Tải bản đầy đủ (.pdf) (6 trang)

04 dinh li vi et p1 BG2017

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (186.01 KB, 6 trang )

Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

04. ĐỊNH LÍ VI-ÉT – P1
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
b

S = x1 + x2 = −


a
Khi phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thì ta có hệ thức Vi-ét: 
P = x x = c
1 2

a
Một số các kết quả cần lưu ý:

x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = S 2 − 2 P
2

x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = S 3 − 3SP
3

(

x14 + x24 = x12 + x22

)



2

(

− 2 x12 x22 = S 2 − 2 P

)

2

− 2P2

( x1 − x2 )2 = ( x1 + x2 )2 − 4 x1 x2 = S 2 − 4 P
Chú ý:

b 2 − 4ac > 0

∆ > 0
−b

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi 
⇔  S = x1 + x2 =
>0
a
 x1 ; x2 > 0

c

 P = x1 x2 = a > 0


b 2 − 4ac > 0

∆ > 0
−b

Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi 
⇔  S = x1 + x2 =
<0
a
 x1 ; x2 < 0 
c

 P = x1 x2 = a > 0
Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn α khi

b 2 − 4ac > 0
b 2 − 4ac > 0
∆ > 0


∆ > 0

−b
−b


⇔  x1 + x2 > 2α
⇔  S = x1 + x2 =

> 2α
⇔  S = x1 + x2 =
> 2α

a
a
 x1 ,x2 > α
 x −α x −α >0


)( 2 )
( 1
b
 x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α 2 > 0
c
2

 a + α. a + α > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều nhỏ hơn α khi

b 2 − 4ac > 0
b 2 − 4ac > 0
∆ > 0


∆ > 0

−b
−b




x
+
x
<


S
=
x
+
x
=
<


< 2α

 1 2

 S = x1 + x2 =
1
2
x
,x
<
α
a
a

 1 2
 x −α x −α >0 

)( 2 )
( 1
b
 x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α 2 > 0
c
2

 a + α. a + α > 0
∆ > 0
∆ > 0
∆ > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều khác α khi 
⇔
⇔ 2
 x1 ; x2 ≠ α
 g ( α ) ≠ 0 aα + bα + c ≠ 0

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Phương trình có một nghiệm và nghiệm này lớn hơn α khi
 ∆ = 0
 ∆ = 0

 ∆ = 0
 ∆ = 0





−b


x1 = x2 =

  x = x = −b > α
  x = x = −b > α

  x1 = x2 = −b > α

2
1
2
 1
2
a




2a
2a


2a
⇔ 

⇔



 ∆ > 0
 ∆ > 0
  ∆ > 0
 ∆ > 0
 c
b
2
 x x − α ( x + x ) + α2 < 0
 ( x1 − α )( x2 − α ) < 0
  x1 < α < x2
  + α. + α < 0
1
2


  1 2
a
a


Phương trình có một nghiệm và nghiệm này nhỏ hơn α khi
 ∆ = 0
 ∆ = 0

 ∆ = 0
 ∆ = 0







  x1 = x2 = −b < α
b


b



b

 x =x =
 x =x =

 x1 = x2 =
<
α
<
α
<
α


2
2
 1
2a
 1
2a
2a
 
2a
⇔ 
⇔ 
⇔



  ∆ > 0
  ∆ > 0
  ∆ > 0
 ∆ > 0

c
b
2
 x x − α ( x + x ) + α2 < 0
 ( x1 − α )( x2 − α ) < 0
  x1 < α < x2
  + α. + α < 0
1
2



  1 2
a
 a

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho phương trình ( m + 1) x 2 + 4mx + 2m + 3 = 0, (1)
a) Giải và biện luận phương trình đã cho.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, và cả hai nghiệm đều nhỏ hơn −1.
Lời giải:
a) Giải và biện luận phương trình.
5
Nếu m + 1 = 0 ⇔ m = −1 thì (1) ⇔ −4 x − 5 = 0 ⇔ x = − .
4
Nếu m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 thì (1) là phương trình bậc hai có ∆′ = 4m 2 − ( m + 1)( 2m + 3) = 2m 2 − 5m − 3
1
+) Nếu ∆′ < 0 ⇔ 2m 2 − 5m − 3 < 0 ⇔ − < m < 3 thì (1) vô nghiệm.
2
m
 =3
b′ −2m
2
+) Nếu ∆′ = 0 ⇔ 2m − 5m − 3 = 0 ⇔ 
thì (1) có nghiệm kép x = − =
.
1
m = −
a m +1

2

m > 3
−2m ± 2m 2 − 5m + 3
2
.
+) Nếu ∆′ > 0 ⇔ 2m − 5m − 3 > 0 ⇔ 
thì (1) có 2 nghiệm phân biệt x1;2 =
1
m < −
m +1

2
m > 3
2

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi ∆ > 0 ⇔ 2m − 5m − 3 > 0 ⇔ 
( *)
m < − 1

2
Gọi hai nghiệm phân biệt là x1 ; x2 với x2 > x1.
b
4m

 x1 + x2 = − a = m + 1
Theo định lí Vi-ét ta có 
 x x = c = 2m + 3
1 2
a m +1

−1 < m < 0

 4m

>0 

 x1 + x2 > 0
 m +1
  m > −1
Hai nghiệm đều dương khi 
⇔
⇔ 

→ vno .
 x1 x2 > 0
 2m + 3 > 0
m < − 3
 m + 1
 
2
( x + 1)( x2 + 1) > 0
c) Hai nghiệm đều nhỏ hơn −1 khi  1
 x1 + x2 < −2

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 2 m + 3 4m

 −m + 4
 −1 < m < 4

+1 > 0 
>0
 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 1 > 0  m + 1 m + 1
 m +1

⇔
⇔
⇔ m > 1
⇔ 1 < m < 4.

 x1 + x2 < −2
 − 4m < −2
 4m − 2 > 0   m < −1

 m + 1
 m + 1
Đối chiếu với điều kiện (*) vể tồn tại hai nghiệm phân biệt ta được 3 < m < 4 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho phương trình ( x + 2 ) ( x 2 + mx − 2m + 1) = 0, (1) .
a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm âm.
c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 < 7.
Lời giải:
x
=

2


a) Ta có (1) ⇔ 
2
 g ( x) = x + mx − 2m + 1 = 0, ( 2 )
Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt và khác −2.
  m > −4 + 2 5


2
∆ g > 0
m2 + 8m − 4 > 0   m < −4 − 2 5
m − 4 (1 − 2m ) > 0
Điều đó xảy ra khi 
⇔
⇔
⇔ 
(*)
 g (−2) ≠ 0 4 − 2m − 2m + 1 ≠ 0 4m ≠ 5

5
m ≠
4

  m > −4 + 2 5


Vậy với   m < −4 − 2 5 thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

5
m ≠

4

b) Do nghiệm x = −2 < 0 nên để (1) có 3 nghiệm trong đó 2 nghiệm âm thì (2) phải có hai nghiệm trái dấu.
1
Từ đó ta có P < 0 ⇔ 1 − 2m < 0 ⇔ m > .
2
Giá trị này thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.
c) Không mất tính tổng quát, giả sử x1 = −2. Khi đó x2 ; x3 là hai nghiệm phân biệt của (2).
 x2 + x3 = −m
Theo định lí Vi-ét ta được 
 x2 x3 = 1 − 2m
Khi đó x12 + x22 + x32 < 7 ⇔ 4 + ( x2 + x3 ) − 2 x2 x3 < 7 ⇔ m 2 − 2 (1 − 2m ) − 3 < 0 ⇔ m 2 + 4m − 5 < 0 ⇔ −5 < m < 1.
2

Kết hợp với điều kiện (*) ta được −4 + 2 5 < m < 1 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho phương trình x 2 − 2 x − 15 = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 . Không giải phương trình, tính:
A = x12 + x22 ,

B = x13 + x23 ,

C = x14 + x24 .

Lời giải:
Vì a, c trái dấu nên phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 . Ta có:
b
c
S = x1 + x2 = − = 2; P = x1 x2 = = −15 nên :
a
a

2
2
2
A = x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 4 + 30 = 34
B = x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) = 8 + 90 = 98
3

(

C = x14 + x24 = x12 + x22

)

2

− 2 ( x1 x2 ) = 342 − 2 ( −15 ) = 706
2

2

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho phương trình x 2 − 3x − 7 = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 . Không giải phương trình, tính:
D = x1 − x2 ,

E=

1
1
+
,
x1 − 1 x2 − 1


F = ( 3 x1 + x2 )( 3 x2 + x1 ) .

Lời giải:
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Ta có : S = x1 + x2 = 3; P = x1 x2 = −7 nên D 2 = x12 + x12 − 2 x1 x2 = S 2 − 4 P ⇒ D = S 2 − 4 P = 37
E=

( x1 + x2 ) − 2 = S − 2 = 1
x2 − 1 + x1 − 1
=
( x1 − 1)( x2 − 1) x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1 P − S + 1 9

(

)

F = 9 x1 x2 + 3 x12 + x22 + x1 x2 = 3S 2 + 4 P = 1 .

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có 2 nghiệm x1 , x2 . Chứng minh
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) . Áp dụng phân tích ra thừa số:

f ( x ) = −2 x 2 − 7 x + 4, g ( x ) =


(

)

2 + 1 x2 − 2

(

)

2 + 1 x + 2.

Lời giải:
b
c
Ta có x1 + x2 = − và x1 x2 = .
a
a
2
b
c

Do đó ax 2 + bx + c = a  x 2 + x +  = a  x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 x2  = a ( x1 − x2 )( x − x2 ) .
a
a

1
1

Vì f ( x ) có hai nghiệm là −4 và

nên phân tích thành f ( x ) = −2 ( x + 4 )  x −  = ( x + 4 )(1 − 2 x ) .
2
2

2
nên phân tích thành
2 +1

2 
2 +1 x − 2  x =
 = x − 2  2 + 1 x − 2  .

2
+
1



Vì g ( x ) có hai nghiệm là
g ( x) =

(

)(

2 và

)

(


)(

)

Ví dụ 6: [ĐVH].
2 x 2 − 2 x − 12
x 4 − 9 x 2 + 20
a) Đơn giản A = 2
, B= 4
x + x − 12
x − 10 x 2 + 24
b) Phân tích thành nhân tử P ( x, y ) = 4 x 2 − x 2 y 2 + 2 x 2 y − x 2 + 2 xy − 2 x − 1
a) A =

2 x − 2 x − 12
=
x 2 + x − 12
2

(
(

2 ( x + 2 )( x − 3)

( x − 3)( x + 4 )

)(
)(


)
)

=

2 ( x + 2)
x+4

Lời giải:
,x≠3

x2 − 4 x2 − 5
x 4 − 9 x 2 + 20
x2 − 5
B= 4
=
=
, x ≠ ±2
x − 10 x 2 + 24
x2 − 6
x2 − 4 x2 − 6

b) Ta có thể viết thành tam thức bậc hai theo y

(

(

)


P ( x, y ) = − x 2 y 2 + 2 x 2 + x y + 4 x 4 − x 2 − 2 x − 1 . Biệt số ∆ ' = x 2 + x
y1 =

)

2

− x 2 − x − 2 x3
− x 2 − x + 2 x3
.
y
=
. Vậy P ( x, y ) = − xy − x − 1 − 2 x 2
2
− x2
− x2

(

(

)

+ x 2 4 x 4 − x 2 − 2 x − 1 = 4 x 6 nên

)( xy − x − 1 + 2 x ).
2

Ví dụ 7: [ĐVH]. Tìm các giá trị của m để phương trình :
a) x 2 − 4 x + m − 1 = 0 có nghiệm là x1, x2 mà x13 + x23 = 40 .

b) x 2 + ( 4m + 1) x + 2 ( , −4 ) = 0 có 2 nghiệm và hiệu số giữa nghiệm lớn và nghiệm bé bằng 17.
Lời giải:
a) Điều kiện có nghiệm là ∆ = 4 − ( m − 1) = 5 − m ≥ 0 hay m ≤ 5 .
Khi đó x1 + x2 = 4 và x1 x2 = m − 1 . Ta có : x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) = 43 − 12 ( m − 1) = 76 − 12m nên
3

x13 + x23 = 40 ⇔ 76 − 12m = 40 ⇔ 12m = 36 ⇔ m = 3 (thỏa mãn).

b) ∆ = ( 4m + 1) − 8 ( m − 4 ) = 16m 2 + 33 > 0, ∀m,
2

Ta có x1 + x2 = − ( 4m + 1) , x1 x2 = 2 ( m − 4 ) . Giả sử x1 > x2 thì
x1 − x2 = 17 ⇔ ( x1 − x2 ) = 289 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 289 ⇔ 16m 2 + 33 = 289 ⇔ m 2 = 16 ⇔ m = ±4.
2

2

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho phương trình bậc hai ( m + 2 ) x 2 − 2 ( m − 1) + 3 − m = 0 .
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 và thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = x1 + x2 .
b) Tìm một hệt thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m.
x −1
x −1
c) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm: X 1 = 1 , X 2 = 2

.
x1 + 1
x2 + 1
a)

x12

+

x22

= x1 + x2 ⇔ ( x1 + x2 )

2

Lời giải:
− 2 x1 x2 = x1 + x2 hay S 2 − 2 P = S

Điều kiện phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 và thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = x1 + x2 là :
5

2m2 − 3m − 5 ≥ 0
5
m < −1 hay m >


∆ ' ≥ 0
m
<


1
hay
m
>

2


⇔   m − 1 2
.
2⇔
 2
3 − m 2 ( m − 1) ⇔ 
3
±
13

2
=
2
4 


 S − 2 P = S

m=
m − 3m − 1 = 0
m+2
m+2
 m+2


2
2 ( m − 1) 2 ( m + 2 − 3)
6
3−m 5− 2− m
5
=
=2−
=
= −1 +
b) S =
;P=
.
m+2
m+2
m+2
m+2
m+2
m+2
Khử m ta có 5S + 6 P = 4 ⇔ 5S + 6 P − 4 = 0 hay 5 ( x1 + x2 ) + 6 x1 x2 − 4 = 0. Đây là 1 hệ thức giữa x1 , x2 không phụ
thuộc vào m.
c) Để lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là X 1 , X 2 ta tính X 1 + X 2 và X 1 X 2 . Ta có :

X1 + X 2 =
X1 X 2 =

2 ( x1 x2 − 2 )
x1 − 1 x2 − 1 ( x1 − 1)( x2 + 1) + ( x2 − 1)( x1 + 1)
2P − 2
2 − 4m

+
=
=
=
=
.
x1 + 1 x2 + 1
x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 1 P + S + 1 3 + 2m
( x1 + 1)( x2 + 1)

x2 − 1 x1 − 1 x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1 P − S + 1 7 − 2m
.
.
=
=
=
x1 + 1 x2 + 1 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 1 P + S + 1 3 + 2m

Vậy phương trình cần tìm là: X − SX + P = 0 hay ( 3 + 2m ) X 2 − ( 2 − 4m ) X + 7 − 2m = 0.

Ví dụ 9: [ĐVH]. Cho a, b, c là ba số khác nhau, c ≠ 0. Chứng minh rằng nếu hai phương trình x 2 + ax + bc = 0 và
x 2 + bx + ca = 0 có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của chúng thỏ mãn phương trình x 2 + cx + ab = 0.
Lời giải:
2
Giả sử α là nghiệm chung của hai phương trình x + ax + bc = 0 (1) và x 2 + bx + ca = 0 (2)
2
α + aα + bc = 0
Ta có:  2
⇒ α ( a − b ) + c ( b − a ) = 0 ⇒ ( α − c )( a − b ) = 0 ⇒ α = c ≠ 0.
α + bα + ca = 0

Thay α = c vào (1) ta có c 2 + ac + bc = 0 ⇒ c ( a + b + c ) = 0 ⇒ a + b + c = 0
Mặt khác, theo định lý Vi-et phương trình (1) còn có nghiệm nữa là b, phương tình (2) còn có nghiệm nữa là a.
Theo định lý Vi-et đảo, a và b là hai nghiệm của phương trình x 2 − ( a + b ) x + ab = 0 ⇔ x 2 + cx + ab = 0 (đpcm).

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho phương trình x − 2(2m + 1) x + 3 + 4m = 0, (*)
2

a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2.
b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m.
c) Tính theo m, biểu thức A = x13 + x23 .
d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia.
e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x12 ; x22 .
2
2
Bài 2: [ĐVH]. Cho phương trình x − 2(m − 1) x + m − 3m = 0, (*)

a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại.
b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m.
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x12 + x22 = 8.
Bài 3: [ĐVH]. Cho phương trình x 2 − 2(m − 2) x + m(m − 3) = 0 . Tìm m để
a) phương trình có hai nghiệm trái dấu?
b) phương trình có hai nghiệm âm phân biệt?

c) phương trình có hai nghiệm dương phân biệt?
d) phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x13 + x23 = 0.
Bài 4: [ĐVH]. Cho phương trình x 2 + 2(m − 1) x + m 2 = 0 . Tìm m để
a) phương trình có hai nghiệm trái dấu?
b) phương trình có hai nghiệm âm phân biệt?
c) phương trình có hai nghiệm dương phân biệt?
d) phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x12 + x22 = 3.
Bài 5: [ĐVH]. Cho phương trình ( m − 1) x 2 − 2mx + m + 1 = 0.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ≠ 1.
b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của
phương trình.
c) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức

x1 x2 5
+ + = 0.
x2 x1 2

Bài 6: [ĐVH]. Phương trình mx2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0.
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn
hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x1, x2 của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.

Thầy Đặng Việt Hùng

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!




Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×