Phương pháp tính nhanh khoảng cách từ điểm tới mặt

GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM ,
Tel : 0909520755 , Face : Hoàng Trọng Tấn
Page : tracnghiemtoan.vn – T(100) pp phân rã

Phương pháp: Tính nhanh khoảng cách từ điểm tới mặt
Khoảng cách từ chân đường cao tới mặt bên của tứ diện
Xét bài toán : cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) , tìm khoảng
cách từ A tới mặt phẳng (SBC)
Giải
Kẻ AK vuông góc BC tại K
Kẻ AH vuông góc SK tại H
Thì d ( A,(SBC))  AH
Tính AH

TH1 :
_Nếu tam giác ABC vuông tại A thì ta có
1
1
1
1
1
1
 2



2
2
2
2
AH

SA
AK
AS
AB
AC 2

TH2 :
_Nếu tam giác ABC vuông tại B ( hoặc C ) thì lúc này AK trùng với AB ( hoặc AC )
nên
1
1
1
1
1
1
 2
 2
, hoặc (
)
2
2
2
AH
AH
SA
SA
AC 2
AB

TH3 :

_Nếu tam giác ABC không vuông thi ta có :
1
1
1
 2
mà d ( A, BC ) bằng với độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác
2
AH
SA
d ( A, BC )2

ABC nên ta có thể dùng diện tích hoặc các công thức lượng giác  để tính độ dài
đường cao

Nhận luyện thi theo nhóm , lớp khu vực TPHCM ..
242 Độc Lập , Tân Thành, Tân Phú , TPHCM


GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM ,
Tel : 0909520755 , Face : Hoàng Trọng Tấn
Page : tracnghiemtoan.vn – T(100) pp phân rã

Khoảng cách từ điểm không phải là chân đường cao tới mặt bên

Bước 1 :
_Ta chỉ cần tính trước khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (SBC)

Bước 2 :
1) Sau đó vì DA  BC  M nên

d (D,(SBC )) 

MD
d ( A,(SBC ))
MA

2) Còn nếu DA / / BC thì :
d (D,(SBC))  d ( A,(SBC))

Khoảng cách từ điểm mà không dời về chân đường cao được thì ta sẽ dùng thể tích
để tính

Nhận luyện thi theo nhóm , lớp khu vực TPHCM ..
242 Độc Lập , Tân Thành, Tân Phú , TPHCM


GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM ,
Tel : 0909520755 , Face : Hoàng Trọng Tấn
Page : tracnghiemtoan.vn – T(100) pp phân rã

Lưu ý khi tính toán thì để thuận tiện ta nên nhớ các kết quả sau :
Cạnh , khoảng cách thì đơn vị là : a
Diện tích thì đơn vị là : a 2
Thể tích thì đơn vị là : a3
Vì vậy ta chỉ cần tính số sau đó ráp các đơn vị tương ứng vào là được

Bài Tập :
Bài 1 : Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , có AB  a, AC  a 3
và cạnh SA  2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy . Tính khoảng cách từ điểm A đến
mặt phẳng (SBC ) .

Giải : dễ thấy bài toán này thỏa mãn công thức 1 vì vậy ta có ngay
1
1
1
1



thay (SA, AB, AC ) bởi (2,1, 3) thì ta có ngay
d 2 ( A,(SBC )) SA2 AB2 AC 2
d ( A,(SBC )) 

2 57a
19

Bài 2 : Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , có AB  a và cạnh
SA  2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (SBC ) .
Giải : dễ thấy bài toán này thỏa mãn công thức 2 vì vậy ta có ngay
1
1
1
2 5a
 2
thay (SA, AB) bởi (2,1) thì ta có ngay d ( A,(SBC )) 
2
5
d ( A,(SBC )) SA
AB
2

Bài 3 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc
đáy và SA=2a . Hãy tính các khoảng cách sau :
a) d ( A,(SBC))
Nhận luyện thi theo nhóm , lớp khu vực TPHCM ..
242 Độc Lập , Tân Thành, Tân Phú , TPHCM


GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM ,
Tel : 0909520755 , Face : Hoàng Trọng Tấn
Page : tracnghiemtoan.vn – T(100) pp phân rã

b) d ( A,(SBD))
c) d (O,(SBC))
Giải :
a) Dễ thấy khoảng cách này ứng với công thức 2 vì vậy ta có ngay
1
1
1
2 5a
thay (SA, AB) bởi (2,1) thì ta có ngay d ( A,(SBC )) 
 2
2
5
d ( A,(SBC )) SA
AB
2

b) Dễ thấy khoảng cách này ứng với công thức 1 vì vậy ra có ngay
1

1
1
1
thay (SA, AB, AC ) bởi (2,1,1) thì ta có ngay
 2

2
d ( A,(SBD)) SA
AB
AD 2
2

d ( A,(SBD)) 

2a
3

c) Ta có : AO  BC  C nên suy ra d (O,(SBC )) 

CO 1
CO
d ( A,(SBC )) mà
 nên
CA
CA 2

ta có
1 2 5a
5a
1

d (O,(SBC ))  d ( A,(SBC )) suy ra d (O,(SBC ))  .

2
2 5
5

Bài 4 : Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc ABC  60 ,
cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=2a , hãy tính các khoảng cách sau
a) d ( A,(SBC))
b) d (D,(SBC))
c) d (M ,(SBC)) với M là trung điểm của cạnh SA
d) d (N ,(SBC)) với M là trung điểm của cạnh SD
Giải :
Tam giác ABC cân tại B và có góc B bằng 60 độ
suy ra tam giác ABC đều cạnh a

Nhận luyện thi theo nhóm , lớp khu vực TPHCM ..
242 Độc Lập , Tân Thành, Tân Phú , TPHCM


GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM ,
Tel : 0909520755 , Face : Hoàng Trọng Tấn
Page : tracnghiemtoan.vn – T(100) pp phân rã

a) áp dụng công thức ở trường hợp 3 ta có ngay
1
1
1
 2 2
2

d ( A,(SBC )) SA
d ( A, BC )
a 3
( đường cao tam giác đều )
2

a 3
2 57a
Vậy thay (SA, d ( A, BC)) bởi  2a,
 ta có ngay d ( A,(SBC )) 

2 
19

Mà : d ( A, BC ) 

b) vì DA song song BC nên : d ( A,(SBC ))  d (D,(SBC )) 

c) vì MA  (SBC)  S nên ta có ngay d ( M ,(SBC )) 

2 57a
19

SM
d ( A,(SBC ))
SA

1
2 57a
suy ra : d ( M ,(SBC ))  d ( A,(SBC )) 

2
38

d) vì DN  (SBC)  S nên ta có ngay d ( N ,(SBC )) 

SN
d (D,(SBC ))
SD

1
2 57a
suy ra : d ( N ,(SBC ))  d (D,(SBC )) 
2
38

Tạm dừng tại đây , mình phải lên trường có công việc mai mình sẻ viết tiếp để phục
vụ các bạn  .
Tài liệu này sẽ viết bổ sung chỉnh sửa liên tục và up tại face của mình , sẽ giúp các
bạn có thể kiếm dc 5 câu đề thi quốc gia năm nay về hình cổ điển , 1 trong những
bài toán sẽ chắc chắn nằm trong đề thi . Hy vọng sẽ giúp ích cho các bạn trong kì thi
năm nay
Nhận luyện thi theo nhóm , lớp khu vực TPHCM ..
242 Độc Lập , Tân Thành, Tân Phú , TPHCM