Bài giảng giải tích 1 bài 4

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



GIẢI TÍCH I
BÀI 4.
(§9, §10)
§9 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN (Tiếp theo)
5. Đạo hàm và vi phân cấp cao.
a) Đạo hàm cấp cao.
Định nghĩa. f(n)(x) = (f(n  1)(x))'
Ví dụ 1.



 cos  x  n 

2

(n)
b) y = x ,    , tính y
a) y = cosx, y

n 

c) y = loga|x|, tính y(n)

Quy tắc.  f(n)(x), g(n)(x)
1) (f(x))(n) = f(n)(x)
2) (f(x)  g(x))(n) = f(n)(x)  g(n)(x)
n

3)  f  x  .g  x  

n



 Cnk f k   x  g n k   x 

k 0

Ví dụ 2. y = x lnx, tính y(5) .

Ví dụ 3. y = sinax cosbx, tính y(20)
1
Ví dụ 4. y = x2 cosx, tính y(30) . Ví dụ 5. y  2
, tính y(n)
x 1
1  2x
Ví dụ 6.
a) y  2 x , tính y(n)
((2)ne2x(n + 1  2x))
e
(n  2)!3n 1 
(n)
b) y  x ln(1  3 x ) , tính y
(
3x  n )
n
1  3 x 

t2
t2
 x  3t  2t 3
e
2
te
c) y  f ( x ), 
, tính f   x  , f   x 
(f  
, f  
)
2
t2
3

9
1

2
t
 y  te
 x  t  et
2et
t









d) y  f ( x ), 
, tính f x , f x
( f  2(1  e ) , f 
)
2t
1  et
 y  2t  e
e) f(x) = x2 sin(1  x). Tính f(50)(1)

(100)

f) f(x) = (1  x)2 cos x. Tính f(51)(0)

(102)

g) Cho f  x   ln

2x  1
2

2x  x  1

. Tính f

 2n 

0

b) Vi phân cấp cao
Định nghĩa. dnf = d(dn  1f)
khi x là biến số độc lập ta có dnf = f(n)(x)dxn.
Ví dụ 7. y = x3ex, tính d10y
18

((2n  1)!)


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



Vi phân cấp cao không có tính bất biến
Ví dụ 8. y = x3, x = t2, có d2y  y(2)dx2
2 10
( 8! C11
2 dx11 )

a) y = (x + 1)2 ln(2x + 3), tính d11y(1),

Ví dụ 9.

b) y  (1  x 2 )ln(2x  1) , tính d10y(1).
Ví dụ 10.

Ví dụ 11.

2
( 7!C10

.29 dx10 )

a) f  x   e x sin x , tính d22f(0)

(211dx22)

b) f  x   e x cos x , tính d20f(0)

(210dx20)

a) f ( x )  ( x 3  1)ln(1  x ) . Tính d7f(0)

(540 dx7)

b) f ( x )  ( x 3  1)ln(1  x ) . Tính d7f(0)

(540 dx7)

§ 10. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG
 Đặt vấn đề.
1. Các định lí về hàm khả vi
Định lí Fermat. f(x) xác định trên (a ; b), f(x) đạt cực trị tại c  (a ; b),  f'(c) thì
f'(c) = 0.
Ví dụ 1.

a) y = x2, x  (1 ; 2)

b) y = |x|, x  (1 ; 1).

Định lí Rolle. f(x) liên tục trên [a ; b], khả vi trên (a ; b), f(a) = f(b)   c  (a ;

b) sao cho f'(c) = 0
Ví dụ 2. f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3), x  [3 ; 1]

 3
Ví dụ 4. f(x) = x2 + 2x, x    ;
 2

Ví dụ 3. f  x   2  5 x 4 , x  [1 ; 1].


1


Ví dụ 5. f(x) khả vi [0 ; 1], f'(0).f'(1) < 0. CMR  c  (0 ; 1): f'(c) = 0.
Ví dụ 6.
a) Cho a = b + c. CMR phương trình 4ax3 + 3bx2 + c = 0 có
nghiệm thuộc khoảng (1 ; 0).
b) Cho a + b + c = 0. CMR phương trình ax3 + 2bx + 2c = 0 có
nghiệm thuộc khoảng (0 ; 2).
x
n
c) CMR: Với mọi số tự nhiên lẻ n, phương trình x   arctan t  dt có


0

không quá 2 nghiệm thực phân biệt
x
n
d) CMR: Với mọi số tự nhiên lẻ n, phương trình x   arccot t  dt có


0

không quá 2 nghiệm thực phân biệt.
e) Cho 6a = 4b + 3c. CMR phương trình ax3 + bx2 + c = 0 có ít
nhất một nghiệm trong khoảng (2 ; 0).

19


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



Định lí Lagrange. f(x) liên tục trên [a ; b], khả vi trên (a ; b)   c  (a ; b):

f  b   f a 
 f  c 
ba
Ví dụ 7. f(x) = x(x + 1), x  [0 ; 2].

Ví dụ 8. f(x) = |x|(x  1), x  [1 ; 2]

Ví dụ 9. CMR: |arctana  arctanb|  |a  b|
Ví dụ 10. a) Chứng minh rằng các VCB (x)  (x), x  +,

(x) = arctan2(x + 1)  arctan2x, (x) =

arccot 1  x 2 

.

1 x2

b) Chứng minh rằng các VCB (x)  (x), x  +,
2

2

(x) = arccot (2  x)  arccot (1  x), (x) 

4arctan 1  x 2 

n

1
c) Chứng minh rằng
 ln2 , d) Chứng minh rằng
n

k
k 1



e) Tìm a để   x   tan

1
3  xa

 tan

1
1  xa

1 x2
n

.

1

 2n  k  ln2
k 1

là VCB cùng bậc với

1
x4

khi x  +.
(2)

f) Tìm a để   x   tan

1
2  xa

 tan

1
5  xa

là VCB cùng bậc với

1
x6

khi x  +.
(3)

g) Hàm số f  x   x ( x  1) , 1  x  2 có thỏa mãn định lý Lagrange ? công
(thỏa mãn, c 

thức Lagrange có đúng cho hàm đó ?

3
)
2

h) Cho xi , y i  (a; b ), xi  y i , i  1, n . CMR nếu f khả vi trên (a;b) thì tồn tại số
n

c  (a; b ), sao cho

n

 [f(xi )-f(yi )]  f (c ) ( xi  y i ).
i 1

i 1

Định lí Cauchy. f(x), g(x) liên tục trên [a ; b], khả vi trên (a ; b)   c  (a ; b):
(f(b)  f(a))g'(c) = (g(b)  g(a))f'(c).
Ngoài ra, nếu g'(x)  0,  x  (a ; b) thì có

f  b   f a 
f  c 

.
g  b   g a  g c 
Ví dụ 11. f(x) = x2, g(x) = x3, x  [1 ; 2]
Ví dụ 12. f(x) = |x|(x + 1), g(x) = x, x  [2 ; 1]
Ví dụ 13.

a) 1) CMR  x > 0 có 3arctanx + arctan(x + 2) < 4arctan(x + 1).
2) CMR  x > 0 có 2arccotx + arccot(x + 2) > 3arccot(x + 1).
20


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo


4

4

3

2

b) 1) Cho phương trình x  a1x  a2 x  a3 x  a4  0 ,

 ak  0 , có bốn
k 1

2

nghiệm thực phân biệt. CMR : 3(a1)  8a2
2) Cho f(x) liên tục trên [0,1], khả vi trên (0,1), có f(0)=0, f(1)=1.
+) CMR : phương trình f(x)=1-x có nghiệm trong khoảng (0,1)
+) CMR : Tồn tại hai số a, b  (0,1) : f (a )f (b )  1.
4

4

3

2

c) Cho phương trình x  a1x  a2 x  a3 x  a4  0 ,

 ak  0 , có bốn
k 1

2

nghiệm thực phân biệt. CMR : 3(a1)  8a2 .
d) Hàm số f  x   x ( x  1) , g  x   x  1, 1  x  2 có thỏa mãn định lý

Cauchy ? công thức Cauchy có đúng cho hàm đó ? (không thỏa mãn, c 

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

21

1
)
2