Chuyen de HH khong gian L12

c
b
a
M
H
C
B
A
Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian Đỗ Đình Quân
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

A. Nội dung thực hiện:
I.Ôn tập kiến thức cơ bản :

ÔN TẬP 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho
ABC
∆
vuông ở A ta có :
a) Định lý Pitago :
2 2 2
BC AB AC
= +

b)
CBCHCABCBHBA .;.
22
==
c) AB. AC = BC. AH
d)

222
111
ACABAH
+=

e) BC = 2AM
f)
sin , os , tan ,cot
b c b c
B c B B B
a a c b
= = = =
g) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a =
sin cos
b b
B C
=
,
b = c. tanB = c.cot C
2.Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lý hàm số Côsin: a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc.cosA
* Định lý hàm số Sin:
2
sin sin sin

a b c
R
A B C
= = =
3. Các công thức tính diện tích.
a/ Công thức tính diện tích tam giác:

1
2
S =
a.h
a
=
1 . .
. sin . .( )( )( )
2 4
a b c
a b C p r p p a p b p c
R
= = = − − −
với
2
a b c
p
+ +
=
Đặc biệt :*
ABC
∆
vuông ở A :

1
.
2
S AB AC
=
,*
ABC
∆
đều cạnh a:
2
3
4
a
S
=
b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
d/ Diên tích hình thoi : S =
1
2
(chéo dài x chéo ngắn)
d/ Diện tích hình thang :
1
2
S =
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
f/ Diện tích hình tròn :
2
S .R

π
=
Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian Đỗ Đình Quân
ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A.QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:
Đường thẳng và mặt phẳng gọi là
song song với nhau nếu chúng
không có điểm nào chung.
a / /(P) a (P)
⇔ ∩ = ∅
a
(P)
II.Các định lý :
ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm
trên mp(P) và song song với đường
thẳng a nằm trên mp(P) thì đường
thẳng d song song với mp(P)
d (P)
d / /a d / /(P)
a (P)

⊄

⇒


⊂


d
a
(P)
ĐL2: Nếu đường thẳng a song song
với mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà
cắt mp(P) thì cắt theo giao tuyến
song song với a.
a / /(P)
a (Q) d / /a
(P) (Q) d


⊂ ⇒


∩ =

d
a
(Q)
(P)
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau
cùng song song với một đường thẳng
thì giao tuyến của chúng song song
với đường thẳng đó.
(P) (Q) d
(P) / /a d / /a
(Q) / /a

∩ =


⇒



a
d
Q
P
§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là song
song với nhau nếu chúng không có
điểm nào chung.
(P) / /(Q) (P) (Q)
⇔ ∩ = ∅
Q
P
II.Các định lý:
ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường
thẳng a, b cắt nhau và cùng song
song với mặt phẳng (Q) thì (P) và
(Q) song song với nhau.
a,b (P)
a b I (P) / /(Q)
a / /(Q),b / /(Q)

⊂

∩ = ⇒




I
b
a
Q
P
ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm
một trong hai mặt phẳng song song
thì song song với mặt phẳng kia.
(P) / /(Q)
a / /(Q)
a (P)

⇒

⊂

a
Q
P
Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian Đỗ Đình Quân
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q)
song song thì mọi mặt phẳng (R) đã
cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao
tuyến của chúng song song.
(P) / /(Q)
(R) (P) a a / /b
(R) (Q) b



∩ = ⇒


∩ =

b
a
R
Q
P
B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I.Định nghĩa :
Một đường thẳng được gọi là vuông
góc với một mặt phẳng nếu nó
vuông góc với mọi đường thẳng
nằm trên mặt phẳng đó.
a mp(P) a c, c (P)
⊥ ⇔ ⊥ ∀ ⊂
P
c
a
II. Các định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với
hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng
nằm trong mp(P) thì đường thẳng d
vuông góc với mp(P).
d a ,d b

a ,b mp(P) d mp(P)
a,b caét nhau

⊥ ⊥

⊂ ⇒ ⊥



d
a
b
P
ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường
thẳng a không vuông góc với mp(P) và
đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó,
điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a
là b vuông góc với hình chiếu a’ của a
trên (P).
a mp(P),b mp(P)
b a b a'
⊥ ⊂
⊥ ⇔ ⊥
a'
a
b
P
§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I.Định nghĩa :
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90

0
.
II. Các định lý:
ĐL1:Nếu một mặt
phẳng chứa một đường
thẳng vuông góc với một
mặt phẳng khác thì hai
mặt phẳng đó vuông góc
với nhau.
a mp(P)
mp(Q) mp(P)
a mp(Q)

⊥
⇒ ⊥

⊂

Q
P
a
Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian Đỗ Đình Quân
ĐL2:Nếu hai mặt phẳng
(P) và (Q) vuông góc với
nhau thì bất cứ đường
thẳng a nào nằm trong
(P), vuông góc với giao
tuyến của (P) và (Q) đều
vuông góc với mặt
phẳng (Q).

(P) (Q)
(P) (Q) d a (Q)
a (P),a d

⊥

∩ = ⇒ ⊥


⊂ ⊥

d
Q
P
a
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng
(P) và (Q) vuông góc với
nhau và A là một điểm
trong (P) thì đường
thẳng a đi qua điểm A và
vuông góc với (Q) sẽ
nằm trong (P)
(P) (Q)
A (P)
a (P)
A a
a (Q)

⊥


∈

⇒ ⊂

∈


⊥

A
Q
P
a
ĐL4: Nếu hai mặt phẳng
cắt nhau và cùng vuông
góc với mặt phẳng thứ
ba thì giao tuyến của
chúng vuông góc với
mặt phẳng thứ ba.
(P) (Q) a
(P) (R) a (R)
(Q) (R)

∩ =

⊥ ⇒ ⊥


⊥


a
R
Q
P
§3.KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường
thẳng , đến 1 mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường
thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là
khoảng cách giữa hai điểm M và H,
trong đó H là hình chiếu của điểm M
trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
a
H
O
H
O
P
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và
mặt phẳng song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và
mp(P) song song với a là khoảng cách
từ một điểm nào đó của a đến mp(P).
d(a;(P)) = OH
a
H
O
P
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

song song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
d((P);(Q)) = OH
H
O
Q
P
B
h
Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian Đỗ Đình Quân
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau:
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng đó.
d(a;b) = AB
B
A
b
a
§4.GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi
qua một điểm và lần lượt cùng phương với a
và b.
b'
b
a'
a
2. Góc giữa đường thẳng a không vuông

góc với mặt phẳng (P)
là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên
mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng
(P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và
mp(P) là 90
0
.
P
a'
a
3. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông
góc với hai mặt phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong
2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến
tại 1 điểm
b
a
Q
P

P
Q
a
b
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích
của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện
tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì
S' Scos= ϕ

trong đó
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng (P),
(P’).
ϕ
C
B
A
S
ÔN TẬP 3 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DI Ệ N
I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h
với
B: dieän tích ñaùy
h : chieàu cao





a
b
c
a
a
a
B
h

Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian Đỗ Đình Quân
a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c
với a,b,c là ba kích thước
b)Thể tích khối lập phương:
V = a
3

với a là độ dài cạnh

2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
V=
1
3
Bh
với
B : dieän tích ñaùy
h : chieàu cao



3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’
là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA,
SB, SC ta có:

SABC
SA ' B' C'
V
SA SB SC

V SA' SB' SC'
=
C'
B'
A'
C
B
A
S
4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT:

( )
h
V B B' BB'
3
= + +

với
B, B' : dieän tích hai ñaùy
h : chieàu cao




B
A
C
A'
B'
C'

Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a
2
,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 ,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =
2 2 2
a b c
+ +
,
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =
3
2
a
3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
II/ Bài tập:
Nội dung chính
Bài tập soạn trong các tiết dạy được phân loại theo các dạng thông dụng trong các kỳ thi
tốt nghiệp THPT và trên cơ sở chuẩn kiến thức đối với học sinh trung bình yếu, đi từ dễ
đến khó để đạt được yêu cầu thi tốt nghiệp THPT .
LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
a
3a
C'
B'
A'
C
B

A
Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian Đỗ Đình Quân
1) Dạng 1 : Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có
cạnh BC = a
2
và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
Hoạt động của giáo viên:
• Gv: Dự đoán chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh để ôn tập:
+ Học sinh không vẽ được lăng trụ đứng tam giác .
+ Học sinh không xác định được cạnh tam giác vuông cân
+ Học sinh không biết dùng định lí Pythagor để tính chiềo cao lăng trụ.
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình
+ Dựng tam giác vuông đáy ABC hay A'B'C' .
+ Dựng các cạnh bên lăng trụ đứng.
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ.
+ Phân tích từ V = B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+Tìm diện tích đáy ABC thì phải dùng công thức nào ? tìm cạnh nào ? tại sao ?
+Tìm chiều cao AA' của lăng trụ phải dùng tam giác nào bởi định lí gì ?

a 2

Lời giải:
Ta có

ABCV
vuông cân tại A nên AB = AC = a
ABC A'B'C' là lăng trụ đứng
AA' AB⇒ ⊥
2 2 2 2

AA'B AA' A'B AB 8a⇒ = − =V
AA' 2a 2⇒ =
Vậy V = B.h = S
ABC
.AA' =
3
a 2
Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a.
Tính thể tích khối lăng trụ này.
Hoạt động của giáo viên:
• Gv: Dự đoán chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh để ôn tập:
+ Học sinh không vẽ được lăng trụ tứ giác đều .
+ Học sinh không xác định được tam giác BDD' vuông tại D
+ Học sinh không biết dùng định lí Pythagor để tính đường chéo đáy
+ Học sinh không tính được cạnh của hình vuông ABCD.
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình
+ Dựng tứ giác đều ABCD hay A'B'C'D' .
+ Dựng các cạnh bên của lăng trụ đứng.
+ Học sinh dựng một đường chéo BD' của lăng trụ .
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ.
+ Phân tích V= B.h để có h =4a và tìm B trong hình là diên tích đối tượng nào ?
+Tìm diện tích đáy ABCD thì phải tìm cạnh nào ? tại sao ?
Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian Đỗ Đình Quân
+Tìm BD thì dùng tam giác nào? tại sao ? Suy ra cạnh hình vuông ABCD ?
5a
4a
D'
C'
B'
A'

D
C
B
A

Lời giải:
ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên
BD
2
= BD'
2
- DD'
2
= 9a
2

BD 3a⇒ =
ABCD là hình vuông
3a
AB
2
⇒ =
Suy ra B = S
ABCD
=
2
9a
4
Vậy V = B.h = S
ABCD

.AA' = 9a
3

Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh
a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Hoạt động của giáo viên:
• Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh:
+ Học sinh không vẽ được lăng trụ tam giác đều.
+ Học sinh không xác định được đường cao và diện tích của tam giác đều .
+ Học sinh không biết xác định I chân đường cao để vận dụng định lý 3 đường
vuông góc .
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình
+ Dựng tam giác đều ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của lăng trụ đứng.
+ Dựng tam giác A'BC và các đường cao A'I , AI . Tại sao ?
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ.
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diên tích B = S
ABC
bằng công thức nào ?
+ Từ diện tích
A'BCV
suy ra cạnh nào ? tại sao ?
+ Tìm h = AA' dùng tam giác nào và định lí gì ?
A'
C'
B'
A
B
C
I

Lời giải:
Gọi I là trung điểm BC .Ta có
V
ABC đều nên

AB 3
3 &
2
AI 2 AI BC
A'I BC(dl3 )
== ⊥
⇒ ⊥ ⊥
A'BC
A'BC
2S
1
S BC.A'I A'I 4
2 BC
= ⇒ = =
AA' (ABC) AA' AI⊥ ⇒ ⊥
.
2 2
A'AI AA' A'I AI 2⇒ = − =V

Vậy : V
ABC.A’B’C’
= S
ABC
.AA'=

8 3
Ví dụ 4: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc
tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật
không có nắp. Tính thể tích cái hộp này.
A'
D
B'
C'
A'
C
D'
C'
B'B
D'
A
Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian Đỗ Đình Quân
Hoạt động của giáo viên:
• Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh:
+ Học sinh không vẽ được tấm bìa còn lại sau khi cắt ở 4 góc của tấm bìa .
+ Học sinh không dựng được hình hộp theo đề bài yêu cầu
+ Học sinh không xác định được đường cao và diện tích đáy của hộp .
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình:
+ Dựng tấm bìa và các đường cắt song song cạnh hình vuông.
+ Dựng hộp bằng cách gấp tấm bìa theo các đường cắt. Tại sao ?
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm h = AA' ? Tại sao ?
+ Tìm AB ? Suy ra B = S
ABCD
= AB

2
?
D'
A'
C'
B'
D
A
C
B
Giải
Theo đề bài, ta có
AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên
ABCD là hình vuông có
AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm
và chiều cao hộp h = 12 cm
Vậy thể tích hộp là
V = S
ABCD
.h = 4800cm
3
Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng
60
0
Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ.
Tính thể tích hình hộp .
Hoạt động của giáo viên:
• Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh:
+ Học sinh không vẽ được hình hộp đứng có đáy là hình thoi.
+ Học sinh không xác định được tam giác ABD đều .

+ Học sinh không tính được diện tích hình thoi
+ Học sinh không tính được AC để suy ra BD'
+ Học sinh không biết dùng định lý Pythagor vào tam giác BDD' để tính DD'
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng hình thoi ABCD hay A'B'C'D' và dựng các cạnh bên của hình hộp.
+ Dựng chéo lớn AC của ABCD ? và chéo nhỏ của hình hộp?
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diện tích B của hình thoi ABCD bằng cách nào ?
+ Tìm h = DD' trong tam giác vuông nào ? và định lí gì ?
60
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian Đỗ Đình Quân
Lời giải:
Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a
và S
ABCD
= 2S
ABD
=
2
a 3
2

Theo đề bài BD' = AC =
a 3
2 a 3
2
=
2 2
DD'B DD' BD' BD a 2⇒ = − =V
Vậy V = S
ABCD
.DD' =
3
a 6
2
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng
a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.
ĐS:
3
a 3
V
4
=
; S = 3a
2

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng
BD' a 6=
. Tính thể tích của lăng trụ.
Đs: V = 2a
3

Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết
rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của
lăng trụ.
Đs: V = 240cm
3
và S = 248cm
2
Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết
tổng diện tích các mặt bên là 480 cm
2
. Tính thể tích lăng trụ .
Đs: V = 1080 cm
3
Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A
,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a . Tính thể tích
lăng trụ.
Đs: V = 24a
3
Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích
các mặt của lăng trụ bằng 96 cm
2
.Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V = 64 cm
3
Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng
trụ bằng trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ.
Đs: V = 2888
Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m
2

. Tính thể tích khối lập
phương Đs: V = 8 m
3
Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một
đường chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Đs: V = 0,4 m
3
Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là
5; 10; 13
. Tính thể tích khối hộp này . Đs: V = 6
o
60
C'
B'
A'
C
B
A
Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian Đỗ Đình Quân
2)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác
vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 60
0
.
Tính thể tích lăng trụ.
Hoạt động của giáo viên:
• Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh:
+ Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.
+ Học sinh không biết cạnh bên lăng trụ đứng vuông góc đáy để suy ra tam giác
vuông

+ Học sinh không xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài
một cạnh của tam giác .
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng tam giác ABC hay A'B'C' và dựng các cạnh bên của hình lăng trụ .
+ Dựng A'B ?
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Tìm hình chiếu của A'B trên đáy ABC. Suy ra góc [A'B,(ABC)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?
+ Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
Lời giải:
Ta có
A'A (ABC) A'A AB&AB⊥ ⇒ ⊥
là hình
chiếu của A'B trên đáy ABC .
Vậy
¼
o
góc[A'B,(ABC)] ABA' 60= =
0
ABA' AA' AB.tan60 a 3⇒ = =V
S
ABC
=
2
1 a
BA.BC
2 2
=

Vậy V = S
ABC
.AA' =
3
a 3
2
Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác
vuông tại A với AC = a ,
¼
ACB
= 60
o
biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 30
0
.
Tính AC' và thể tích lăng trụ.
Hoạt động của giáo viên:
• Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh:
+ Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.
+ Học sinh không biết điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
+ Học sinh không xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài
một cạnh của tam giác .
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian Đỗ Đình Quân
+ Dựng tam giác ABC hay A'B'C' và dựng các cạnh bên của hình lăng trụ đứng .
+ Dựng BC' ?
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Tìm hình chiếu của BC' trên (AA'C'C). Suy ra góc [BC',(AA'C'C)] = ?
+ Tìm AC' trong tam giác nào?Dùng hệ thức lượng giác gì ?

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?
+ Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
a
o
60
o
30
C'
B'
A'
C
B
A
Lời giải:
o
a 3
ABC AB AC.tan60
=
⇒ =
V
.
Ta có:
AB AC;AB AA' AB (AA'C'C)⊥ ⊥ ⇒ ⊥
nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C).
Vậy góc[BC';(AA"C"C)] =
¼
BC'A
= 30
o

o
AB
AC'B AC' 3a
tan30
⇒ = =V
V =B.h = S
ABC
.AA'
2 2
AA'C' AA' AC' A'C' 2a 2⇒ = − =V
ABCV
là nửa tam giác đều nên
2
ABC
a 3
S
2
=
Vậy V =
3
a 6
Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
và đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 30
0
.
Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ .
Hoạt động của giáo viên:
• Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh:
+ Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.

+ Học sinh không biết cạnh bên vuông góc đáy để suy ra tam giác vuông
+ Học sinh không xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài
một cạnh của tam giác .
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng hình vuông ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của hình lăng trụ .
+ Dựng BD' và BD ?
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Tìm hình chiếu của BD' trên đáy ABCD. Suy ra góc [BD',(ABCD)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diện tích B của hình vuông ABCD bằng công thức nào ?
+ Tìm h = DD' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian Đỗ Đình Quân
o
30
a
D'
C'
A'
B'
D
C B
A
Giải:
Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có:
DD' (ABCD) DD' BD⊥ ⇒ ⊥
và BD là hình chiếu của
BD' trên ABCD .
Vậy góc [BD';(ABCD)] =
¼

0
DBD' 30=
0
a 6
BDD' DD' BD.tan30
3
⇒ = =V
Vậy V = S
ABCD
.DD' =
3
a 6
3
S = 4S
ADD'A'
=
2
4a 6
3
Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh
a và
¼
BAD
= 60
o
biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30
o
.
Tính thể tích của hình hộp.
Hoạt động của giáo viên:

Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh:
+ Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.
+ Học sinh không biết cạnh bên vuông góc đáy để suy ra tam giác vuông
+ Học sinh không xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài
một cạnh của tam giác.
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng hình thoi ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của hình lăng trụ đứng.
+ Dựng AB' ?
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Tìm hình chiếu của AB' trên (ABCD). Suy ra góc [AB',(ABCD)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Dựng BD. Suy ra tam giác ABD có hình tính gì ? Suy ra diện tích B của
ABCD bằng cách nào?
+Tính h = BB' trong tam giác nào ? Dùng hệ thức lượng giác nào ?
a
o
30
o
60
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
Giải
ABDV

đều cạnh a
2
ABD
a 3
S
4
⇒ =
2
ABCD ABD
a 3
S 2S
2
⇒ = =
ABB'V
vuông tạiB
o
BB' ABt an30 a 3⇒ = =
Vậy
3
ABCD
3a
V B.h S .BB'
2
= = =
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết
A'C = a và A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) một góc 30
o
. Tính thể tích lăng trụ
Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian Đỗ Đình Quân

ĐS:
3
a 2
V
16
=

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết
BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC) một góc 30
o
. Tính thể tích lăng trụ.
ĐS:
3
a 3
V
2
=

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp
với mặt bên (BCC'B') một góc 30
o
.
Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ . ĐS:
AB' a 3=
;
3
a 3
V
2
=

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại A biết
AC = a và
¼
o
ACB 60=
biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 30
o
.
Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC'. ĐS:
3
6
V a
=
, S =
2
3a 3
2
Bài 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC)
bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 30
0
.
Tính thể tích lăng trụ ĐS:
3
32a
V
9
=
Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C
hợp với (ABCD) một góc 30

o
và hợp với (ABB'A') một góc 45
o
.
Tính thể tích của khối hộp chữ nhật. Đs:
3
a 2
V
8
=
Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông . Gọi O là tâm
của ABCD và OA' = a .Tính thể tích của khối hộp khi:
1) ABCD A'B'C'D' là khối lập phương .
2) OA' hợp với đáy ABCD một góc 60
o
.
3) A'B hợp với (AA'CC') một góc 30
o
.
Đs:1)
3
2a 6
V
9
=
;2)
3
a 3
V
4

=
;3)
3
4a 3
V
9
=
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và
BD' = a . Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60
o
.
2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc 30
o
. Đs: 1)V =
3
a 3
16
2)V =
3
a 2
8
Bài 9: Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo phát xuất từ một
đỉnh của 2 mặt bên kề nhau là 60
o
.Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích các mặt của lăng
trụ . Đs: V = a
3
và S = 6a
2

Bài 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ; AD = b ; AA' = c và BD' =
AC' = CA' =
2 2 2
a b c+ +
1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' là hộp chữ nhật.
2) Gọi x,y,z là góc hợp bởi một đường chéo và 3 mặt cùng đi qua một đỉng thuộc
đường chéo. Chứng minh rằng
2 2 2
sin x sin y sin z 1+ + =
.
3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng
Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian Đỗ Đình Quân
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác
vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc
60
0
.Tính thể tích lăng trụ.
Hoạt động của giáo viên:
• Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh:
+ Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.
+ Học sinh không biết cạnh bên lăng trụ đứng vuông góc đáy để suy ra tam giác
vuông
+ Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt phẳng .
+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài
các cạnh tam giác.
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng tam giác ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của hình lăng trụ .
+ Dựng mặt (A'BC) ?
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Nhận xét AB và A'B có vuông góc với BC không ? tại sao?

+ Suy ra góc[(A'BC);(ABC)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?
+ Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
C'
B'
A'
C
B
A
o
60
Lời giải:
Ta có
A'A (ABC)&BC AB BC A'B⊥ ⊥ ⇒ ⊥

Vậy
¼
o
góc[(A'BC),(ABC)] ABA' 60= =
0
ABA' AA' AB.tan60 a 3⇒ = =V
S
ABC
=
2
1 a
BA.BC
2 2
=

Vậy V = S
ABC
.AA' =
3
a 3
2
Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt
(A’BC) tạo với đáy một góc 30
0
và diện tích tam giác A’BC bằng 8.
Tính thể tích khối lăng trụ.
Hoạt động của giáo viên:
• Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh:
+ Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt phẳng .
+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông.
+ Học sinh không biết cách tạo ra phương trình đại số để tìm độ dài một cạnh .
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng tam giác đều ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của hình lăng trụ .
+ Dựng mặt (A'BC) ?
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Nhận xét
A'BCV
có hình tính gì ? Suy ra I là trung điểm của BC cho ta vị trí
Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian Đỗ Đình Quân
AI và A'I thế nào với BC? Suy ra góc[(A'BC);(ABC)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Đặt BC = 2x . Suy ra A'I bởi tam giác nào ?
+ Từ diện tích tam giá A"BC suy ra x bởi công thức nào?
+ Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
x

o
30
I
C'
B'
A'
C
B
A
Giải:
ABCV
đều
AI BC⇒ ⊥
mà AA'
(ABC)⊥
nên
A'I
BC⊥
(đl 3
⊥
).
Vậy góc[(A'BC);)ABC)] =
¼
A'IA
= 30
o
Giả sử BI = x
3
2
32

x
x
AI
==⇒
.Ta có
x
xAI
AIIAAIA 2
3
32
3
2
30cos:':'
0
====∆
A’A = AI.tan 30
0
=
xx
=
3
3
.3
Vậy V
ABC.A’B’C’
= CI.AI.A’A = x
3

3
Mà S

A’BC
= BI.A’I = x.2x = 8
2
=⇒
x
Do đó V
ABC.A’B’C’
= 8
3
Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng
(BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60
o
.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Hoạt động của giáo viên:
• Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh:
+ Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt phẳng .
+ Học sinh không áp dụng được các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông .
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng hình vuông ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của lăng trụ đứng .
+ Dựng mặt (BDC') ?
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Xác định góc[BDC');(ABCD)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ?
+ Tìm h = CC' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian Đỗ Đình Quân
a
0
60
O

A'
D'
B'
C'
C
A
D
B
Gọi O là tâm của ABCD . Ta có
ABCD là hình vuông nên
OC BD⊥
CC'
⊥
(ABCD) nên OC'
⊥
BD (đl 3
⊥
). Vậy
góc[(BDC');(ABCD)] =
¼
COC'
= 60
o

Ta có V = B.h = S
ABCD
.CC'
ABCD là hình vuông nên S
ABCD
= a

2

OCC'V
vuông nên CC' = OC.tan60
o
=
a 6
2
Vậy V =
3
a 6
2
Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng
(A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60
o
và A'C hợp với đáy (ABCD) một
góc 30
o
.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Hoạt động của giáo viên:
• Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh:
+ Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt phẳng và góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng .
+ Học sinh không áp dụng được các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông .
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng hình chữ nhật ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của hình hộp .
+ Dựng mặt (A'BC) và đường chéo A'C ?
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Nhận xét AB và A'B có vuông góc với BC không ? tại sao?
+ Suy ra góc[(A'BC);(ABCD)] = ?

+ Tìm hình chiếu của A'C trên (ABCD) ? Suy ra góc[A'C,(ABCD)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ?
+ Tìm AB và AC bởi tam giác vuông nào? Dùng hệ thức lượng giác nào ?
+ Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
2a
o
30
o
60
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
Ta có AA'
(ABCD)⊥ ⇒
AC là hình chiếu của
A'C trên (ABCD) .
Vậy góc[A'C,(ABCD)] =
¼
o
A'CA 30=
BC
⊥
AB
⇒

BC
⊥
A'B (đl 3
⊥
) .
Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] =
¼
o
A'BA 60=
A'AC ⇒V
AC = AA'.cot30
o
=
2a 3
A'AB⇒V
AB = AA'.cot60
o
=
2a 3
3
2 2
4a 6
ABC BC AC AB
3
⇒ = − =V
Vậy V = AB.BC.AA' =
3
16a 2
3