2 x
y + 2y + 2 = 2 +
+2=
=0
sin 2 x sin 2 2 x
sin 2 2 x
'

2

Vậy ta có điều cần chứng minh.
c) Ta có
y = 2cos2x

(y)

' 2

+ 4 y 2 = 4cos 2 2 x + 4sin 2 2 x = 4

Khi đó
Vậy ta có điều cần chứng minh.

Bài tập tự luyện. Phn o hm ( bui 7 hố 2016)
Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau
15


NGUYN TH THU HNG

THPT Mấ LINH -0982586829

x + x +1
y=
x +1
2

a)

b)

y = x x +1
4

x2 2x + 2
y=
x 1

c)

y = 2 x + 3x 1

2

3

a)

x2

y=
x 1
y=

y = 2 x3 + 3x 2 1

2

d)
e)
Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau

f)

y = x3 3x 2 + 2
b)

3 x + 1
x+2

c)

y=

3 x x + 1
2x 1

a)

x2

y=
x +1

2

y = 2 x 4 + 3 x 2 4

d)
e)
Bài 3. Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm tơng ứng

x 2 + 3x + 3
y=
x +1

x 2 3x
y=
x 1

f)

tại điểm x0 = -1

y = x 5x + 4
4

2

b)

tại điểm x0 = 2

y=

2 3
x 5x 2 + 2 x + 4
3

x0 = 3

c)
tại điểm
.
Bài 4. Giải phơng trình y = 0 trong các trờng hợp sau

a)

x 2 + 3x + 3
y=
x +1

b)

y = x 5x + 4
4

2

2x2 + 2
y=

x + 1

y = x3 3x 2 + 2
c)

y = 2 x x + 4
4

y = x3 3x + 2

2

d)
e)
Bài 5: Tớnh o hm ca cỏc hm s

a)

1
2
3
y = x5 + x 4 x3 x 2 + 4 x 5
2
3
2

1
y = 2x 4 x3 + 2 x 5
3
c)

3
2
y=
x + x x.
2
3
x
e)

f)

1 1
x + x 2 0,5 x 4
4 3

y=
b)

d)

x 4 x3 x2
y = + x + a3
4 3 2

(a const)

1
y = 2x 4 x3 + 2 x 5
3
f)

y = x5 4 x3 + 2 x 3 x
g)
Bi 6: Tớnh o hm ca cỏc hm s sau:
2
d)
a) y = (x + 3x)(2 x)

y = x(2 x 1)(3 x + 2) h)

b)
y = (2 x 3)( x 5 2 x)
c)

y = ( x 2 + 1)(5 3 x 2 )

y=

2 x + 10
4x 3

x + 5x 4
e)
y=
3x 6
y = ( x 2 2 x + 3).(2 x 2 + 3) i)
j)
2
f) y = x x
1

y = x +1
1ữ
2x 1
y=
x

4x 3
g)

)

3
2x + 1

y=

2x + 1
1 3x

k)

2

(

y=

l)

m)
n)

y=

y=

1 + x x2
1 x + x2

x2 3x + 3
x 1

16


NGUYỄN THỊ THU HƯỜNG
y=

o)

p)

q)

2

2x − 4x + 1
x−3

y=

2x 2
x2 − 2x − 3

y=
r)
s)

2x −1
y=
x −1

y=

THPT MÊ LINH -0982586829
t)
2x

x2 − 1

y=

5x − 3
2
x + x +1

x + x −1
x −1

y = x +1−
u)

v)

w)

2

y=

2x2 − 4x + 5
2x + 1

x)

2
x −1

x2 + x + 1
y= 2
x − x +1

x2 + 2 x + 2
y=
x +1

Bài 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

y = ( x 7 + x) 2

a)
b)

2
4
f) y = (x + x + 1)

2 5
g) y = (1 − 2x )

y = (2 x3 − 3 x 2 − 6 x + 1) 2
y = (1 − 2 x 2 )3

3

 2x + 1 
y=
÷
 x −1 
h)
y=

c)

y = ( x − x 2 )32
d)
e)

y = ( x 2 − x + 1)3 ( x 2 + x + 1) 2

i)
y=

j)

2

(x + 1)

(x − 1)3
1
2

(x − 2x + 5)2

(
k) y = 3 − 2x

2

)

4

y=

1
( x 2 − x + 1)5

k)

y=
l)

1− x
2+ x

5x 2 − 4 x − 9
y=
− 2 x 2 + 3x − 8
m)
n)
y = (1 + 2 x)( 2 + 3 x 2 )(3 − 4 x 3 )
( 2 − x 2 )(3 − x 3 )
y=
1− x + x2
o)

17


NGUYỄN THỊ THU HƯỜNG

THPT MÊ LINH -0982586829

f ( x) = 3 x − 2 x
Bài 8: Cho hàm số

f '(4); f '( a 2 )
. Tính

trong đó a là hằng số khác 0

y = f ( x) = ax + bx + cx + d
3

2

Bài 9: Tính đạo hàm của hàm số đa thức

y = f ( x) =

ax + b
cx + d

y = f ( x) =

ax + bx + c
mx + n

Bài 10: Cho hàm số

Bài 11: Cho hàm số

f '( x)
(a, b, c, d là hằng số). Tính

2

f '( x)

(a, b, c, m, n là hằng số). Tính

18

18


NGUYN TH THU HNG

THPT Mấ LINH -0982586829

I. Kiến thức cơ bản.
1. Tiếp tuyến tại một điểm: Cho hàm số y= f(x) (C), x0 là một điểm thuộc vào TXĐ của hàm số trên
và tồn tại đạo hàm tại đó. Khi đó ta có tiếp tuyến với (C) tại điểm
(x0; f(x0)) có phơng trình là y = y/(x0)(x-x0) + f(x0)
Nhận xét: ở trên ta có y/(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến. Ta cần tìm đợc hệ số góc và tiếp điểm trong
trờng hợp này nếu muốn viết phơng trình tiếp tuyến với đờng cong nào đó. Các bài tập hay gặp
trong phần này: Cho hoành độ tiếp điểm; tung độ tiếp điểm; hay tại giao điểm của đồ thị hàm số
với đờng thẳng nào đó.
2. Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị.
Cho hai hàm số y = f(x) (C1), y = g(x) (C2).

f ( x) = g ( x)
'
'
f ( x) = g ( x)

Khi đó (C1) tiếp xúc với (C2) khi và chỉ khi hệ phơng trình
có nghiệm.
Chú ý:

+ Nếu hai đồ thị (C1) và (C2) là hai đờng cong thì chúng tiếp xúc với nhau tại hai điểm khi hệ
trên có hai nghiệm phân biệt.
+ Nếu một trong hai đờng là đờng thẳng thì để có hai tiếp tuyến ta cần hệ trên có hai nghiệm
phân biệt.
II. Dạng toán cơ bản.
1. Dạng 1. Viết phơng trình tiếp tuyến tại một điểm.
Phơng pháp: Ta cần tìm đợc toạ độ tiếp điểm dựa vào các dữ kiện bài toán đã cho.
Nhận xét: Trong dạng này ta thờng gặp các trờng hợp sau
+ Cho biết tọa độ của tiếp điểm.
+ Cho biết hoành độ của tiếp điểm hoặc điều kiện nào đó để tìm đợc hoành độ tiếp điểm.
+ Biết tung độ tiếp điểm hoặc điều kiện nào đó để tìm đợc tung độ tiếp điểm.
+ Tiếp điểm là giao điểm của đồ thị với một đồ thị khác. Khi đó ta cần giải hệ phơng trình để
tìm toạ độ của tiếp điểm.
2. Dạng 2. Tiếp tuyến đi qua một điểm: Cho hàm số y= f(x) (C) viết phơng trình tiếp tuyến với (C)
đi qua điểm M(xM; yM)
Phơng pháp:
Cách 1: Tìm tiếp điểm
Giả sử tiểp tuyến với (C) cần tìm có tiếp điểm là M0(x0; y0). Khi đó tiếp tuyến cần tìm có phơng trình y = f/(x0)(x-x0) + f(x0).
Mà tiếp tuyến đi qua điểm M(xM; yM) suy ra yM = f/(x0)(xM-x0) + f(x0) giải phơng trình này ta tìm đợc
hoành độ tiếp điểm sau đó tìm y0 = f(x0) rồi viết phơng trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng 1.
Cách 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc
Giả sử đờng thẳng qua M(xM; yM) có hệ số góc k khi đó nó có phơng trình
y = k(x-xM) + yM

f ( x ) = k ( x xM ) + y M
/
f ( x) = k
Ta có đờng thẳng y = k(x-xM) + yM là tiếp tuyến của đờng cong (C)
giải hệ này ta tìm đợc hoành độ của tiếp điểm sau đó viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng.
Nhận xét: ở trên có bao nhiêu nghiệm x ta có bấy nhiêu tiếp tuyến đi qua điểm M.

3. Dạng 3. Tiếp tuyến cho trớc hệ số góc:
Phơng pháp.
Cách 1. Tìm tiếp điểm
Giả sử tiếp tuyến cần tìm có tiếp điểm là M0(x0; y0). Khi đó tiếp tuyến cần tìm có phơng trình y = f/(x0)(x-x0) + f(x0).
Khi đó theo giải thiết ta có f/(x0) = k. Giải phơng trình này ta tìm đợc hoành độ tiếp điểm sau đó tìm y0
= f(x0) rồi viết phơng trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng 1.
Nhận xét: Trong dạng này ta có thể gặp các bài tập nh sau:
*) Tiếp tuyến có hệ số góc k khi đó ta tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phơng trình f/(x0) = k
sau đó viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng.

19

19


NGUYN TH THU HNG

THPT Mấ LINH -0982586829



1
a

*) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = ax + b khi đó tiếp tuyến có hệ số góc là k =
sau tìm
tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phơng trình f/(x0) = k và viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng.
*) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = ax+ b khi đó tiếp tuyến có hệ số góc là k= a sau đó tìm
tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phơng trình f/(x0) = k và viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng.

*) Tiếp tuyến tạo với chiều dơng trục hoành góc
khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là k = tan sau
đó tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phơng trình f/(x0) = k và viết phơng trình tiếp tuyến tơng
ứng.
*) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y = ax +b một góc



khi đó hệ số hóc của tiếp tuyến là k thoả mãn

k a
= tan
1 + ka
hoặc chúng ta dùng tích vô hớng của hai véctơ pháp tuyến để tìm hệ số góc k sau
đó tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phơng trình f/(x0) = k và viết phơng trình tiếp tuyến tơng
ứng.
III. Ví dụ.

y = f ( x) = x 3 + 2 x 2 + x 4 (C )
Ví dụ 1: Cho hàm số

. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết

2
a) Hoành độ tiếp điểm lần lợt là -1; 3;
b) Tung độ tiếp điểm lần lợt là -4.

c) Tiếp điểm là giao của (C) với trục hoành.
TXĐ:

Giải

D=Ă
y / = f / ( x) = 3 x 2 + 4 x + 1

Ta có

f / ( x0 ) = f / (1) = 0
a) Với hoành độ tiếp điểm x0 = -1 ta có y0 = f(x0) = f(-1) = - 4;
tuyến với (C) khi đó có phơng trình y = f/(-1)(x+1) 4 hay y = - 4

suy ra tiếp

f / ( x0 ) = f / (3) = 40
Với hoành độ tiếp điểm x0 = 3 ta có y0 = f(x0) = f(3) = 44;
với (C) khi đó có phơng trình y = f/(3)(x-3) + 44 hay y = 40x 76
b) Với tung độ tiếp điểm y0 = - 4 ta có x0 = -1 hoặc x0 = 0

suy ra tiếp tuyến

f / ( x0 ) = f / (1) = 0
Với hoành độ tiếp điểm x0 = -1 ta có
ơng trình y = f/(-1)(x+1) 4 hay y = - 4

suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có ph-

f / ( x0 ) = f / (0) = 1

Với x0 = 0 ta có
suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phơng trình y = f/(0)(x+1)
4 hay y = x 3.
c) Giao điểm của (C) với trục hoành có hoành độ là nghiệm của phơng trình

y = 0 x 3 + 2 x 2 + x 4 = 0 ( x 1)( x 2 + 3 x + 4) = 0 x = 1
f / (1) = 8
Khi đó

suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phơng trình y = f/(1)(x-1) hay y = 8x 8.

y = f ( x) = x3 m( x + 1) + 1
Ví dụ 2: Cho hàm số
(Cm). Viết phơng trình tiếp tuyến của (Cm) tại
giao điểm của nó với Oy, tìm m để tiếp tuyến trên chắn trên hai trục tạo ra một tam giác có diện tích
bằng 8.
Giải

20

20


NGUYN TH THU HNG

THPT Mấ LINH -0982586829

D=Ă

TXĐ:

Ta có (Cm) giao với Oy tại điểm A(0; 1 -m)

y / = f / ( x) = 3x 2 m
. Khi đó tiếp tuyến cần tìm là y = y/(0)x +1 m hay y =-mx +1-m

1 m
B(
; 0) (m 0)
m

Tiếp tuyến trên cắt trục hoành tại điểm

suy ra

1
1
1 m
| y A | .| xB |= |1 m | . |
|= 8 16 | m |= m 2 2 m + 1
2
2
m
m = 9 4 5
16m = m 2 2m + 1 m2 + 14m + 1 = 0




2
2

16
m
=
m

2
m
+
1
m

18
m
+
1
=
0


m = 7 4 3
SOAB =

Với m = 0 thì đồ thị hàm số đã cho không cắt trục hoành suy ra không tồn tại tam giác OAB. Vậy với

m = 9 4 5

m = 7 4 3
thì tiếp tuyến cần tìm cắt hai trục tọa độ tạo ra tam giác có diện tích bằng 8.

y = f ( x) = x 3 3x 2 (C )

Ví dụ 3: Cho hàm số
a) Tiếp tuyến đó có hệ số góc k = 9

viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết

1
y= x
3
b) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng

D=Ă

Giải

y = f ( x) = 3 x 6 x
/

/

3

TXĐ:
. Ta có
a) Gọi A(xA; yA) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm khi đó ta có

x A = 1
f / ( x A ) = 3 x A2 6 x A = 9 3x A2 6 x A 9 = 0
xA = 3
x A = 1

y A = 4

Với
ta có
khi đó tiếp tuyến với (C) cần tìm là y = 9(x+1) 4 hay
y=9x+5.
Với xA = 3 ta có yA = 0 khi đó tiếp tuyến với (C ) cần tìm là y =9(x-3) hay y= 9x 27
Vậy có hai tiếp tuyến với (C) có hệ số góc là k = 9 là
y=9x+5 và y= 9x 27.
b) Gọi M(xM ;yM) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm.

1
y= x
3
Tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đờng thẳng
k = -3 (Làm tơng tự nh phần a)

suy ra hệ số góc của nó là

y = 2 x3 3 x 2 12 x 5
Ví dụ 4: Cho hàm số
(C). Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) trong các
trờng hợp sau
a) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 6x 4.

21

21

NGUYN TH THU HNG

THPT Mấ LINH -0982586829

b) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng

1
y = x+5
2
Giải

một góc 450.

y / = 6 x 2 6 x 12

D=Ă

TXĐ:
. Ta có
a) Vì tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 6x 4 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6.
Gọi M0(x0; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Khi đó ta có


1 13
x0 =
2
y / ( x0 ) = 6 6 x02 6 x0 12 = 6 x02 x0 3 = 0

1 + 13
x0 =

2

x0 =
Với

1 13
2

y = 6( x
x0 =
Với

ta có

20 13 23
2

khi đó tiếp tuyến cần tìm là

1 13 20 13 23
26 13 29
)+
y = 6x +
2
2
2

1 + 13
2

y = 6( x

y0 =

y0 =
ta có

7 13 + 23
2

khi đó tiếp tuyến cần tìm là

1 + 13 7 13 + 23
13 13 + 29
)
y = 6x
2
2
2

b) Vì tiếp tuyến cần tìm tạo với đờng thẳng
tuyến là k thoả mãn

1
y = x+5
2

một góc 450 suy ra hệ số góc của tiếp

1
1

2 = tan 450 2k + 1 = 1 2k + 1 =| 2 k | 2k + 1 = 2 k k = 3
2k + 1 = k 2
k
2k

1
k = 3
2
k+

sau đó làm tơng tự nh phần a (Tìm tiếp điểm).

y = 2 x 3x + 5
3

Ví dụ 5: Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) :

Giả sử đờng thẳng đi qua

y = kx + 4

19
A ; 4 ữ
12

Giải

2

đi qua điểm

19
A ; 4 ữ
12

.

có hệ số góc k, khi đó nó có dạng

19
k
12

(d)
Ta có (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phơng trình sau có nghịêm

22

22


NGUYN TH THU HNG

THPT Mấ LINH -0982586829

19
3

2
2 x 3 x + 5 = kx + 4 k (1)
12

6 x 2 6 x = k (2)

Thay (2) vào (1) ta có

2 x3 3 x 2 + 5 = (6 x 2 6 x ) x + 4

19
(6 x 2 6 x) 8 x 3 25 x 2 + 19 x 2 = 0
12


x =1

( x 1)(8 x 2 17 x + 2) = 0 x = 4

1
x =
8


Vậy có ba tiếp tuyến với (C) đi qua điểm

19
A ; 4 ữ
12

( Tự viết phơng trình tiếp tuyến).

y = x + 3 x + 3 x + 5 (C )
3

2

Ví dụ 6. Cho hàm số
a) CMR: Không tồn tại hai điểm nào trên (C ) sao cho tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc
với nhau.
b) Tìm k sao cho trên (C) có ít nhất một điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với đờng
thẳng y = kx + m.
Giải
a) Giả sử trên (C) có hai điểm M1(x1; y1) và M2(x2; y2) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vuông góc với nhau.
Ta có y = 3x2 + 6x + 3 = 3(x+1)2.
Khi đó ta có

-1 = y'(x1 ).y'(x1 ) = 9.(x1 +1) 2 .(x 2 + 1) 2 0 1 0
Suy ra giả sử là sai hay ta có điều cần chứng minh.
b)

vô lý

1
3
Ví dụ 7. Cho hàm số y = x3 - x2 có đồ thị (C)
Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A(3; 0).
Giải
Đờng thẳng () đi qua A(3; 0) và có hệ số góc k có dạng: y = k(x - 3)
+) () là tếp tuyến với (C)

k = x2 2 x

1 3
2
x x = k ( x 3)
3

Thế (1) vào (2):

(1)
(2)
Hệ có nghiệm.

1 3
x x 2 = ( x 2 2 x )( x 3)
2

23

23


NGUYN TH THU HNG



2x3 -12x2 + 18x = 0

+) Với x1 = 0

k1 = 0





THPT Mấ LINH -0982586829

x = 0

x = 3
PTT2: y = 0



+) Với x2 = 3
k2 = 3
PTT2: y = 3x - 9.
Vậy có hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho thoả mãn yêu cầu bài toán
y = 0 và y = 3x 9.

Ví dụ 8. Tìm a để đồ thị hàm số

x2 x + 1
y=
x 1

(C) tiếp xúc với (P) : y = x2 + a.
Giải

Điều kiện tiếp xúc của đồ thị (C) với (P)
Hệ có nghiệm




x2 2 x
(1)
2x = ( x 1)2


2
x x + 1 = x 2 + a (2)
x 1



Giải (1)
x = 0 Thế vào (2)
a=-1
Vậy với a = -1 đồ thị (1) tiếp xúc với (P).

x2 2x + 2
y=
x 1

Ví dụ 9. Cho đờng cong

(C)
Tìm các điểm trên Ox từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến với (C) mà hai tiếp tuyến này
vuông góc với nhau.
Giải:
Gọi M(a; 0) Ox; là đờng thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x - a)

() là tiếp tuyến của (C)

1

k
=
1


( x 1)2

k ( x a ) = x 1 + 1
x 1



(1)
(I)
(2)
Hệ có nghiệm.

1

k

(
x

1)
=
x

1

(1)

x 1

k ( x a) = x 1 + 1 (2)

x 1


24

24


NGUYN TH THU HNG

(2) - (1)

1
k (1 a)
=

(3)
2
x 1

THPT Mấ LINH -0982586829

k 1


k 2 (1 a)2
(4)
k = 1

4
Kết hợp (3) và (1) ta có:
(4)



k2(1 - a)2 + 4k - 4 = 0

Từ M kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C)
k1.k2 = -1.

a 1

4
= 1
2

(1 a)



Hệ trên có hai nghiệm phân biệt k1, k2 và

a 1

a = - 1, a = 3

Vậy các điểm cần tìm là (-1; 0); (3; 0)
Nhận xét: Từ hệ (I) ta phải biến đổi thành hệ tơng đơng mà chỉ có a và k. Nhận thấy nếu tính đợc

1
x 1

theo a và k thay vào phơng trình (1) thì đợc một hệ mới tơng đơng trong đó có một phơng trình chỉ chứa a và k từ đó ta có phép biến đổi nh trên và cách giải này là ngắn gọn.

y=

x2 2x + 2
x 1

Ví dụ 10. Cho đờng cong
(C)
Tìm các điểm trên mặt phẳng toạ độ mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến góc với (C), hai tiếp tuyến này
vuông góc với nhau.
Giải:
() là đờng thẳng đi qua M(a; b) và có hệ số góc k nên PT (): y = k(x - a) + b.

() là tiếp tuyến của (C)

1

k
=
1


( x 1)2

k ( x a) + b = x 1 + 1
x 1


1

k
(
x

1)
=
x

1


x 1

k ( x a) + b = x 1 + 1

x 1


25

(1)
(2)
Hệ có nghiệm.

(3)
(4)

25