CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC SỐ 10 PTNK

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU

CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

SỐ

1

Đặc san kỉ niệm 20 năm trường Phổ thông Năng khiếu

TRẦN NAM DŨNG (Chủ biên)
LÊ PHÚC LỮ
NGUYỄN VĂN HUYỆN
LƯƠNG VĂN KHẢI


Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK TPHCM

CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC
SỐ 10 CỦA PTNK

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 16/09/2016


Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10


Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

Mục lục
9

1

Quá trình hình thành và phát triển khối Toán Tin trường PTNK

2

Câu chuyện về những bài toán

21

3

Bài toán đường và điểm cố định

27

4

Bài giảng về Phương trình đồng dư và Thặng dư chính phương

37

5

Các tính chất số học của dãy số nguyên

43

6

Nhìn lại đề thi vào lớp 10 chuyên Toán qua các năm

61

7

Một số bài toán chọn lọc về
phép biến hình

73

8

Sử dụng tính liên tục của chu kỳ để chứng minh hàm hằng

87

9

Ứng dụng của tỉ số đoạn thẳng và tỉ số lượng giác

95

10 Giới thiệu về Toán mô hình

127

11 Quy hoạch tuyến tính và Ứng dụng

143

12 Phép nghịch đảo

161

13 Số phức trong hình học phẳng

191

14 Một số phương pháp tiếp cận bài toán hình học phẳng

201

15 Định lý thặng dư Trung Hoa

215

16 Tứ giác ngoại tiếp

229

17 Giới thiệu kỳ thi Sharygin Olympic hình học toàn Nga mở rộng

241

18 Giới thiệu đề thi chọn đội tuyển PTNK qua các năm

255

3


Chuyên đề Toán học số 10

Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

4

Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM


Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

Lời nói đầu
Kỷ niệm 20 năm dĩ nhiên là một câu chuyện dài, xuyên qua nhiều thế hệ
học sinh. Ngũ hổ đại tướng quân ngày xưa, vốn trẻ trung oanh liệt, nay
người đã về hưu, người cũng qua tuổi tri thiên mệnh. Nhiều lứa học trò
giờ đã trở thành đồng nghiệp của các thầy, nhiều em đã vượt các thầy trên
con đường khoa học.
Con đường PTNK là một con đường chông gai. Nếu chỉ xét thành tích của
5 năm cuối cùng, kể từ Trần Hoàng Bảo Linh đoạt huy chương đồng IMO
2012, đến gần đây là Phạm Nguyễn Mạnh đoạt huy chương bạc 2016, ta
có thể thấy dường như PTNK luôn ở đỉnh cao. Thực tình thì câu chuyện
gian khó hơn nhiều. Nếu không kể đến huy chương vàng APMO 1997 của
Lê Quang Nẫm, hay sau đó là các thành tích ở đấu trường APMO của Trần
Quang Vinh, Trần Vĩnh Hưng thì phải gần 10 năm sau khi thành lập, PTNK

mới có huy chương IMO đầu tiên của Nguyễn Đăng Khoa vào năm 2003.
Thành tích này được tiếp nối bởi Trần Chiêu Minh (2005, HCB), Đặng
Trần Tiến Vinh (2008, HCĐ), Phạm Hy Hiếu (2009, HCB) một cách vô
cùng chật vật. Và chiếc huy chương vàng toán quốc tế đầu tiên của PTNK
đã đến sau gần 20 năm, vào năm 2013, và hẳn 2 chiếc, được đem về bởi
Phạm Tuấn Huy và Cấn Trần Thành Trung. Phạm Tuấn Huy cũng là học
sinh duy nhất của miền Nam sau đó đã đoạt 2 huy chương vàng toán quốc
tế. Ngày nay PTNK đã thường xuyên được nhắc tới, được tính tới khi nói
về đội tuyển quốc gia. Nhưng ít ai biết nhiều năm trước, có học sinh ra thi
vòng 2 đã là niềm mơ ước của các thầy cô đội tuyển toán. Chông gai lắm,
khó khăn lắm nhưng đội ngũ các thầy cô giáo và các học trò đã không
chùn bước, luôn kiên gan, bền chí và luôn giữ vững tâm niệm sẽ giành
vinh quang bằng sức lực và trí tuệ của chính mình. Trung thực, công bằng,
nhiệt huyết, đó là bí quyết tạo nên sức mạnh và tinh thần của lớp lớp các
thế hệ đội tuyển toán PTNK.
Song hành với các thành công của đội tuyển toán PTNK, thật vui mừng là
không khí của phong trào chuyên toán các tỉnh phía Nam cũng được hâm
nóng và khích lệ. Giải quốc gia đã không còn phải là điều xa xỉ. Và những
thành tích quốc tế của Quảng Ngãi, Bình Định, Phú Yên, Khánh Hòa và
đặc biệt của Đà Nẵng thật đáng tự hào.
Vai trò dẫn dắt phong trào của PTNK, đầu tiên là về mặt tinh thần, rõ ràng
được khẳng định. Thêm vào đó, các ấn phẩm và các hoạt động của học
sinh PTNK như chuyên đề toán học, Seminar toán học, một mặt phục vụ
5


Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

6

Chuyên đề Toán học số 10

phong trào học tập của các học sinh PTNK, mặt khác có tầm ảnh hưởng
không nhỏ đến phong trào học toán ở Tp HCM và các tỉnh lân cận.
Chuyên đề toán học PTNK số 10 là một ấn phẩm đặc biệt nhằm kỷ niệm 20
năm thành lập trường PTNK. Ấn phẩm này được hình thành một mặt bởi
những bài viết rất mới của những học sinh hiện đang còn học tại trường,
mặt khác bởi những bài viết kinh điển của các tác giả đã từng học tại PTNK.
Và dĩ nhiên, không thể thiếu bài viết của tứ trụ "Trình-Dũng-Tuấn-Dũng".
Câu chuyện PTNK dĩ nhiên là còn nhiều, còn dài, khó lòng mà nói hết
được. Chỉ kể tên các tác giả đã viết cho chuyên đề PTNK đã không đủ thời
gian. Vì vậy tốt nhất là để chính các bài viết sẽ nói về các tác giả.
Vậy nhé, hãy đọc và cảm nhận tinh thần 20 năm PTNK.
Trần Nam Dũng
Chủ biên Chuyên đề Toán học PTNK

Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM


Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

Lời cảm ơn
Tài liệu này sẽ không thể hoàn thành nếu thiếu đi những sự giúp đỡ nhiệt
tình, đáng trân trọng. Chúng tôi, Ban biên tập, xin gửi lời cảm ơn chân
thành đến quý thầy cô, các bạn sau đây
1. Thầy Nguyễn Tăng Vũ, Giáo viên PTNK thành phố Hồ Chí Minh.
2. Anh Võ Quốc Bá Cẩn, Giáo viên trường Archimedes Academy.
3. Anh Đặng Nguyễn Đức Tiến, Trento University.
4. Bạn Tống Hữu Nhân, Sinh viên trường Đại học Y Dược thành phố
Hồ Chí Minh.

5. Bạn Phạm Tiến Kha, Sinh viên trường Đại học Sư Phạm thành phố
Hồ Chí Minh.
6. Huỳnh Phước Trường, Sinh viên trường Đại học Sư Phạm thành phố
Hồ Chí Minh.
7. Bạn Bùi Mạnh Khang, Học sinh THPT Chuyên Lê Hồng Phong.
8. Bạn Cấn Trần Thành Trung, Duke University, USA.
9. Bạn Lê Việt Hải, Pennsylvania State University, USA.
10. Bạn Phạm Hy Hiếu, Stanford University, USA.
11. Bạn Hồ Quốc Đăng Hưng, University of Chicago, USA.
12. Bạn Phạm Tuấn Huy, Stanford University, USA.
13. Bạn Nguyễn Minh Trường Giang, Học sinh PTNK thành phố Hồ Chí
Minh.
14. Bạn Nguyễn Minh Châu, Học sinh PTNK thành phố Hồ Chí Minh.
Trong chuyên đề này, chúng tôi đã rất cố gắng để có thể có đầy đủ các bài
viết của những tên tuối gắn liền với PTNK như thầy Trần Nam Dũng, thầy
Lê Bá Khánh Trình, thầy Nguyễn Thanh Dũng, thầy Nguyễn Trọng Tuấn.
7


Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

8

Chuyên đề Toán học số 10

Bên cạnh đó, chuyên đề còn có sự góp mặt của các bài viết mà tác giả là
các IMOer những năm gần đây của PTNK như Phạm Hy Hiếu, Trần Hoàng
Bảo Linh, Cấn Trần Thành Trung, Phạm Tuấn Huy, Hồ Quốc Đăng Hưng,
Nguyễn Huy Hoàng và Phạm Nguyễn Mạnh. Để tiếp nối truyền thống, mục
đề thi cũng không thể thiếu trong chuyên đề này với hai bài viết về Đề thi

tuyển sinh vào lớp Chuyên và đề thi chọn đội tuyển của PTNK.
Ngoài ra còn có các bài viết của các bạn học sinh, cựu học sinh PTNK với
nhiều chủ đề phong phú. Nhưng bạn đọc có thể dễ phát hiện ra rằng có
rất nhiều chuyên đề viết về hình phẳng, một đặc điểm rất đặc trưng của
học sinh Năng khiếu.
Chúng tôi có nói vui là trong lời nói đầu của Chuyên đề Toán học số 9
ra vào tháng 10/2010, có đoạn viết: "Chuyên đề Toán học số 9 của trường
PTNK mà các bạn đang cầm trên tay là một ấn phẩm có nhiều điều đặc biệt.
Thứ 1, nó được thai nghén trong một khoảng thời gian dài kỷ lục: ít nhất là
1 năm. Thứ 2, nó được ra đời cách chuyên đề trước đó 5 năm."
Chuyên đề lần này cũng đã tạo một kỷ lục mới: thai nghén trong 3 tháng
và ra đời cách chuyên đề trước đó gần 6 năm. Và hơn thế nữa, nó còn ra
đời vì mục tiêu hướng đến kỷ niệm 20 năm ngày thành lập lớp chuyên
Toán của PTNK.
Mong rằng những sự cố gắng này của Ban biên tập sẽ đem lại một tài liệu
có ích, có ý nghĩa cho các bạn học sinh, các thầy cô chuyên Toán. Hy vọng
rằng nó sẽ là một món quà từ các thầy cô, của các thế hệ đàn anh đi trước
dành tặng cho những lớp chuyên Toán của trường Phổ thông năng khiếu
hiện tại và tương lai.
Ban Biên tập Chuyên đề Toán học số 10 PTNK.

Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM


Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

Quá trình hình thành và phát triển
khối Toán Tin trường PTNK
Ban biên tập
Lời Ban biên tập: Trong khi đang cố gắng viết một bài giới thiệu tổng quát về tổ

Toán trường Phổ thông Năng khiếu, ban biên tập nhận được bài viết đóng góp của
một nhóm học sinh lớp 11 Toán năm nay. Hỏi ra mới biết, đây là một bài tập của
thầy Nguyễn Tăng Vũ, vừa giúp các bạn học sinh hiểu thêm về lịch sử thành lập tổ
Toán PTNK, vừa rèn kĩ năng làm việc nhóm cho các bạn. Sau khi chỉnh sửa, biên
tập lại, ban biên tập xin giới thiệu cùng bạn đọc bài viết này. Trân trọng cảm ơn
thầy Nguyễn Tăng Vũ cùng các bạn học sinh Tiêu Phát Đạt, Thái Thành Trung, Đào
Minh Khôi, Bùi Minh Kiệt, Nguyễn Tuấn Khôi, Dương Minh Nhất đã đóng góp.

1. Sự hình thành khối Toán trường Phổ Thông
Năng Khiếu
1.1. Lịch sử thành lập trường
Lịch sử khối Toán – Tin
Sau khoảng thời gian tìm hiểu công tác đào tạo học sinh năng khiếu Toán
- Tin tại những trường Đại học phía Bắc, cụ thể là các mô hình các Khối
Chuyên Toán-Tin Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội và Khối Chuyên
Toán Đại Học Sư Phạm Hà Nội, khoa Toán trường Đại học Tổng Hợp đã
lập tờ trình xin được mở khối chuyên nhằm phát hiện và bồi dưỡng học
sinh năng khiếu về toán học, tin học và tạo nguồn đào tạo tốt cho khoa.
Ngày 14/07/1993, Thứ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo Trần Chí Đáo ký
quyết định thành lập "Hệ phổ thông trung học chuyên Toán – Tin, trường
Đại Học Tổng Hợp Tp. HCM".
Hơn 2 năm hoạt động, Hệ phổ thông trung học chuyên Toán – Tin Học đã
gặt hái được nhiều thành tích tốt đẹp trong các kỳ thi năm 1995, 1996;
9


Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

10

Chuyên đề Toán học số 10

mô hình giảng dạy học sinh năng khiếu ngay trong lòng trường Đại học
đã chứng tỏ được tính ưu việt của mình. Do đó, Ban Đào Tạo Đại Học
Quốc Gia TpHCM đã lập dự án thành lập trường Phổ thông trung học
chuyên thuộc Đại học. Và ngày 4/7/1996 Bộ Trưởng Bộ GD ĐT Trần Hồng
Quân đã ký quyết định số 2693/GD-ĐT thành lập trường Phổ Thông Năng
Khiếu.
Lịch sử thành lập
Ngày 8/8/1996, GS. Trần Chí Đáo, Giám Đốc Đại học Quốc gia Thành phố
Hồ Chí Minh (ĐHQG - TP. HCM) ký quyết định số 92/ĐHQG – TCCB về
việc bổ nhiệm Ban Giám Hiệu trường Phổ Thông Năng Khiếu bao gồm:
• GS.TS Nguyễn Văn Đến, Hiệu Trưởng trường ĐH KHTN, kiêm Hiệu
Trưởng trường Phổ Thông Năng Khiếu
• PGS.TS Hoàng Văn Kiếm, Trưởng khoa Công Nghệ Thông Tin trường
ĐH KHTN, kiêm Phó Hiệu Trưởng trường Phổ Thông Năng Khiếu
• GVC. Đặng Thị Hưởng, Trưởng khoa Ngữ Văn Anh trường Đại Học
Khoa Học Xã Hội và Nhân Văn (ĐH KHXHNV), kiêm Phó Hiệu Trưởng
trường Phổ Thông Năng Khiếu.
Ngày 8/8/1996, Phó giám đốc ĐHQG, GS. Nguyễn Văn Hanh ký quyết
định số 90/ĐHQG – TCC, quyết định trường Phổ thông Năng khiếu có cơ
sở chính đặt tại trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên (số 227 Nguyễn Văn
Cừ, Q5, TPHCM) cho đến khi có đủ điều kiện hình thành một cơ sở độc
lập.
Ngày 6/12/1996, Phó giám đốc ĐHQG TP. HCM, GS. Nguyễn Văn Hanh
ký quyết định số 206/ĐHQG/KHTC về việc giao cơ sở 135B (nay là 153
Nguyễn Chí Thanh, Phường 9, Quận 5, TP.HCM) do trường ĐHKHTN tạm
thời quản lý cho trường Phổ thông Năng khiếu kể từ ngày 1/1/1997. Đây
cũng là cơ sở của trường Phổ Thông Năng Khiếu cho đến nay. Hiện nay,
trường cũng đã bắt đầu mở một cơ sở nữa tại Linh Trung, Thủ Đức, và

tăng chỉ tiêu tuyển sinh để có thể chọn lọc thêm nhiều nhân tài.

1.2. Thành lập tổ Toán
Tổ Toán là tổ chuyên môn có lịch sử lâu đời nhất trong các tổ chuyên môn
của Trường Phổ Thông Năng Khiếu. Điều này cũng dễ hiểu vì Trường Phổ
Thông Năng Khiếu được hình thành dựa trên cơ sở các lớp chuyên Toán –
Tin của trường ĐHTH TPHCM, nay là ĐHKHTN TPHCM.
Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM


Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

Chuyên đề Toán học số 10

11

Những thành viên đầu tiên của tổ Toán là cô Trần Thị Lệ, các thầy Hoàng
Lê Minh, Lê Bá Khánh Trình, Bùi Xuân Hải, Thái Minh Đường, Nguyễn Hội
Nghĩa, Lê Văn Hợp, Trần Ngọc Hội. Thời gian đầu, nhiệm vụ của tổ Toán
là dạy phần Toán cơ bản cho các lớp chuyên Toán và chuyên Tin học, cũng
như xây dựng chương trình để dạy cho đội tuyển Tóan. Về mặt khối lượng
công việc cụ thể thì không nhiều vì đầu tiên chỉ có 1 lớp chuyên Toán –
Tin, sau đó là 3 lớp rồi 5 lớp, tuy nhiên, vì chưa có kinh nghiệm về chương
trình dạy chuyên (lúc này Bộ chưa ban hành nội dung chương trình cho
các lớp chuyên) nên các thành viên của tổ đã phải vừa làm, vừa mày mò
học hỏi kinh nghiệm, dần dần lên được chương trình khung cho cấp độ
đội tuyển.
Từ năm học 1996-1997, nhiệm vụ của tổ Toán trở nặng nề hơn vì khối
chuyên Toán nay đã trở thành trường Phổ thông Năng Khiếu với các lớp
Toán – Tin – Lý – Hoá – Sinh – Anh – Văn. Để đảm bảo cho hai mặt trận –

đào tạo mũi nhọn thi HSG và đào tạo Toán phổ thông cho tất cả các lớp,
lực lượng của tổ Toán đã được bổ sung thêm rất nhiều các thầy cô giỏi từ
các trường PTTH và ĐHKHTN: cô Lợi, các thầy Danh, thầy Viết Đông, thầy
Nam Dũng, thầy Thanh Dũng, thầy Thùy, ... và sau này là các sinh viên trẻ
mới ra trường như Tuấn, Đức, Khanh (Tuấn và Đức là cựu học sinh PTNK).

Thầy Thái Minh Đường (đứng bên trái), nguyên Phó Hiệu trưởng trường
Phổ thông Năng khiếu
Và các thành viên tổ Toán có thể tự hào là đã hoàn thành tốt hai nhiệm vụ.
Cùng với các tổ chuyên môn khác, tổ Toán đã góp phần không nhỏ trong
Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM


Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

12

Chuyên đề Toán học số 10

việc đào tạo kiến thức phổ thông cho tất cả các khối lớp, giúp tỷ lệ đậu tốt
nghiệp và đậu đại học của học sinh PTNK luôn ở mức cao.
Niềm tự hào của các thành viên tổ Toán không chỉ nằm ở những thành
tích bề nổi, những tỷ lệ đậu tốt nghiệp, đậu đại học hay số các huy chương
quốc gia, quốc tế. Bằng những bài giảng đầy tâm huyết, họ đã truyền cho
các thế hệ học sinh tình yêu môn toán, những kiến thức cơ bản và nền
tảng của toán học phổ thông và cả toán hiện đại. Qua phong cách dạy rất
khác nhau của các thầy cô, các học sinh đã học được lối học tập chủ động,
biết tự tìm tòi và đào sâu vấn đề. Chính điều này đã giúp cho các học sinh
PTNK tiếp tục thành công ở các bậc học cao hơn. Một điều rất quan trọng
mà các thầy muốn gửi đến các em học sinh là: động cơ học tập không chỉ

là đạt giải quốc gia, quốc tế mà quan trọng hơn cả là một kiến thức nền
tảng tốt, một phong các làm việc khoa học dành cho những phát triển về
sau. Sự trung thực trong thi cử, sự chia sẻ, hỗ trợ lẫn nhau trong học tập,
vì thế luôn là kim chỉ nam của các thầy cô và các em học sinh.
Bên cạnh đó, trong quá khứ các thầy cô tổ Toán cũng đã tổ chức nhiều đợt
tập huấn đội tuyển ở Hóc Môn, Vũng Tàu để cùng sinh hoạt, giao lưu. Đấy
cũng là một trong những ấn tượng rất sâu đậm của các cựu học sinh với
trường, là những điều cần được phát huy để nâng cao tình thầy trò trong
trường lớp. Sau nhiều năm giảng dạy, tổ toán cũng đã có nhiều thay đổi
trong danh sách thành viên. Dưới đây là một số thầy cô đã và đang công
tác tại tổ Toán:

Thầy Lê Bá Khánh Trình, người thầy có phong cách giảng bài gây ấn tượng
với những thế hệ học sinh Năng khiếu
Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM


Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

Chuyên đề Toán học số 10

13

Thầy Trần Nam Dũng, người thầy quen thuộc của các học sinh chuyên Toán

Thầy Trịnh Thanh Đèo và thầy Nguyễn Văn Thùy

Thầy Nguyễn Trọng Tuấn với những bài giảng về Phương trình hàm sâu sắc
Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM

Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

14

Chuyên đề Toán học số 10

Cô Nguyễn Thị Duyên, cô Nguyễn Thị Tuân, thầy Nguyễn Thanh Dũng, thầy
Tạ Hoàng Thông, thầy Nguyễn Trọng Tuấn, thầy Nguyễn Tăng Vũ, thầy
Vương Trung Dũng, thầy Võ Tiến Trình, thầy Nguyễn Ngọc Duy

2. Quá trình phát triển – Thành tích của tổ chuyên
môn
Đội tuyển khối chuyên tham gia thi HSG Quốc gia lần đầu tiên vào năm
1995 và kết quả là con số 0. Không nản chí, thầy trò lại tiếp tục miệt mài
dùi mài kinh sử, các thầy đều đem hết tâm huyết ra truyền lại cho thế hệ
học sinh và đàn em giáo viên.
Sau một năm rèn luyện vất vả, kết quả đầu tiên cũng đã đến! Trong kỳ thi
HSG Quốc gia năm học 1995-1996, học sinh Lê Long Triều đã đạt giải nhì
môn Toán, làm nức lòng các thầy cô và bạn bè. Năm đó, Triều được tham
dự kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam thi Toán quốc tế. Tuy chưa lọt vào được
đội tuyển nhưng Triều và Lê Quang Nẫm (mới học lớp 10) cũng đã học
hỏi được thêm rất nhiều qua hai tuần tập huấn tại Hà Nội. Quan hệ giữa
tổ Toán với các thầy ở Hà Nội cũng được thiết lập và mở rộng.
Trong lĩnh vực đào tạo mũi nhọn, những thành tích bắt đầu đến một cách
từ từ nhưng chắc chắn: sau Lê Long Triều đạt giải nhì Toán quốc gia vào
Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM


Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

Chuyên đề Toán học số 10

15

năm 1996 là Lê Quang Nẫm đọat HCV Olympic châu Á – Thái Bình Dương
năm 1997 và tiếp theo là những thành tích ấn tượng vào những năm 1998,
2000, 2002, 2005 và đặc biệt là hai chiếc HCB Toán Quốc tế của Nguyễn
Đăng Khoa (2003) và Trần Chiêu Minh (2005).
Đặc biệt hơn, từ năm 2012 đến nay (tức 5 năm liên tiếp), trường Phổ
Thông Năng Khiếu luôn có đại diện trong đội tuyển Việt Nam thi Toán
Quốc tế. Việc cạnh tranh một trong sáu suất dự IMO rõ ràng là rất khó, và
việc trường Phổ Thông Năng Khiếu liên tục có học sinh trong đội tuyển dự
thi IMO là một điều rất vinh dự cho trường, cho thành phố Hồ Chí Minh,
cho toàn miền Nam.

Buổi lễ xuất quân thi HSG Quốc gia 2016

2.1. Giải quốc gia
Thành tích của PTNK qua các kì thi học sinh giỏi Toán quốc gia là vô cùng
đáng nể. Có nhiều năm, cả đội tuyển PTNK gồm 10 bạn đều có giải quốc
gia. Bảng sau đây thống kê thành tích thi quốc gia của trường trong giai
đoạn gần đây (từ 2008 đến 2016).
Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM


Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

16

Chuyên đề Toán học số 10
Năm
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016

Giải nhất
0
0
0
0
1
1
0
0
0

Giải nhì
0
0
0
1
2
2

2
2
2

Giải ba
0
1
2
1
3
1
4
3
6

Giải KK
1
2
2
2
0
1
1
2
2

Tổng
1
3
4

4
6
5
7
7
10

Trong đó hai học sinh đạt giải nhất, cũng là thủ khoa của kỳ thi năm đó
là: Trần Hoàng Bảo Linh (35/42 điểm) - VMO 2012 và Phạm Tuấn Huy
(33/42 điểm) - VMO 2013.

2.2. Giải quốc tế
Bắt đầu từ chiếc HCB Toán Quốc tế đầu tiên năm 2003, đến bây giờ các
học sinh ưu tú của trường Phổ Thông Năng Khiếu đã giành được tổng cộng
là 11 chiếc huy chương trong kỳ thi Toán Quốc tế (gồm 3 HCV, 6 HCB và
2 HCĐ). Sau đây là danh sách chi tiết các giải IMO của trường PTNK.
Năm

Thí sinh

Giải thưởng

Điểm số

2003

Nguyễn Đăng Khoa

26/ 42

2005

Trần Chiêu Minh

31/42

2008

Đặng Trần Tiến Vinh

21/ 42

2009

Phạm Hy Hiếu

29/ 42

2012

Trần Hoàng Bảo Linh

20/ 42

2013

Phạm Tuấn Huy

33/ 42

2013

Cấn Trần Thành Trung

31/ 42

2014

Phạm Tuấn Huy

32/ 42

2014

Hồ Quốc Đăng Hưng

22/ 42

2015

Nguyễn Huy Hoàng

23/ 42

2016

Phạm Nguyễn Mạnh

26/ 42

Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM


Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

Chuyên đề Toán học số 10

Đặng Trần Tiến Vinh, IMO 2008 và Phạm Hy Hiếu, IMO 2009

Trần Hoàng Bảo Linh, HCĐ IMO 2013
Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM

17


Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

18

Chuyên đề Toán học số 10

Phạm Tuấn Huy và Cấn Trần Thành Trung - những chàng trai vàng PTNK
Học sinh Phạm Tuấn Huy đã xuất giành được hai Huy chương vàng tại
IMO 2013 (Colombia) và IMO 2014 (Nam Phi).

Hồ Quốc Đăng Hưng, HCB IMO 2014
Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM


Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

Chuyên đề Toán học số 10

19

Nguyễn Huy Hoàng - HCB IMO 2015

2.3. Các thành tích khác
Mặc dù không phải là ưu tiên trọng điểm trong dạy và học, thành tích của
khối Toán trường Phổ Thông Năng Khiếu tại kỳ thi Olympic 30/4 truyền
thống toàn miền Nam vẫn luôn rất ấn tượng. Năm ngoái (2016), đội tuyển
Toán của trường (gồm 6 người) đã giành tổng cộng 4 Huy chương vàng
và 2 Huy chương bạc. Trong đó, khối 10 dù là lần đầu dự thi đã xuất sắc
giành trọn vẹn cả 3/3 Huy chương vàng.
Ngoài các hoạt động học tập chuyên sâu, học sinh khối Toán trường Phổ
Thông Năng Khiếu cũng có rất nhiều thành tích khác trong các trò chơi trí
tuệ, trong các hoạt động văn nghệ, thể thao,... Tiêu biểu nhất có lẽ chính
là Thân Ngọc Tĩnh (Toán 0912) và Nguyễn Huy Hoàng (Toán 1215) khi
đã xuất sắc vô địch cuộc thi học thuật thường niên của Phổ Thông Năng
Khiếu (Thách Thức Entropy), sau đó đem cầu truyền hình đường lên đỉnh
Olympia về cho trường.
Dù chưa thể vô địch Đường lên đỉnh Olympia, những thành tích mà Ngọc
Tĩnh và Huy Hoàng đem lại đã góp phần làm đẹp thêm hình ảnh của không
chỉ tổ Toán, mà còn là hình ảnh chung của ngôi trường Năng Khiếu.

Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM


Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

20

Chuyên đề Toán học số 10

Thân Ngọc Tĩnh - Á quân Đường lên đỉnh Olympia 2012

3. Lời kết
Đã gần 20 năm trôi qua kể từ khi PTNK ra đời, và cũng từng ấy thời gian,
khối Toán gồm thầy và trò đã đồng lực chung sức phấn đấu, đưa PTNK trở
thành một trong những trường chuyên lớn mạnh nhất quốc gia. Giờ đây,
cơ sở 2 của trường cũng đã được thành lập, nhiệm vụ của các giáo viên tổ
Toán cũng ngày càng trở nên vất vả hơn.
Với định hướng mục tiêu phát hiện, bồi dưỡng năng khiếu học sinh Việt
Nam trở thành những chủ nhân tương lai của đất nước, chắc chắn trong
tương lai tới, sẽ còn thêm thật nhiều học sinh của PTNK đem về vinh quang
cho bản thân, cho gia đình, nhà trường và cho đất nước.

Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM


Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

Câu chuyện về những bài toán
Thầy Trần Nam Dũng
(Đại học Khoa học tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh)

Trong suốt hơn 20 năm dạy học, tôi đã sáng tác rất nhiều những bài toán
cho các đề kiểm tra và đề thi ở các cấp. Tuy nhiên, đa số những bài toán
rồi sẽ bị lãng quên, chỉ còn một số ít những bài toán ở lại, vượt qua thời
gian. Tôi muốn kể về những bài toán như vậy.

Bài toán đầu tiên là bài toán được chọn trong đề thi Olympic 30/4/1996.
Tôi rất thích thú với bài toán này vì để chọn được các hằng số đẹp như mơ
như thế, tôi đã rất tốn công sức, phải giải một hệ phương trình nghiệm
nguyên. Và thú vị là lời giải cũng ngắn gọn, chỉ trong 2 dòng. Bài toán đó
như sau
Bài 1. (Olympic 30/4/1996 khối lớp 10) Cho 0 ≤ x ≤ 1. Chứng minh rằng
x(13

1 − x2 + 9

1 + x 2 ) ≤ 16.

Lời giải thì vô cùng ngắn gọn. Ta có
13x

1 − x 2 + 9x

13
3
· x · 2 1 − x 2 + · 3x · 2 1 + x 2
2
2
13 2
3
2
≤
x + 4(1 − x ) +
9x 2 + 4(1 + x 2 )
4
4

= 16.

1 + x2 =

Có lẽ nhờ lời giải ngắn gọn đó mà bài toán đã được chọn và còn được đưa
vào vị trí bài toán dễ. Ban giám khảo không ngờ rằng đây là bài toán khó
nhất của kỳ thi. Chỉ có 1 học sinh duy nhất giải được bài toán này, đó là
bạn Vũ Đức Phú. Ba học trò của tôi là Lê Quang Nẫm, Nguyễn Lê Lực và
Lưu Minh Đức đã bó tay. “Em đã thử mọi cách mà không ra, kể cả dùng đạo
hàm” - Nẫm nói. Chắc là Nẫm tính đạo hàm sai, chứ không cậu ấy đã đi
đến cái phương trình này.
21


22

Chuyên đề Toán học số 10

Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

Bài 2. (Olympic Trại hè Phương Nam 2016) Giải phương trình
13(1 − 2x 2 )
1 − x2
Và sẽ tìm được điểm rơi x =

+

9(1 + 2x 2 )
1 + x2

= 0.

2
.
5

Liên quan đến nhóm 3 bạn Nẫm, Lực, Đức (bây giờ đều là giáo sư Toán)
còn có 1 bài toán thú vị khác, đó là bài toán được tôi sáng tác trên cơ sở
phát triển bài toán sau:
Cho các số dương a, b, x, y thỏa mãn điều kiện x y = ax + b y. Chứng minh
rằng
x + y ≥( a+

2

b) ,

mà tôi cho lớp 10 chuyên toán làm ngay trong buổi học đầu tiên.
Bài 3. Cho các số dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn điều kiện x yz = ax + b y +
cz. Chứng minh rằng
x + y +z >

a+b+

b+c+

c + a.

Sau này, tôi đã khai thác đề tài này theo. Hướng tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức x + y + z. Kết quả liên quan đến nghiệm của một phương trình

bậc 3, do đó tôi đã chọn các hằng số a, b, c để phương trình đó có nghiệm
đẹp, từ đó dẫn đến bài toán sau:
Bài 4. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 2x yz = 2x + 4 y + 7z.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x + y + z.
Bài toán này được thầy Nguyễn Khắc Minh chỉnh trang lại một chút và
chọn vào đề thi chọn đội tuyển IMO năm 2001.
Mùa chọn đội tuyển trường năm 2001 xảy ra tình huống là có một số bạn
xếp cuối cùng điểm. Vậy là phải thi lại. Tôi phụ trách ra đề phần đại số đã
lấy ý tưởng phép co để xét một tam giác nội tiếp trong ellip x 2 + 3 y 2 = 4
rồi tìm diện tích lớn nhất. Đại loại là cho x 2 + 3 y 2 = 4 và z 2 + 3t 2 = 4, tìm
giá trị lớn nhất của x t − yz − x − t + y + z. Tuy nhiên tôi đã nhầm lẫn thế
nào mà cuối cùng giải không ra, tính y theo x cũng không xong mà tính x
theo y cũng không được, đều dẫn đến các phương trình bậc 3 không giải
được. Thú vị là từ bài toán sai này sau này tôi đã phát biểu thành một bài
toán đẹp, được sử dụng làm đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2002 :
Bài 5. (VMO 2002) Cho hai đa thức
P(x) = 4x 3 − 2x 2 − 15x + 9, Q(x) = 12x 3 + 6x 2 − 7x + 1.
Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM


23

Chuyên đề Toán học số 10

Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

a) Chứng minh rằng mỗi một đa thức đều có 3 nghiệm thực phân biệt
b) Gọi α và β lần lượt là các nghiệm thực lớn nhất của P và Q tương
ứng. Chứng minh rằng α2 + 3β 2 = 4.
Năm 2003, Nguyễn Đăng Khoa lọt vào đội tuyển quốc gia dự IMO tại Nhật

Bản còn tôi vinh dự được tháp tùng anh Nguyễn Khắc Minh. Năm đó lần
đầu tiên được nhìn thấy mấy cái booklet nguyên bản của các trưởng đoàn
cho. Đề thi quốc gia của Ấn Độ năm đó có bài:
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y = 2. Chứng minh
rằng
x 3 y 3 (x 3 + y 3 ) ≤ 2.
Từ bài toán này, tôi đã đặt ra bài toán tổng quát:
Cho số nguyên dương n, tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho bất đẳng
thức sau đúng với mọi số dương x, y thỏa mãn x + y = 2
x k y k (x n + y n ) ≤ 2.
Bằng cách chọn x = 1 − , y = 1 + rồi dùng khai triển vô cùng bé, tôi
n(n−1)
tìm được điều kiện k ≥ 2 . Việc chứng minh bất đẳng thức
x n(n−1)/2 y n(n−1)/2 (x n + y n ) ≤ 2, (∗)
đúng với mọi số dương x, y thỏa mãn x + y = 2, tiến hành theo phương
pháp quy nạp toán học, được quy về việc chứng minh
x n y n (x n+1 + y n+1 ) ≤ x n + y n .
với điều kiện x + y = 2. Tiến hành thuần nhất hóa, ta được bất đẳng thức
tương đương
x n y n (x n+1 + y n+1 ) ≤ (x n + y n )

x+y
2

2n+1

.

Bất đẳng thức này nếu cho y = 1 thì thành bài toán sau:
Bài 6. (VMO 2011) Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng với mọi số

thực dương x ta có bất đẳng thức
x n (x n+1 + 1)
≤
xn + 1

x +1
2

2n+1

.

Sau này, trong quá trình dạy một nhóm học sinh lớp 8, tôi đã phát hiện
ra một cách chứng minh khác cho bất đẳng thức (∗) ở trên, một dạng quy
nạp khá độc đáo: Từ A(n) chứng minh A(2n) và từ A(n), A(n + 1) chứng
minh A(2n + 1). Bạn đọc hãy thử xem nhé.
Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM


Chuyên đề Toán học Phổ thông năng khiếu TP.HCM số 10

24

Chuyên đề Toán học số 10

Bài 7. (Hello IMO 2007) Cho k là một số thực thuộc khoảng (−1, 2) và
a, b, c là ba số thực phân biệt. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức
a2 + b2 + c 2 + k(ab + bc + ca)

1

(a − b)2

+

1
(b − c)2

+

1
(c − a)2

≥

9(2 − k)
.
4

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi nào?
Trong phần bình luận, tôi có đặt ra một bài toán như sau:
Bài 8. Cho a, b, c là các số thực không âm đôi một khác nhau. Chứng minh
rằng
1
1
1
(ab + bc + ca)
+
+
≥ 4.
2

2
(a − b)
(b − c)
(c − a)2
Vì năm đó bài toán chưa được sử dụng nên năm sau tôi đã gửi bài toán
này vào danh sách đề đề xuất VMO 2008 và đã được chọn.
Năm 2011, làm đề chọn đội tuyển ở Côn Sơn. Các nguồn đề đề xuất rất
hạn chế và thầy Nguyễn Khắc Minh yêu cầu phải tìm một bài đại số. Vẩn
vơ chưa tìm được ý nào hay, tự dưng vớ cuốn Short list 2010, đọc qua có
bài
Bài 9. Four real number p, q, r, s satisfy p + q + r + s = 9 and p2 + q2 + r 2 +
s2 = 21. Prove that there is a permutation (a, b, c, d) of (p, q, r, s) such that
a b − cd 2.
Đọc kỹ lời giải thì thấy ý chính của bài toán là nếu giả sử p q r s thì
ta sẽ có p + q 5. Từ ý tưởng này, tôi nghĩ đến bài toán tổng quát là với
hệ 2 điều kiện
a1 + a2 + · · · + an = A, a12 + a22 + · · · + an2 = B,
và a1 , a2 là hai số lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a1 + a2 . Sau
khi chuẩn hóa tôi đi đến bài toán.
Bài 10. (Việt Nam TST 2011) Cho số nguyên dương n
x 1 , x 2 , . . . , x n thỏa mãn điều kiện:
a) x 1

x2

3. Các số thực

. . . ≥ x n.

b) x 1 + x 2 + · · · + x n = 0.

c) x 12 + x 22 + · · · + x n2 = n(n − 1).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S = x 1 + x 2 .
Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM