Các bài toán điển hình bồi dưỡng học sinh lớp 5 (tập 2)

BÀI TOÁN VỀ “CÔNG VIỆC CHUNG”
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
- Loại toán này cũng thể hiện rõ mối quan hệ đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ
nghịch trong các tình huống phức tạp hơn bài toán về quy tắc tam suất.
Cách giải:
- Ta có thể hiểu 1 công việc như là 1 đơn vị. Do đó có thể biểu thị 1 công
việc thành nhiều phần bằng nhau (phù hợp với các điều kiện của bài toán) để
thuận tiện cho việc tính toán.
- Sử dụng phân số được coi là thương của phép chia hai số tự nhiên.
- Bài toán này thường có đại lượng thời gian. Cần phải biết chuyển đổi và
sử dụng các đơn vị đo thời gian thích hợp cho việc tính toán.
II. BÀI TẬP THỰC HÀNH
Bài 1: An và Bình nhận làm chung một công việc. Nếu một mình An làm
thì sau 3 giờ sẽ xong việc, còn nếu một mình Mình làm thì sau 6 giờ sẽ xong
việc đó. Hỏi cả hai bạn cùng làm thì sau bao lâu sẽ xong việc đó.
Bài 1 trang 152. các bài toán điển hình lớp 4,5

Bài giải: Cách 1:Coi công việc cần làm là 1 đơn vị.
Một mình An làm thì sau 3 giờ sẽ xong việc, như vậy 1 giờ An làm được
số phần công việc là: 1 : 3 =

1
(công việc)
3

Một mình Bình làm thì sau 6 giờ sẽ xong, như vậy 1 giờ Bình làm được
số phần công việc là: 1 : 6 =

1
(công việc)
6

Cả hai bạn cùng làm 1 giờ sẽ được số phần công việc là:

1 1 1
+ = (công
3 6 2

việc)
1
2

Vậy thời gian để hai người hoàn thành công việc đó là: 1 : = 2 (giờ)
Đáp số: 2 giờ
Cách 2: Biểu thị công việc thành 6 phần bằng nhau thì sau 1 giờ An làm
được 2 phần công việc và Bình làm được 1 phần công việc.
Vậy cả hai người sau 1 giờ làm được số phần công việc là: 1 + 2 = 3
An và Bình
(phần)
An

Bình

Thời gian để hai người cùng làm xong việc đó là: 6 : 3 = 2 (giờ)
Đáp số: 2 giờ
Bài 2 : Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 12 phút sẽ đầy bể.
Nếu một mình vòi thứ nhất chảy thì sau 2 giờ sẽ đầy bể. Hỏi một mình vòi thứ
hai chảy thì mấy giờ sẽ đầy bể?
Bài 5 trang 152. các bài toán điển hình lớp 4,5

Giải :
Đổi : 1 giờ 12 phút = 72 phút
2 giờ = 120 phút
Cách 1:
Biểu thị lượng nước đầy bể là 360 phần bằng nhau thì sau một phút cả hai vòi
cùng chảy được số phần là :
360 : 72 = 5 (phần)
Mỗi phút vòi thứ nhất chảy được số phần là:
360 : 120 = 3 (phần)
Do đó mỗi phút vòi thứ hai chảy được số phần là:
5 – 3 = 2 (phần)
Thời gian để vòi thứ hai chảy được đầy bể là :
360 : 2 = 180 (phút) = 3 giờ
Cách 2 :
Một phút cả hai vòi chảy được

1
(bể nước)
72

1
bể nước.
120
1
1
1
Do đó một phút vòi thứ hai chảy một mình được :
–
=
(bể nước)

72 120 180
1
Thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: 1 :
= 180 (phút)
= 3
180

Một phút một mình vòi thứ nhất chảy được

giờ
Đáp số : 3 giờ
Cách 3: Đổi 1 giờ 12 phút =

6
giờ
5

6 5
=
5 6
1
1 giờ vòi thứ nhất chảy được số phần bể là: 1:2 =
2
5 1
1 giờ vòi thứ hai chảy được số phần bể là: - =
6 2

1 giờ cả hai vòi chảy được số phần bể là:

1:

(bể)
(bể)

1
(bể)
3
1
Thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: 1 : = 3 (giờ)
3

Đáp số: 3 giờ
Bài 3 : Kiên và Hiền cùng làm một công việc có thể hoàn thành trong 10 ngày.
Sau 7 ngày cùng làm thì Kiên nghỉ việc. Hiền phải làm nốt phần việc còn lại
trong 9 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người làm trong bao lâu ?
Bài 10 trang 153. các bài toán điển hình lớp 4,5

Giải :
Cách 1:

Kiên và Hiền cùng làm 1 ngày được

1
công việc
10

Sau 7 ngày cùng làm hai người đã làm được số phần công việc là :
1
7
x 7 = (công việc)

10
10
7
3
Phần việc còn lại là :
1 – = (công việc)
10 10


Mỗi ngày Hiền làm được :

3
1
: 9 = (công việc)
10
30

Số ngày Hiền làm một mình để xong công việc là:

1:

1
= 30 (ngày)
30

1
1
1
– = (công việc)
10 30 15

1
Số ngày Kiên làm một mình để xong công việc là: 1 : = 15 (ngày)
15

Mỗi ngày Kiên làm được :

Đáp số : Kiên 15 ngày
Hiền 30 ngày
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 41: Ba người thợ cùng làm một công việc. Nếu người thứ nhất làm
một mình thì sau 8 giờ sẽ xong; nếu người thứ hai làm một mình thì sau 3 giờ sẽ
xong; nếu người thứ ba làm một mình thì sau 6 giờ sẽ xong công việc đó. Hỏi cả
ba người cùng làm thì sau bao lâu sẽ xong việc này?
Bài 2 trang 152. các bài toán điển hình lớp 4,5

Bài giải: Người thứ nhất làm một mình thì sau 8 giờ sẽ xong, như vậy 1 giờ
người thứ nhất làm được số phần công việc là: 1 : 8 =

1
(công việc)
8

Người thứ hai làm một mình thì sau 3 giờ sẽ xong, như vậy 1 giờ người
thứ hai làm được số phần công việc là: 1 : 3 =

1
(công việc)
3

Một mình người thứ ba làm thì sau 6 giờ sẽ xong, như vậy 1 giờ người

1
(công việc)
6
1 1 1 5
1 giờ cả ba người làm được số phần công việc là: + + = (công việc)
8 3 6 8
5 8
Thời gian để 3 người cùng làm xong công việc là: 1 : = (giờ) = 1 giờ
8 5

thứ ba làm được số phần công việc là: 1 : 6 =

36 phút
Đáp số: 1 giờ 36 phút
Bài 42: Một cái bể có 3 vòi nước: hai vòi chảy nước vào và một vòi tháo nước
ra. Biết vòi thứ nhất chảy một mình mất 8 giờ thì đầy bể, vòi thứ hai chảy một
mình mất 6 giờ thì đầy bể, vòi thứ ba tháo một mình mất 4 giờ bể cạn. Bể đang
cạn, nếu mở cả ba vòi cùng một lúc thì mất bao lâu bể mới đầy?
Bài 2 trang 124. các bài toán có phương pháp giải điển hình lớp 4,5

Bài giải: Cách 1: Ta quy ước thể tích của bể là đơn vị.
Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được: 1 : 8 =
Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy được: 1 : 6 =

1
(bể)
8

1
(bể)

6


Trong 1 giờ vòi thứ ba tháo ra được: 1 : 4 =

1
(bể)
4

Trong 1 giờ cả 3 vòi cùng chảy thì lượng nước trong hồ tăng lên là:
1 1 1 1
+ − =
(bể)
8 6 4 24

Thời gian ba vòi cùng chảy đầy bể là: 1 :

1
= 24 (giờ)
24

Đáp số: 24 giờ
Cách 2: Vì 24 chia hết cho 8; 6 và 4. Ta chia bể nước thành 24 phần bằng nhau.
Tìm 1 giờ mỗi vòi chảy được bao nhiêu phần (tương tự ví dụ trên)
Bài 43: Để cày xong một cánh đồng, máy cày thứ nhất cần 9 giờ, máy
cày thứ hai cần 15 giờ. Người ta cho máy cày thứ nhất làm việc trong 6 giờ rồi
nghỉ để máy cày thứ hai làm tiếp cho đến khi cày xong diện tích cánh đồng này.
Hỏi máy cày thứ hai đã làm trong bao lâu ?
Bài 8 trang 153. các bài toán điển hình lớp 4,5

Bài giải : Coi diện tích cánh đồng là 45 phần bằng nhau thì mỗi giờ ngày
thứ nhất cày được số phần diện tích là : 45 : 9 = 5 (phần).
Trong 6 giờ máy cày thứ nhất cày được số phần diện tích là : 5 x 6 = 30 (phần).
Số phần diện tích còn lại là : 45 - 30 = 15 (phần).
Mỗi giờ máy thứ hai cày được số phần diện tích là : 45 : 15 = 3 (phần).
Thời gian để máy thứ hai cày nốt số phần diện tích còn lại là : 15 : 3 = 5 (giờ).
Bài 44 : Ba người cùng làm một công việc. Người thứ nhất có thể hoàn
thành trong 3 tuần; người thứ hai có thể hoàn thành một công việc nhiều gấp ba
lần công việc đó trong 8 tuần; người thứ ba có thể hoàn thành một công việc
nhiều gấp 5 công việc đó trong 12 tuần. Hỏi nếu cả ba người cùng làm công
việc ban đầu thì sẽ hoàn thành trong bao nhiêu giờ? nếu mỗi tuần làm 45 giờ?
Bài 4 trang 152. các bài toán điển hình lớp 4,5

Giải:

Theo bài ra ta có :
8
(tuần)
3
12
12 : 5 = (tuần)
5

Người thứ hai làm xong công việc ban đầu trong: 8 : 3 =
Người thứ ba làm xong công việc ban đầu trong :
Trong một tuần người thứ nhất làm được

1
công việc, người thứ hai làm
3

5
công việc . Vậy cả ba người
12
1 3
5
9
trong một tuần sẽ làm được:
+ + = (công việc)
3 8 12 8
9
8
Thời gian để cả ba người làm xong công việc là: 1 :
= (tuần)
8
9
8
Số giờ cả ba người làm xong công việc là: 45 x
= 40 (giờ)
9

được 3/8 công việc, người thứ ba làm dược

Đáp số : 40 giờ


Bài 45 : Ba vòi cùng chảy vào bể nước thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy bể.
Nếu riêng vòi thứ nhất thì sau 6 giờ sẽ đầy bể, riêng vòi thứ hai chảy thì sau 4
giờ sẽ đầy bể. Hỏi riêng vòi thứ ba chảy thì sau mấy giờ đầy bể ?
Bài 6 trang 153. các bài toán điển hình lớp 4,5

Đổi: 1 giờ 20 phút =

4
(giờ)
3

4 3
= (bể)
3 4
1
1 giờ vòi thứ nhất chảy được số phần bể là: 1 : 6 = (bể)
6
1
1 giờ vòi thứ hai chảy được số phần bể là: 1 : 4 = (bể)
4
3 1 1 1
1 giờ vòi thứ hai chảy được số phần bể là: - - = (bể)
4 6 4 3
1
Thời gian vòi thứ ba chảy 1 mình đầy bể là: 1 : = 3 (giờ)
3

1 giờ cả 3 vòi chảy được số phần bể là: 1 :

Đáp số: 3 giờ

BÀI TOÁN VỀ “TÌM HAI SỐ BIẾT HAI HIỆU SỐ”
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Khi giải bài toán này phải tìm được hai hiệu số. Hai hiệu số này thuộc hai

đại lượng khác nhau.
Các bước chủ yếu trong việc giải bài toán này:
a) Xác định hiệu thứ nhất của hai số đã cho (thường được thực hiện bằng
một phép trừ)
b) Xác định hiệu thứ hai: Để xác định được hiệu này (thực chất là xác
định sự hơn kém giữa hai số nào đó có liên quan đến việc tính toán số phải tìm)
có thể phải thực hiện các phép tính số học.
c) Thực hiện phép chia hiệu thứ hai cho hiệu thứ nhất để xác định được
một số phải tìm.
d) Thực hiện các phép tính tiếp theo để xác định được số phải tìm thứ hai.
Các phương pháp thường dùng:
- Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng.
- Phương pháp khử.
- Phương pháp lựa chọn.
- Phương pháp giả thiết tạm.
II. BÀI TẬP THỰC HÀNH
Bài 1: Để chuẩn bị cho năm học mới, hai bạn Vĩnh và Kim đi mua sắm
sách vở. Vĩnh mua 15 quyển vở, Kim mua nhiều hơn hơn Vĩnh 5 quyển vở cùng
loại và phải trả nhiều hơn Vĩnh 20.000 đồng. Hỏi mỗi bạn phải trả bao nhiêu
tiền mua vở?
Phân tích:
Ta có: Kim mua nhiều hơn Vĩnh 5 quyển vở là hiệu số thứ nhất.


Kim trả nhiều hơn Vĩnh 20.000 đồng là hiệu số thứ hai.
Như vậy: Một hiệu số là số vở mua nhiều hơn.
Một hiệu số là số tiền trả nhiều hơn.
Mà: Muốn tìm một số (hoặc một phần bằng nhau của một số) ta lấy hiệu
số có giá trị lớn hơn chia cho hiệu số có giá trị nhỏ hơn, thương mang tên đại
lượng của số bị chia.

Vì Kim mua nhiều hơn Vĩnh 5 quyển vở và phải trả nhiều hơn Vĩnh
20.000 đồng, do đó ta tính được giá tiền một quyển vở là: 20.000 : 5 = 4.000
(đồng)
(20.000 là hiệu số có giá trị lớn hơn; 5 là hiệu số có giá trị nhỏ hơn;
đồng là tên đại lượng của số bị chia)
Bài giải
Giá tiền một quyển vở là:
20.000 : 5 = 4.000 (đồng)
Số tiền bạn Vĩnh mua hết là:
4.000 x 15 = 60.000 (đồng)
Số tiền bạn Kim mua hết là:
60.000 + 20.000 = 80.000 (đồng)
Đáp số: Vĩnh: 60.000 đồng
Kim: 80.000 đồng
*Lưu ý: Trong một bài toán có thể có nhiều đại lượng, mỗi đại lượng có nhiều giá trị.
Nếu cứ để nguyên như vậy thì rất khó giải do có nhiều đại lượng và giá trị quá. Vì vậy ta cần
phải nghĩ cách để rút bớt dần các đại lượng ấy đi để cho bài toán đơn giản hơn, dễ giải hơn.
Thủ thuật giải bài toán theo kiểu này gọi là thủ thuật khử bớt các đại lượng hay gọi tắt là thủ
thuật khử. Một trong những cách khử hay gặp là làm cho hai giá trị của một đại lượng nào đó
trở nên giống nhau rồi khử đi.

1. Các bài toán giải bằng phương pháp khử:
Bài 2: Hồng mua 3 cái bút và 5 quyển vở hết 39 000 đồng. Hoa mua 3 cái
bút và 9 quyển vở cùng loại như Hồng hết 51 000 đồng. Tính giá tiền một cây
bút, một quyển vở?
Phân tích:
Ta thấy Hồng và Hoa, mỗi người mua 3 cây bút cùng loại nên số tiền mua
bút của hai bạn bằng nhau. Hồng mua 5 quyển vở, Hoa mua 9 quyển vở, như
vậy Hoa mua nhiều vở hơn Hồng do đó Hoa phải trả nhiều tiền hơn Hồng. Số
tiền chênh lệch là do số vở cùng loại chênh lệch.

Bài giải
Số vở bạn Hoa mua nhiều hơn số vở bạn Hồng mua là: 9 – 5 = 4 (quyển) (Hiệu
thứ nhất)

Số tiền mua 4 quyển vở là:

51 000 – 39 000 = 12 000 (đồng)

(Hiệu thứ

hai)

Giá tiền một quyển vở là:
12 : 4 = 3 000 (đồng)
Số tiền mua 5 quyển vở là:
3 000 x 5 = 15 000 (đồng)
Số tiền mua 3 cây bút là:
39 000 – 15 000 = 24 000 (đồng)
Giá tiền một cây bút là:
24 000 : 3 = 8 000 (đồng)
Đáp số: Vở: 3 000 đồng
Bút: 8 000 đồng


Bài 3: Để học thủ công, tổ Một mua 10 cái kéo và 5 túi giấy màu hết tất
cả 50.000 đồng. Tổ Hai cũng mua 8 cái kéo và 10 túi giấy màu như thế hết tất
cả 52.000 đồng. Tính giá tiền một cái kéo, giá tiền một túi giấy màu?
Phân tích:
Ta có: 10 kéo và 5 túi giấy màu hết 50 000 (đồng) (1)
8 kéo và 10 túi giấy màu hết 52 000 (đồng) (2)

Để có thể khử một trong hai đại lượng, ta cần làm cho số túi giấy màu
(hoặc số kéo) ở hai tổ giống nhau. Muốn vậy, ta nhân (1) với 2, ta được:
Mua 20 cái kéo và 10 túi giấy màu hết 100 000 (đồng) (3)
Lúc này ta thấy tổ Một và tổ Hai đã mua số túi giấy màu bằng nhau (đều là 10
túi), tổ Một mua 20 cái kéo, tổ Hai mua 8 cái kéo do đó tổ Một phải trả nhiều
tiền hơn tổ Hai (tổ một hết 100 000 đồng, tổ Hai hết 52 000 đồng)
Bài giải
Giả sử tổ Một mua 20 cái kéo và 10 túi giấy màu thì phải trả số tiền là:
50 000 x 2 = 100 000(đồng)
Như vậy tổ Một mua nhiều hơn tổ Hai số cái kéo là: 20 – 8 = 12 (cái kéo) (Hiệu
thứ nhất)

Tổ Một phải trả nhiều hơn tổ Hai số tiền là:

100 000 – 52 000 = 48 000
(đồng) (Hiệu thứ hai)
Một cái kéo có giá tiền là:
48 000 : 12 = 4 000 (đồng)
Mua 10 cái kéo hết số tiền là:
4 000 x 10 = 40 000 (đồng)
Mua 5 túi giấy màu hết số tiền là:
50 000 – 40 000 = 10 000 (đồng)
Một túi giấy màu có giá tiền là:
10 : 5 = 2 000 (đồng)
Đáp số: Kéo:
4 000 đồng
Túi giấy màu: 2 000 đồng
2. Bài toán giải bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng:
Bài 4: Có một số kẹo đem chia cho một số trẻ em mẫu giáo. Nếu mỗi em
được 3 cái thì thừa 2 cái; nếu mỗi em được 4 cái thì lại thiếu 3 cái mới đủ chia.

Hỏi có bao nhiêu trẻ em, bao nhiêu cái kẹo?
Bài 1 trang 52. Các bài toán điển hình 4,5

Phân tích: Số trê em được chia kẹo không đổi. Số kẹo chia cho mỗi em
thay đổi (mỗi em 3 cái ; mỗi em 4 cái) nên tổng số kẹo đủ chia cho số trẻ cũng
thay đổi (Nếu mỗi em được 3 cái thì thừa 2 cái; nếu mỗi em được 4 cái thì lại
thiếu 3 cái mới đủ chia)
Bài giải (Giải bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng)
Số kẹo đem chia cho trẻ mẫu giáo

Số kẹo đủ chia 1 em 3 cái

2 cái

Số kẹo đủ chia 1 em 4 cái
3 cái


Nếu có thêm 3 cái kẹo nữa thì mỗi em được 4 cái; như vậy số kẹo cần có
để chia cho mỗi em 4 cái phải nhiều hơn số kẹo cần có dể chia cho mỗi em 3 cái
là: 2 + 3 = 5 (cái)
Mỗi em được 4 cái kẹo nhiều hơn mỗi em được 3 cái kẹo là: 4 – 3 = 1
(cái)
Só trẻ em được chia kẹo là: 5 : 1 = 5 (em)
Số kẹo đem chia là: 3 x 5 + 2 = 17 (cái)
Hoặc: 4 x 5 – 3 = 17 (cái)
Đáp số: 17 cái kẹo, 5 em
*Chú ý: Để giải bài toán này cần xác định 2 hiệu:
- Hiệu thứ nhất: Là hiệu số kẹo của 1 em lúc trước và lúc sau: 4 – 3 = 1 (cái)
- Hiệu thứ hai: Là hiệu của tổng số kẹo lúc trước và lúc sau: 2 + 3 = 5 (cái)

Lấy hiệu thứ hai chia cho hiệu thứ nhất được thương là số trẻ em cần tìm.
3. Bài toán giải bằng phương pháp Giả thiết tạm
Trong các bài toán ở Tiểu học, có một dạng toán trong đó đề cập đếnhai đối tượng (là người, vật hay sự
việc) có những đặc điểm được biểu thị bằng hai số lượng chênh lệch nhau, chẳng hạn hai chuyển động có vận
tốc khác nhau, hai công cụ lao động có năng suất khác nhau, hai loại vé có giá tiền khác nhau ...
Ta thử đặt ra một trường hợp cụ thể nào đó không xảy ra, không phù hợp với điều kiện bài toán, một
khả năng không có thật , thậm chí một tình huống vô lí. Tất nhiên giả thiết này chỉ là tạm thời để chúng ta lập
luận nhằm đưa bài toán về một tình huống quen thuộc đã biết cách giải hoặc lập luận để suy ra được cái phải
tìm. Chính vì thế mà phương pháp giải toán này phải đòi hỏi có dức tưởng tượng phong phú, óc suy luận linh
hoạt...
Những bài toán giải được bằng phương pháp giả thiết tạm có thể giải bằng phương pháp khác. Tuy
nhiên, trong nhiều trường hợp, cách giải bằng giả thiết tạm thường gọn gàng và mang tính "độc đáo".

Bài 5:

Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn
Hỏi mấy gà, mấy chó?
Cách 1: Rõ ràng 36 con không thể là gà cả (vì khi đó có 2 x 36 = 72
chân!), cũng không thể là chó cả (vì khi đó có 4 x 36 = 144 chân!).
Bây giờ ta giả sử 36 con đều là chó cả (đây là giả thiết tạm), thì số chân sẽ là:
4 x 36 = 144 (chân).
Số chân dôi ra là: 144 - 100 = 44 (chân)
Sở dĩ như vậy là vì số chân của mỗi con chó hơn số chân của mỗi con gà là:
4 - 2 = 2 (chân).
Vậy số gà là: 44:2 = 22 (con).
Số chó là: 36 - 22 = 14 (con).
Cách 2: Giả sử 36 con đều là gà, như vậy số chân là : 2 x 36 = 72 (chân)

Số chân hụt đi là : 100 – 72 = 28 (chân)
Sở dĩ số chân hụt đi là vì mỗi con chó mất đi 2 chân. Vậy số con chó là :
28 : 2 = 14 (con)
Số con gà là: 36 – 14 = 22 (con)
Cách 3: Bây giờ ta giả thiết một tường họp thật vô lí nhé! Ta giả thiết
mỗi con vật đều bị "chặt đi" một nửa số chân. Như vậy, mỗi con chó chỉ còn có


hai chân và mỗi con gà chỉ còn một chân. tổng số chân cũng chỉ còn một nửa,
tức là:
100 : 2 = 50 (chân).
Bây giờ, ta lại giả thiết mỗi con chó phải "co" một chân lên để mỗi con
vật chỉ có một chân, khi đó 36 con vật có 36 chân. Như vậy, số chân chó phải
"co" lên là:
50 - 36 = 14 (chân). Vì mỗi con chó có một chân "co" nên suy ra có 14 con chó.
Vậy số gà là: 36 - 14 = 22 (con).
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 31.(Toán vui) Buổi sáng hôm nay đẹp biết bao
Lũ trẻ rủ nhau đi hái đào
Mỗi người 3 trái thừa 2 trái
Mỗi người 4 trái thiếu mất 2
Biết em giỏi toán xin chỉ giúp
Lũ trẻ bao nhiêu? Mấy trái đào?
Bài 22 trang 69. Ôn luyện theo trọng điểm
toán 3

Bài giải
Bài giải (Giải bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng)
Số đào hái được

Số đào đủ chia mỗi người 3 trái em
3 cái

2 trái

Số đào đủ chia mỗi người 4 trái
2 trái

Nhìn vào sơ đồ ta thấy: Mỗi người 4 trái nhiều hơn mỗi người 3 trái là: 4 – 3 =
1 (trái)
Số đào đủ chia mỗi người 3 trái ít hơn số đào đủ chia mỗi người 4 trái là: 2 + 2
= 4 (trái)
Số người đi hái đào là: 4 : 1 = 4 (người)
Số đào hái được là: 3 x 4 + 2 = 14 (trái) Hoặc 4 x 4 – 2 = 14 (trái)
Đáp số: 4 người và 14 trái đào
Bài 32. Một bác nông dân mang bán 60 con gà và vịt giống. Gà bán 30 000
đồng một con, vịt bán 12000 đồng một con. Tổng số tiền người đó thu được là
900 000 đồng. Hỏi người đó mang bán bao nhiêu con gà, bao nhiêu con vịt?
Bài 132 trang 22. Toán TH nâng cao 4

Bài giải
Giả sử 60 con là gà thì số tiền thu được là: 30 000 x 60 = 1 800 000 (đồng)
Số tiền tăng lên là: 1 800 000 – 900 000 = 900 000 (đồng)
Sở dĩ số tiền tăng lên là vì thay vịt bằng gà mà môi lần thay 1 con vịt bằng 1
con gà thì số tiền dôi ra là: 30 000 – 12 000 = 18 000 (đồng)


Vậy số con vịt bác nông dân mang đi bán là: 900 000 : 18 000 = 50 (con)
Số con gà bác nông dân mang đi bán là: 60 – 50 = 10 (con)
Đáp số: 10 con gà và 50 con vịt

Bài 33. Mẹ Lan mua 3 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết tất cả 27 000 đồng.
Mẹ Hoa mua 4 quả trứng gà và 2 quả trứng vịt như thế hết 22 000 đồng. Tính
giá tiền 1 quả trứng mỗi loại.
Ví dụ 2 trang 161. Các bài toán có phương pháp giải
điển hình

Bài giải
Vì mẹ Lan mua 3 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết 27 000 đồng, nên:
Nếu mẹ Lan mua 12 quả trứng gà và 20 quả trứng vịt thì số tiền mua sẽ là:
27 000 x 4 = 108 000 (đồng)
Vì mẹ Hoa mua 4 quả trứng gà và 2 quả trứng vịt hết 22 000 đồng, nên:
Nếu mẹ Hoa mua 12 quả trứng gà và 6 quả trứng vịt thì số tiền mua sẽ là:
22 000 x 3 = 66 000 (đồng)
Như vậy mẹ Lan mua số quả trứng gà bằng số quả trứng gà mẹ Hoa mua và số
quả trứng vịt mẹ Lan mua nhiều hơn mẹ Hoa mua là:
20 – 6 = 14 (quả)
Do mẹ Lan mua nhiều hơn mẹ Hoa 14 quả trứng vịt, nên mẹ Lan phải trả nhiều
hơn mẹ Hoa số tiền là:
108 000 – 66 000 = 42 000 (đồng)
Giá tiền một quả trứng vịt là:
42 000 : 14 = 3 000 (đồng)
Giá tiền một quả trứng gà là: (27 000 – 3000 x 5) : 3 = 4000 (đồng)
Đáp số: 1 quả trứng gà: 4000 đồng
1 quả trứng vịt : 3000 đồng.
Bài 34. (Toán cổ)
Quýt ngon mỗi quả chia ba
Cam ngon mỗi quả chia ra làm mười
Mỗi người một miếng , trăm người.
Có mười bảy quả, không nhiều đủ chia
Hỏi có bao nhiêu cam, bao nhiêu quýt?

Bài 1 trang 190. Các bài toán có phương pháp giải
điển hình

Bài giải
Cách 1: Giả sử 17 quả đều là cam thì sẽ có số miếng là:
10 x 17 = 170 (miếng)
Số miếng tăng lên là: 170 – 100 = 70 (miếng)
Sở dĩ số miếng tăng lên là do thay mỗi quả quýt bằng 1 quả cam. Mà mỗi
lần thay 1 quả quýt bằng 1 quả cam thì số miếng tăng lên là: 10 – 3 = 7 (miếng)
Vậy có số quả quýt là: 70 : 7 = 10 (quả)
Số quả cam là: 17 – 10 = 7 (quả)
Đáp số: 10 quả quýt ; 7 quả cam


Bi 35. Giỏ tin 7 cõy bỳt mc nhiu hn giỏ tin 8 cõy bỳt bi l 15 000 ng.
Giỏ tin 5 cõy bỳt mc nhiu hn giỏ tin 6 cõy bỳt bi l 9000 ng. Tớnh giỏ
tin 1 cõy bỳt mi loi.
Bi 3 trang 50. Mt s th thut gii toỏn 4 , 5

Bi gii
Ta kớ hiu 7 cõy bỳt mc l 7 mc; giỏ tin 8 cõy bỳt bi l 8 bi
Theo u bi ta cú:
7 mc hn 8 bi l 15 000 ng (1)
5 mc hn 6 bi l 9 000 ng (2)
Gp (1) lờn 5 ln v gp (2) lờn 7 ln ta c :
35 mc hn 40 bi l 75 000 ng
35 mc hn 42 bi l 63 000 ng
So sỏnh (3) v (4) ta thy :Giỏ tin ca 2 cõy bỳt bi l : 75 000 63 000 = 12
000 (ng)
Vy giỏ tin mi cõy bỳt bi l : 12 000 : 2 = 6 000 (ng)

Giỏ tin 6 cõy bỳt bi l : 6 000 x 6 = 36 000 (ng)
Giỏ tin 5 cõy bỳt mc l : 36 000 + 9 000 = 45 000 (ng)
Giỏ tin mt cõy bỳt mc l : 45 000 : 5 = 9 000 (ng)
ỏp s : 1 bỳt bi 6 000 ng ; 1 bỳt mc 9000 ng

BI TON V ô TèM HAI S BIT HAI T S ằ
I. KIN THC CN NH
Bi toỏn v hai t s thng c cho cỏc iu kin ch yu sau : Cho
bit t s ca hai s phi tỡm, thay i mt hoc c hai s hng thỡ s c t s
mi.
1. Cỏc phng phỏp gii :
gii bi toỏn ny, ta cú th vn dng v phi hp cỏc phng phỏp
thng dựng sau :
a) Phng phỏp dựng s on thng kt hp vi s thay i cỏc phn
c biu th, hoc ve thnh cỏc nhúm biu th tng iu kin ca bi toỏn, hoc
v theo tng giai on ca tỡnh hung theo bi toỏn.
b) Phng phỏp kh, phng phỏp th.
c) Phng phỏp gi thit tm.
d) Trong mt s trng hp cú th a v dng toỏn ô Tỡm hai s bit
tng, hiu v t s ca hai sụ ú ằ.
2. Cỏc dng toỏn v cỏch gii :
Dạng 1: Tổng hai số không thay đổi
Cách giải
- Tìm tổng tỉ số của hai số A và B. (xác định đại lợng không đổi)
- Đa về cùng một đơn vị so sánh.
- Ban đầu so sánh tỉ số của A với tổng tỉ số của A và B.


- Sau khi bớt một lợng ở A và thêm vào ở B thì tổng không thay đổi nhng
tổng tỉ số của A và B thay đổi.

- So sánh tỉ số của A với tổng tỉ số của A và B sau khi thay đổi.
- Tìm lợng bớt chiếm bao nhiêu của tổng hai tỉ số A và B.
- Tính tổng của hai số hoặc từng số
Dạng 2: Tổng thay đổi
Dạng 2.1: Biết tỉ số ban đầu của A và B sau khi (thêm) bớt ở A mà
không(thêm) bớt ở B, lại biết tỉ số sau khi(thêm) bớt A .
- Tìm đại lợng không đổi để so sánh đó là B.
- Tìm xem lợng thêm vào hay bớt đi chiếm bao nhiêu của đại lợng không
đổi đó là B.
- So sánh tỉ số ban đầu khi cha bớt (thêm) với tỉ số sau khi bớt (thêm).
- Tính đợc đại lợng không đổi .
- Tìm đợc số còn lại.
Dạng 2.2: Thêm vào A đồng thời bớt ở B một lợng khác nhau và ngợc lại
thì tổng thay đổi. (dạng này tơng đối khó và phức tạp tùy vào từng trờng hợp cụ
thể để vận dụng cách giải trên một cách hợp lí)
- Khi đó ta lấy tỉ số của A hoặc tỉ số của B so sánh với tổng tỉ số của hai số.
- Tìm hiệu tỉ số sau khi thay đổi.
- Biến đổi một tỉ số không thay đổi
Sau đó tìm đợc lợng chung bớt đi hoặc thêm vào chiếm bao nhiêu phần của
tổng tỉ số sau khi thay đổi.
- Tìm tổng hai số.
- Tìm mỗi số ban đầu.
Dạng 2.3: Cùng thêm hoặc cùng bớt một lơng ở hai đại lơng.
Khi thêm hoặc cùng bớt thì hiệu hai số không đổi cho nên lấy hiệu hai số làm
đơn vị so sánh.
- Tìm hiệu hai tỉ số ban đầu.
- Tìm hiệu hai tỉ số sau khi thêm hoặc bớt.
- So sánh hiệu hai tỉ số.
- Tìm đợc hiệu hai số.
- Tìm hai số.

II. BI TP THC HNH
Dạng 1: Tổng hai số không thay đổi
Ví dụ 1: Đội tuyển bóng đá mi ni của huyện A tham dự hội khỏe Phù
Đổng cấp tỉnh gồm các bạn học sinh lớp 4 và lớp 5. Dự định số bạn tham gia đội
tuyển bóng đá đang học lớp 4 chiếm

1
của cả đội. Nhng do một bạn đang học
5

lớp 4 không tham gia đợc mà thay bởi một bạn đang học lớp 5, khi đó số bạn
đang học lớp 4 tham gia chỉ bằng

1
số thành viên của cả đội. Tính tổng số
10

thành viên của cả đôi bónh đá mi ni?


Phân tích: Lúc đầu số học sinh lớp 4 tham gia học bằng

1
của cả đội nh5

ng thay một bạn học sinh lớp 4 bằng một học sinh lớp 5 thì lúc này số học sinh
lớp 4 tham gia bằng

1
của cả đội.

10

Bởi vì thay 1 bạn học sinh lớp 4 bằng một học sinh lớp 5 nên tổng số học
sinh thi không thay đổi.
Mà ta thấy số học sinh lớp 4 đợc so sánh với tổng số học sinh nên ta sẽ
tìm đợc 1 học sinh lớp 4 chiếm bao nhiêu phn so với tổng số học sinh của cả
độ tuyển. Làm đợc nh vậy chúng ta đã giải quyết đợc bài toán.
Bài giải
Một học sinh chiếm tổng số phần của cả đội là:
1 1
1

=
( cả đội)
5 10 10

Số học sinh tham gia đội tuyển bóng đá là:
1:

1
= 10 (học sinh)
10

Đáp số: 10 học sinh
Nhận xét: Cách giải này ngắn gọn hơn cách giải bằng sơ đồ đoạn thẳng.
Bài toán này khi ra cho học sinh khối 5 chúng ta thay các dự kiện hoặc đổi các
dự kiện đó bằng tỉ số phần trăm (có thể thay giá trị

1
= 20% ...)

5

Ví dụ 2: Đội tuyển của trờng A tham gia Hội khoẻ Phù Đổng cấp huyện
gồm các bạn học sinh nam và học sinh nữ. Dự định số bạn nữ tham gia đội tuyển
1
số nam nhng do điều kiện thay bởi 1 bạn nữ bằng 1 bạn nam. Khi đó
4
1
số bạn nữ chiếm số nam. Tính xem đội tuyển của trờng A đi dự hội thao bao
5

chiếm

nhiêu học sinh?
Phân tích

Dự định số bạn nữ tham gia đội tuyển chiếm

1
số nam tức là số bạn nữ bằng
4

1
số học sinh cả đội.( chú ý đa về so sánh với cả đội là số không đổi)
5

Vì thay 1 học sinh nữ bằng 1 học sinh nam cho nên tổng số tham gia Hội khoẻ
không thay đổi.
Nhng do điều kiện thay bởi 1 bạn nữ bằng 1 bạn nam. Thì lúc đó số bạn nữ
chiếm

1
1
số nam tức là số học sinh nữ chiếm số học sinh của cả đội.
5
6

Từ phân tích trên ta biểu thị số học sinh nữ dự định lúc đầu là 1 phần thì số
học sinh cả đội là 5 phần nh thế. Sau khi thay 1 học sinh nữ bằng 1 học sinh nam
khi đó số nữ 1 phần thì số học sinh cả đội 6 phần bằng nhau. Từ phân tích trên
bài toán trở lại bài ban đầu.


Bài giải
Số học sinh nữ so với số học sinh cả đội tuyển là:

1
cả đội tuyển
5

Sau khi thay 1 bạn nữ bằng 1 bạn nam thì số học sinh nữ so với số học sinh cả
đội tuyển là:

1
cả đội tuyển.
6

Một học sinh chiếm số phần học sinh cả đội là:
1 1 1
=

(cả đội tuyển)
5 6 30

Vậy số học sinh đội tuyển của trờng A tham gia Hội khoẻ Phù Đổng là:
1:

1
= 30 (học sinh)
30

Đáp số: 30 học sinh

Dạng 2: Tổng hai số thay đổi
Dạng 2.1: Biết tỉ số ban đầu của A và B sau khi (thêm) bớt ở A mà
không(thêm) bớt ở B, lại biết tỉ số sau khi(thêm) bớt A .
Ví vụ 3: Một giá sách gồm hai ngăn: Số sách ngăn dới bằng

6
số sách
5

ngăn trên. Nếu xếp 15 quyển sách mới mua vào ngăn trên thì lúc đó số sách ở
ngăn dới bằng
sách?

12
số sách ngăn trên. Hỏi lúc đầu ở mỗi ngăn có bao nhiêu quyển
11
Bi 2 trang 105. Cỏc bi toỏn in hỡnh lp 4,5.

Phân tích
Ta nhận thấy: Số sách ngăn dới không thay đổi sau khi thêm 15 quyển vào
ngăn trên, cho nên chọn tỉ số sánh là ngăn dới.( chú ý đa về so sánh với ngăn có số không
đổi) .

Số sách ngăn dới bằng

6
5
số sách ngăn trên hay số sách ngăn trên bằng số
5
6

sách ở ngăn dới.
Sau khi thêm 15 quyển vào ngăn trên thì số sách ở ngăn dới bằng
ngăn
trên hay số sách ngăn trên bằng

12
số sách
11

11
số sách ở ngăn dới. Tìm đợc 15 quyển
12

chiếm bao
nhiêu phần số sách ngăn dới.
Bài giải
Số sách ngăn dới bằng

số sách ở ngăn dới.

6
5
số sách ngăn trên, hay số sách ngăn trên bằng
5
6


Sau khi xếp thêm 15 quyển vào ngăn trên thì số sách ngăn dới bằng
sách ngăn trên, hay số sách ngăn trên bằng

12
số
11

11
số sách ở ngăn dới.
12

Số sách ngăn dới không thay đổi, nên phân số biểu thị 15 quyển sách đợc thêm
là:
11 5 1
=
(số sách ngăn dới)
12 6 12

Do đó, số sách ngăn dới là:
15 :

1
= 180 (quyển)
12

Số sách lúc đầu ở ngăn trên là:
180 ì

5
= 150 (quyển)
6

Đáp số: Ngăn trên: 150 quyển
Ngăn dới: 180 quyển
Dạng 2.2: Thêm vào A đồng thời bớt ở B một lợng khác nhau (hoặc ngợc
lại) thì tổng thay đổi.
2
chiều dài. Nếu thêm vào
5
2
chiều rộng 4 m và đồng thời bớt chiều dài 4 m thì lúc đó chiều rộng bằng
3

Ví dụ 4: Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng

chiều dài. Tính diện tích của hình chữ nhật đó.
Phân tích
Bài toán này cũng tơng tự nh các ví dụ trên, chỉ khác ở chỗ tổng của chiều
dài và chiều rộng đợc che khuất bởi nửa chu vi. Mà khi thêm chiều rộng 4 m và
bớt chiều dài 4 m thì tổng của chiều dài và chiều rộng không đổi tức là (nửa chu
vi). Phát hiện đợc điều này là mấu chốt của bài toán. Chiều rộng bằng

2
chiều
5

2
nửa chu vi; thêm chiều rộng 4 m và đồng thời
7
2
2
bớt chiều dài 4 m thì chiều rộng bằng chiều dài tức là chiều rộng bằng nửa
3
5

dài cho nên chiều rộng bằng

chu vi.

Bài giải
Nếu thêm chiều rộng 4 m và đồng thời bớt chiều dài 4 m thì nửa chu vi không
thay đổi.
2
5

2
nửa chu vi.
7
2
Sau khi thêm chiều rộng, bớt chiều dài thì chiều rộng bằng
chiều dài tức là

3
2
chiều rộng bằng nửa chu vi.
5

Lúc đầu chiều rộng bằng chiều dài tức chiều rộng bằng

Nh vậy: 4 m ứng với số phần của nửa chu vi là:


2 2 4
=
(nửa chu vi)
5 7 35

Nữa chu vi hình chữ nhật đó là:
4:

4
= 35 (m)
35

Chiều rộng hình chữ nhật là:
2
7

35 ì = 10 (m)
Chiều dài của hình chữ nhật là:
35 10 = 25 (m)
Diện tích của hình chữ nhật đó là:

10 x 25 = 250 (m)
Đáp số: 250 m
Dạng 2.3: Cùng thêm hoặc cùng bớt một lơng ở hai đại lơng.
Ví dụ 5: Tủ sách th viện trờng em có hai ngăn: Ngăn thứ nhất có số sách
2
số sách ngăn thứ hai. Nếu xếp thêm vào ngăn thứ nhất 80 cuốn và ngăn
3
3
thứ hai 40 cuốn thì số sách ngăn thứ nhất bằng số sách ngăn thứ hai. Hỏi ban
4

bằng

đầu mỗi ngăn tủ có bao nhiêu cuốn sách?
Phân tích:

Theo bài toán, lúc đầu số sách ngăn thứ nhất bằng

ngăn hai, hay số sách ngăn hai bằng

3
ngăn nhất.
2

Lúc ngăn nhất tăng 80 và ngăn hai tăng 40 thì số nhất bằng
hay ngăn hai bằng

2
số sách
3

3
số.. ngăn hai
4

4
ngăn nhất.
3

2
số ngăn hai hoặc ngăn hai bằng
3
3
3
số ngăn nhất thì ngăn hai phải bổ sung thêm 80 ì = 120 (cuốn).
2
2

Giả sử sau khi tăng, mà ngăn nhất vẫn bằng

Chúng ta hiểu lại bài toán nh sau: Nếu bổ sung ngăn nhất 80 cuốn và ngăn hai
3
4
số.. ngăn hai, hay ngăn hai bằng
ngăn nhất;
4
3
2
khi bổ sung ngăn nhất 80 và ngăn hai 120 thì số ngăn nhất bằng
số..

3
3
ngăn hai hay ngăn hai bằng
ngăn nhất.( lu ý ngăn thứ hai so với ngăn
2

40 cuốn thì ngăn nhất bằng

nhất)
Bài giải


Theo bài ra ta có: sau khi ngăn nhất tăng thêm 80 cuốn mà để ngăn nhất
vẫn bằng mà ngăn nhất vẫn bằng

2
3
số ngăn hai hoặc ngăn hai bằng
số
3
2

ngăn nhất thì ngăn hai phải bổ sung thêm là:
80 ì

3
= 120 (cuốn).
2

Hiệu số bổ sung thêm ngăn hai là:

120 40 = 80 (cuốn)
4
ngăn nhất
3
3
Nếu ngăn nhất bổ sung 80 và ngăn hai 120 thì số ngăn hai bằng ngăn nhất
2

Nếu ngăn nhất bổ sung 80 và ngăn hai 40 thì số ngăn hai bằng

Nh vậy phân số biểu thị 80 cuốn của ngăn nhất lúc sau là:
3 4 1
=
2 3 6

Số cuốn sau khi thêm của ngăn nhất là:
80 :

1
= 480 (cuốn)
6

Số cuốn lúc đầu của ngăn nhất là:
480 80 = 400 ( cuốn)
Số cuốn lúc đầu của ngăn nhất là:
400 : 2 x 3 = 600 ( cuốn)
Đáp số: ngăn nhất: 400 cuốn
Ngăn hai : = 600 cuốn
III. BI TP V NH
Bi 36.

Cui hc kỡ I, lp 5A cú s hc sinh gii bng

3
s hc sinh c
10

lp . Cui nm lp 5A cú thờm 4 hc sinh t loi gii nờn tng s hc sinh gii
2
s hc sinh c lp. Hi lp 5A cú bao nhiờu hc sinh?
5
Bi 2 trang 136. Cỏc bi toỏn cú phng phỏp gii
in hỡnh.

bng

Bi gii
Vỡ : Cui hc kỡ I, s hc sinh gii bng
s hc sinh gii bng

3
s hc sinh c lp ;cui nm tng
10

2
s hc sinh c lp ; s hc sinh ca lp khụng i, nờn
5

phõn s biu th s lng 4 hc sinh l:
2

3
1
=
(s hc sinh c lp)
5 10
10
1
Vy s hc sinh ca lp 5A l: 4 :
= 40 (hc sinh)
10

ỏp s: 40 hc sinh


Bài 37: Đội tuyển trờng em tham gia Hội khỏe Phù Đổng cấp huyện, ban
đầu số nữ bằng

2
số nam. Sau khi xét theo yêu cầu thay thế 1 bạn nữ bằng 1
3

bạn nam vì thế số nữ lúc này bằng 75% số nam. Hỏi đội tuyển trờng em có bao
nhiêu bạn? (Đề thi học sinh giỏi Nam Định)
Phân tích
2
số nam; số nữ là 2 phần thì số nam 3 phần bằng
3
2
nhau cho nên tổng số phần là 2 + 3 = 5 phần tức là số nữ bằng cả đội tuyển.
5

Ban đầu số nữ bằng

Sau khi xét theo yêu cầu thay thế 1 bạn nữ bằng 1 bạn nam vì thế số nữ lúc
này bằng 75% số nam (75% =

3
). Số học sinh nữ ba phần thì số học sinh nam
4

4 phần nh thế, số phần biểu thị cho cả đội là 3 + 4 = 7 phần; số học sinh nữ
chiếm

3
số học sinh cả đội. Từ phân tích trên chúng ta giải bài toán này nh sau:
7

Bài giải
Ta có: 75% =

3
4

2
2
số nam nên số nữ lúc đầu bằng cả đội tuyển.
3
5
3
Sau khi thay một bạn nữ bằng một bạn nam thì số nữ bằng

số nam, tức là số
4
3
nữ lúc này bằng cả đội tuyển.
7
3 2 1
=
Vậy một bạn chiếm số phần của cả đội tuyển là:
(cả đội tuyển)
7 5 35
1
Đội tuyển trờng em có số bạn là: 1 :
= 35 (bạn)
35

Vì ban đầu số nữ bằng

Đáp số: 35 bạn
Bài 38: Nhà em có số gà mái nhiều gấp 6 lần số gà trống. Sau đó mua
thêm 5 con gà trống nữa nên bây giờ số gà trống bằng

1
số gà mái. Hỏi lúc đầu
4

có bao nhiêu con gà mái, gà trống?
Phân tích:
Số gà mái không thay đổi nên ta có thể chọn số gà mái
làm đơn vị để so sánh rồi tính số gà trống. Gà mái nhiều gấp 6 lần gà trống cho
nên gà trống bằng

1
số gà mái sau khi thêm 5 con gà trống thì số gà trống bằng
6

1
số gà mái. Nh vậy chỉ tìm xem 5 con gà trống chiếm bao nhiêu phần của tổng
4

số gà mái.


Bài giải
1
1
Số gà trống lúc đầu bằng số gà mái.Số gà trống lúc sau bằng số gà mái.
6
4

Vậy 5 con gà trống chiếm số phần gà mái là:
1 1 1
=
( số gà mái)
4 6 12
1
Nh vậy số gà mái là: 5 :
= 60 (con)
12
1
Số gà trống là: 60 ì = 10 (con)

6

Đáp số: Gà mái: 60 con
Gà trống: 10 con
Bi 39. Nh bn Nm cú mt n g, trong ú s g mỏi nhiu gp 7 ln
s g trng. Va qua nh bn Nm ó bỏn i 12 con g mỏi nhng li mua v 8
con g trng nờn lỳc ny s g mỏi nhiu gp 3 ln s g trng. Hi nh bn
Nm hin cú bao nhiờu con g mỏi, bao nhiờu con g trng?
Bi 5 trang 105. Cỏc bi toỏn in hỡnh 4,5

Bi gii
Ta cú s :
S g trng lỳc u:
S g mỏi lỳc u:
S g trng lỳc sau:
S g mỏi lỳc sau:
:

8 con

12 con

S g mỏi lỳc sau so vi s
g trng lỳc u

24 con

Nhỡn vo s ta thy:
S g mỏi sau khi bỏn 12 con so vi s g trng lỳc u thỡ gp 3 ln v
cng thờm 24 con (8 x 3 = 24)

Vy 4 ln s g trng lỳc u l: 24 + 12 = 36 (con)
S g trng lỳc u l: 36 : 4 = 9 (con)
S g trng hin nay l: 9 + 8 = 17 (con)
S g mỏi hin nay l: 17 x 3 = 51 (con)
ỏp s: 17 con g trng v 51 con g mỏi
Bài 40: Để chuẩn bị tham gia Hội khỏe Phù Đổng cấp tỉnh, huyện em đã
thành lập đội tuyển tham dự trong đó số nữ bằng
sung 20 nữ và 15 nam nên lúc này số nữ bằng

2
số nam. Sau khi đội đợc bổ
3

4
số nam. Tính xem đội tuyển
5

của huyện tham gia Hội khỏe Phù đổng cấp tỉnh có tất cả bao nhiêu vận động
viên tham gia?
Phân tích:


2
3
số nam, tức số nam bằng số nữ.
3
2
4
Lúc sau số nữ tăng 20 bạn, số nam tăng 15 bạn thì số nữ bằng
số nam.

5
2
3
Giả sử sau khi tăng, muốn số nữ vẫn bằng số nam hoặc số nam bằng số
3
2
3
nữ thì số nam phải bổ sung thêm 20 ì = 30 (bạn). Nếu bổ sung 30 nam mà
2

Theo bài toán, lúc đầu số nữ bằng

chỉ bổ sung 20 nữ thì hiệu số nam lúc sau và lúc đầu là: 30 15 = 15 (bạn)
Chúng ta hiểu lại bài toán nh sau: Nếu bổ sung 15 nam và 20 nữ thì số nam bằng
5
3
số nữ; khi bổ sung 30 nam và 20 nữ thì số nam bằng số nữ. Từ chỗ hiểu bài
4
2

toán nh trên tóm tắt cách giải sau:( chú ý các số đều thay đổi nên ta phải giả sử
tỷ số giữa 2 số không thay đổi, lúc này là coi nh một số không đổi, từ đó tìm
số và tỷ số thay đổi giữ khi thay đổi và khi giả sử)
Bài giải
Theo bài ra ta có: số nam bằng
nam mà để số nam vẫn bằng

3
số nữ; sau khi tăng thêm 20 nữ và 15
2

3
số nữ thì số nam phải đợc bổ sung thêm:
2
3
20 ì = 30 (bạn).
2

Hiệu số nam bổ sung thêm là:
30 15 = 15 (bạn)
Nếu bổ sung 15 bạn nam và 20 bạn nữ thì số nam bằng
nam và 20 nữ thì số nam bằng

5
số nữ; nếu bổ sung 30
4

3
số nữ .
2

Nh vậy số nữ vẫn chỉ tăng thêm 20 bạn nên phân số biểu thị 15 bạn là:
3 5 1
= (số nữ lúc sau).
2 4 4
1
Số nữ sau khi thêm là: 15 : = 60 (bạn)
4
5
Số nam sau khi thêm là: 60 ì = 75 (bạn)

4

Tổng số vận động viên tham gia Hội khỏe Phù Đổng cấp tỉnh là:
60 + 75 = 135 (bạn)
Đáp số: 135 bạn

CC BI TON TNH NGC T CUI
I. KIN THC CN NH:
Khái niệm : Có một số bài toán cho biết kết quả sau khi thực hiện liên
tiếp một số phép tính từ cuối đối với số phải tìm. Khi giải các bài toán dạng này
bằng phơng pháp tính ngợc từ cuối, ta thực hiện liên tiếp các phép tính ngợc với


các phép tính đã cho trong bài toán. Kết quả tìm đợc trong bớc trớc chính là
thành phần đã biết của phép tính liền sau đó. Sau khi thực hiện hết dãy phép tính
ngợc với các phép tính đã cho trong đề bài, ta nhận đợc kết quả cần tìm.
Những bài toán giải đợc bằng phơng pháp tính ngợc từ cuối thờng cũng
giải đợc bằng phơng pháp đại số hay đồ thị
II. BI TP THC HNH
Bi 1: Tìm một số biết rằng khi bớt số đó đi 2, sau đó chia cho 6, đợc bao
nhiêu cộng với 2, cuối cùng nhân với 4 đợc kết quả bằng 20.
+Phân tích:
Bớc1: từ đề toán ta có thể xác định đợc số trớc khi nhân với 4 đợc kết quả là
20
Bớc 2 : Dựa vào số tìm đợc ở bớc 1, ta sẽ tìm đợc số trớc khi cộng với 2.
Bớc 3 : Dựa vào số tìm đợc ở bớc 2, ta sẽ tìm đợc số trớc khi chia cho 6.
Bớc 4 : Dựa vào số tìm đợc ở bớc 3, ta sẽ xác định đợc số cần tìm ( là số
trớc khi trừ đi 2)
+Giải : Số trớc khi nhân với 4 là :
20 : 4 = 5

Số trớc khi cộng với 2 là :
52=3
Số trớc khi chia cho 6 là :
3 ì 6 = 18
Số cần tìm là :
18 + 2 = 20
Vậy số phải tìm là 20.
Bi 2 : Tìm 4 số tự nhiên, biết rằng nếu chuyển 5 đơn vị từ số thứ nhất
sang số thứ hai, chuyển 7 đơn vị từ số thứ hai sang số thứ ba, chuyển 2 đơn vị từ
số thứ ba sang số thứ t và chuyển 8 đơn vị từ số thứ t sang số thứ nhất thì ta đợc
4 số đều bằng 15
*Phân tích :
Ta có thể tóm tắt 4 bớc chuyển đổi nói trong bài theo sơ đồ sau :
Số thứ nhất

-5

Số thứ hai
-8

-7

Số thứ ba

-2

Số thứ t

+Số thứ nhất 5 , số thứ hai + 5
+Số thứ hai 7 , số thứ ba + 7

+Số thứ ba 2 , số thứ t + 2
+Số thứ 4 8 , số thứ nhất + 8
Nh vậy : Số thứ nhất 5 + 8 = Số thứ hai + 5 7 = số thứ ba + 7 2 =
số thứ t + 2 8 = 15 . Từ đây ta áp dụng phơng pháp tính ngợc từ cuối để xác
định 4 số cần tìm.
*Bài giải : Số thứ nhất là:
15 8 + 5 = 12
Số thứ hai là :
15 + 7 5 = 17
Số thứ ba là :
15 + 2 7 = 10
Số thứ t là :
15 + 8 2 = 21
Vậy 4 số cần tìm là : 12 , 17 , 10 và 21.
Bi 3: Bn Yn cú mt bú hoa hng em tng cỏc bn cựng lp. Ln
u Yn tng mt na s bụng hng v thờm 1 bụng. Ln th hai Yn tng mt
na s bụng hng cũn li v thờm 2 bụng. Ln th ba Yn tng mt na s bụng


hng cũn li v thờm 3 bụng. Cui cựng Yn cũn li 1 bụng hng dnh cho
mỡnh. Hi Yn ó tng bao nhiờu bụng hng ?

1

Cỏch 1 : Ta cú s v s cỏc bụng hng :
S bụng hng cũn li sau khi Yn tng ln th hai l : (1 + 3) x 2 = 8 (bụng)
S bụng hng cũn li sau khi Yn tng ln th nht l : (8 + 2) x 2 = 20 (bụng)
S bụng hng lỳc u Yn cú l : (20 + 1) x 2 = 42 (bụng)
S bụng hng Yn ó tng cỏc bn l : 42 - 1 = 41 (bụng)
ỏp s : 41 bụng hng.

Cỏch 2 : Biu th : A l s bụng hng lỳc u Yn cú. B l s bụng hng cũn li
sau khi cho ln th nht. C l s bụng hng cũn li sau khi cho ln th hai. Ta
cú lu sau :

S bụng hng cũn li sau khi Yn cho ln th 2 l : (1 + 3) x 2 = 8 (bụng hng)
S bụng hng cũn li sau khi Yn cho ln th nht l : (8 + 2) x 2 = 20 (bụng
hng)
S bụng hng lỳc u Yn cú l : (20 + 1) x 2 = 42 (bụng hng)
S bụng hng Yn tng cỏc bn l : 42 - 1 = 41 (bụng hng)
ỏp s : 41 bụng hng.
III. BI TP V NH
Bi 46 : Tìm một số biết rằng tăng số đó gấp 3 lần, sau đó cộng với 25
rồi trừ đi 5, cuối cùng đem chia cho 4 đợc kết quả 125
Giải :
Số trớc khi chia cho 4 là :
125 x 4 = 500
Số trớc khi trừ đi 5 là :
500 + 5 = 505
Số trớc khi cộng với 2,5 là :
505 25 = 475
Số cần tìm là :
475 : 3 = 155
Vậy số phải tìm là 155
Bi 47: Tỡm ba s, bit rng sau khi chuyn 14 n v t s th nht sang
s th hai, chuyn 28 n v t s th hai sang s th ba ri chuyn 7 n v t
s th ba sang s th nht ta c ba s u bng 45.


Phõn tớch: Ta cú th minh ha cỏc thao tỏc trong bi bng s

Ta cú:
S th nht: - 14; + 7 cho kt qu l 45
S th hai: + 14; - 28 cho kt qu l 45
S th ba: + 28; - 7 cho kt qu l 45
T phõn tớch trờn ta i n li gii ca bi toỏn nh sau:
S th nht l: 45 - 7 + 14 = 52.
S th hai l: 45 + 28 - 14 = 49.
S th ba l: 45 + 7 - 28 = 24.
Tr li: Ba s cn tỡm l: 52; 49 v 24.
Bi 48: Nhà Vân nuôi đợc một đàn gà. Tuần đầu, mẹ bán
Tuần thứ hai bán

1
đàn gà.
3

1
1
số gà còn lại và tuần thứ ba bán số gà còn lại sau hai lần
3
3

bán trớc. Cuối cùng nhà vân còn 4 đôi gà. Hỏi đàn gà nhà Vân lúc đầu có bao
nhiêu con ?
Phân tích :
-Ta dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu diễn số gà
S g nh Võn nuụi c
S g bỏn
ln th nht
S g cũn li sau ln

bỏn ln th hai
4 ụi g

S g bỏn
ln th hai

S g bỏn
ln ba

*Bài giải :
4 ụi g = 8 con g
Số gà còn lại sau lần bán thứ hai là :
8 : 2 x 3 = 12 (con)
Số gà còn lại sau lần bán thứ nhất là
12: 2 x 3 = 18 (con)
Số gà ban đầu là :
18 : 2 x 3 = 18 (con)
Đáp số : 18 con gà
Bi 49:
Thái và Bình chơi trò đánh bi. Hai bạn có tất cả 48 viên bi.
Ván thứ nhất, Thái ăn của Bình số bi bằng số bi mà Thái có. Ván thứ hai,
Bình ăn của Thái số bi bằng số bi còn lại của Bình. Ván thứ ba, Thái lại ăn


của Bình số bi bằng số bi còn lại của Thái và lúc này số bi của hai bạn bằng
nhau.
Gii: Sau ván 3 thì số bi của mỗi bạn là :
48 : 2 = 24 (viên)
Sau ván 2 số bi của Thái là :
24 : 2 = 12 (viên)

Lúc đó bình có :
48 12 = 36 (viên)
Sau ván 1 số bi của Bình là ;
36 : 2 = 18 (viên)
Lúc đó Thái có :
48 18 = 30 (viên)
Số bi ban đầu của Thái là :
30 : 2 = 15 (viên)
Số bi ban đầu của Bình :
48 15 = 33 (viên)
Đáp số : Thái có 15 viên bi ; Bình có 33 viên bi .
Bi 50:

Một ngời bán một số sầu riêng nh sau : Lần đầu bán

số sầu riêng và thêm 1 quả, lần thứ hai bán
lần thứ ba bán

1
tổng
2

1
số sầu riêng còn lại và thêm 1 quả,
2

1
số sầu riêng còn lại sau lần bán thứ hai và thêm 1 quả, cuối
2

cùng còn lại 10 quả. Hỏi ngời đó có tất cả bao nhiêu quả sầu riêng ?
Bài giải :
Tổng số sầu riêng
Bán lần thứ nhất

1

Bán lần thứ hai

1

Bán lần thứ ba
Còn li

1

10

1
số sầu riêng còn lại sau lần bán thứ hai là :
2

Số sầu riêng còn lại sau lần bán thứ hai là :

10 + 1 = 11 (quả)
11 x 2 = 22 (quả)

1
số sầu riêng còn lại sau lần bán thứ nhất là :
2

Số sầu riêng còn lại sau lần bán thứ nhất là :
1
số sầu riêng lúc cha bán là :
2

22 + 1 = 23 (quả)

23 x 2 = 46 (quả)
46 + 1 = 47 (quả)

Số sầu riêng lúc cha bán là :
27 x 2 = 94 (quả)
Đáp số : 94 quả sầu riêng.

CC BI TON V QUY TC TAM SUT
I. KIN THC CN NH
1. Khỏi nim:


- Hai đại lượng được gọi là tỉ lệ thuận nếu đại lượng này tăng hoặc giảm
bao nhiêu lần thì đại lượng kia cuãng tăng hoặc giảm bấy nhiêu lần.
- Hai đại lượng được gọi là tỉ lệ nghịch nếu đại lượng này tăng (hoặc
giảm ) bao nhiêu lần thì đại lượng kia giảm (hoặc tăng) bấy nhiêu lần.
- Các bài toán về đại lượng tỉ lệ (thuận hoặc nghịch) người ta gọi là các
bài toán quy tắc tam suất (thuận hoặc nghịch).
2. Các dạng toán: Ta thường gặp hai dạng sau đây:
a) Quy tắc tam suất đơn: Bài toán cho biết 3 giá trị của hai đại lượng và
phải tìm một giá trị của một trong hai đại lượng đó.
Ví dụ 1: 9 bộ quần áo hết 45m vải

7 bộ quần áo hết ? m vải?
(Quy tắc tam suất đơn thuận)
Ví dụ 2: Đi AB hết 4 giờ với vận tốc 36km/giờ
Đi AB hết 6 giờ với vận tốc ? km/giờ.
(quy tắc tam suất đơn nghịch)
b) Quy tắc tam suất kép: Bài toán thường cho biết 5 giá trị của ba đại
lượng và phải tìm một giá trị của một trong các đại lượng đó.
Ví dụ: 3 xe đều đi 50km thì hết 1200000 đồng.
5 xe đều đi 100km thì hết ? đồng.
Khi giải bài toán này, ta có thể tiến hành giải hai bài toán quy tắc tam suất
đơn tạo thành.
3. Các phương pháp giải thường dùng:
- Phương pháp rút về đơn vị.
- Phương pháp tỉ số.
- Phương pháp giả thiết tạm.
- Phương pháp đơn vị quy ước.
- Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng.
Ở Tiểu học thường dùng 2 phương pháp : rút về đơn vị và dùng tỉ số.
* Giải toán bằng phương pháp rút về đơn vị được tiến hành theo hai
bước:
Bước 1: Tìm xem đơn vị ở đại lượng thứ nhất (đã cho đủ 2 giá trị) tương
ứng với 1 giá trị nào của đại lượng thứ hai (chưa cho đủ)
Ở bước này ta thực hiện:
- Phép chia đối với bài toán tỉ lệ thuận.
- Phép nhận đối với bài toán tỉ lệ nghịch.
Bước 2: Nhờ sự tương ứng này mà tìm giá trị đề toán yêu cầu của đại
lượng thứ hai.
* Giải toán bằng phương pháp dùng tỉ số được tiến hành theo hai bước:
Bước 1: So sánh 2 giá trị của đại lượng thứ nhất (đã cho đủ 2 giá trị) xem
giá trị này gấp mấy lần giá trị kia.

Ở bước này ta thực hiện phép tính chia.