Bài giảng giải tích 1 bài 11

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



GIẢI TÍCH I
BÀI 11
§4. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (TT)
II. Ứng dụng hình học
1. Tính diện tích hình phẳng
a) Đường cong cho trong toạ độ Descarter
+) y = f1(x), y = f2(x), x = a, x = b
b

S

 f1  x   f2  x  dx
a

+) x = g1(y), x = g2(y), y = c, y = d
d

S

 g1  y   g2  y  dy
c

Ví dụ 1. Tính diện tích giới hạn bởi các đường:

x3
b) y = x và y 
3

2

a) y = x(x  1)(x  2) và trục Ox
c) x = y (y  1) và trục Oy

x2
d) y = x , y 
, y = 2x
2

x2
e) x + y  8, y 
2

x2
f) y 
, y
2
1 x2

2

2

2

1

2

2
g) y 2  x  x  1

 1
 1
 )
2) x  y 2 , x 2  y 2  2y . (  )
4 3
4 3
b) Đường cong cho dưới dạng tham số
h) 1) x  y 2 , x 2  y 2  2y . (

x  x t 
+) 
,   t  , không kín. Khi đó S 
y  y t 



 y t  x t  dt



x  x t 
+) 
, 0  t  T, kín, giới hạn miền nằm bên trái. Khi đó
y  y t 
T

T

T





  x  t  y  t   x t  y t dt

1
S   y  t  x   t  dt  x  t  y   t  dt 
2
0

0

0

Ví dụ 2. Tính diện tích giới hạn bởi đường cong:
a) x = a cost, y = b sint, 0  t  2
b) Cycloide: x = a(t  sint), y = a(1  cost), 0  t  2, y  0
c) Astroide: x = a cos3t, y = b sin3t
48


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



d) Cardioide: x = a(2cost  cos2t), y = a(2sint  sin2t)

e) x = 3t2, y = 3t  t3
f) x = t2  1, y = t3  t

3at

3at 2

, y
1 t3
1 t3
c) Đường cong trong toạ độ cực: r = r(),  = ,  = 
g) Lá Descarter: x 



1 2
Khi đó có S 
r   d
2





Ví dụ 3. Tính diện tích giới hạn bởi đường cong:
a) r = R

b) r = a cos2 (hoa hồng 4 cánh)

c) r = a sin3 (hoa hồng 3 cánh)

d) r = a(1 + cos) (cardioide)

e) r2 = a2 sin4

a 
f) r = a cos, r = a(cos + sin), miền chứa điểm  ; 0 
2 
g) r = 2a cos3, r  a
2. Tính thể tích
a) Thể tích vật thể có tiết diện thẳng góc với Ox với diện tích S(x) là hàm liên
b

tục, a  x  b là V  S  x  dx


a

Tương tự nếu vật thể có tiết diện thẳng góc với Oy với diện tích S(y), c  y  d
d

thì ta có V  S  y  dy


c

b) Vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay hình y = f(x), y = 0, x = a, x = b
b

quanh trục Ox có thể tích là V   y 2  x  dx


a

Tương tự khi quay hình x = x(y), x = 0, y = c, y = d quanh trục Oy có thể tích là
d

V   x 2  y  dy


c

 Khi quay y = f(x), y = 0, x = a, x = b quanh trục Oy tạo nên vật thể tròn xoay
b

có thể tích là V  2 xy  x  dx


a

c) Khi quay r = r(), 0         quanh trục cực tạo nên vật thể tròn xoay

2
có thể tích là V 
3



r

3

  sin d



Ví dụ 4. Tính thể tích vật thể
49


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
2

2

2

a) x + y + z  R



2

b)

x2
a2



y2
b2



z2
c2

1

c) Quay y = sinx, y = 0, 0  x   quanh trục Ox ; trục Oy
d) z 

x2 y 2

,z=1
4
2

x2 y 2
e)

 z 2  1, z = 1, z = 2
4
9
2
g) z = x + 2y2, x2 + 2y2 + z2 = 6

f) x2 + z2 = a2, y2 + z2 = a2

h) Quay một nhịp của đường xicloide: x = a(t  sint), y = a(1  cost) quanh trục
Oy; Ox và y = 2a.
i) Khi quay hình y  x arccot x , y = 0, x = 0, x = 1 quanh trục Ox

 2  3  ln2
(


)
4 16
2
k) Khi quay hình y  x arctan x , y = 0, x = 0, x = 1 quanh trục Ox

 3  2  ln2
(


)
16 4
2
l. 1) Khi quay hình y 
2) Khi quay hình y 

x arctan x
1 x2
xarc cot x
1 x2


)

8

, y = 0, x = 1, quanh trục Ox,

(

, y = 0, x = 1, quanh trục Ox,

2 
(
)
8

m. 1) Khi quay hình phẳng y  e x  1, y = 0, x=0, x = 1, quanh trục Oy,
( )

2) Khi quay hình y  ln( x  1) , y = 0, x=0, x = 1, quanh trục Oy,
( )
2
128
n. 1) Giới hạn bởi x 2  z 2  4 , y 2  z 2  4 .
(
)
3
128
2) Giới hạn bởi x 2  y 2  4 , x 2  z 2  4 .
(
)
3
3. Tính độ dài cung

 : y = y(x), a  x  b, y’(x) liên tục trên [a ; b], khi đó có s 
a) AB

b



1  y 2  x dx

a

 : x = x(t), y = y(t),   t  , khi đó có s 
b) AB





x 2  t   y 2  t dt



 : r = r(),     , khi đó có s 
c) AB







50

r 2    r 2   d


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



Ví dụ 5. Tính độ dài đường cong
a) x2 + y2 = R2
b) y2 = x3 từ (0 ; 0) đến điểm có hoành độ x = 4.
c) r = a(1 + cos)

x

a
d) y   e x / a  e  x / a 
2

e) y 



cos tdt

 /2

f) Tìm chu vi của tam giác cong giới hạn bởi Ox, y = ln cosx và y = ln sinx
(8  4 2 )

g 1) x = t + cost, y = sint, 0  t  
2) x = sin2t, y = 2t  cos2t, 0  t  

(8)

3) y = arcsin ex, 0  x  ln2

( ln  2  3  )

1 6

x

t

3
h) 
, 0t  48
y  4  1 t 4

2
 x  2t  cos 2t
i. 1) 
,0 t 
 y  sin 2t

 x  1  t 3

k. 1) 
, 0t  5
2
 y  2  3t
 x  1  t 3
3) 
, 0t  5
2
 y  2  3t

(

26
)
3

(8)

 x  sin2t
2) 
, 0  t   (8)
 y  2t  cos 2t

(19)

 x  2  3t 3
2) 
, 0t  3
2
 y  3  2t

 x  2  3t 2
4) 
, 0t  3
3
 y  3  2t

(19)

t 


t 
 x  cos t  ln tan ,
l. 1) 
2 6
2 (ln 2)
 y  sin t ,
 x  sin t

2) 
t 

y

cos
t

lncot
,


t


2 3
2
x

m. 1) y 


2

(  ln

3
)
2

3
3
[t ln(t  1)]2  1dt , 2  x  3 ( 4ln 4  ln3  )
2
4

x

2) y 



[(t  1)ln t ]2  1dt , 3  x  4 (12ln 4 

3

15
11
ln3  )
2
4

4. Tính diện tích mặt tròn xoay
a) y = f(x), a  x  b quay quanh trục Ox, f’(x) liên tục:
b

  2 y 1  y 2 dx (y  0)


a

+) Tương tự, x = x(y), c  y  d quay quanh trục Oy, x’(y) liên tục:
51

(14)

(14)


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

d

  2 x 1  x2 dy (x  0)


c

x  x t 
b) 
,   t   quay quanh trục Ox
y  y t 


  2 y  t  x2  t   y 2  t  dt (y  0)





Tương tự, nếu quay quanh trục Oy


  2 x  t  x2  t   y 2  t  dt (x  0)





c) r = r(),      quay quanh trục cực



  2 r   sin r 2    r 2  d





Ví dụ 6. Tính diện tích tròn xoay
a) y = tanx, 0  x  /4 quay quanh trục Ox
b) x2 + y2 + z2 = R2
c) r = 2R sin quay quanh trục cực
d) r = a(1 + cos) quay quanh trục cực
e) x = a(t  sint), y = a(1  cost), 0  t  2 quay quanh trục Ox ; Oy



x

x




a a
 a2 2
a
f) Quay đường y  e  e
, 0  x  a quanh trục Ox (
(e  e2  4) )

2
4

g)

x2
a2



y2
b2



z2
b2

1

h) x 2/3  y 2/3  a 2/3 quay quanh Oy; quay quanh y = x
i) Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn (x + 3)2 + y2 = 1 quay
quanhtrục Oy .
(122)

g) 1) y  cos x ,  x   , quay quanh ox.
(  [ 2  ln(1  2)] )
2

2) y  sin x ,   x  0 , quay quanh ox.

(  [ 2  ln(1  2)] )
2
288
3) r  3(1  cos ) , quay quanh trục cực.
(
)
5

Have a good understanding!
52