Toán tử tăng trưởng trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN NGỌC LONG

TOÁN TỬ TĂNG TRƯỞNG
TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN NGỌC LONG

TOÁN TỬ TĂNG TRƯỞNG
TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN VĂN BẰNG

HÀ NỘI, 2016

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau
đại học, cùng các thầy cô giáo dạy lớp thạc sỹ chuyên ngành Toán giải
tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Ngọc Long


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với
đề tài “Toán tử tăng trưởng trong không gian Banach” là kết quả
của quá trình tìm hiểu, nghiên cứu của tác giả dưới sự hướng dẫn của
TS. Trần Văn Bằng.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Ngọc Long

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Ánh xạ đối ngẫu của không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Hàm lồi và dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Không gian Sobolev và bài toán biên elliptic tuyến tính . . .

11

1.4. Toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Chương 2. Toán tử phi tuyến tăng trưởng trong không gian
Banach

.............................................

28

2.1. Toán tử phi tuyến tăng trưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2. Bài toán biên elliptic phi tuyến trong Lp −không gian . . . . .

42

2.3. Toán tử đạo hàm riêng tựa tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . .

57

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

i


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng là một trong những lý thuyết
gắn liền với các ứng dụng thực tiễn. Nghiên cứu lý thuyết này kéo theo
sự phát triển của nhiều lý thuyết toán học phụ trợ khác, như lý thuyết

về không gian hàm, lý thuyết toán tử,. . . . Ban đầu các phương trình đạo
hàm riêng tập trung nghiên cứu các phương trình cơ bản của Vật lý toán
như phương trình nhiệt, phương trình sóng và mô hình dừng của chúng
là phương trình Laplace-Poisson. Theo thời gian, nhiều vấn đề thực tiễn
đã đặt ra các bài toán phức tạp hơn, liên quan đến các phương trình phi
tuyến; các phương trình không chỉ được thiết lập trong không gian hữu
hạn chiều mà còn được mở rộng sang các không gian vô hạn chiều, như
phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman xuất hiện trong lý thuyết điều
khiển tối ưu, các bài toán trong lý thuyết biến phân,. . .
Nói chung, các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến rất phức tạp.
Mỗi lớp phương trình đòi hỏi một bộ công cụ riêng, thậm chí mỗi vấn
đề định tính cần có một cách tiếp cận riêng. Trong khuôn khổ của một
Luận văn Thạc sĩ toán học, được sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng,
tôi chọn đề tài: “Toán tử tăng trưởng trong không gian Banach”
1


Đề tài tập trung tìm hiểu về toán tử tăng trưởng trong không gian
Banach và ứng dụng của chúng để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài
toán biên elliptic phi tuyến trong các Lp - không gian và của các phương
trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính cấp một.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu khái niệm và tính chất của toán tử tăng trưởng trong
không gian Banach.
Nghiên cứu bài toán biên elliptic phi tuyến trong các Lp - không gian
và của các phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính cấp một.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Toán tử tăng trưởng

+ Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu trong không gian Banach: khái
niệm, tính chất, ứng dụng.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Toán tử tăng trưởng
+ Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu trong không gian Banach: khái
niệm, tính chất, ứng dụng.

2


5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của Giải tích hàm và phương
trình đạo hàm riêng.

6. Đóng góp của đề tài
Hệ thống hóa các tính chất, kết quả về toán tử tăng trưởng trong
không gian Banach và khả năng ứng dụng của chúng đối với các bài
toán phương trình đạo hàm riêng. Minh họa các khái niệm, tính chất
trong trường hợp có thể thông qua các ví dụ cụ thể.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở liên quan tới các tính chất
hình học của không gian Banach, hàm lồi, không gian Sobolev, lý thuyết
biến phân của bài toán giá trị biên elliptic tuyến tính và toán tử đơn
điệu cực đại.

1.1. Ánh xạ đối ngẫu của không gian Banach
Cho X là không gian Banach thực và X ∗ là không gian đối ngẫu của
nó. Giá trị của phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X được ký hiệu bởi (x∗ , x)
hoặc x∗ (x). Chuẩn trong không gian X được ký hiệu bởi
trong không gian X ∗ được ký hiệu bởi

·

∗.

· , chuẩn

Nếu không nhầm lẫn gì

chúng ta có thể ký hiệu cả chuẩn của X và X ∗ là

· .

Chúng ta dùng ký hiệu lim hoặc → để chỉ sự hội tụ mạnh trong X
và w-lim hoặc

để chỉ sự hội tụ yếu trong X. Ký hiệu sự hội tụ yếu-∗

trong X ∗ bởi w∗ -lim hoặc

. Không gian X ∗ với tôpô yếu-∗ được ký

hiệu bởi Xw∗ .
4

∗

Ánh xạ đa trị J : X → 2X :
J(x) = {x∗ ∈ X ∗ : (x∗ , x) = x

2

= x∗ 2 },

∀x ∈ X

(1.1)

được gọi là ánh xạ đối ngẫu của không gian X.
Ánh xạ ngược J −1 : X ∗ → X xác định bởi J −1 (x∗ ) = {x ∈ X; x∗ ∈
J(x)} và thỏa mãn
J −1 (x∗ ) = {x ∈ X; x = x∗ , (x∗ , x) = x

2

= x∗ 2 }.

Nếu không gian X là phản xạ (tức là X = X ∗∗ ), thì rõ ràng J −1 chính
là ánh xạ đối ngẫu của X ∗ và do đó D(J −1 ) = X ∗ . Do vậy tính phản xạ
đóng một vai trò rất quan trọng trong các phần sau.
Không gian X được gọi là lồi chặt nếu hình cầu đơn vị B của X là
lồi chặt, tức là biên ∂B không chứa đoạn thẳng nào.
Không gian X được gọi là lồi đều nếu với mỗi ε > 0, 0 < ε < 2, tồn

tại δ(ε) > 0 sao cho x = 1, y = 1, và x − y ≥ ε, thì x + y ≤
2(1 − δ(ε)).
Hiển nhiên nếu X lồi đều thì nó là lồi chặt. Các ví dụ điển hình về
không gian lồi đều là các không gian Hilbert, không gian Lp (Ω), 1 < p <
∞. Theo định lý Milman (xem Yosida [5], trang 127), mọi không gian
Banach X lồi đều là phản xạ. Ngược lại, mọi không gian Banach X phản
xạ đều có thể xây dựng lại chuẩn để X và X ∗ là lồi chặt.
Định lý 1.1 (xem [3], Định lý 1.2). Nếu không gian đối ngẫu X ∗ là lồi
chặt, thì ánh xạ đối ngẫu J : X → X ∗ là đơn trị và liên tục mạnh-yếu∗
(tức là nó liên tục từ X vào Xw∗ ). Nếu không gian X ∗ lồi đều, thì J liên
tục đều trên mọi tập con bị chặn của X.
5


Dưới đây là một số ví dụ về ánh xạ đối ngẫu.
1. X = H là không gian Hilbert và được đồng nhất với đối ngẫu của
nó. Khi đó J = I, là ánh xạ đồng nhất trong H. Nếu H không được
đồng nhất với đối ngẫu H ∗ , thì ánh xạ đối ngẫu J : H → H ∗ là
một đẳng cấu chính tắc Λ của H lên H ∗ . Ví dụ, nếu H = H01 (Ω),
H ∗ = H −1 (Ω) và Ω là tập con mở bị chặn của RN , thì J = Λ xác
định bởi
∇u · ∇vdx,

(Λu, v) =

∀u, v ∈ H01 (Ω).

(1.2)

Ω

Nói cách khác, J = Λ là toán tử Laplace −∆ với điều kiện biên
thuần nhất Dirichlet trong Ω ⊂ RN . Ở đây H01 (Ω) là không gian
Sobolev u ∈ L2 (Ω) : ∇u ∈ L2 (Ω); u = 0 trên ∂Ω}.
2. X = Lp (Ω), trong đó 1 < p < ∞ và Ω là tập đo được trong RN .
Khi đó, ánh xạ đối ngẫu của X là
J(u)(x) = |u(x)|p−2 u(x) u

2−p
Lp (Ω) ,

hầu khắp x ∈ Ω, ∀u ∈ Lp (Ω).
(1.3)

Thật vậy, dễ thấy nếu Φp là ánh xạ xác định bởi vế phải của (1.3),
ta có
2/p
p

|u| dx

Φp (u)udx =
Ω

2/q
q

|Φp (u)|

=

Ω

Ω

1 1
, trong đó + = 1.
p q

Bởi vì ánh xạ đối ngẫu J của Lp (Ω) là đơn trị (vì Lp là lồi đều với
p > 1) và Φp (u) ∈ J(u), ta kết luận rằng J = Φp , như đã khẳng
định. Nếu X = L1 (Ω), thì ta có (xem Hệ quả ?? sau đây)
J(u) = {v ∈ L∞ (Ω); v(x) ∈ sign u(x) · u

L1 (Ω) ,

hầu khắp x ∈ Ω}.
(1.4)

6


3. Cho X là không gian Sobolev W01,p (Ω), trong đó 1 < p < ∞ và Ω
là tập con mở và bị chặn trong RN (xem Mục 1.3.) Khi đó
N

J(u) = −
i=1

∂

∂xi

∂u
∂xi

p−2

∂u
∂xi

u

2−p
.
W01,p (Ω)

(1.5)

Nói cách khác, J : W01,p (Ω) → W −1,q (Ω), (1/p) + (1/q) = 1, được
xác định bởi
N

(J(u), v) =
i=1

Ω

∂u
∂xi

p−2

∂u ∂v
dx u
∂xi ∂xi

2−p
,
W01,p (Ω)

∀v ∈ W01,p (Ω).
(1.6)

1.2. Hàm lồi và dưới vi phân
Cho X là không gian Banach thực với đối ngẫu X ∗ . Một hàm lồi
chính thường trên X là hàm ϕ : X → (−∞, +∞] = R không đồng nhất
với +∞ và thỏa mãn bất đẳng thức
ϕ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)ϕ(x) + λϕ(y)

(1.7)

với mọi x, y ∈ X và mọi λ ∈ [0, 1].
Hàm ϕ : X → (−∞, +∞] được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c.) trên
X nếu
lim inf ϕ(u) ≥ ϕ(x), ∀x ∈ X,
u→x

hay, một cách tương đương, mọi tập mức dưới {x ∈ X; ϕ(x) ≤ λ} là
đóng.
Hàm ϕ : X → [−∞, +∞] được gọi là nửa liên tục dưới yếu nếu nó là

nửa liên tục dưới trên không gian X được trang bị tôpô yếu.
7


Bởi vì mọi tập mức của hàm lồi là tập lồi và mọi tập lồi đóng là đóng
yếu, do đó ta có thể kết luận rằng hàm lồi chính thường là nửa liên tục
dưới khi và chỉ khi nó là nửa liên tục dưới yếu.
Cho hàm lồi nửa liên tục dưới yếu ϕ : X → (−∞, +∞] = R, ϕ ≡ ∞,
ta sử dụng các ký hiệu sau
D(ϕ) = {x ∈ X; ϕ(x) < ∞} (miền hữu hiệu của ϕ),
Epi(ϕ) = {(x, λ) ∈ X × R; ϕ(x) ≤ λ} (trên đồ thị của ϕ).

(1.8)
(1.9)

Có thể thấy Epi(ϕ) là tập con lồi đóng của X × R nên các tính chất
của nó liên hệ chặt chẽ với các tính chất của hàm ϕ.
Cho hàm f từ không gian Banach X vào R, ánh xạ f : X × X → R
xác định bởi
f (x, y) = lim
λ↓0

f (x + λy) − f (x)
, x, y ∈ X,
λ

(1.10)

(nếu nó tồn tại) được gọi là đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng
y.

Hàm f : X → R được gọi là khả vi Gâteaux tại x ∈ X nếu tồn tại
∇f (x) ∈ X ∗ (vi phân Gâteaux ) sao cho
f (x, y) = (∇f (x), y),

∀y ∈ X.

(1.11)

Nếu sự hội tụ trong (1.10) là đều theo y trên các tập con bị chặn, thì f
được gọi là khả vi Fréchet và ∇f được gọi là vi phân Fréchet (đạo hàm)
của f.
Cho một hàm lồi chính thường và nửa liên tục dưới ϕ : X → R, ánh
8


xạ ∂ϕ : X → X ∗ xác định bởi
∂ϕ(x) = {x∗ ∈ X ∗ ; ϕ(x) ≤ ϕ(y) + (x∗ , x − y), ∀y ∈ X}

(1.12)

được gọi là dưới vi phân của ϕ.
Nói chung, ∂ϕ là một toán tử đa trị từ X tới X ∗ . Nó không nhất thiết
xác định khắp nơi và có thể được xem như là tập con của X × X ∗ .
Một phần tử x∗ ∈ ∂ϕ(x) (bất kỳ) được gọi là dưới gradient của ϕ tại
x. Như thông thường, ta ký hiệu D(∂ϕ) là tập mọi x ∈ X mà ∂ϕ(x) = Ø.
Ví dụ 1.1. Cho ϕ(x) =

1
2

x 2 . Khi đó ∂ϕ = J (ánh xạ đối ngẫu của

không gian X). Thật vậy, nếu x∗ ∈ J(x), thì
(x∗ , x − y) = x

2

1
− (x∗ , y) ≥ ( x
2

2

− y 2 ), ∀x ∈ X.

Do đó x∗ ∈ ∂ϕ(x). Bây giờ, lấy x∗ ∈ ∂ϕ(x), tức là
1
( x
2

2

− y 2 ) ≤ (x∗ − y, x), ∀y ∈ X.

(1.13)

Cho y = λx, 0 < λ < 1 trong (1.13), thu được
(x∗ , x) ≥

1

x 2 (1 + λ).
2

Do đó, (x∗ , x) ≥ x 2 . Nếu y = λx, trong đó λ > 1, ta thu được (x∗ , x) ≤
x 2 . Cho nên, (x∗ , x) = x

2

và x∗ ≥ x . Mặt khác, đặt y = x + λu

trong (1.13), với λ > 0 và u tùy ý trong X, ta được
1
λ(x∗ , u) ≤ ( x + λu
2

2

− x 2 ),

kéo theo
(x∗ , u) ≤ x u .
Suy ra, x∗ ≤ x . Vì vậy, ta vừa chứng minh (x∗ , x) = x
như đã khẳng định.
9

2

= x∗

2

Ví dụ 1.2. Cho K là tập con lồi đóng trong X. Hàm IK : X → R xác
định bởi
IK (x) =



0,

nếu x ∈ K,


+∞,

nếu x ∈
/ K,

(1.14)

được gọi là hàm chỉ của K, và đối ngẫu H của nó,
HK (p) = sup{(p, u); u ∈ K}, ∀p ∈ X ∗ ,
được gọi là hàm tựa của K. Dễ thấy D(∂IK ) = K, ∂IK (x) = 0 với
x ∈ int K (nếu khác rỗng) và
∂IK (x) = NK (x) = {x∗ ∈ X ∗ ; (x∗ , x − u) ≥ 0, ∀u ∈ K}, ∀x ∈ K. (1.15)
Với mọi x ∈ ∂K (biên của K), NK (x) là nón pháp tuyến của K tại x.
Ví dụ 1.3. Cho ϕ lồi và khả vi Gâteaux tại x. Khi đó ∂ϕ(x) = ∇ϕ(x).
Thật vậy, bởi vì ϕ lồi, ta có
ϕ(x + λ(y − x)) ≤ (1 − λ)ϕ(x) + λϕ(y)
với mọi x, y ∈ X và 0 ≤ λ ≤ 1. Do đó,

ϕ(x + λ(y − x)) − ϕ(x)
≤ ϕ(y) − ϕ(x),
λ
và cho λ → 0, ta thấy rằng ∇ϕ(x) ∈ ∂ϕ(x). Bây giờ, lấy w là một phần
tử bất kỳ của ∂ϕ(x). Ta có
ϕ(x) − ϕ(y) ≤ (w, x − y), ∀y ∈ X.
Hay
ϕ(x + λy) − ϕ(x)
≥ (w, y), ∀λ > 0, y ∈ X,
λ
và điều này kéo theo (∇ϕ(x) − w, y) ≥ 0 với mọi y ∈ X. Do đó w =
∇ϕ(x).
10


Theo định nghĩa của ∂ϕ, ta suy ra ϕ(x) = inf{ϕ(u); u ∈ X} khi và
chỉ khi 0 ∈ ∂ϕ(x). Tồn tại quan hệ mật thiết giữa ∂ϕ và ∂ϕ∗ . Chính xác
hơn, ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1. Cho X là một không gian Banach phản xạ, ϕ : X → R
là hàm lồi chính thường và nửa liên tục dưới. Khi đó các điều kiện sau
là tương đương.
(i) x∗ ∈ ∂ϕ(x),
(ii) ϕ(x) + ϕ∗ (x∗ ) = (x∗ , x),
(iii) x ∈ ∂ϕ∗ (x∗ ).
Nói riêng, ∂ϕ∗ = (∂ϕ)−1 và (ϕ∗ )∗ = ϕ.

1.3. Không gian Sobolev và bài toán biên elliptic
tuyến tính
Giả sử Ω là tập con mở của RN , f = f (x) là hàm giá trị phức xác định
trên Ω. Giá của f , viết tắt supp f , là bao đóng của tập {x ∈ Ω; f (x) =

0}, hay một cách tương đương, là tập đóng nhỏ nhất của Ω mà f bị triệt
tiêu ở bên ngoài nó. Ta ký hiệu C k (Ω), 0 ≤ k ≤ ∞ là tập mọi hàm giá
trị phức xác định trên Ω mà có đạo hàm riêng tới cấp k liên tục (có cấp
bất kỳ < ∞ nếu k = ∞). Ký hiệu C0k (Ω) là tập mọi hàm ϕ ∈ C k (Ω) có
giá compact trong Ω.
Ta thấy C0∞ (Ω) là một không gian tuyến tính. Ta nói dãy {ϕk } ⊂
C0∞ (Ω) hội tụ tới ϕ, ký hiệu ϕk ⇒ ϕ, nếu
11


(a) Tồn tại tập compact K ⊂ Ω sao cho supp ϕk ⊂ K với mọi k = 1, . . .
(b) limk→∞ Dα ϕk = Dα ϕ đều trong K với mọi α = (α1 , . . . , αn ).
Ở đây Dα = Dxα1 · · · DxαNn , Dxi = ∂/∂xi , i = 1, . . . , n. Trang bị theo cách
này, không gian C0∞ (Ω) được ký hiệu là D(Ω).
Định nghĩa 1.1. Mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục u trên D(Ω) được
gọi là một hàm suy rộng trên Ω.
Nói cách khác, hàm suy rộng là một phiếm hàm tuyến tính u trên
C0∞ (Ω) có tính chất limk→∞ u(ϕk ) = 0 với mọi dãy {ϕk } ⊂ C0∞ (Ω) sao
cho ϕk ⇒ 0.
Tập tất cả các hàm suy rộng trên Ω là không gian tuyến tính, ký hiệu
bằng D (Ω).
Hàm suy rộng là mở rộng tự nhiên của khái niệm hàm khả tổng địa
phương trên Ω, ví dụ nếu f ∈ L1loc (Ω), thì phiếm hàm tuyến tính uf trên
C0∞ (Ω) xác định bởi
f (x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω)

uf (Ω) =
Ω

là hàm suy rộng trên Ω; tức là uf ∈ D (Ω). Ngoài ra, ánh xạ f → uf là

đơn ánh từ L1loc (Ω) vào D (Ω).
Cho u ∈ D (Ω), theo định nghĩa, đạo hàm bậc α = (α1 , . . . , αn ), Dα u,
của u là hàm suy rộng
(Dα u)(ϕ) = (−1)|α| u(Dα ϕ), ∀ϕ ∈ D(Ω),
trong đó |α| = α1 + · · · + αn .
12


Ký hiệu H m (Ω) là tập tất cả các hàm giá trị thực u ∈ L2 (Ω) sao cho
mọi đạo hàm suy rộng Dα u của u có bậc |α| ≤ m đều thuộc L2 (Ω). Nói
cách khác,
H m (Ω) = {u ∈ L2 (Ω); Dα u ∈ L2 (Ω), |α| ≤ m}.

(1.16)

Đây là không gian Sobolev bậc m trên Ω. Dễ thấy H m (Ω) là một không
gian tuyến tính. Lưu ý rằng u ∈ H m (Ω) được gọi là liên tục, khả vi, hoặc
liên tục tuyệt đối nếu tồn tại hàm u¯ ∈ H m (Ω) có các tính chất này và
bằng u hầu khắp nơi trên Ω.
Các tính chất cơ bản của không gian Sobolev sau đây được tham khảo
từ tài liệu Brezis [4].
Mệnh đề 1.2. H m (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
u, v

m

Dα u(x)Dα v(x)dx, ∀u, v ∈ H m (Ω).

=
|α|≤m

(1.17)

Ω

Tổng quát hơn, với số nguyên m ≥ 1 và 1 ≤ p ≤ ∞, ta định nghĩa
không gian Sobolev
W m,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω); Dα u ∈ Lp (Ω), |α| ≤ m}
với chuẩn

1/p


u

m,p

|Dα u(x)|p dx

=
|α|≤m

.

Ω

Với 0 < m < 1, không gian W m,p (Ω) xác định bởi
W m,p (Ω) =

(1.18)

u ∈ Lp (Ω);

u(x) − u(y)
∈ Lp (Ω × Ω)
m+(N/p)
|x − y|

13

(1.19)


với chuẩn thông thường. Với m > 1, m = s + a, s = [m], 0 < a < 1, định
nghĩa
W n,p (Ω) = {u ∈ W s,p (Ω); Dα u ∈ W a,p (Ω); |α| ≤ s}.
Tiếp theo là một tính chất quan trọng của không gian H 1 (Ω) được
biết đến với tên định lý nhúng Sobolev.
Định lý 1.2. Cho Ω là một tập mở trong RN thuộc lớp C 1 với biên
N
compact ∂Ω, hoặc Ω = RN
+ , hoặc Ω = R . Khi đó , nếu N > 2,
∗

H 1 (Ω) ⊂ Lp (Ω) với

1
1
1
=

−
.
p∗
2 N

(1.20)

Nếu N = 2, thì H 1 (Ω) ⊂ Lp (Ω) với mọi p ∈ [2, ∞].
Tất nhiên hệ thức bao hàm (1.20) được xét theo nghĩa đại số và tôpô,
tức là
u

Lp∗ (Ω)

≤C u

H 1 (Ω)

(1.21)

với C là hằng số dương độc lập với u.
Định lý 1.2 được mở rộng sang không gian Sobolev W m,p (Ω) với m > 0
bất kỳ. Chính xác, ta có
Định lý 1.3. Dưới giả thiết của Định lý 1.2, ta có
N 1
1 m
, ∗= − ,
m p
p N
N

W m,p (Ω) ⊂ Lp (Ω) với mọi q ≥ p nếu p = ,
m
N
W m,p (Ω) ⊂ L∞ (Ω) nếu p > .
m
∗

W m,p (Ω) ⊂ Lp (Ω) nếu 1 ≤ p <

Nhận xét 1.1. Nếu Ω là tập mở bị chặn trong RN thuộc lớp C 1 , thì
chuẩn sau trên W 1,p (Ω),
u

1,p

= |∇u|Lp (Ω) + |u|Lq (Ω) ,
14


trong đó 1 ≤ q ≤ p∗ nếu 1 ≤ p < N, 1 ≤ q < ∞ nếu p = N và q ≤ q ≤ ∞
nếu p > N,
1
1
1
=
−
p∗
p N
tương đương với chuẩn (1.19) với m = 1.
Ta lưu ý kết quả về phép nhúng compact sau đây.

Định lý 1.4. Cho Ω là tập mở, bị chặn trong RN và thuộc lớp C 1 . Khi
đó, phép nhúng không gian H 1 (Ω) vào L2 (Ω) là compact.
“Vết” của hàm u ∈ H 1 (Ω) trên ∂Ω
Nếu Ω là tập thuộc C 1 và mở trong RN với biên ∂Ω, thì mỗi u ∈ C(Ω)
hoàn toàn xác định trên ∂Ω. Ta gọi hạn chế của u trên ∂Ω là vết của u
trên ∂Ω và ký hiệu γ0 (u). Nếu u ∈ L2 (Ω), thì γ0 (u) không xác định. Tuy
nhiên, ta có kết quả sau.
Bổ đề 1.1. Cho Ω là tập mở thuộc lớp C 1 với biên compact ∂Ω hoặc
Ω = RN . Khi đó, tồn tại C > 0 sao cho
γ0 (u)

L2 (∂Ω)

≤C u

H 1 (Ω) , ∀u

∈ C0∞ (RN ).

(1.22)

Định nghĩa 1.2. Cho Ω thuộc lớp C 1 có biên compact ∂Ω hoặc Ω = RN
+.
Lấy u ∈ H 1 (Ω). Khi đó γ0 (u) = limj→∞ γ0 (uj ) trong L2 (∂Ω), trong đó
{uj } ⊂ C0∞ (RN ) sao cho uj → u trong H 1 (Ω).
Định nghĩa trên hoàn toàn phù hợp, tức là, γ0 (u) độc lập với {uj }.
Ngoài ra, từ Bổ đề 1.1 suy ra ánh xạ γ0 : H 1 (Ω) → L2 (Ω) liên tục. Cho
nên vết của toán tử u → γ0 (u) liên tục từ H 1 (Ω) tới H 1/2 (∂Ω) và do đó
nó hoàn toàn liên tục từ H 1 (Ω) tới L2 (∂Ω).
15

Tổng quát, ta có W m,p (Ω) ⊂ Lq (∂Ω) nếu mp < N và
p
(N − 1)p
.
(N − mp)

Định nghĩa 1.3. Cho Ω là tập mở bất kỳ trong RN . Không gian H01 (Ω)
là bao đóng của C01 (Ω) đối với chuẩn của H 1 (Ω).
Suy ra H01 (Ω) là không gian con đóng của H 1 (Ω) và nói chung nó là
không gian con thực sự của H 1 (Ω). Rõ ràng H01 (Ω) là không gian Hilbert
với cùng tích vô hướng
N

u, v

1

=
i=1

∂u ∂v
dx +
∂x
∂x
i
i
Ω

uvdx
Ω

với chuẩn tương ứng
1/2

u

1

2

=

2

(|∇u(x)| + u (x))dx

.

Ω

Nói tóm lại, H01 (Ω) là không gian con các hàm u ∈ H 1 (Ω) mà bằng
không trên ∂Ω. Chính xác hơn, ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.3. Cho Ω là tập mở thuộc lớp C 1 và lấy u ∈ H 1 (Ω). Khi
đó, các điều kiện sau là tương đương.
(i) u ∈ H01 (Ω).
(ii) γ0 (u) ≡ 0.
Mệnh đề 1.4 bên dưới được gọi là bất đẳng thức Poincaré.

Mệnh đề 1.4. Cho Ω là tập mở bị chặn trong RN . Khi đó tồn tại C > 0
độc lập với u sao cho
u

L2 (Ω)

≤ C ∇u

L2 (Ω) ,

16

∀u ∈ H01 (Ω).


Đặc biệt, Mệnh đề 1.4 chỉ ra rằng nếu Ω bị chặn, thì tích vô hướng
∇u(x) · ∇v(x)dx

((u, v)) =
Ω

và chuẩn tương ứng
1/2
2

|∇u(x)| dx

u =
Ω

xác định một cấu trúc Hilbert tương đương trên H01 (Ω).
Ta ký hiệu H −1 (Ω) là không gian đối ngẫu của H01 (Ω), tức là không
gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H01 (Ω). Hay
H −1 (Ω) = {u ∈ D (Ω); |u(ϕ)| ≤ Cu ϕ

H 1 (Ω) }, ∀ϕ

∈ C0∞ (Ω).

Không gian H −1 (Ω) được trang bị chuẩn đối ngẫu
u

−1

= sup{|u(ϕ)|; ϕ ≤ 1}, ∀u ∈ H −1 (Ω).

Theo định lý Riesz, ta có H −1 (Ω) là đẳng cự với H01 (Ω). Ngoài ra chú ý
H01 (Ω) ⊂ L2 (Ω) ⊂ H −1 (Ω)
theo nghĩa đại số và tôpô. Nói cách khác, các phép nhúng L2 (Ω) vào
H −1 (Ω) và H01 (Ω) vào L2 (Ω) là liên tục. Ta cũng chú ý các phép nhúng
bên trên là trù mật.
Định lý 1.5. Không gian H −1 (Ω) trùng với tập mọi hàm suy rộng u ∈
D (Ω) có dạng
N

u = f0 +
i=1

∂fi
trong D (Ω), trong đó fi ∈ L2 (Ω), i = 1, . . . , N

∂xi

17


Tương tự không gian W01,p (Ω), p ≥ 1, được định nghĩa là bao đóng của
C01 (Ω) với chuẩn W 1,p (Ω). Không gian đối ngẫu của W01,p (Ω) là không
gian
1 1
+ =1
p q

W −1,q (Ω),

được định nghĩa như trong Định lý 1.5 với f0 , f1 , . . . , fN ∈ Lq .
Lý thuyết biến phân của bài toán biên elliptic
Cho V là không gian Hilbert thực và V ∗ là không gian đối ngẫu tôpô
của V.
Phiếm hàm a : V × V → R được gọi là song tuyến tính nếu với mỗi
u ∈ V, v → a(u, v) là tuyến tính và với mỗi v ∈ V, u → a(u, v) là tuyến
tính trên V.
Phiếm hàm a được gọi là liên tục nếu tồn tại M > 0 sao cho
|a(u, v)| ≤ M u

V

v

V,

∀u, v ∈ V.

Phiếm hàm a được gọi là cưỡng bức nếu
a(u, u) ≥ ω u

2
V,

∀u ∈ V,

với ω > 0, và đối xứng nếu
a(u, v) = a(v, u), ∀u, v ∈ V.
Bổ đề 1.2. (Lax-Milgram). Cho a : V × V → R là phiếm hàm cưỡng
bức, liên tục và song tuyến tính. Khi đó với mỗi f ∈ V ∗ , tồn tại duy
nhất u∗ ∈ V sao cho
a(u∗ , v) = (f, v), ∀v ∈ V.
18

(1.23)


Ngoài ra, ánh xạ f → u∗ là Lipschitz từ V ∗ lên V với hằng số Lipschitz
≤ ω −1 . Nếu a là đối xứng, thì u∗ cực tiểu hàm u → (1/2)a(u, u) − (f, u)
trên V ; nghĩa là
1
1
a(u∗ , u∗ ) − (f, u∗ ) = min{ a(u, u) − (f, u); u ∈ V }.
2
2

(1.24)

Nghiệm yếu của bài toán Dirichlet
Xét bài toán Dirichlet


−∆u + c(x)u = f

u = 0

trong Ω,
(1.25)
trên ∂Ω,

trong đó Ω là tập mở trong RN , c ∈ L∞ (Ω) và f ∈ H −1 (Ω) đã cho.
Định nghĩa 1.4. Hàm u được gọi là nghiệm biến phân hoặc nghiệm yếu
của bài toán Dirichlet (1.25) nếu u ∈ H01 (Ω) và
∇u(x) · ∇ϕ(x)dx +
Ω

c(x)u(x)ϕ(x)dx = (f, ϕ)

(1.26)

Ω

với mọi ϕ ∈ H01 (Ω) (hoặc một cách tương đương, ϕ ∈ C0∞ (Ω)).
Trong (1.26), ∇u được lấy theo nghĩa hàm suy rộng và (f, ϕ) là giá trị
của phiếm hàm f ∈ H −1 (Ω) tại ϕ ∈ H01 (Ω). Nếu f ∈ L2 (Ω) ⊂ H −1 (Ω),
khi đó

(f, ϕ) =

f (x)ϕ(x)dx.
Ω

Theo bổ đề Lax-Milgram, áp dụng vào phiếm hàm
(∇u(x) · ∇v(x) + cuv)dx, u, v ∈ V = H01 (Ω),

a(u, v) =
Ω

ta thu được kết quả sau.
19


Định lý 1.6. Giả sử c ∈ L∞ (Ω) thỏa mãn c(x) ≥ 0 hầu khắp nơi (h.k.n.)
x ∈ Ω. Khi đó, với mỗi f ∈ H −1 (Ω) bài toán Dirichlet (1.25) có nghiệm
yếu duy nhất u∗ ∈ H01 (Ω). Ngoài ra, u∗ cực tiểu phiếm hàm sau trên
H01 (Ω)
1
2

(|∇u(x)|2 + c(x)u2 (x))dx − (f, u)

(1.27)

Ω

và ánh xạ f → u∗ là ánh xạ Lipschitz từ H −1 (Ω) lên H01 (Ω).
Nghiệm yếu của bài toán Neumann

Xét bài toán biên


−∆u + cu = f

trong Ω,


 ∂u = g
∂v

trên ∂Ω,

(1.28)

trong đó c ∈ L∞ (Ω), c(x) ≥ ρ > 0, và f ∈ L2 (Ω), g ∈ L2 (∂Ω).
Định nghĩa 1.5. Hàm u ∈ H 1 (Ω) được gọi là nghiệm yếu của của bài
toán Neumann (1.28) nếu
∇u · ∇vdx +
Ω

cuvdx =
Ω

gvdσ, ∀v ∈ H 1 (Ω). (1.29)

f vdx +
Ω

∂Ω

Bởi vì với mỗi v ∈ H 1 (Ω) vết γ0 (v) thuộc L2 (∂Ω), tích phân

∂Ω gvdσ

hoàn toán xác định và do đó (1.29) hoàn toàn có nghĩa.
Định lý 1.7. Với mỗi f ∈ L2 (Ω) và g ∈ L2 (∂Ω), bài toán (1.28) có
nghiệm yếu duy nhất u ∈ H 1 (Ω) là cực tiểu phiếm hàm
u→

1
2

(|∇u(x)|2 +c(x)u2 (x))dx−
Ω

gudσ trên H 1 (Ω).

f (x)u(x)dx−
Ω

Tính chính quy của nghiệm yếu
20

∂Ω