Chuyên đề luyện thi toán vào lớp 10

Luyện thi vào lớp 10

www.TOANTUYENSINH.com

I. RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Chuyên đề: LUYỆN THI VÀO LỚP 10

Rút gọn biểu thức: A =

Bài 1:



A

Bài 2:

A

Bài 3:







20  3 5  80 . 5 .





20  3 5  80 . 5  2 5  3 5  4 5 . 5  3 5. 5  15 .

Rút gọn biểu thức: A =

1
2
20  80 
45
2
3

1
2
4.5  16.5 
9.5  5  4 5  2 5   5.
2
3

Rút gọn biểu thức:

A = 20 - 45 + 3 18 + 72 .

A  20 - 45 + 3 18 + 72  5 . 4 - 9 . 5 + 3 9 . 2 + 36 . 2
 2 5 - 3 5 + 9 2 + 6 2  15 2 - 5

Bài 4:

A



Bài 5:

Rút gọn biểu thức:



2 1

  2

2 1 

2

A





2 1



2 1

 12  2  1  1

Rút gọn biểu thức:

A  3 5  20

A  3 5  20  3 5  2 5  5 5 .

Bài 6:

Rút gọn biểu thức:

A  45  20  5 .

A  45  20  5  32.5  22.5  5  3 5  2 5  5  4 5

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Luyện thi vào lớp 10

www.TOANTUYENSINH.com

Rút gọn biểu thức: A  2 5  3 45  500

Bài 7:

A  2 5  9 5  10 5  5

Rút gọn biểu thức:

Bài 8:

A  48 - 2 75 + 108

Tính: A  48 - 2 75 + 108  16 . 3 - 2 25 . 3 + 36 . 3
=4 3 - 10 3 + 6 3 = 0

Rút gọn biểu thức:

Bài 9:

A = 3 8  50 





2 1

2

A = 3 8  50 



 6 2  5 2  2 1 = 2 

Bài 10: Cho các biểu thức A =

57 5
5



11  11
1  11



2 1



2



2 1  1

, B 5:

5
5  55

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh: A - B = 7.

a)

A

5 ( 5  7)
11( 11  1)

5
1  11

 5  7  11.

5 ( 5  11)
 5  11 .
5
A  B  5  7  11  5  11  7

b) B  5.
Vậy

Bài 11:

Rút gọn biểu thức:

(đpcm)

A  4 7  4 7 .

A  4 7  4 7
2A  8  2 7  8  2 7
 ( 7  1)2  ( 7  1)2  7  1 

7 1

2A  2 7  A  14

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Luyện thi vào lớp 10

www.TOANTUYENSINH.com

Rút gọn biểu thức: A  ( 7  3  2)( 7  3  2) .

Bài 12:

A  ( 7  3  2)( 7  3  2)  [ 7  ( 3  2)][ 7  ( 3  2)]
A  ( 7 )2  ( 3  2))2  7  (3  4 3  4)  4 3 .

Rút gọn biểu thức:

Bài 13:

A  (1  5)2  (1  5)2 .

A  1 5  1 5  1 5  5 1  2 5 .

Rút gọn biểu thức:

Bài 14:

A  (2  3) 26  15 3  (2  3) 26  15 3

A  (2  3) 26  15 3  (2  3) 26  15 3
1
1

(2  3) 52  30 3 
(2  3) 52  30 3
2
2

Rút gọn biểu thức:

Bài 15:

A  ( 10  2) 3  5

A  ( 10  2) 3  5  ( 5  1) 6  2 5

 ( 5  1) ( 5  1)2  ( 5  1)( 5  1)  4

P


Bài 17:

P

8  2 12

Rút gọn biểu thức: P 

Bài 16:



2 42 3

2.



3 1

 2

3 1

3 1

 2

2

2





3 1
3 1

2

 8

2

2 2

2 2 2 2  2

Rút gọn biểu thức:

1  3 

3 1

P

1  3 

2

 3

 3  1  3  3  3  1  3  1 . Vậy P  1

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Luyện thi vào lớp 10

2 


12 +3 2 3  3
3 2

 2  3; N 
2 1
3
3

M

Rút gọn biểu thức:

Bài 19:

A

2 1

2

 2 1

1
1
3 1

).
2 3 2 3 3 3





2

2 3 

3



2 5

3

Rút gọn biểu thức:

2  32 6  8 2

P



2 3 4



A

Rút gọn biểu thức:

Bài 21:





2



3





3

2 5 .

2  3  2  5  3  2  2  5  2

2  3 6  84
2 3 4

P



2 3

( 2  3  4)(1  2)
2 3 4

1 2

Rút gọn biểu thức: A  4  2 3  7  4 3

Bài 22:

A  42 3  74 3 





2  3 

2

3 1 

2

3 1  2  3  3 1 2  3  3

Rút gọn biểu thức:

Bài 23:

P

P(



2 1

1
1
3 1 2  3  2  3
3 1

).

.
2

43
2 3 2 3 3 3
3( 3  1)

Bài 20:



12 +3
3 2 2
; N
3
2 1

Rút gọn biểu thức: M 

Bài 18:

P(

www.TOANTUYENSINH.com

1
2

1

2

2

( 2

1

1).( 2

1

P

1)

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

2

2

2

1

2
( 2)

1
2

1)

2

2

1

2

1

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Luyện thi vào lớp 10

Bài 24:

P

Rút gọn biểu thức:

(2  3) 2  3
2 3

Bài 25:

Bài 26:

2 3

(2  3) (2  3) 2
(2  3)(2  3)



(2  3)(2  3)
22  32

2 2  32
1
1

5
.
6 1

Trục căn thức ở mẩu của biểu thức: P 

1

P

Rút gọn biểu thức:

52

 9  4 5.

Rút gọn biểu thức:



P

 


1
1

3 7 3 7

.







Rút gọn biểu thức:



3  6 2 8

1 2
1 2

P=

 



3 1 2
2 1 2
3 6 2 8



 32
1 2
1 2
1 2
1 2

Bài 29: Trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau: M 

M



3 7  3 7
1
1
2 7




 7
2
3 7 3 7
3 7 3 7

Bài 28:

P=

(2  3) 2  3

5 2
 ( 5  2) 2  5  2  5  2  4.
54

Bài 27:

P



P

5( 6  1) 5( 6  1)
5
5( 6  1)



 6 1

6 1
5
6  1 ( 6  1)( 6  1)

P

P

www.TOANTUYENSINH.com

4
4 3
4 3
5
; N



2
3
3
5

1
3

 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

5







5 1



5 1



4
3

5 5

  5

5 1

5
.
5 1

; N

2

1



5 5
.
4

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Luyện thi vào lớp 10

www.TOANTUYENSINH.com

 3
2
P

. 6
2
3



Rút gọn biểu thức:

Bài 30:

 3
2
3
2
3
2
P

. 6
. 6
.6 
.6  3  2  1
. 6 
3
2
3
2
3
 2

P



1
1
3 5




3 5
5 1 3  5 3  5



5  1 3  5   


3 5

95
5 1

4

2( 5 +2) - 2( 5 - 2)



5 -2



5 +2



A

Bài 34:

5 1



2





2 5 +4 - 2 5 + 4

=

 5



5 1



5 1



5 1



Rút gọn biểu thức:

A  (1  5) 

2
5 -2

A=

2

2



=

- 22



5 1

2
5 +2

8

= 8.
5-4

2
.
5 1

Bài 33. Trục căn thức ở mẫu số A 

2

5 1

  5  1
5  1
1

Rút gọn biểu thức:

Bài 32:

A=

1
1

3 5
5 1

Rút gọn biểu thức: P 

Bài 31:



5 1
4

A = (1  5) 

5 1 .
2

5 5
.
2 5

5(1  5)
(1  5) 1  5
 (1  5) 

 2 .
2
2
2 5

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

Luyện thi vào lớp 10

www.TOANTUYENSINH.com

II. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA BIẾN
Chuyên đề: LUYỆN THI VÀO LỚP 10

1

Rút gọn biểu thức: A = 

Bài 01:

 x4

 x+2 x
.
x + 4 x 4
x
1

( với x >0, x  4 ).

1
 1
 x+2 x
A= 

.

x
x4 x + 4 x 4


1
1

 . x ( x + 2)
=

2
 x 2
x
x  2 ( x  2) 







1
1

x 2
x 2

=






 

x 2 

x-4



4
x-4

a 
. a b - b a
ab - b 



b
 a - ab

A = 

 b
a 
A
. a b - b a
ab - b 

 a - ab







Rút gọn biểu thức:

Bài 02:



 a


x 2



b
a b



b






 . ab
a b 

a

 ( với a>0, b>0,a  b)





a- b



b. ab
a. ab

 b - a.  a > 0, b > 0, a  b 
a
b

Bài 03:

Rút gọn biểu thức:
3 x 6
x  x-9


:
x  2  x  3
 x-4

A = 

3 x 6

A =
 x-4


x  x-9

:
x 2 x 3 




với x  0, x  4, x  9 .


x 

:
x 2
x 2


3( x  2)
x 2







x 3



x 3



x 3

 3 x 
1
1
, với x  0, x  4, x  9 .
 

 .
x 2
 x 2 x 3
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Luyện thi vào lớp 10

www.TOANTUYENSINH.com

 4a



a

a 1


Bài 04: Cho biểu thức: P  
 .
2
 a 1 a  a  a
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Với những giá trị nào của a thì P = 3.

với a >0 và a  1 .

 4a
a  a  1 4a  1 a  1 4 a  1

. 2  2

 . 2 
a
a
a
a

1
a

a
a

1



a) Với 0  a  1 thì ta có: P  

4a  1
 3  3a 2  4a  1  3a 2  4a  1  0
2
a
1
(thỏa mãn đk).
 a = 1 (loại) hoặc a 
3

b) Với 0  a  1 thì P = 3 

2

x 2 - 2x + 1
, với
.
x-1
4x 2

Rút gọn biểu thức: A =

Bài 05:

2
x 2 - 2x + 1
2
A=
.

2
x-1
4x
x-1

 x - 1
2

2 x

2



2

2 x-1
.
x-1 2x

- 2  x - 1

Vì 0 < x < 1 nên x - 1    x - 1 ; x  x  B =

Rút gọn biểu thức:

Bài 06:

A=
=





1
x

1 - a 
a  

 1 - a 

.

2

với a ≥ 0 và a ≠ 1.

2















= 1 +









Rút gọn biểu thức: A = 1 +




NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309





a + a 
a- a 
1
+


a + 1 
1- a 


a + a 
a- a 
1
+

 với a ≥ 0,
a + 1 
1

a


a ( a + 1) 
a ( a - 1) 
1

 = (1
a + 1 
a
1



A = 1 +




 1- a 1+ a +a


1- a


+ a



1- a

1- a 1+ a 



2
1
1
1+2 a +a .
= 1+ a .
= 1.
2
2
1+ a
1+ a

Bài 07:



2x  x - 1

1 - a a
A  

1- a



0

với a ≥ 0, a ≠ 1.

a≠1
+ a ) (1 - a ) = 1 - a

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Luyện thi vào lớp 10

Rút gọn biểu thức:

Bài 08:

A

x x
x





x -1

x



x 1 x  2  2 x 1



x





x

x+ x





 

x x +1
 x - 1 x +1
x-1
=

=

x x-1+1- x
x
x -1

x + 1 +1 - x



x +1

Rút gọn biểu thức: P=



x2  x
x2  x

 x 1
x  x 1 x  x 1





2

x +1
x

với x  0.

+1

1  

1 
 1

 . 1 
x
1- x 1+ x  

với x  1 và x >0.

1  
1 
 1

 . 1 
x
1 - x 1 + x  

 1 + x - 1 + x  x - 1 




1- x
x 



=

2 x

.
1- x

Rút gọn biểu thức: P 

Bài 12:



với x > 0.

x 2

x ( x  1)( x  x  1)
x ( x  1)( x  x  1)

 x 1
x  x 1
x  x 1
- x - x - x + x + 1 = x - 2 x + 1 = ( x - 1)2

Bài 11:

P

x4



x ( x  1) ( x  2)( x  2) 


x
x 2

x ( x 3  1)
x ( x 3  1)

+x
x  x 1
x  x 1

M=

=

x 2

=

x

Rút gọn biểu thức M =

Bài 10:

P=

x4

x x



x-1
A=
:
x

=x



A

1   x -1
1- x 
Rút gọn biểu thức: A =  x +
 với x  0, x  1.
 : 

Bài 09:

=

www.TOANTUYENSINH.com

1
x x



2 x
1

x 1 x  x



x -1
x

1
x x

=



-2
1+ x

2 x
1

x 1 x  x

với x > 0; x  1 .

x x x x 2 x


x2  x
x 1

2
2 x 2 x 2 x  1 
2 x ( x  1)



  1 

x( x  1) x  1 x  1  x 
x( x  1)
x

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

với x > 0; x  1

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Luyện thi vào lớp 10

www.TOANTUYENSINH.com

Bài 13: Cho biểu thức :P=

x
3

6x  4

 2
x 1 x 1 x 1

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P.
b) Rút gọn P.

1. Biểu thức P xác định

x  1  0

 x  1  0
x 2  1  0


x  1

 x  1
x
3
6x  4
x( x  1)  3( x  1)  (6 x  4)



2. P=
x  1 x  1 ( x  1)( x  1)
( x  1)( x  1)


x 2  x  3x  3  6 x  4
x 2  2x  1

( x  1)( x  1)
( x  1)( x  1)



( x  1) 2
x 1

(voi x  1)
( x  1)( x  1) x  1

2a 2  4
1
1
Bài 14: Cho biểu thức: P =


3
1 a
1 a 1 a
a) Tìm điều kiện của a để P xác định
b) Rút gọn biểu thức P.









2a 2  4  1  a  a 2  a  1  1  a  a 2  a  1
2a 2  4
1
1
=
P


1  a3 1  a 1  a
1  a   a 2  a  1
2a 2  4  a 2  a  1  a 2 a  a a  a  a  1  a 2 a  a a  a
=
1  a   a 2  a  1

=

2  2a
2
= 2
2
1  a   a  a  1 a  a  1

Vậy với a  0 và a  1 thì P =

Bài 15:

A

5 a 3
a 2

2
a  a 1
2

Rút gọn biểu thức: A 



5 a 3



a 2

5 a 3
a2  2 a  8


a4
a 2

3 a 1

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309





3 a 1 a2  2 a  8

a4
a 2

với a  0, a  4 .

 
 a  2    a
 a  2 a  2 

a  2  3 a 1

2

2 a 8



SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Luyện thi vào lớp 10





www.TOANTUYENSINH.com

5a  10 a  3 a  6  3a  6 a  a  2  a 2  2 a  8



  a  4

2

a 2



1
a 2

Rút gọn biểu thức: A (

Bài 16:

a
a( a

(
(



a





a 2



a 2



 

  a 2  8a  16 
a 2



a 2

   a  4  4  a .

a4

A

a 2

a 2  8a  16

2)

2

a( a

2
a( a

2)

2)

).(

( a 1).( a
a 2

1
. a
a

).( a 1 1)

2

a 3 a 2
).(
1)
a 2 a
a 2

2)

với a>0,a  4.

1)

1




Bài 17: Cho biểu thức P = 
(với x > 0, x  1)
:
x 1  x - 2 x  1
x- x
a) Rút gọn biểu thức P.
1

1

b) Tìm các giá trị của x để P >

x

1
2

.


1 
x
1
 1

a) P = 

:



x 1 x - 2 x 1  x x 1
x- x
x






1 x
x





x 1


.

 

x 1
x

b) Với x > 0, x  1 thì
Vậy với x > 2 thì P >

2



x 1









x 1

2

x

  x-1

x 1

x. x

x

x-1 1
  2  x - 1  x  x > 2 .
x
2
1
.
2



a
a

 a 1 a - a

Bài 18: Cho biểu thức A = 
a)
b)




.
x 1 


x

 a 1
 :
 a-1

với a > 0, a  1

Rút gọn biểu thức A
Tìm các giá trị của a để A < 0.

 a

 a
a
a 1
1 
a) A = 


 

 :
 . a  1  a  1
 a  1 a ( a - 1)  ( a - 1)( a  1)  a  1 ( a - 1) 



a > 0, a  1

b) A < 0  


 a 1



 0  a < 1.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ




Luyện thi vào lớp 10

www.TOANTUYENSINH.com

 a a - 1 a a + 1  a +2
 :
a
a
a
+
a

 a-2

Bài 19: Cho biểu thức: P = 

với a > 0, a  1, a  2.

a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.
a) Điều kiện: a ≥ 0, a ≠ 1, a ≠ 2


Ta có: P = 


  a + a + 1 - 
a  a - 1

a -1




 a - a + 1  : a + 2
 a-2
a  a + 1


a +1

2 (a - 2)
a+ a +1-a+ a -1 a+2
=
:
a+2
a-2
a
2a - 4 2a + 4 - 8
8
=
=2P=
a+2
a+2
a+2

=

b) Ta có:

P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi 8 (a + 2)
a + 2 =
a + 2 =
 

a + 2 =

a + 2 =

 1

a = - 1; a = - 3
a = 0 ; a = - 4
 2
 
a = 2 ; a = - 6
 4

 8
a = 6 ; a = - 10

Bài 20: Cho biểu thức: P =

x +1
+
x -2

2 x
2+5 x
+
4-x
x +2

với x ≥ 0, x ≠ 4.

a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P = 2.

a) Ta có : P =
P=
=

x +1
2 x
2+5 x
+
x-4
x -2
x +2

( x +1) ( x +2) + 2 x ( x - 2) - 2 - 5 x x + 3 x +2 + 2x - 4 x - 2 - 5 x

( x - 2) ( x + 2)
( x +2) ( x - 2)

3x - 6 x
3 x ( x  2)
3 x
=
=
( x + 2) ( x - 2)
( x + 2) ( x - 2)
x +2

b) P = 2 khi

3 x
= 2  3 x = 2 x +4 
x +2

x = 4  x = 16



x
1   1
2 
+
 : 

 x - 1 x - x   x 1 x - 1 

Bài 21: Cho M = 

với x  0, x  1 .

a) Rút gọn M.
b) Tìm x sao cho M > 0.
a)

 x
M 
 x -1

 

1
 : 
x ( x - 1)  




NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

x -1



x -1

 

x +1

+

2



x -1



x +1 





SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Luyện thi vào lớp 10

www.TOANTUYENSINH.com

=
x-1

=

x



 

x +1



:

x -1

x -1



x-1

=

x +1

x





.





x -1

x +1

x -1

  x-1

x +1

x

b) M > 0  x - 1 > 0 (vì x > 0 nên x > 0)  x > 1. (thoả mãn)

x
2x - x
x -1 x - x

Bài 22: Cho biểu thức: K =

với x >0 và x  1

1) Rút gọn biểu thức K
2) Tìm giá trị của biểu thức K tại x = 4 + 2 3

1) K =

x
x (2 x - 1)
x - 1 x ( x - 1)

=

x-2 x +1
= x -1
x -1

2) Khi x = 4 + 2 3 , ta có: K =

42 3

-1=





3 +1

2

-1 = 3 +1-1 = 3

 a
1  a  a a  a 

 với a > 0, a  1
Bài 23: Cho biểu thức: P =  



 2

2 a  a  1

a 1 

1) Rút gọn biểu thức P

2) Tìm a để P > - 2

1) P =
=



a 1 a  a
.
2 a

a  1a



 

 a  1 a  1
a 1  a  a



a 1



a aa a a a aa a
 4 a. a

 2 a .

2 a (a  1)
2 a

Vậy P = - 2 a .
2) Ta có: P  2  - 2 a > - 2  a < 1  0 < a < 1
Kết hợp với điều kiện để P có nghĩa, ta có: 0 < a < 1
Vậy P > -2 a khi và chỉ khi 0 < a < 1



Bài 24: Cho biểu thức P = 
với x > 0.
:
x 1  x + 2 x 1
x+ x
1

1

x

1) Rút gọn biểu thức P.
2) Tìm các giá trị của x để P >

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

1
2

.

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Luyện thi vào lớp 10

1)

www.TOANTUYENSINH.com


1 
x
1
 1
P= 



:
x 1  x + 2 x 1  x x 1
x+ x
x

1 x



x





x 1


.

x

  
x  x  1 1 - x
.


  1 

x 1


.
x 1 


x

2







x 1

2

x

x

x. x

1-x 1
2
  2 1 - x   x  3x > - 2  x < .
x
2
3
2
1
0x<
thì P > .
3
2

2) Với x > 0 thì
Vậy với



a
a  a 1

 :
a

1
a
+
a

 a-1

Bài 25: Cho biểu thức A = 

với a > 0, a  1.

1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm các giá trị của a để A < 0.






a 1



1) A = 



:
 . a  1  a  1
a + 1
a ( a + 1)  ( a - 1)( a  1)  a  1
 a 1
a

a

a > 0, a  1

2) A < 0  


 a 1

a

1

 0  a < 1.



Bài 26: Cho biểu thức P = 

1

 a 3


3 
1 

a  3 
a
1



với a > 0 và a  9.

a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của a để P >


a) P = 

1

 a 3

=




3 
.1 
 
a  3
a
1

2 a .( a  3)
( a  3)( a  3). a
2

b) Ta có:
Vậy P >

a 3
1
2

>

1

2

2



a 3

a



1
2

.

a 3 a 3



a 3



a 3

. Vậy P =

.

a 3

2
a 3

a

.

.

+ 3 < 4  a < 1  0  a  1. .

khi và chỉ khi 0 < a < 1.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Luyện thi vào lớp 10

Bài 27:

www.TOANTUYENSINH.com

Rút gọn biểu thức: P =

9 a  25a  4a 3
a 2  2a

với a  0 .

Ta có 9 a  25a  4a3  9 a  5 a  2a a  2 a (a  2) và a 2  2a  a(a  2)

2 a  a  2

nên P =

a  a  2



2
a

.



2 a 

1

2 a



:

Bài 28: Cho biểu thức A= 1 
  a  1  a a  a  a  1  với a>0, a1
a

1


 

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi a = 2011 - 2 2010 .

 a 1 2 a   1

2 a

 : 

a (a  1)  (a  1) 
 a 1   a 1

a) A = 

 1
 ( a  1) 2
2 a
( a  1) 2
.
:


:

a

1

a

1
(a

1)(
a

1)
(
a

1)(a

1)



=

( a  1)2
a 1

=

( a  1) 2 (a  1)( a  1)
.
 a 1.
a 1
( a  1) 2

b) a = 2011 - 2 2010  ( 2010  1) 2  a  2010  1
Vậy A = 2010 .

Bài 29: Cho biểu thức: Q =

 x
1 


 2 2 x



2

 x 1

 x 1 


x 1
.
x  1 

1) Tìm tất cả các giá trị của x để Q có nghĩa. Rút gọn Q.
2) Tìm tất cả các giá trị của x để Q = - 3 x - 3.
ĐKXĐ: x > 0; x  1.
1) Q =

( x  1) 2 ( x  1) 2  ( x  1) 2 ( x  1) 2 .4 x x  1
.
.


4x
x 1
4 x.( x  1)
x

2) Q = - 3 x  3 => 4x + 3 x - 1 = 0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

 x  1 (loai)
1
x

 x1
16

4

(thỏa mãn)

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Luyện thi vào lớp 10

www.TOANTUYENSINH.com

Bài 30: Cho biểu thức: P =

2 a
a 1 3  7 a


9a
a 3
a 3

với a > 0, a  9.

a) Rút gọn.
b) Tìm a để P < 1.

a) P =

2 a
a 1
7 a  3


a 3
a  3 ( a  3)( a  3)

=

2 a ( a  3)  ( a  1)( a  3)  7 a  3 2a  6 a  a  4 a  3  7 a  3


( a  3)( a  3)
( a  3)( a  3)

=

3a  9 a
3 a ( a  3)
3 a


( a  3)( a  3) ( a  3)( a  3)
a 3

Vậy P =

3 a
.
a 3

b) P < 1 

3 a
3
9
1 3 a  a 3  a   0  a  .
2
4
a 3

Bài 31: Cho biểu thức: P =

x2  x
2x  x
1
x  x 1
x

với x > 0.

a) Rút gọi biểu thức P.
b) Tìm x để P = 0.
a) Ta có x2 + x  x ( x 3  1)  x ( x  1)(x  x  1)
nên P =

x ( x  1)( x  x  1)
x (2 x  1)
1
x  x 1
x

= x ( x  1)  1  2 x 1  x  x . Vậy P = x  x .
b) P = 0  x - x = 0  x ( x - 1) = 0  x = 0 (loại) ; x = 1 (t/m)
Vậy x = 1 thì P = 0
Bài 32:
1) Cho biểu thức A 
2) Rút gọn biểu thức

x 4
. Tính giá trị của A khi x = 36

x 2

x
4  x  16
(với x  0; x  16 )
B  

 :
x

4
x

4
x

2



3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x
nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Luyện thi vào lớp 10

www.TOANTUYENSINH.com

36  4 10 5


36  2 8 4

1) Với x = 36, ta có : A =
2) Với x  , x  16 ta có :

 x( x  4) 4( x  4)  x  2


x  16  x  16
 x  16

B = 

3) Ta có: B( A  1) 

=

(x  16)( x  2)
x 2

(x  16)(x  16) x  16

x 2  x 4 
x 2
2

2
.
.
 1 
.

x  16  x  2  x  16 x  2 x  16

Để B( A  1) nguyên, x nguyên thì x  16 là ước của 2, mà Ư(2) = 1; 2 
Ta có bảng giá trị tương ứng:
x  16 1
2
1
2
x
17
15
18
14
Kết hợp ĐK x  0, x  16 , để B( A  1) nguyên thì x  14; 15; 17; 18 



a
a 
a
a


 :


b

a
a

b
a

b
a

b

2
ab




Bài 33: Cho biểu thức: A = 

với a và b là các số dương khác nhau.
a) Rút gọn biểu thức A –

a  b  2 ab
.
ba

b) Tính giá trị của A khi a = 7  4 3 và b = 7  4 3 .

Ta có :


a
a  
a
a
A  


 : 

 a  b b  a   a  b a  b  2 ab 


 
a
a
a
A  


 : 
 a  b ( b  a )( b  a )   a  b

a( b  a)  a
a( a  b)  a
A
:
2

( b  a )( b  a )
a b



A

ab
( b  a )( b  a )


.





2
a b 

a





a b
ab



2



a b
b a

a) Ta có :
a  b  2 ab
a  b ( a  b )2 ( a  b )2  ( a  b )2



0
ba
ba
ba
b a
a  b  2 ab
Vậy A 
=0
ba
A

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

Luyện thi vào lớp 10

www.TOANTUYENSINH.com

b) Ta có :









a  74 3  44 3 3 2 3
 a  2 3

b  74 3  44 3 3 2 3

2

2

 b  2 3

Thay a  2  3; b  2  3 vào biểu thức A 
A

a b
b a

ta được :

2 3 2 3
4
2 3


3
2 3 2 3 2 3

2 3
Vậy với a = 7 - 4 3 ; b = 7 + 4 3 thì A =
.
3

 a 1
 1
a 1

 4 a 
a 1
 a 1
 2a a
2
P
a 1

Bài 34: Cho biểu thức : P  
1. Chứng minh rằng :

, (Với a > 0 , a 1)

2. Tìm giá trị của a để P  a.
1. Chứng minh rằng : P 

2
a 1

 a 1
 1
a 1
P  

 4 a 
a 1
 a 1
 2a a


P
P

P

 
2

a 1 



2

a 1  4 a





a 1





a 1



a 1

a  2 a  1  a  2 a  1  4a a  4 a





a 1

4a a
1
2
.

a  1 2a a a  1

.

a 1



a 1

.

1
2a a

1
2a a

(ĐPCM)

2. Tìm giá trị của a để P = a. P = a
2
 a  a2  a  2  0 .
a 1
Ta có 1  1   2   0 , nên phương



trình có 2 nghiệm
a1  1  0 (không thoả mãn điều kiện) - Loại

a2 

c 2
  2 (Thoả
a 1

mãn điều kiện)

Vậy a = 2 thì P = a

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Luyện thi vào lớp 10

www.TOANTUYENSINH.com



1   a 1

1


Bài 35: Cho biểu thức: K  2 
 (với a  0, a  1 )
: 2
a   a a 
 a 1
1. Rút gọn biểu thức K.
2. Tìm a để K  2012 .

1
1   a 1

 (với a  0, a  1 )
: 2
a   a a 
 a 1
 a  a 1  a 1 
 1
1   a 1
K  2

:

2



 : 



2
a   a  a 
 a 1
 a ( a  1)   a(a  1) 


1. Cho biểu thức: K  2 


 



1
1
1
 2
:
  2
 : a( a  1)  2 a
 a ( a  1)   a( a  1) 
 a ( a  1) 
2. K  2012  2 a = 2012  a = 503 (TMĐK)





1

1




Bài 36: Cho biểu thức A = 
.
x 2
 x 2



x 2
x

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A.
1
2

b) Tìm tất cả giá trị của x để A  .
7
3

c) Tìm tất cả giá trị của x để B  A đạt giá trị nguyên..
a. Với x > 0 và x  4, ta có:


1



1


A= 
.
x 2
 x 2

2
x 2

b. A =

c. B =
x 2

7
3

.



2
x 2

=

x 2

x

2
x 2

>

14
3( x  2)

=

x 2 x 2
x 2
.
( x  2)( x  2)
x

1

2

= ... =

2
x 2

...  x > 4.

là một số nguyên  ... 

x 2

là ước của 14 hay

=  1, x  2 =  7, x  2 =  14.

(Giải các pt trên và tìm x)

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Luyện thi vào lớp 10

www.TOANTUYENSINH.com



x 2

Bài 37: Cho biểu thức Q  

 x  2 x 1



x 2 
 x x

x  1 



 , với x  0, x  1

a. Rút gọn biểu thức Q
b. Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên.

a.


x 2
x 2 
Q

x x
 x  2 x  1 x  1 















x 2



 

x 1

2



 x
x 1 


x 2



x 1







x 1

 x 2
 x 11
1
1 
x 2 
x 1 1 

1


x 

x  1 


 x
 x 1
 x 1
x 1
x 1 
x  1 
x  1 



2x
1 

x 1 x 1
2 x
 1
. x 
. x 


 x 
x 1
x 1
x 1
x 1 
 x 1
2x
Vậy Q 
x 1

b. Q nhận giá trị nguyên

2x
2x  2  2
2

2
x 1
x 1
x 1
2
 khi 2 chia hết cho x  1
Q  khi

x 1
x  0
x  2
x  1  1

đối chiếu điều kiện

 x  1
x

1


2


x  3
Q

Bài 38 : Cho biểu thức: A =

x  2

thì 
x  3

2
3
50 x 
8x

5
4

1/ Rút gọn biểu thức A
2/ Tính giá trị của x khi A = 1
1/ ĐKXĐ: x  0
2
3
50 x 
8x
5
4
2
3
25.2 x 
4.2 x
=
5
4
3
2x
= 2 2x 
2
1
2x
=
2
1
2x
Vậy với x  0 thi A =

2

A=

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Luyện thi vào lớp 10

2/ Khi A = 1 

www.TOANTUYENSINH.com

1
2

2x = 1 

2x = 2

 2x = 4  x = 2 (Thỏa điều kiện xác định)

Vậy khi A = 1 giá trị của x = 2
Bài 39: Cho biể u thức: B 
a.
b.

2(x  4)


x3 x  4

x

x 1

8
với x ≥ 0, x ≠ 16.
x4

Rút go ̣n B.
Tim
̀ x để giá trị của B là mô ̣t số nguyên.

b. Dễ thấy B ≥ 0 (vì x  0) .
La ̣i có: B  3 

3
 3 (vì
x 1

3
 0 x  0, x  16) .
x 1

Suy ra: 0 ≤ B < 3  B  {0; 1; 2} (vì B  Z).
- Với B = 0  x = 0;
3 x
1

 1 3 x  x 1 x  .
4
x 1
3 x
- Với B = 2 
 2  3 x  2( x  1)  x  4.
x 1
1
Vâ ̣y để B  Z thì x  {0; ; 4}.
4

- Với B = 1 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Luyện thi vào lớp 10

www.TOANTUYENSINH.com

III. CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM THỨC BẬC HAI
Chuyên đề: LUYỆN THI VÀO LỚP 10

Bài 1: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
b) Tìm các giá trị của m để: x12 + x22 – x1x2 = 7.
a) Ta có ∆’ = m2 + 1 > 0, m  R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm
phân biệt.

b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = - 1.
Ta có: x12 + x22 – x1x2 = 7  (x1 + x2)2 – 3x1.x2 = 7
 4m2 + 3 = 7  m2 = 1  m = ± 1.
Bài 2: Cho phương trình: x2 – 5x + m = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình trên khi m = 6.
b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1  x 2  3 .
a) Với m = 6, ta có phương trình: x2 – 5x + 6 = 0
∆ = 25 – 4.6 = 1 . Suy ra phương trình có hai nghiệm: x1 = 3; x2 = 2.
b) Ta có: ∆ = 25 – 4.m
Để phương trình đã cho có nghiệm thì ∆  0  m 

25
4

(*)

Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 + x2 = 5 (1); x1x2 = m (2).
Mặt khác theo bài ra thì x1  x 2  3 (3).
Từ (1) và (3) suy ra x1 = 4; x2 = 1 hoặc x1 = 1; x2 = 4 (4)
Từ (2) và (4) suy ra: m = 4. Thử lại thì thoả mãn.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Luyện thi vào lớp 10

www.TOANTUYENSINH.com

Bài 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho khi m = 3.
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2.
a) Với m = 3 ta có phương trình: x2 – 6x + 4 = 0.
Giải ra ta được hai nghiệm: x1 = 3  5; x 2  3  5 .
b) Ta có: ∆/ = m2 – 4
m  2
(*).
 m  -2

Phương trình (1) có nghiệm   /  0  

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m và x1x2 = 4.
Suy ra: ( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2
 x12 + 2x1 + x22 + 2x2 = 0
 (x1 + x2)2 – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = 0
 4m2 – 8 + 4m = 0
m  1
.
 m2 + m – 2 = 0   1
 m2  2

Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có nghiệm m2 = - 2 thỏa mãn.
Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm.
Bài 4: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – x – 3 = 0.
Tính giá trị biểu thức: P = x12 + x22.
Phương trình x2 – x – 3 = 0 có các hệ số a, c trái dấu nên có hai nghiệm phân biệt
x 1; x2.
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x2 = 1 và x1x2 = - 3.

Do đó: P = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 1 + 6 = 7.
Bài 5: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + 1 + m = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho với m = 0.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
x1x2.( x1x2 – 2 ) = 3( x1 + x2 ).
a) Với m = 0 ta có phương trình x2 – x + 1 = 0
Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.
b) Ta có: ∆ = 1 – 4(1 + m) = -3 – 4m.
Để phương trình có nghiệm thì ∆  0  - 3 – 4m  0  4m  3  m 
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

-3
4

(1).

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Luyện thi vào lớp 10

www.TOANTUYENSINH.com

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = 1 + m
Thay vào đẳng thức: x1x2.( x1x2 – 2 ) = 3( x1 + x2 ), ta được:
(1 + m)(1 + m – 2) = 3  m2 = 4  m = ± 2.
Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn.
Bài 6: Cho phương trình x2 - 6x + m = 0.
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1, x2 thoả mãn điều kiện

x1 - x2 = 4.
a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: m < 0.
b) Phương trình có 2 nghiệm x1, x2  ∆’ = 9 - m ≥ 0  m ≤ 9
x + x = 6

Theo hệ thứcViét ta có  1 2
 x1 . x 2 = m

(1)
(2)

Theo yêu cầu của bài ra x1 - x2 = 4
(3)
Từ (1) và (3)  x1 = 5, thay vào (1)  x2 = 1
Suy ra m = x1.x2 = 5 (thoả mãn)
Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.
Bài 7:
1) Cho hàm số y = ax2, biết đồ thị hàm số đi qua điểm A (- 2 ; -12). Tìm a.
2) Cho phương trình: x2 + 2 (m + 1)x + m2 = 0. (1)
a. Giải phương trình với m = 5
b. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có
một nghiệm bằng - 2.
1) Đồ thị hàm số đi qua điểm M (- 2; -12) nên ta có:
- 12 = a . (- 2)2  4a = -12
 a = - 3. Khi đó hàm số là y = - 3x2.
2) a) Với m = 5 ta có phương trình: x2 + 12x + 25 =0.
∆’ = 62 -25 = 36 - 25 = 11
x1 = - 6 - 11 ; x2 = - 6 + 11
b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:
∆’ > 0  (m + 1)2 - m2 > 0  2m + 1 > 0  m >

-1
2

(*)

Phương trình có nghiệm x = - 2  4 - 4 (m + 1) + m2 = 0
m = 0
(thoả mãn điều kiện (*))
 m2 - 4m = 0  
m = 4

Vậy m = 0 hoặc m = 4 là các giá trị cần tìm.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Luyện thi vào lớp 10

www.TOANTUYENSINH.com

Bài 8: Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0.
a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x = 0.
b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích 2 nghiệm bằng 5, từ đó hãy
tính tổng 2 nghiệm của phương trình.
a) Phương trình có nghiệm x = 0 nên: m + 1 = 0  m  1 .
b) Phương trình có 2 nghiệm khi:
∆’ = m2 - (m - 1) (m + 1) ≥ 0  m2 - m2 + 1 ≥ 0, đúng  m.
Ta có x1.x2 = 5 

Với m =

3
2

m+1
m-1

= 5  m + 1 = 5m - 5  4m = 6  m =

ta có phương trình :

Khi đó x1 + x2 =

1 2
x
2

- 3x +

5
=0 
2

3
.
2

x2 - 6x + 5 = 0

-b
=6
a

Bài 9: Cho phương trình: x2 - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức x12 + x 22 = 10.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.
x = 0

1) Với m = - 3 ta có phương trình: x2 + 8x = 0  x (x + 8) = 0  
x = - 8
2) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi:
∆’  0  (m - 1)2 + (m + 3) ≥ 0  m2 - 2m + 1 + m + 3 ≥ 0
1
15
 m2 - m + 4 > 0  (m  ) 2   0 đúng m
2
4

Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt  m
 x + x = 2(m - 1)

(1)

Theo hệ thức Vi ét ta có:  1 2
(2)
 x1 - x 2 = - m - 3
Ta có x12 + x 22 = 10  (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10  4 (m - 1)2 + 2 (m + 3) = 10
 4m - 6m + 10 =

2

m = 0
10  2m (2m - 3) = 0  
m = 3
2


3) Từ (2) ta có m = -x1x2 - 3 thế vào (1) ta có:
x1 + x2 = 2 (- x1x2 - 3 - 1) = - 2x1x2 - 8
 x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0
Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ