Chuyên đề toán học

Một số phơng trình bậc cao có chứa tham số đôi khi cũng không phải là dễ
dàng , nếu để ý một chút ta thấy các phơng trình đó có thờng có tham số bậc hai .
Từ đó ta suy nghĩ đa các phơng trình đó về phơng trình bậc hai của tham số
bằng cách đổi vai trò của ẩn và tham số . Khi tìm đợc giá trị của tham số theo ẩn
ta giải tiếp phơng trình sau khi biến đổi để tìm ẩn số cần tìm . Hoặc có một số
dạng toán khác chẳng hạn phân tích đa thức thành nhân tử ta cũng có thể áp
dụng đợc bằng phơng pháp này . Sau đây là một số bài tập minh họa
Bài toán 1 :Tìm a để phơng trình
3
(1 )
( )( 2 )(1)
2
x x
a x x a
+
= + +
có nghiệm
Giải: Tạm thời coi a là ẩn còn x là tham số khi đó (1) là phơng trình ẩn a bậc 2 có
dạng:
2 4 3 2
4 6 2 0a xa x x x+ + =
Ta có:
' 2 4 3 2 4 3 2 2 2
9 4( 2 ) 4 4 (2 1) 0a x x x x x x x x x = + + = + + = +
2
1
2
a x x =
hoặc
2
1 1

2 2
a x x=

Vậy (1)
2 2
2 2
1 1 1
( )( ) 0
2 2 2
( 2 2 )( 2 ) 0
a x x a x x
x x a x a a
+ + + =
+ + =

2
2
2 2 0(2)
2 0(3)
x x a
x x a

+ + =

=

(1) có nghiệm

(2) hoặc (3) có nghiệm
2

3
1
' 0
1 2 0
2
1
' 0 1 8 0
8
a
a
a
a











+

Thì (1) luôn có nghiệm.
Bài toán 2 : Tìm a để phơng trình
3 4 2 2
2 1 0a x a x x a+ + + + =
(1) có nghiệm
+ Với a=0 Phơng trình luôn có nghiêm x=-1
+Với
0a

Nhân 2 vế phơng trình với 2 ta có
4 4 3 2 2
2 0a x a x ax a a+ + + + =
Đăt t=ax ta có
4 2 2
2 2 4
2 0
(2 1) 0
t at t a a
a t a t t
+ + + + =
+ + + + =
2 4 4 2
(2 1) 4( ) 4 4 1 (2 1)
a
t a t t t t t = + + = + =

2 2 2
2 2 2
2 1 2 1 2( 1) 2 2 2 0(2)
2 1 2 1 2( ) 2 2 0(3)

a t t a t t t t a
a t t a t t t t a

= + = + =


= + = + + + + =

(1) có nghiệm
/
2
/
2
5
5 2 0
2
1
1 2 0
2
a
a
a
a




=

=






Bài toán 3 : Giải phơng trình :
2 2
8 8 3 (2 1) 8 6 3x x x x x + = +
Đặt t =
2
8 6 3x x +
ta có :
2
2 (2 1)t x x t =
Coi đây là phơng trình ẩn t ta có :
2
(2 1) 2 0t t x =
2 2 2 2
(2 1) 8 4 4 1 8 4 4 1 (2 1) 0
t
a x x x x x x x = + = + + = + + = +
1, 2t t x = =
Do đó
2
2
8 6 3 1
8 6 3 2

x x
x x x

+ =


+ =

Hai phơng trình này đều vô nghiệm

(1) vô nghiệm
Bài toán 4 :Tìm a để phơng trình :
2 2 2
1 (3 2 ) 2 2x a x x a+ = + +
có nghiệm
Nhận xét :
2
1 0.x x+ >
Nên ta bình phơng 2 vế ta có:
4 2 2 2
2 2 4 2
2
2 1 (3 2 ) 2 2
2 1 0
' ( 1)
a
x x a x x a
a ax x x x
x
+ + = + +

+ =
= +
Do đó
2 2
2 2
1 1 0(2)
1 1 0(3)
a x x x x a
a x x x x a

= + + + =


= + + + =

(1) có nghiệm (2), (3) co nghiệm
2
3
4
4 5 0
5
4 3 0
3
4
a
a
a
a

= +




=





Bài toán 5 : Giải phơng trình :
4 2
2 2 2 2 0(1)x x x + =
Đặt a =
2

Khi đó (1) trở thành :
4 2 2 2 4
2 0 (2 1) 0(2)x ax x a a a x a x x + = + + =
Coi (2) là phơng trình ẩn a ta có
2 2 4 4 2 4
2 2
(2 1) 4( ) 4 4 1 4 4
4 4 1 (2 1) 0
a
x x x x x x x
x x x
= + = + + +

= + + = +
Phơng trình (2) có nghiệm
a=x
2
-x ; a = x
2
+x+1

2 2
2 2
1 1 4 2
2 2 0
2
1 2 2 1 0
1 4 2 3
2
x
x x x x
x x x x
x

+

=

= =

+ + = + + =




=


Bài toán 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A =
3 2 2
2 (2 2)x x x a
ta xem A là 1 đa thức bậc 2 biến a viết lại đa thức ta có :
A =
2 2 3 2 2 3 2
( ) 2 2 ( ) (2 2 )a x x a x x a x x a x x + + = + +
Đây là tam thức bậc hai biến a với hệ số a = 1 ; b= -(x
2
+x) ; c = 2x
3
-2x
2

Do đó P=x
2
+x=2x+(x
2
-x) và q = 2x
3
-2x

2
=(2x) ( x
2
-x)
Bằng cách tách ta có
2 2 2
2
2
2 ( 0 2 ( )
( 2 ) ( )( 2 )
( 2 )( )
A a ax x x a x x x
a a x x x a x
a x a x x
= + +
=
= +
Bài tập tự giải:
1.Giải phơng trình :
x a a x= +
2. .Giải phơng trình :
3 2 2
2 ( 1) 2 2 0x ax a x a + + + =
( a là tham số)
3.Tìm a để phơng trình :
1 1x a a x= + +
Có nghiệm
4. Giải phơng trình :
2 2
2 1 2( 1) 2 1x x x x x = +

5. Giải phơng trình :
2
4 1 3 1 2 1 1x x x x + = + + +
6. Giải phơng trình :
3 2 2
3
4 (2 1) 4 3
2
x x x x x + = + +
7. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
2 2 2
( ) 6 4 2A x a x x a= + +