CHUYEN DE HINH KHONG GIAN

Gv: Trần Quốc Nghĩa

1

Bài 1. Quan hệ vuông góc - Khoảng cách
1.

Cho hình vuông ABCD cạnh a trong mặt phẳng (P). Hai điểm M, N di
động trên hai cạnh CB và CD. Đặt CM = x, CN = y. Trên đường thẳng At
vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S. Tìm hệ thức giữa x, y để:
a) Các mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo thành góc 450.
b) Các mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.
ĐH Kiến trúc TpHCM - 94

2.

ĐS: a) xy  2a( x  y )  2a 2  0 b) x2  a( x  y )

Trên các cạnh Ox, Oy, Oz của tam diện vuông Oxyz, lấy lần lượt ba điểm
A, B, C với OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H là trực tâm của ABC.
a) Tính độ dài OH và diện tích tam giác ABC.
b) Khi a, b, c thay đổi sao cho a2  b2  c2  k 2 với k là hằng số dương,
tìm giá trị lớn nhất của độ dài OH, của diện tích tam giác ABC.
c) Chứng minh rằng a2 tan A  b2 tan B  c2 tan C .
ĐH NL TpHCM - 95

ĐS: b) OH max 

a) OH 

3.

k
k2 3
k
;S ABC(max) 
khi a  b  c 
3
6
3

abc
b c c a a b
2 2

2

2

2

2

; S ABC 

1 2 2
b c  c2 a 2  a 2b2
2

Cho tam diện vuông đỉnh O. Trên ba cạnh của tam diện ấy lấy ba điểm A,

B, C sao cho AC = 2OB, BC = 2OA.
a) M, N là chân các đường vuông góc kẻ từ O xuống AC và BC. Chứng
minh rằng MN vuông góc với OC.
b) Tính cos MON .
c) Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh:

tan 4 OCD
4

tan OCA
ĐH Kinh tế TpHCM - 95

4.



MN
1.
AB

ĐS: b) cos MON  1 / 4

Cho tứ diện ABCD sao cho AB = 2x, CD = 2y và 4 cạnh còn lại đều có độ
dài bằng 1.
a) Tính diện tích toàn phần của tứ diện theo x và y.
b) Xác định x và y để diện tích toàn phần đạt giá trị lớn nhất.
ĐH DL Ngoại ngữ - Tin học - 97



ĐS: a) Stp  2 x 1  x 2  y 1 y 2



b) Smax  2  x  y  2 / 2


Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN

5.

2

Cho hình chóp O.ABC với OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một
và OA = a, OB = b, OC = c.
a) Kẻ OH  (ABC). Chứng minh H là trực tâm của ABC.
b) Chứng minh rằng nếu H là trực tâm của ABC thì OH  (ABC).
c) Tính diện tích tam giác ABC theo a, b, c.
d) Chứng minh rằng a2 tan A  b2 tan B  c2 tan C .
ĐH Ngoại ngữ HN - 97

6.

ĐS: c) S ABC 

1 2 2
b c  c2 a 2  a 2b2
2

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA vuông

góc với mặt phẳng (ABC). Đặt SA = h.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a và h.
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và H là trực tâm của SBC.
Chứng minh OH  (SBC).
ĐH QG TpHCM khối A - 97

7.

ĐS: a)

3a 2  4h 2

Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a, AB = 2m, CD = 2n.
a) Xác định vị trí và tính độ dài đường vuông góc chung IJ của hai cạnh
đối nhau AB và CD (I  AB, J  CD).
b) Một mặt phẳng () vuông góc với IJ tại O sao cho JO = x . Vẽ thiết
diện MNPQ do mặt phẳng () cắt tứ diện. Tính diện tích thiết diện.
Xác định vị trí của điểm O để thiết diện có diện tích lớn nhất và tính
giá trị lớn nhất đó.
ĐS: a) d  IJ  a 2  n2  m2

ĐH Văn Lang khối A - 97
b) S 

8.

ah 3

4mnx( d  x )
d

; Smax  mn khi x 
2
a 2  n 2  m2

Cho ABC vuông tại A với BC = a và AC = b. S là một điểm di động trên
đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại C. Mặt phẳng (P) đi qua C và
vuông góc với SB cắt SA và SB lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh CH  (SAB) và tìm quỹ tích của H khi S di động trên d.
b) Đặt SC = x. Tính độ dài HK theo a, b và x.
ĐH QG TpHCM đợt 3 - 98

ĐS:a) Đường tròn đkính CA trong mp(A; d)
b) HK 

x2 a 2  b2
( x 2  a 2 )( x 2  b 2 )


Gv: Trần Quốc Nghĩa

9.

3

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại đỉnh A. Các cạnh
bên của hình chóp tạo với đáy các góc đều bằng .
a) Chứng minh hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.
b) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAI) vuông
góc với mặt phẳng (ABC).
c) Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SI. Chứng minh rằng AK

vuông góc với mặt phẳng (SBC).
d) Cho biết BAC   , khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là d. Tính
diện tích của tam giác ABC theo d, , .
ĐH Ngoại ngữ HN - 98
ĐS: d) S  2d 2 .cot 2  .sin  .cos 2 ( α/2 )

10.

Cho tứ diện ABCD, có cạnh CD = 2a, các cạnh còn lại đều bằng a 2 .
a) Chứng minh rằng các góc CAD và CBD bằng 1 vuông.
b) Tính diện tích toàn phần của tứ diện ABCD.
c) Chứng minh: (ACD)  (BCD).
ĐS: b) S  ( 2  3 )a 2

ĐH Văn hóa - 98

11.

Xét hình chóp S.ABC, SA  (ABC), SA = h, AB = AC = b, BC = a.
AD
a) D là một điểm trên cạnh A, hãy xác định tỉ số x 
(0 < x < 1) sao
AB
cho mặt phẳng qua D, song song với SA và BC cắt hình chóp theo thiết
diện là hình vuông.
b) Tìm mối liên hệ giữa a, b, h để tam giác SBC là một tam giác vuông.
HV Ngân hàng khối D ban C - 98

12.

ĐS: a) x 

h
; b) a2  2( b2  h2 )
ah

Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông
tại B. Cho BSC  450 . Gọi ASB   , tìm  để góc giữa hai mặt phẳng
(SAC) và (SBC) bằng 600.
ĐH Y khoa HN - 99

13.

ĐS: cos   2 / 5

Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng () song song với AD và BC cắt các
cạnh AB, AC, CD, DB lần lượt tại M, N, P, Q.
a) Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b) Xác định vị trí của () để cho diện tích của tứ giác MNPQ đạt giá trị
lớn nhất.
ĐH SP Vinh khối D - 99
ĐS: () qua trung điểm các cạnh AB, AC, CD, DB


Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN

4

14.

Cho ABC cân tại A có AB = AC = a và góc BAC  2 . Trên đường
thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho
SA = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. Hạ AH  SI.
a) Chứng minh AH  (SBC). Tính độ dài AH theo a và .
AK
b) Gọi K là một điểm thay đổi trên đoạn AI, đặt
 x . Mặt phẳng (R)
AI
qua K và vuông góc với AI cắt các cạnh AB, AC, SC, SB lần lượt tại M,
N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì ? Tính diện tích tứ giác này.
ĐH Quốc gia TpHCM Khối D - 99
ĐS: MNPQ là hcn, S = 4a2x(1 - x)sin

15.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy, SA = AB = a.
a) Tính diện tích tam giác SBD theo a.
b) Chứng minh rằng BD  SC.
c) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD).
ĐH SP Vinh - 99

16.

2 2
a2 3
c) arccos
3
2

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA vuông
góc với mặt phẳng (ABC). Đặt SA = h.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a và h.
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và H là trực tâm SBC.
Chứng minh: OH  (SBC).
HV Chính trị QG TpHCM - 01

17.

ĐS: a)

ĐS: a)

ah 3
3a 2  4h 2

Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = a 2 , SC  (ABC), ABC vuông
tại A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t <
2a).
a) Tính độ dài đoạn thẳng MN theo a và t.
b) Tìm giá trị của t để đoạn MN ngắn nhất.
c) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung
của BC và SA.
ĐH Đà Nẵng khối A - 01

ĐS: a) MN  3t 2  4at  2a 2 b) t = 2a/3


Gv: Trần Quốc Nghĩa

18.

5

Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau
và OA = OB = OC = a. Kí hiệu K, M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm
của CE với mặt phẳng (OMN).
a) Chứng minh CE vuông góc với mặt phẳng (OMN).
b) Tính diện tích tứ giác OMIN theo a.
ĐH Huế khối A - 01

19.

ĐS: a 2 3 /6

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo a diện
tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng
(SBC).
ĐH Khối A - 02

20.

ĐS: a 2 10 /16 (đvdt)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính
theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE.
Dự bị 1 ĐH Khối B - 02

21.

ĐS: 3a 5 /5

Cho tứ diện OABC có ba cạnh đôi một vuông góc với nhau. Gọi , , 
lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt (OBC), (OCA),
(OAB). Chứng minh: cos  cos   cos   3 .
Dự bị 2 ĐH Khối B - 02

22.

Cho hình tứ diện đều ABCD, cạnh a = 6 2 cm. Hãy xác định độ dài
đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.
Dự bị 1 ĐH Khối D - 02

23.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt
phẳng (SBC) theo a, biết rằng SA 
Dự bị 2 ĐH Khối D - 02

24.

ĐS: 6 cm

a 6
.
2

ĐS: a 2 / 2

Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC);
AC = AD = 4 cm; AB = 3 cm; BC = 5 cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới
mặt phẳng (BCD).
ĐH Khối D - 02

ĐS: 6 34 /17 (cm)


Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN

25.

6

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = a,
BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của
SC. Chứng minh rằng, tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác
AMB theo a.
Dự bị 1 ĐH Khối D - 03

26.

ĐS: a 2 2 /2 (đvdt)

Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác
ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam giác
BCD theo a, b, c và chứng minh rằng 2S  abc(a  b  c) .
Dự bị 2 ĐH Khối D - 03

27.

ĐS: S  a 2b2  b2 c2  c2 a 2 /2 (đvdt)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là
điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N
là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo
a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
ĐH Khối B - 07

28.

ĐS: a 2 /4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC  BAD  900 ,
BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và
SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh
SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
ĐH Khối D - 07

29.

ĐS: a/3

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
a 5
. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
2
Hệ CĐ ĐH Sài Gòn Khối D - 07

ĐS: a 11/4


Gv: Trần Quốc Nghĩa

7

Bài 2. Hình chóp - Khối đa diện
30.

Trong mp(P) cho đường tròn (C) tâm O đường kính AB = 2R. Lấy một
điểm S thuộc đường thẳng vuông góc với (P) tại O sao cho OS = R 3 .
Gọi I là điểm thuộc đoạn SO với SI =

2R
3

, M là điểm thuộc (C).

SH
với H là hình chiếu của I lên SM. Từ đó suy ra quỹ tích
SM
của H khi M di động trên (C).
b) Xác định vị trí của M trên (C) để hình chóp H.AMB có thể tích lớn
nhất. Tính giá trị lớn nhất này.

a) Tính tỉ số

c) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SMB) khi BAM 



.
6
ĐS: a) SH/SM=1/2

ĐH Bách khoa TpHCM - 94

b) Vmax  R3 3 /8 khi M trung điểm AB c) arctan2

31.

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Trên
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A, lấy điểm S sao cho
SA = h (h > 0). M là một điểm di động trên cạnh SB. Gọi I, J lần lượt là
các trung điểm của BC và AB.
a) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SI và AB.
b) Tính tỉ số giữa thể tích các hình chóp BMIJ và BSCA khi độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đường AC và MJ đạt giá trị lớn nhất.
ĐH Bách khoa TpHCM - 95

32.

ĐS: a)

bh
b  4h
2

2

b)

V BMIJ 1

VBSCA 8

Cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Xét tam diện
Oxyz. Điểm M cố định nằm trong tam diện. Một mặt phẳng qua M cắt các
tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C. Gọi khoảng cách từ M đến các mặt
phẳng (OBC), (OCA), (OAB) lần lượt là a, b, c.
a) Chứng minh rằng tam giác ABC không phải là tam giác vuông.
a
b
c
b) Chứng minh:


 1.
OA OB OC
c) Tính OA, OB, OC theo a, b, c để tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất.
ĐH Y Dược TpHCM - 95

ĐS: c) Vmin 

9
abc  OA  3a;OB  3b;OC  3c
2

Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN

33.

8

Cho tứ diện SABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông.
a) Chứng minh rằng

3S ABC  SSAB  SSBC  SSAC .

b) Biết rằng SA = a, SB + SC = k. Đặt SB = x. Tính VSABC theo a, k, x và
xác định SB, SC để VSABC lớn nhất.
ĐH Quốc gia TpHCM khối A - 96

34.

ĐS: b) V 

Cho tam giác ABC, AB = AC. Một điểm M thay đổi trên đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A (M  A).
a) Tìm quỹ tích trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC.
b) Gọi O là trực tâm của tam giác ABC, hãy xác định vị trí của điểm M để
thể tích tứ diện OHBC đạt giá trị lớn nhất.
ĐS: AM 1  AM 2  AD

ĐH Quốc gia HN Khối B - 97

35.

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A
xuống mặt phẳng (BCD) và O là trung điểm của AH.
a) Tính thể tích của tứ diện ABCD.
b) Chứng minh: AB  CD. Tính khoảng cách giữa AB, CD theo a.
c) Chứng minh: OB, OC, OD từng đôi một vuông góc với nhau.
d) Xác định điểm M trong không gian sao cho:
MA2  MB2  MC 2  MD2 đạt giá trị nhỏ nhất.
ĐH QG TpHCM khối D - 97

36.

k
1
ax( k  x ) ; SB  SC 
6
2

ĐS: a) V 

a3 2
a 2
b)
c)M  G (trọng tâm)
12
2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc
với đáy và có độ dài bằng a. Mặt phẳng đi qua CD cắt các cạnh SA, SB
lần lượt tại M và N. Đặt AM = x.

a) Tứ giác MNCD là hình gì ? Tính diện tích MNCD theo a và x.
b) Xác định giá trị của x để tỉ số thể tích của hai khối chóp S.MNCD và
2
S.ABCD bằng .
9
ĐH QG TpHCM khối A - 97 ĐS: a) S  ( 2a  x ) a 2  x 2 /2 (đvdt) b) x  2a/3

37.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tính thể tích hình chóp S.ABCD.
b) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy ABCD đến các mặt bên của hình
chóp.
ĐH Đà Nẵng khối D - 97

ĐS: a3 2 /6 (đvtt); a 6 /6


Gv: Trần Quốc Nghĩa

38.

9

Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm I (A đối diện với C). Các nửa đường
thẳng Ax, Cy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ở về cùng phía đối với
mặt phẳng đó. Cho điểm M không trùng với A trên Ax, cho điểm N không
trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n.
a) Tính thể tích của hình chóp B.AMNC.
b) Tính MN theo a, m, n và tìm điều kiện đối với a, m, n để MIN  900

ĐH Quốc gia HN khối D - 97

ĐS: a) V  ( m  n )a 2 /6 (đvtt);

b) MN  2a 2  ( m  n )2 ; MIN  900  a2  2mn  0

39.

AB là đường vuông góc chung của hai đường thẳng x, y chéo nhau, A
thuộc x, B thuộc y. Đặt độ dài AB = d. M là một điểm thay đổi thuộc x, N
là một điểm thay đổi thuộc y. Đặt AM = m, BN = n (m, n ≥ 0). Giả sử ta
luôn có m2 + n2 = k > 0, k không đổi.
a) Xác định m, n để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
b) Trong trường hợp hai đường thẳng x, y vuông góc với nhau và
mn  0, hãy xác định m, n (theo k và d) để thể tích tứ diện ABMN đạt
giá trị lớn nhất và tính giá trị đó.
ĐH Quốc gia HN khối A - 97





ĐS: a) MNmax  d 2  k  k cos  khi m  n  k/2 và AM ,BN    





MNmin  d 2  k  k cos  khi m  n  k/2 và AM ,BN  

(với  là góc giữa hai đường thẳng x và y) b) VABMN(max)  kd/12 khi m  n  k/2

40.

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (S) đường kính AB = 2R. Trên
đường thẳng vuông góc với (P) tại A, lấy điểm C sao cho AC = AB. M là
một điểm thuộc (S), H là hình chiếu của A xuống CM.
a) C/m khi M di động trên (S) thì H di động trên một đường tròn cố định.
b) Xác định vị trí của M trên (S) (tính độ dài AM theo R) sao cho hình
chóp H.ABC có thể tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
ĐH Văn Lang khối B, D - 97

41.

ĐS: a) Vmax  R3 2 /3 khi AM  2R 3 /3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần lượt
SM SN
trên các cạnh SB, SD sao cho:

 2.
BM DN
SP
a) Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỉ số
.
CP
b) Tính VS.AMPN theo VS.ABCD.
ĐH Cần Thơ khối A - 98

ĐS: a) SP/CP=1 b) VS.AMPN =VS.ABCD /3

Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN

42.

10

Cho góc tam diện ba mặt vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lất ba
điểm A, B, C.
a) Tính diện tích tam giác ABC theo OA = a, OB = b, OC = c.
b) Giả sử A, B, C thay đổi nhưng luôn thỏa:
OA + OB + OC + AB + BC + CA = k không đổi.
Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC.

b) Vmax

43.

Cho hình chóp S.ABCD có độ dài cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a.
a) Chứng minh rằng SA  SC.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (SBC).
ĐH Cần Thơ khối D - 98

44.

1 2 2
a b  b2 c 2  c 2 a 2
2

k3
k

khi a  b  c 
3
162( 1  2 )
3( 1  2 )

ĐS: a) S 

ĐH Ngoại thương khối A - 98

ĐS: b) V=a 3 2 /6 c) a 6 /3

Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi D, E, F
là các điểm mà AD  xAB , AE  x AC , x là số dương nhỏ hơn 1. Mặt
phẳng đi qua D, E, F chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai
phần đó theo x.
HV Ngân hàng khối D ban B - 98

45.

ĐS:

( x  1)2 ( 2x  1)
x 2 ( 3  2x )

Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD =BC= a, AC =BD = b, AB = CD = c.
a) Chứng minh rằng đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện là
đoạn vuông góc chung của các cặp cạnh đó.

b) Tính thể tích tứ diện theo a, b, c.
ĐH QG TpHCM khối A - 98
ĐS: b) V 

46.

1
3 2

( b 2  c 2  a 2 )( a 2 b 2 c 2 )( c 2 a 2 b 2 )

Hai tia Ax, By nằm trên hai đường thẳng chéo nhau và tạo với nhau một
góc . Đường thẳng AB cùng vuông góc với Ax và By. Lấy M  Ax,
N  By. Biết rằng AB = d, AM = m, BN = n.
a) Hãy dựng đường vuông góc chung của AB và MN và tính độ dài
đường vuông góc chung ó theo m, n,  và d.
b) Tính thể tích tứ diện ABMN.
1
mn sin 
ĐH Thái Nguyên khối D - 98 ĐS: a)
b) V  dmn sin 
2
2
6
m  n  2mn cos 


Gv: Trần Quốc Nghĩa

47.

11

Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x và các cạnh còn lại đều bằng 1.
a) Chứng minh SA  SC.
b) Tính thể tích hình chóp. Xác định x để bài toán có nghĩa.
Phân viện Báo Chí Tuyên Truyền - 98

48.

ĐS: a) V 

Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a 2 và CD = 2a.
a) Chứng minh rằng AB  CD. Hãy xác định đường vuông góc chung
của B và CD.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
CĐ Kỹ nghệ TpHCM - 98

49.

ĐS: b) a3 / 3

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a.
a) Chứng minh rằng đường thẳng nối các trung điểm của cặp cạnh đối
của tứ diện là đường vuông góc chung của cặp cạnh đó.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD theo a.
c) Một mặt phẳng () song song với các cạnh AB, CD cắt ứ diện theo
thiết diện PQRS (P  BC, Q  AC, R  AD, S  BD). Chứng minh
PQRS là hình chữ nhật, tìm vị trí của () để PQRS là hình vuông.
CĐ SP Nghệ An - 98

50.

1
x 3  x 2 khi 0  x  3
6

ĐS: b) V 

a3 2
c) () qua trung điểm BC
12

Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo nhau và vuông góc với nhau, có AB
là đường vuông góc chung, AB = a. Ta lấy các điểm M trên Ax, N trên By
với AM = x, BN = y.
a) Chứng minh các mặt bên của tứ diện ABMN là các tam giác vuông.
b) Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện ABMN theo a, x, y.
ĐH QG TpHCM khối D - 98
ĐS: b) Stp  ( x a 2  y2  ax  y a2  y2  ay ) /2; V  axy/6

51.

Trong mặt phẳng () cho đường tròn (T) đường kính AB = 2R. Gọi C là
điểm di động trên (T). Trên đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt
phẳng () lấy điểm S sao cho SA = R. Hạ AH  SB, AK  SC.
a) Chứng minh: AK  (SBC), SB  (AHK).
b) Tìm quỹ tích điểm K khi C thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích
tứ diện SAHK.
ĐH Cần Thơ - 99

ĐS: Vmax  R3 5 /75 (đvtt)


Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN

52.

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều
bằng 1.
a) Tính thể tích hình chóp theo x, y.
b) Với x, y nào thì thể tích hình chóp lớn nhất ?
ĐS: a) V 

ĐH An ninh - 99

53.

12

xy
x2  y 2
2
(đvtt); x  y 
1
6
4
3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều với AD = 2a,

AB = BC = CD = a và đường cao SO = a 3 , trong đó O là trung điểm
của AD.
a) Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a.
b) Gọi () là mặt phẳng qua A và vuông góc với SD. Hãy xác định thiết
diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( ).
ĐS: a) V  3a3 / 4

ĐH Quy Nhơn - 99

54.

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
SA  (ABC) và SA = a. Gọi M là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đặt

ACM   , hạ SH  CM.
a) Tìm quỹ tích các điểm H. Suy ra giá trị lớn nhất của VSAHC.
b) Hạ AI  SC, AK  SH. Tính SK, AK và thể tích tứ diện SAIK theo a.
ĐS: a) Vmax  a3 / 12

ĐH Quốc gia TpHCM khối A - 99
b) SK 

55.

a
1  sin2 

; AK 

a sin 

1  sin2 

;VSAIK 

a 3 sin  cos 
12( 1  sin2  )

Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a có tâm là O. Trên các
nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) và ở về cùng phía đối với (P)
ta lần lượt lấy hai điểm M, N. Đặt AM = x, CN = y.
a) Tính độ dài MN. Từ đó chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam
a2
.
2
b) Giả sử M, N thay đổi sao cho tam giác OMN vuông tại O. Tính thể tích

giác OMN vuông tại O là xy 

tứ diện BDMN. Xác định x, y để thể tích tứ diện này bằng
ĐH Quốc gia TpHCM khối D - 99
b) V 

a 2
6

a3
.
4

ĐS: a) MN  2a 2  ( x  y )2

a
x  a 
a4 a2 2
a3

x 
 ( x  y 2 )  x2 y 2 ; V 

2
a
4
2
4
y


y

a

2 


Gv: Trần Quốc Nghĩa

56.

13

Cho hình chóp S.ABC đỉnh S, đáy là tam giác cân, AB = AC = 3a,
BC = 2a. Biết rằng các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) đều hợp với mặt
phẳng đáy (ABC) một góc 600. Kẻ đường cao SH của hình chóp.
a) Chứng tỏ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và SA  BC.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
ĐH Quốc gia HN Khối D - 01

57.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đường cao SH và mặt phẳng () đi
qua điểm A vuông góc với cạnh bên SC. Biết mp() cắt SH tại H1 mà
SH1: SH = 1:3 và cắt các cạnh bên SB, SC, SD lần lượt tại B, C, D.
a) Tính tỉ số diện tích thiết diện ABCD và diện tích đáy hình chóp.
b) Cho biết cạnh đáy của hình chóp bằng a. Tính thể tích của hình chóp
S.ABCD.
ĐH SP HN II Khối A - 01

58.

ĐS: 2a3 3 /3 (đvtt)

ĐS: a)

S AB' C' D'
15
a3 3
b) V 
(đvtt)

S ABCD

15
90

Cho hình chóp đều S.ABC đỉnh S có các cạnh đáy đều bằng a, đường cao
SH = h.
a) Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (P) qua cạnh BC
và vuông góc với SA.
b) Nếu h = a 3 thì mặt phẳng (P) chia thể tích hình chóp đã cho theo tỉ
số nào ?
ĐH GTVT HN - 01

59.

ĐS: b)17/20

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, biết AB = 2a; BC = a.
Các cạnh bên của hính chóp bằng nhau và bằng a 2 .
a) Tính thể tích khối chóp theo a.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, K là điểm
a
trên cạnh AD sao cho AK = . Hãy tính khoảng cách giữa hai đường
3
thẳng MN và SK theo a.
ĐH Kinh tế QD HN - 01

60.

ĐS: a) a3 3 /3 b) a 21/7

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại các đỉnh A

và D. Biết rằng AB = 2a, AD = CD = a, (a > 0). Cạnh bên SA = 3a vuông
góc với đáy.
a) Tính diện tích tam giác SBD theo a.
b) Tính thể tích tứ diện SBCD theo a.
ĐH DL Đông đô - 01

ĐS: a) 7a 2 /2 b) a 3 /2


Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN

61.

14

Trong không gian, cho đoạn OO = h và 2 nửa đường thẳng Od, Od cùng
vuông góc với OO và vuông góc với nhau. Điểm M chạy trên Od, điểm
N chạy trên Od sao cho ta luôn có OM2 + ON2 = k2, k cho trước.
a) Chứng minh rằng đoạn MN có độ dài không đổi.
b) Xác định vị trí của M trên Od, N trên Od sao cho tứ diện OOMN có
thể tích lớn nhất.
HV Ngân hàng - 01
ĐS: a) MN  k 2  h2 b) Vmax  hk 2 /2 khi OM  O' N  k 2 /2

62.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a 2 . Trên cạnh AD lấy điểm M thay
đổi. Đặt ACM   . Hạ SN  CM.
a) Chứng minh N luôn thuộc một đường tròn cố định và tính thể tích tứ

diện SACN theo a và .
b) Hạ AH  SC, AK  SN. Chứng minh SC  (AHK) và tính HK.
ĐH QG TpHCM Khối A - 01

63.

ĐS:a) V 

a cos 
a 2 2 s in2
b) HK 
6
1  sin 2 

Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB = a, AC = b, AD = c và

BAC  CAD  DAB  600 .
Dự bị 1 ĐH Khối A - 02

64.

ĐS: abc 2 /12 (đvdt)

Trên các tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau lần lượt lấy các điểm
khác O là M, N và S với OM = m, ON = n và OS = a. Cho a không đổi, m
và n thay đổi sao cho m + n = a.
a) Tính thể tích khối chóp S.OMN. Xác định vị trí của các điểm M và N
sao cho thể tích trên đạt giá trị lớn nhất.
b) Chứng minh: OSM  MSN  NSO  900 .
ĐS: m  n  a / 2

CĐ Sư phạm Nha Trang - 02

65.

Cho hình chóp đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc
 (00 <  < 900). Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A
đến mặt phẳng (SBC).
Dự bị 2 ĐH Khối B - 03

ĐS:

a 3 tan 
a 3 sin 
(đvtt);
22
2


Gv: Trần Quốc Nghĩa

66.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên
và mặt đáy bằng  (00 <  < 900). Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng
(SAB) và (ABCD) theo . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và .
ĐH Khối B - 04

67.

15

ĐS:

2 tan  ;

a 3 2 tan 
(đvtt)
6

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
AD = a 2 , SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N
lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC.
Chứng minh rằng mp(SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính
thể tích của khối tứ diện ANIB.
ĐH Khối B - 06

68.

ĐS: a3 2 /36 (đvtt)

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích
của khối chóp A.BCNM.
ĐH Khối D - 06

69.

ĐS: 3 3a3 /50 (đvtt)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một
a 3
. Mặt phẳng
3
(BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.

góc 600. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =

Dự bị 2 ĐH Khối A - 06

70.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là đường
cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng
bên (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Dự bị 1 ĐH Khối D - 06

71.

ĐS: 10 3a3 /27 (đvtt)

ĐS:

2
a 3b
(đvtt)
3 a 2  16b 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD  600 ,
SA vuông góc với mp(ABCD), SA = a. Gọi C là trung điểm của SC. Mặt
phẳng (P) đi qua AC và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình
chóp lần lượt tại B, D. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Dự bị 1 ĐH Khối B - 06

ĐS: a3 3 /18 (đvtt)


Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN

72.

16

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt
là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với
BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
ĐH Khối A - 07

73.

ĐS: a3 3 /96 (đvtt)

Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
600, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ
đỉnh B đến mp(SAC).
Dự bị 2 ĐH Khối A - 07

74.

ĐS: 3a/ 13

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông
góc với hình chóp. Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H và K lần lượt là hình
chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh SC  (AHK) và tính thể tích hình
chóp OAHK.
Dự bị 1 ĐH Khối B - 07

75.

ĐS: 2a3 /27 (đvtt)

Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C
thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc
với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)
bằng 600. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh
AHK vuông và tính VSABC?
Dự bị 2 ĐH Khối B - 07

76.

Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a; AC = BD = b; AD = BC = c. Tính
thể tích của tứ diện đó.
CĐ KT- CN HCM - 07

77.

ĐS: R3 6 /12 (đvtt)

ĐS:

2( b2  c2  a 2 )( c2  a 2  b2 )( a 2  b2  c 2 ) / 12

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng
a 3
6
Tính khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên SCD và thể tích khối
chóp S.ABCD.

tâm của tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên SCD bằng

Hệ CĐ ĐH Sài Gòn Khối A, B - 07

78.

ĐS: a) a 3 /4 ; b) a3 3 /6 (đvtt)

Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Biết thể tích là
V

9a 3 2
. Tính độ dài cạnh của hình chóp.
2

CĐ KT Đối ngoại - 07

ĐS: 3a

Gv: Trần Quốc Nghĩa

79.

17

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc
với đáy, ACB  600 , BC = a, SA = a 3 . Gọi M là trung điểm của cạnh
SB.
a) Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
b) Tính thể tích khối tứ diện MABC.
CĐ Cao Thắng - 07

80.

ĐS: a 3 /4 (đvtt)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,
SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối
chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.
ĐH Khối B - 08

81.

ĐS: V = a3 3 /3 (đvtt) , cosφ = 5 /5

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC  BAD  900 ,
AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần

lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật
và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a.
CĐ - 08

82.

ĐS: a3 / 3 (đvtt)

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B, BA =
BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung
điểm E của AB và SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC; M
là điểm di động trên tia đối của tia BA sao cho ECM   (  900 ) và H
là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính thể tích của khối tứ diện
EHIJ theo a,  và tìm  để thể tích đó lớn nhất.
Dự bị 1 ĐH Khối A - 08

83.


5a 3
s in2 (đvtt) ,  =
4
24

Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông,
SA = SB = SC = a. Gọi N, M, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,
AC, BC; D là điểm đối xứng của S qua E ; I là giao điểm của đường thẳng
AD với mặt phẳng (SMN). Chứng minh rằng AD vuông góc với SI và tính
theo a thể tích của khối tứ diện MBSI.
Dự bị 2 ĐH Khối A - 08

84.

ĐS: V =

ĐS: V = a3/36 (đvtt)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,

SA  a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối
tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC.
Dự bị 1 ĐH Khối B - 08

ĐS: V = a3 3 /6 (đvtt);

2 /4


Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN

85.

Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a,
các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau. Hãy tính theo a thể tích khối
tứ diện ABCD và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC.
Dự bị 2 ĐH Khối B - 08

86.

ĐS: V = 3a3 15 /5 (đvtt)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 . Gọi M, N và
P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng
đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của
khối tứ diện AMNP.
CĐ - 09

90.

ĐS: 8a3 /45 (đvtt)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;
AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI)
cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính VS.ABCD theo a.
ĐH Khối A - 09

89.

ĐS: AQ/AD = 3/5 ; V1 /V2 = 7/13

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B,
AB = a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng qua A
vuông góc với SC cắt SB, SC lần lượt tại H, K. Tính theo a thể tích khối
tứ diện SAHK.
Dự bị 2 ĐH Khối D - 08

88.

ĐS: V = a3 2 /12 (đvtt); 600

Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD,
AC sao cho BC = 4BM, AC = 3AP, BD = 2BN. Mặt phẳng (MNP) cắt AD
AQ
tại Q. Tính tỉ số
và tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD
AD
được phân chia bởi mặt phẳng (MNP).
Dự bị 1 ĐH Khối D - 08

87.

18

ĐS: a3 6 /48 (đvtt)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với
DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể
tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và
SC theo a.
ĐH Khối A - 10

91.

ĐS: V = 5a3 3 /24 (đvtt) , 2a 3 / 19

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng
(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc giữa đường thẳng SC
và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

CĐ - 10

ĐS: a3 5 /6 (đvtt)


Gv: Trần Quốc Nghĩa

92.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm
AC
H thuộc đoạn AC, AH =
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC.
4
Chứng minh M là trung điểm của SA và tính VSMBC theo a.
ĐH Khối D - 10

93.

ĐS: V = a3 14 /48 (đvtt)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt
phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song
song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB và SN theo a.
ĐH Khối A - 11

94.

19

ĐS: V = a3 3 (đvtt); 2a 39 /13

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a,
BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết

SB  2a 3 và SBC  300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng
cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
ĐH Khối D - 11

95.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=a, SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
bằng 300. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.Tính thể tích của khối chóp
S.ABM theo a.
CĐ Khối A, B, D - 11

96.

ĐS: V = a3 3 /36 (đvtt)

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông
góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính
thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
SA và BC theo a.

ĐH Khối A & A1 - 12

97.

ĐS: V = 2a3 3 (đvtt); 6a 7 /7

ĐS: V = a3 7 /12 (đvtt); d( SA,BC )  a 42 /8

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt
phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.
ĐH Khối B - 12

ĐS: V = 7a3 11/96 (đvtt)


Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN

98.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC  300 , SBC là
tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a
VS.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
ĐH Khối A & A1 - 13

99.

20

ĐS: V = a3 /16 (đvtt); d( C,SAB )  a 39 /13

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính
theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (SCD).
ĐH Khối B - 13

ĐS: V = a3 3 /6 (đvtt); d( A,SCD )  a 21/7

100. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông
góc với đáy, BAD  1200 , M là trung điểm của cạnh BC và SMA  450 .
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến
mặt phẳng (SBC).
ĐH Khối D - 13

ĐS: V = a3 /4 (đvtt); d( D,SBC )  a 6 /4

101. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD 

3a
,
2

hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của
cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khẳng cách từ A đến
mặt phẳng (SBD).
ĐH Khối A & A1 - 14

ĐS: V = a3 /3 (đvtt); d( A,SBD )  2a/3

102. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên
SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy.
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường
thẳng SA, BC.
ĐH Khối D - 14

ĐS: V = a3 3 /24 (đvtt); d( BC,SA )  a 3 /4

103. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông
góc với đáy, SC tạo với đáy một góc bằng 450. Tính theo a thể tích khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD).
CĐ các khối - 14

ĐS: V = a3 2 /3 (đvtt); d( B,( SCD ))  a 6 /3


Gv: Trần Quốc Nghĩa

21

104. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông
góc với mặt phẳmg (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
(ACBD) bằng 450. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng
cách giữa hai đường thẳng SB, AC.
THPT Quốc gia - 2015

ĐS: V = a3 2 /3 (đvtt); d( AC,SB )  a 10 / 5

105. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, ABC  1200 ,
AB = a, SB vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng

(SAC) và (ABC) bằng 450. Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm
của SM. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C
đến mặt phẳng (ABN)
THPT Quốc gia (đề dự bị) - 2015 ĐS: V = a3 3 /24 ; d( C,( ABN ))  a 21 / 7

106. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC  2a ,

ACB  300 . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung
điểm của cạnh AC và SH  a 2 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
THPTQG (đề minh họa) - 2015 ĐS: V = a3 6 /6 ; d( C,( SAB ))  2a 66 / 11


Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN

22

Bài 3. Hình lăng trụ - Hình hộp
107. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD với AA = a, AB = b, AD = c. Tính
thể tích tứ diện ACBD theo a, b, c.
HV Quan hệ QT - 97

ĐS: V = abc/3 (đvtt)

108. Cho hình lập phương ABCD.ABCD với cạnh bằng a.
a) Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BD.
b) Chứng minh đường chéo BD vuông góc với mặt phẳng (DAC).
HV Quan hệ QT - 98

109. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có cạnh đáy bằng 2a và chiều

cao bằng a.
a) Dựng thiết diện của lăng trụ tạo bởi mặt phẳng đi qua B và vuông góc
với cạnh AC.
b) Tính diện tích của thiết diện nói trên.
ĐH Huế khối B - 98

ĐS: b) S  3a 2 15 /8

110. Cho hình lập phương ABCD.ABCD với cạnh bằng a và một điểm M
trên cạnh AB, AM = x, 0 < x < a. Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M và
chứa đường chéo AC của hình vuông ABCD.
a) Tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng (P).
b) Mặt phẳng (P) chia hình lập phương thành hai khối đa diện, hãy tìm x
để thể tích của một trong hai khối đa diện đó gấp đôi thể tích khối đa
diện kia.
HV Ngân hàng khối D - 99 ĐS:a) S 

3 5 
2
x2
b) x  a 
( 2a  x ) a 2 

2
2
 2 

111. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD và điểm M trên cạnh AD. Mặt
phẳng (ABM) cắt đường chéo AC của hình hộp tại điểm H.
a) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh AD thì đường thẳng MH

cắt đường thẳng AB tại một điểm cố định.
b) Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo bởi mặt phẳng (ABM)
cắt hình hộp trong trường hợp M là trung điểm của cạnh AD.
c) Giả sử AA = AB và MB vuông góc với AC. Chứng minh rằng mặt
phẳng (ABM) vuông góc với AC và điểm H là trực tâm của ABM.
ĐH Ngoại ngữ HN - 99

ĐS: b) 1/11


Gv: Trần Quốc Nghĩa

23

112. Cho hình lập phương ABCD.ABCD với cạnh bằng a. Giả sử M và N lần
lượt là trung điểm của BC và DD.
a) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (ABD).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và MN theo a.
ĐH Ngoại thương TpHCM - 01

ĐS: a 3 /6

113. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = a, AD = 2a, AA = a.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC.
b) Gọi M là điểm chia trong đoạn AD theo tỉ số AM = 3MD. Tính khoảng
cách từ M đến mặt phẳng (ABC).
c) Tính thể tích tứ diện ABDC.
ĐS: a) a; b) a/2 c) 2a3/3

Học viện CN BCVT - 01

114. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD (AA, BB, CC, DD) song song
và AC là đường chéo của hình chữ nhật ABCD) có AB = a, AD = 2a,
AA = a 2 ; M là một điểm thuộc đoạn AD, K là trung điểm của BM.
a) Đặt AM = m (0  m < 2a). Tính thể tích khối tứ diện AKID theo a và
m, trong đó I là tâm của hình hộp. Tìm vị trí của điểm M để thể tích đó
đạt giá trị lớn nhất.
b) Khi M là trung điểm của AD:
i) Hỏi thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (BCK) là hình gì ?
Tính diện tích thiết diện đó theo a.
ii) Chứng minh BM tiếp xúc với mặt cầu đường kính AA.
ĐH SP Hà Nội khối B - 01

ĐS: a) V 

a 2 2( 2a  m )
a3 2
, Vmax 
khi M  A
24
12

b) Hình thang, S  3a 2 2 /2

115. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = a, BC = b, AA = c.
a) Tính diện tích tam giác ACD theo a, b, c.
b) Giả sử M và N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Hãy tính thể tích của
tứ diện DDMN theo a, b, c.
HV QHQT khối D - 01

ĐS: a) S ACD' 

1 2 2
abc
a b  b2 c 2  c 2 a 2 ; b) V 
8
2


Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN

24

116. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D.
b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1, CD, A1D1.
Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1N.
ĐH Khối B - 02

ĐS: a 6 /6 ; 900

117. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a. Giả sử M, N lần
lượt là trung điểm của BC, DD1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
BD và MN theo a.
CĐ KTKT Hải Dương - 02

ĐS: a 3 /6

118. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi
cạnh a, BAD  600 . Gọi M là trung điểm cạnh AA và N là trung điểm

cạnh CC. Chứng minh rằng bốn điểm B, M, D, N cùng thuộc một mặt
phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA theo a để tứ giác BMDN là hình vuông.
ĐH Khối B - 03

ĐS: AA'  a 2

119. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cân với AB = AC = a và
góc BAC  1200 , cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm của CC'. Chứng
minh rằng, tam giác AB'I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt
phẳng (ABC) và (AB'I).
Dự bị 2 ĐH Khối A - 03

ĐS: cos   30 /10

120. Cho hình lập phương ABCD.ABCD. Tìm điểm M thuộc cạnh AA sao
cho mặt phẳng (BDM) cắt hình lập phương theo một thiết diện có diện
tích nhỏ nhất.
Dự bị 1 ĐH Khối B - 03
ĐS: M trung điểm AA
121. Cho hình hộp đứng ABCD.ABCD có các cạnh AB = AD = a,
a 3
và BAD  600 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các
2
cạnh AD và AB. Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (BDMN).
Tính thể tích khối chóp A.BDMN.

AA =

Dự bị 1 ĐH Khối A - 06

ĐS: 3a3 /16 (đvtt)