Tự chọn : Chủ dề về căn bậc hai

Chủ đề 1 : CĂN THỨC – BIẾN ĐỔI CĂN THỨC
I . KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Đònh nghóa về căn bậc hai : a ∈ R và a ≥ 0
x = a ≥ 0 gọi là căn bậc hai số học của a ⇔ x
2
= a
Từ đònh nghóa trên cho ta biết : Với mọi số dương ta đều viết dưới dạng bình phương của một số
không âm . Có nghóa là nếu a ≥ 0 thì ( a )
2
= a
2. Căn thức bậc hai :
Điều kiện để
A
có nghóa ⇔ A ≥ 0
Từ đó ta có : nếu A ≥ 0 thì (
A
)
2
= A
Hằng đẳng thức :
2
A neu A 0
A A
A neu A 0
≥

= =

− <


3. Quy tắc biến đổi căn thức : A ≥ 0 , B > 0
a.
A . B AB=
. Từ đó suy ra
2
A B A B=
b.
A A
B
B
=
. Từ đó suy ra
A AB
B B
=
và
A AB
B
B
=
II. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
A. Dạng về tính toán liên quan đến căn thức :
Với dạng này khi làm bài tập cần thực hiện các phép biến đổi đơn giản về căn thức để rút gọn các
biểu thức .
Bài 1 : Tính
a. 3 18 32 4 2 162− + + b. 2 48 4 27 75 12− + +
c. 80 20 5 5 45+ − − d. 3 32 128 18− +
Bài 2 : Tính
a.
2 2

(5 2 3) (3 2 3)− − +
b.
2
( 5 2) (2 5 1)(2 5 1) 40+ − + − −
c.
2 2
3 4 2 11
( 2 1) ( 2) 1 . 2
2 5 25
− − − + +
d.
( 5 3 2)( 5 3 2) 48+ − − + +
e.
1
6 3 3 5 2 8 .2 6 5 3
2
 
− + − −
 ÷
 
f.
( )
2
2 3 3 2 2 6 3 24− + +
Bài 3 : Chứng minh rằng
a.
4 1 1
3 2 3 1,2 2 4 4
3 3 5
  

+ + + − =
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
b.
3 2 3 2
6 2 4 3 12 6 2
2 3 2 3
  
+ − − − = −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
c.
( )
1 2
15 2 6 201
5 2 6 5 2 6
 
+ + =
 ÷
− +
 
Bài 4 . Tính giá trò của các biểu thức sau :
a.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
6 3 1 3 3 1 3 2 1− − − + + +
b.
( ) ( ) ( ) ( )

2 2
7 14 1 7 7 1 3 3 6− + + − + + +
c.
( ) ( ) ( ) ( )
2
5 2 3 5 2 3 14 3 1 7 1,5 2+ − − − − −
d.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2 4 4 2 2 28 3 5 4 2 3 5 4 2− − − + − − +
A. Phân tích ra thừa số
Bài 1 : Viết các biểu thức sau thành tích :
a. 5 5+ b. 5 3 3 5− c. 5 2 6− d. 14 6 5−
e.
ab 2 a 3 b 6+ − −
f.
2
x x−
( x > 0)
g.
x x 2x 9 x 18− − +
( x > 0) h.
x 3 x 2− +
( x > 0) i.
x 3 x 2− +
( x > 0)
k.
6 xy 4x x 9y y 6xy− − +
( x > 0 , y > 0)
Bài 2 . Giải phương trình

a.
x 4 5 x+ =

b.
2x x 3x 4 x 6 0− + − =
c.
x 2 x 1 9− − =
d.
x 3 x 4+ = −
Bài 3 : Rút gọn các biểu thức sau :
a.
a 3
a 9
−
−
b.
a 2 a 1
a 1
− +
−
c.
4 4 a a
4 a
− +
−
d.
x 5 x 4
x 16
− +
−

e.
x 5 x 6
x 3
− +
−
f.
2 15 2 10 6 3
2 5 2 10 3 6
− + −
− − +
g.
a a b b b a
ab 1
+ − −
−
B. Rút gọn biểu thức dạng
2
a a=

Để áp dụng công thức trên ta cần xem xét biểu thức dưới dấu căn để đưa biểu thứ dưới dấu căn
về dạng bình phương của một biểu thức .
Ví dụ :
8 2 15+
. ta để ý thấy
( ) ( )
2 2
2 15 2 5. 3 va8 5 3= = +
cho nên
( )
2

8 2 15 5 3+ = +
. vì vậy
( )
2
8 2 15 5 3 5 3+ = + = +
+ Khi rút gọn cần để ý đến dấu của biểu thức trong dấu giá trò tuyệt đối .
Bài 1 . Rút gọn rồi tính giá trò của biểu thức ( Không được dùng máy tính bỏ túi)
a.
( ) ( )
2 2
2 5 2 1− + − b.
( ) ( )
2 2
7 2 7 1− − +
c.
5 2 6 5 2 6 ( 3 1)− + + − −
d.
15 6 6 15 6 6− + +
e.
14 6 5 14 6 5+ − −
f.
29 12 5 12 5 29+ − −
Bài 2 : Rút gọn rồi tính giá trò của các biểu thức
a.
2
2x x 4x 4− + +
với x = 3 , x = -5
b.
x x 4 x 4− − +
với x = 4 ; x =

3 2 2−
c.
2
2x 3 4x 12x 9+ − − +
với x = -2 và x = 18
Bài 3 : Cho biểu thức A =
2
2x 7 4x 12x 9+ − − +

a. Rút gọn biểu thức A
b. Tính giá trò của biểu thức A với x = -2 , x = 4,5
c. Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức A
Hướng dẫn giải :
a. A = 2x + 7 – 2x - 3 
Nếu x > 1,5 thì A = 2x + 7 – 2x + 3 = 10
Nếu x = 1,5 thì A = 10
Nếu x < 1,5 thì A = 2x + 7 – (3 – 2x) = 4x + 4
b. Với x = -2 < 1,5 thay vào A = 4(-2) + 4 = -4
Với x = 4,5 > 1,5 thì A = 10
c. Theo trên ta có A = 10 với mọi x ≥ 1,5
Với x < 1,5 --- > 4x < 6 == > 4x + 4 < 10 hay A < 10 với mọi x < 1,5
Vậy A ≤ 10 với mọi x . Hay giá trò lớn nhất của A là 10 với mọi x ≥ 1,5
Bài 4 . Cho biểu thức A =
2
9x 6x 1
2x
1 3x
− +
+
−

a. Rút gọn biểu thức A
b. Tính giá trò của A với x = -3
c. Với giá trò nào của x thì A = 4
Bài 5 : Giải phương trình
a.
2
1 12x 36x 5− + =
b.
2
25 10x x 3x 8− + + =
c.
x 2 x 1 2 x 1 3− − = − −
Hướng dẫn giải câu : Cần rút gọn các biểu thức , sau đó đưa về giải phương trình có chứa dấu giá
trò tuyệt đối .
(b) Sau khi biến đổi ta được 5 - x + 3x = 8
Nếu x ≤ 5 thì 5 – x + 3x = 8 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 1,5
Nếu x > 5 thì x – 5 + 3x = 8 ⇒ 4x = 13 ⇒ x = 3,25 ( loại vì x < 5)
Vậy x = 1,5 là nghiệm của phương trình .
( c)
x 2 x 1 2 x 1 3
x 2 x 1 x 1 2 x 1 1 x 1 1
− − = − −
− − = − − − + = − −
⇒
x 1 1 2 x 1 3− − = − −

Nếu x ≥ 2 thì
x 1 1 2 x 1 3− − = − −
⇒
x 1 2 x 1 4 x 5− = ⇒ − = ⇒ =

Nếu 1 ≤ x < 2 thì
1 x 1 2 x 1 3− − = − −
⇒
4 7
3 x 1 4 x 1 x 2
3 9
− = ⇒ − = ⇒ =
( loại vì x < 2 )
C. Giải phương trình có chứa căn thức :
Phương pháp chung là
Nếu có dạng
A B=
⇔ A = B ( A , B không âm)
Nếu có dạng
A B=
thì A = B
2
( B ≥ 0 )
Trong biểu thức có nhiều căn thức có thể bình phương nhiều lần để đưa về một trong các dạng
trên . Trước khi giải phương trình cần tìm điều kiện xác đònh của các căn thức .
Bài 1 : Giải các phương trình sau
a. x 2 5− = b. 9x 9 x 1 2x 6+ − + = + c.
4x 2 2x 4− = −
Gợi ý câu (b) : ĐKXĐ x ≥ -1 Gợi ý câu (c) ĐKXĐ : x ≥ 2
9(x 1) x 1 2x 6
3 (x 1) x 1 2x 6
2 x 1 2x 6
4x 4 2x 6 x 1
+ − + = +

+ − + = +
+ = +
⇒ + = + ⇒ =
4x 2 2x 4 4x 2 2x 4
x 1
− = − ⇒ − = −
⇒ = −

Vậy x = -1 ( loại vì x ≥ 2)
Vậy phương trình vô nghiệm .
Bài 2 : Giải các phương trình sau
a.
2
x 5 x 1+ = +
b.
2
x 2x 4 x 1+ + = −
c. 2x 5 5 x+ = −
d.
2x 5
2
x 1
+
=
−
e.
2
x 8x 17 x 3− + = +
f.
2x 1 x 3 4+ + − =

Hướng dẫn giải
C. ĐKXĐ -2,5 ≤ x ≤ 5
5
x 2−
⇒ x(x-10) – 2(x –10) = 0
(x –10)(x – 2) = 10
⇒ x = 2
hoặc x = 10 , mà x = 10 bò loại vì x < 5
Vậy phương trình có nghiệm x = 2
f. ĐKXĐ x ≥ 3
2x 1 4 x 3+ = − −
, bình phương hai vế ta
được 2x + 1 = 16 8 x 3 x 3− − + −
2
2
16 8 x 3 x 3
8 x 3 13 x 2x 1
8 x 3 12 x voi x 12
64(x 3) (12 x)
x 88x 336 0
(x 4)(x 84) 0
− − + −
⇒ − = + − −
⇒ − = − ≤
⇒ − = −
− + =
− − =
nên x = 4 và x = 84 , nhưng x < 12 cho nên x =
84 loại
Vậy nghiệm của phương trình là x = 4 .

D. Một số dạng khác
Bài 1 : Với giá trò nào của x thì biểu thức sau có giá trò nhỏ nhất ( lớn nhất )
a. M =
x 3 x 2− −
b. y =
3 x x−
c. A =
x 4 6 x− + −
Hướng dẫn giải : Với biểu thức kiểu như hai câu a , b ta viết biểu thức về dạng : m ± ( ax+b)
2

Nếu có dạng m + ( ax + b)
2
thì biểu thức có giá trò nhỏ nhất là m
Nếu có dạng : m – (ax + b)
2
thì biểu thức có giá trò lớn nhất là m
Hướng dẫn giải a. M =
x 3 x 2− −
=
( )
2
2
3 9 9
x 2. x. 2
2 4 4
3 17 17
x voi moix 0
2 4 4
= − + − −

 
= − − ≥ − ≥
 ÷
 
Giá trò nhỏ nhất của M là – 3,75 khi x = 9/4
b. y =
3 x x−


( )
2
2
9 3 9
x 2. x.
4 2 4
17 3 17
x voi moi x 0
4 2 4
= − + −
 
= − − ≤ ≥
 ÷
 
Giá trò lớn nhất của biểu thức y là 3,75 khi x
= 9/4
d. A =
x 4 6 x− + −
ĐKXĐ : 4 ≤ x ≤ 6
Trước hết ta có ( a + b)
2

≤ 2(a
2
+ b
2
)
p dụng bất đẳng thức trên ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2
A x 4 6 x 2 x 4 6 x
A 4 A 2
 
= − + − ≤ − + −
 
 
≤ ⇒ ≤
Vậy giá trò lớn nhất của A là 2 khi x = 5
( lưu ý dấu “=” xảy ra khi x – 4 = 6 – x ⇒ x = 5
Bài 2 : Tìm các giá trò nguyên để cho biểu thức A =
x 3
x 2
+
−
nhận giá trò là các số nguyên .
Ta viết A = 1 +
5
x 2−
, để A ∈ Z thì
5

x 2−
∈ Z
Cho nên
x 2−
là ước của 5 , mà Ư(5) = { ± 1 ; ± 5 }
Nếu
x 2−
= 1 ⇒ x = 9
Nếu
x 2−
= - 1 ⇒ x = 1
Nếu
x 2−
= 5 ⇒ x = 49
Nếu
x 2−
= - 5 ⇒ không có x thỏa mãn
Vậy x ∈ { 1 ; 9 ; 49 }