Bài giảng giải tích 1 bài 7

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



GIẢI TÍCH I
BÀI 7
CHƯƠNG II. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
§1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
 Đặt vấn đề
I. Định nghĩa.
1. Định nghĩa.
f(x) trên (a ; b), F(x) là nguyên hàm của f(x)  F’(x) = f(x),  x  (a ; b)
Ví dụ
a) f(x) = 2010
d) f(x) = sinx
g) f(x) = x2 lnx

c) f(x) = x,   
f) y = x2ex
i) f(x) = x3 sinx

b) f(x) = 0
e) f(x) = lnx
h) f(x) = x cosx

Định lí. F’(x) = f(x), x  (a ; b), khi đó tập tất cả các nguyên hàm của f(x) là
F(x) + C
Định nghĩa.

 f  x  dx  F  x   C

2. Tính chất
a) f(x) liên tục trên (a ; b)  

 f  x  dx

 f  x  dx ,   g  x  dx
   f  x    g  x   dx    f  x  dx    g  x  dx , ,   
Toán tử  có khả nghịch trái, không có khả nghịch phải
d
 d

c)
f
(
x
)
dx

f
(
x
)
d)
 f ( x )  dx  f ( x )  C


dx
 dx

b) Tuyến tính. 

3. Bảng một số tích phân thông dụng
 x  1
 C,   1

x  dx     1
ln x  C,
  1





 cos2 x
x

 sin2 x dx   cot x  C



 tan x  C

a

 1  x 2 dx  arctan x  C
1

sin xdx   cos x  C
dx

1

1
1 x

2

dx  arcsin x  C

x

 a dx  ln a  C
II. Các phương pháp tính
1. Đổi biến số
Mệnh đề 1. Nếu

 g  t  dt  G t   C   g w  x  w   x  dx  G w  x    C
30


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Mệnh đề 2. Nếu


1 

 g   x   ’(x)dx = G(x) + C   g  t  dt  G(

t )  C , ở đó

t = (x) có hàm ngược là x = 1(t)
Ví dụ 1



a)



d)

12
x  x  4  dx

sin3 x
dx
cos x

 x2

g)

dx
4x
tan x

2

 1  sin2 x dx

2x  1



h)



a2  x 2 dx



f)

x

i)



ex  1
dx

1 x2
x 2dx

1 x2

2
2x  1

(x 
ln x  C )
ln 2
2

 2x  1dx

n)

e)

1 x2
ln2 x
dx
x ln 4 x

1
sin2 x
( ln
C )
2 1  sin2 x

cot x

m)



dx

c)

1
cos2 x
(  ln
C)
2 1  cos2 x

 1  cos2 x dx

k)

b)

x 3dx

2. Tích phân từng phần. Các hàm u, v khả vi, có

 udv  uv   vdu

Ví dụ 2
2

 5x  6  cos3 xdx
x
e) 
dx
cos2 x

 ln xdx

2
d)   arcsin x  dx
a)



g)



k)

x ln

b)

1 x
dx
1 x



h)

x ln x  1  x 2
1 x



2



arcsin x
dx
1 x

 sin ln x  dx
x cos x
f) 
dx
sin3 x
c)

i)



a2  x 2 dx

dx

Ví dụ 3.
a)

xdx

 e x  x  12

c 1)

2)



e x
(
C )
x 1

arccot 2x  1 dx

 arctan

d 1)



2)



2x  1 dx

x ln(1  2 x )
e2 x
x ln(1  3 x )
e3 x

dx
dx

b)



1  x  dx
x 2e x

e x
(
C )
x

1
( 2 x arccot 2x  1  2x  1  C )
2
1
( 2  x  1 arctan 2 x  1  2 x  1  C )
2
1
(  e 2 x (2x  1)ln(1  2 x )  1  C )
4
1
(  e 3 x (3 x  1)ln(3 x  1)  1  C )
9

31


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

e 1)

 ln( x

2



 2 x  3)dx

ln( x 2  1) 1
2 2
x
2
(
 ln( x 2  2) 
arctan
 ln x  1  C )
x 1
3
3
2 3
2)

ln( x 2  2)



( x  1)2

dx

ln( x 2  1) 2
2
4
(
 ln( x 2  1)  arctan x  ln x  2  C )
x 2
5
5
5
3. Sử dụng các lớp hàm có tính chất đặc biệt
Ví dụ
8 x

 x e dx
d)  x ne x dx
a)

9

 x cos xdx
e)  x n cos xdx
b)

10

 x sin xdx
f)  x n sin xdx

c)

4. Tích phân của một vài lớp hàm khác
a) Hàm hữu tỉ R  x  

Pm  x 
, Pm(x), Qn(x) là các đa thức bậc m, n của x
Qn  x 

(mĐịnh lí. Nếu Qn(x) = an(x  a)(x  b) ... (x2 + px + q) ... (x2 + lx + s), ở đó ,
, ...,    ; a, b   , p2  4q < 0, l2  4s < 0,  +  + ... + 2( + ... + ) = n.
Khi đó
A 1
A
A1
B
B1
R x 

+
...



+ ...
x a
 x  a   x  a  1
 x  b 
 x  b  1

B 1
M  1x  N  1
Mx  N
M1x  N1



+
...

x  b  x 2  px  q    x 2  px  q   1
x 2  px  q
+ ... 

Px  Q

 x 2  lx  s 



P1x  Q1

 x 2  lx  s  1

+ ... 

P 1x  Q 1
x 2  lx  s

,

các hệ số nêu trên được tính theo phương pháp hệ số bất định.
Từ đó, để tính
1)

A

  x  a k

 R  x  dx ta sẽ dẫn đến tính các tích phân sau

dx ;

2)

Mx  N

 x 2  px  q

dx ;

3)

  x 2  px  q m dx ;

ở đó p2  4q < 0.
Ví dụ.
a)

dx

  x  25

b)

32

2x  1

Mx  N

 x 2  3x  4 dx


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

c)

e)
g)



3x  2

  x 2  2x  22 dx
x2  2

 x 4  4 dx
dx

 x  x 5  12

h)



x2  1
dx
 x  3   x  13

d)



f)

 x8  x6

dx

x2  1

1
x 3
7
5
d
x
(

ln


C )
32 x  1 8( x  3) 4( x  3)2
( x  3)3 ( x  1)

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

33