Bài tập oxy chọn lọc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (399.74 KB, 13 trang )
Chinh phục hình học giải tích Oxy
Your dreams – Our mission
2 d 1 2 b 1 6
b 3d
1 0
2
2
d 1 b 1 3
d 1 3d 2 1 3
b 3d 2
b 3d 2
d 0
d 1 1
b 2
d 2
b 3d 2
b 4
B 2, 2 , D 0, 6
B 4,8 , D 2, 4
*Tìm tọa độ điểm A
Vì AC và BD đều nhận I làm trung điểm nên ta có
x A xC xB xD
và tương tự với tung độ.
2
2
Khi B 2, 2 , D 0, 6 thì
x A xB xD xC 3, y A yB yD yC 3
Khi B 4,8 , D 2, 4 thì
x A xB xD xC 5, y A yB yD yC 7
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là
A 3,3 , B 2, 2 , C 1,5 , D 0, 6
hoặc A 5, 7 , B 4, 8 , C 1,5 , D 2, 4 .
Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh C 3, 1 .
Gọi M là trung điểm của cạnh BC, đường thẳng DM
có phương trình y 1 0 . Biết đỉnh A thuộc đường
thẳng d : 5 x y 7 0 và điểm D có hoành độ âm.
Tìm tọa độ các đỉnh A và D.
Phân tích: Vì hai điểm A, D đã thuộc hai đường
thẳng, cùng với đã biết tọa độ điểm C nên theo tính
chất của hình chữ nhật (chính xác là của hình bình
hành) ta có thể tính được tọa độ điểm B theo hai ẩn
mô tả tọa độ điểm A, D theo công thức:
x A xC xB xD
(tương tự với tung độ).
2
2
B
A
M
I
D
C
Từ đó, ta cũng có thể mô tả tọa độ điểm M là trung
điểm BC theo hai ẩn đó. Ta chỉ còn tìm ràng buộc
của hai ẩn. Thứ nhất, điểm M phải thuộc đường
thẳng DM. Thứ hai, là ràng buộc đủ để ABCD là
hình chữ nhật.
Nó đã là hình bình hành vì ta đã sử dụng công thức
ở trên, thì để là hình chữ nhật thì phải có một góc
vuông.
Lời giải:
Gọi tọa độ điểm A, D lần lượt thuộc các đường
thẳng 5 x y 7 0, y 1 0 là
A a,5a 7 , D d ,1 .
Vì I đồng thời là trung điểm của AC và BD nên
2 xI x A xC xB xD
xB x A xC xD a d 3.
Tương tự, yB 5a 7 1 1 5a 5 .
Vì M là trung điểm BC nên tọa độ điểm M là
a d 6 5a 4
M
,
2
2
Theo đề, ta có:
d a 3 d 5a 6 2 0
AD.DC 0
5a 4
1
M DM
2
2
a 5
46
2 13
0
d
d
d 23 0
5
5
5
2
a
a 2
5
5
d 2
2
Vậy tọa độ điểm A và D là A ,5 , D 2,1
5
Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD có B 1,1 . Trọng
tâm của tam giác ABC nằm trên đường thẳng
d : 3 x y 2 0 . Điểm N 4, 6 là trung điểm
cạnh CD. Tìm tọa độ đỉnh A.
Phân tích: Đề bài của ta chỉ cho tọa độ hai điểm B,
N cùng một đường thẳng chứa trọng tâm G của tam
giác ABC. Ta thấy rằng, B, G cùng thuộc đường
chéo BD và ta có thể tính được tỉ lệ giữa độ dài các
cạnh của đường chéo đó theo tính chất của trọng
tâm và của hình chữ nhật. Từ đó, ta tính được tọa
độ điểm I và D theo 1 ẩn tọa độ của G.
Và từ D ta có thể tính được tọa độ C theo trung điểm
N của DC
Ràng buộc của ta không gì khác ngoài DC BC
54 | Hãy dùng sách chính hãng để được hưởng đầy đủ các quyền lợi của độc giả
Chinh phục hình học giải tích Oxy
Your dreams – Our mission
B
A
G
I
D
C
N
Lời giải:
Gọi tọa độ điểm G thuộc 3x y 2 0 là G g,3g 2
*Tính tọa độ điểm D theo g
Tam giác ABC vuông tại B có G là trọng tâm nên
nếu I là tâm hình chữ nhật, tức BI là trung tuyến ứng
2
với cạnh AC thì ta có hệ thức BG BI và
3
1
1
BI BD . Suy ra: BG BD.
2
3
Ta có: BG g 1,3 g 3 , BD a 1, b 1 với
1
g 1 3 a 1
a 3g 2
D a, b
b 9 g 8
3 g 3 1 b 1
3
*Tìm tọa độ G , C
9
5
57
y A 3 yG yB yC
5
x A 3 xG xB xC
9 57
Vậy tọa độ của A là A 1,3 hoặc A ,
5 5
Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng
48, đỉnh D 3, 2 . Đường phân giác của góc BAD
có phương trình x y 7 0. Tìm tọa độ đỉnh B
biết điểm A có hoành độ dương
Phân tích: Với kinh nghiệm khi giải các bài toán có
tam giác, ta có thể nhận ra ở bài này ta cũng có thể
sử dụng cách tương tự để tìm một điểm E nằm trên
AB khi lấy đối xứng của D thuộc AD qua phân giác
góc DAB. Thêm một điều nữa, góc DAB là một góc
vuông và A lại thuộc đường phân giác góc đó đã có
phương trình nên hoàn toàn có thể xác định được
tọa độ điểm A. Lúc này, ta có thể viết được phương
trình các cạnh BA, AD, DC dựa vào tọa độ các điểm
E, A, D cùng độ dài cạnh AD. Từ diện tích, ta tính
được độ dài cạnh còn lại nên điểm B (C) thuộc AB
(DC) và cách A (D) một đoạn đã biết nên ta tính
được tọa độ B, C.
Vì
N
là
trung
điểm
CD
nên
xC 2 xN xD 10 3 g , yC 2 y N yD 20 9 g .
A
E
B
Khi đó
ND 3 g 6,9 g 14 , BC 9 3 g ,19 9 g .
I
Ta có:
BC ND BC.ND 0 9 3 g 3 g 6 19 9 g 9 g D
14 0
C
F
90 g 2 342 g 320 0
5
5
C 5,5 , G ,3
g
3
3
18 4 32 22
g 32
C ; , G ,
15
5 5 15 5
*Tìm tọa độ điểm A
5
Với C 5,5 , G ,3
3
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
x A 3 xG xB xC 1
y A 3 yG yB yC 3
18 4 32 22
Với C ; , G ,
5 5 15 5
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
Lời giải:
Gọi E a, b là điểm đối xứng của D qua phân giác
góc A.
*Tìm tọa độ điểm E
a3 b2
Khi đó tọa độ trung điểm DE là
,
và
2
2
DE a 3, b 2 . Theo đề, ta có:
a 3 b 2
,
x y 7 0
2
2
DE FA
a 3 b 2
7 0
a 5
2
2
b 10
1. a 3 1. b 2 0
Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT quốc gia | 55
Chinh phục hình học giải tích Oxy
Your dreams – Our mission
*Tìm tọa độ điểm A
Gọi tọa độ điểm A thuộc đường thẳng x y 7 0
là A c, 7 c . Khi đó: DA c 3,5 c ,
EA c 5, c 3 . Ta có:
DA AE DA.EA 0
c 3 c 5 5 c c 3 0
chiếu của E, A lên BD thì ta có hai tam giác BEH
và BAK đồng dạng với nhau dẫn đến ta tính được
khoảng cách từ A đến BD cũng chính là từ C đến
BD. Cùng với phương trình đường thẳng chứa điểm
C ta tìm được tọa độ điểm C.
c 5
A 5, 2
c 3 0
*Tìm tọa độ điểm B
Lúc này AD
3 5
2
K
2 2 8
2
S ABCD 48
6
8
AD
Đường thẳng AB đi qua điểm A 5, 2 và
nhận vecto pháp tuyến là AD 8, 0 nên có
phương trình: 8 x 5 0 y 2 0 x 5
Gọi tọa độ điểm B thuộc đường thẳng x 5
là B 5, d . Ta có:
2
Xét vị trí tương đối giữa D 3, 2 , B 5, 4
và đường thẳng x y 7 0 ta có:
3 2 7 5 4 7 48 0 nên D 3, 2 và
B 5, 4 cùng phía với đường thẳng
Xét vị trí tương đối giữa D 3, 2 , B 5,8
và đường thẳng x y 7 0 ta có:
3 2 7 5 8 7 48 0 nên
B 5, 4 khác phía với đường thẳng
Vậy tọa độ điểm B là B 5,8
Lời giải:
*Tìm tọa độ điểm C
Gọi hình chiếu của E, A lên BD là H, K theo thứ tự.
Ta có khoảng cách từ E đến đường thẳng BD:
7 1 2 9 9 2
EH d E / BD
5
7 2 12
ABK
Hai tam giác vuông BEH và BAK có EBH
EH EB 3
4 EH 12 2
AK
dC / BD
AK AB 4
3
5
Gọi tọa độ điểm C thuộc đường thẳng
d 8
d 2 6
d 4
C
D
nên đồng dạng với nhau, suy ra hệ thức
5 5 d 2 6
2
B
H
AB
AB
E
A
D 3, 2 và
Bài 9: Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh C nằm trên
đường thẳng : x 2 y 1 0, đường thẳng BD có
phương trình 7 x y 9 0. Điểm E 1, 2 thuộc
cạnh AB sao cho EB 3EA. Biết rằng điểm B có
tung độ dương. Tìm tọa độ của các điểm A, B, C, D.
Phân tích: Ở đây, nếu không tính đường thẳng đi
qua điểm C thì đề bài chỉ cho ta biết tọa độ điểm E
và phương trình đường thẳng BD. Ta sẽ tìm liên hệ
giữa khoảng cách từ E đến BD và độ dài các cạnh
của hình chữ nhật. Nếu gọi H, K lần lượt là hình
x 2 y 1 0 là C 2c 1, c .
Ta có: dC / BD
7 2c 1 c 9
7 2 12
12 2
5
31 22
22
,
c
12 2
C
13 13 13
5
50
C 5, 2
c 2
31 22
Xét tích 7.
9 7. 1 2 9 0 nên
13
13
13c 2
31 22
điểm C
,
và E 1, 2 nằm cùng phía so
13 13
với đường thẳng 7 x y 9 0 : vô lí nên tọa độ
điểm C là C 5, 2
*Tìm tọa độ điểm B
Gọi tọa độ điểm B thuộc đường thẳng
7 x y 9 0 là B b, 7b 9 , khi đó ta có:
EB CB EB.CB 0
b 1 b 5 7b 11 7b 11 0
56 | Hãy dùng sách chính hãng để được hưởng đầy đủ các quyền lợi của độc giả
Chinh phục hình học giải tích Oxy
Your dreams – Our mission
29 22
29
b
B ,
25 25 25
B 2,5
b 2
2 AC 2 AB 2
2 AC 2
29 22
Điểm B ,
có tung độ âm trái với đề bài
25 25
nên tọa độ điểm B là B 2,5 .
*Tìm tọa độ điểm A
Gọi tọa độ điểm A là A a1 , a2 . Theo đề bài ta có,
4
4
a1 2 3 . 3
a 2
1
BA BE
3
a2 1
a 5 4 3
2
3
*Tìm tọa độ điểm D
Gọi tọa độ điểm D thuộc đường thẳng
7 x y 9 0 là D d , 7d 9 , khi đó ta có:
DA DC AD.CD 0
d 1
d 2 d 5 7d 10 7d 11 0
d 2
Ta loại D 2,5 vì trùng điểm B.
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là
A 2,1 , B 2,5 , C 5, 2 , D 1, 2
Bài 10: Cho hình chữ nhật ABCD, đỉnh B thuộc
đường thẳng d1 : 2 x y 2 0, đỉnh C thuộc
đường thẳng d 2 : x y 5 0. Gọi H là hình chiếu
của
B xuống đường thẳng AC. Biết
9 2
M , , K 9, 2 lần lượt là trung điểm của AH
5 5
và CD. Tìm tọa độ các đỉnh B, C của hình chữ nhật
ABCD biết xC 4
Lời giải:
*Chứng minh MB vuông góc với MK
Gọi u AB, v AD, u u , v v . Áp dụng
hệ thức lượng của tam giác cho tam giác vuông
ABC có đường cao ứng với cạnh huyền BH ta có:
AB 2 AH . AC AH
AB 2
. AC
AC 2
AB 2 AB 2
AH
AC
uv
AC 2
AC 2
AH
1 AB2
MB MA AB
AB
u v u
2
2 AC 2
AB 2
u 2 AC 2 v
2
2u 2v 2 u 2
u2
u
v
2 u 2 v2
2 u 2 v2
u 2 2v 2
u2
u
v
2 u 2 v2
2 u 2 v2
B
A
M
I
H
D
C
K
Mặt khác: MK MA AD DK
AH 1 AB 2 u
v u
uv v
2
2
2
2 AC 2
Từ đó:
u 2 2v 2 v 2 2
u 2 2v 2 u 2 2
MB.MK
u
v
2 u 2 v2
2 u 2 v2
u
2
2v 2 v 2 u 2
2 u 2 v2
u
2
2v 2 u 2 v 2
2 u 2 v2
0
Gọi tọa độ điểm B thuộc đường
2 x y 2 0 là B b, 2b 2 , khi đó:
thẳng
9
8
MB b , 2b . Ta có:
5
5
9
9
2
8
MB.MK 9 b 2 2b 0
5
5
5
5
b 1 B 1, 4
Gọi tọa độ điểm C thuộc đường thẳng x y 5 0
là C c, c 5 . Khi đó, KC c 9, c 7 ,
BC c 1, c 9 . Ta có phương trình:
c 9 c 1 c 7 c 9 0
c 9 4
C 9, 4
c 4
Vậy tọa độ điểm B, C là B 1, 4 , C 9, 4
Bài 11: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I 6, 2 ,
điểm M 4;5 nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB
Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT quốc gia | 57
Chinh phục hình học giải tích Oxy
Your dreams – Our mission
và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng
x y 5 0 . Viết phương trình AB.
Lời giải:
Lấy điểm N đối xứng với M qua I. Suy ra N thuộc
CD N 8; 1 .
Điểm E thuộc đường thẳng
5 0. Suy ra
E(e; 5-e)
EN 8 e; e 6
EI 6 e; e 3
Mà EN EI Do E là trung điểm của CD). Suy ra:
8 e 6 e e 6 e 3 0
E 6; 1
e 6
e 11 E 11 ; 1
2 2
2
F
E
A 2B
A2 B 2
M
A2 B 2
3
B
C
1 5
vtpt n AB EI ; .
AB :
2 2
qua M 4;5
1
5
x 4 y 5 0
2
2
AB : x 5 y 29 0
Vậy phương trình đường thẳng AB là y 5 hoặc
x 5 y 29 0.
AB :
Bài 12: Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình
cạnh
đường
chéo
AB : x 2 y 1 0,
3
AB; BD
cos
10
5
3
2
1
A
B
7 A 8 AB B 0
7
A B
1
*) Với A
B chọn
7
B 7 A 1 AC BD ( loại).
2
A 2B
2 A2 4 AB 4 B 2 9 A2 B 2
I
D
21 13
B AB BD B ; .
5 5
Gọi n AC A; B A2 B 2 0 .
.
10
12 7 2 12 22
Khi đó gọi vecto pháp tuyến của đường thẳng AC là
n n1 , n2 dẫn đến:
A
Lời giải:
B là giao điểm của đường thẳng AB và BD nên tọa
độ của B là nghiệm của hệ phương trình sau:
21
x
x 2 y 1 0
5
x 7 y 14 0
y 13
5
AB; AC
cos
11 1 1 5
TH2:+) E ; EI ; .
2 2
2 2
1 7.2
M 2;1 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Khi đó
TH1: +) E 6; 1 suy ra EI 0; 3
Vtpt : nAB EI 0;3
AB :
AB : y 5
qua M 4;5
Ta có: cos DBA
BD : x 7 y 14 0. Đường thẳng AC đi qua
2
*) Với A B chọn
B 1 A 1 n AC 1; 1
qua M 2;1
AC
vtpt n AC 1; 1
AC : x 2 y 1 0 x y 1 0.
A AC AB tọa độ của A
x y 1 0
x 3
A 3, 2 .
x 2 y 1 0
y 2
thỏa mãn
I AC BD tọa độ của I thỏa mãn
7
x 2
x y 1 0
7 5
I ; .
2 2
x 7 y 14 0
y 5
2
I là trung điểm của AC suy ra C 4;3
Tương tự I là trung điểm của BD suy ra
14 12
D ; .
5 5
58 | Hãy dùng sách chính hãng để được hưởng đầy đủ các quyền lợi của độc giả
Chinh phục hình học giải tích Oxy
Your dreams – Our mission
Vậy tọa độ các đỉnh của hình
21 13
14 12
A 3, 2 , B , , C 4,3 , D , .
5 5
5 5
Bài 13: Cho hình hình chữ nhật ABCD có các cạnh
AB, BC , CD, AD lần lượt đi qua các điểm
M 4,5 , N 6,5 , P 5, 2 , Q 2,1 . Tìm tọa độ các
đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết diện tích của nó
bằng 16.
Lời giải:
Vì AB vuông góc với BC nên ta có:
1
kl 1 1 0 kl 1 l
k
Vì ABCD là hình chữ nhật nên:
k .5 2 5 4k
k 3
AD d P / AB
k 2 12
k2 1
Tương tự, ta có:
l.2 1 5 6l
AB dQ / BC
l 2 12
1
k 1
1 4
4 k 1
k
k
1
l2 1
k2 1
k2 1
1
k2
k2
Theo giả thiết, diện tích hình chữ nhật là 16 nên ta
4 k 3 k 1
có: AD. AB
16
k2 1 k2 1
4l 4
4
k 2 4k 3 4 k 2 1
3k 2 4k 1 0
2
5k 4k 7 0
k 1
l 1
1
k
l 3
3
Trường hợp phương trình đường thẳng AB là
x y 1 0 và BC là x y 11 0
Đường thẳng AD đi qua điểm Q 2,1 và vuông góc
với
x y 1 0
nên
có
phương
Đường thẳng CD đi qua điểm P 5, 2 và
song song với x y 1 0 nên có phương trình
x y 3 0
Điểm C là giao điểm của CD và BC nên tọa
độ của C là nghiệm của hệ phương trình sau:
x y 3 0
x 7
x y 11 0
y 4
Điểm D là giao điểm của CD và AD nên tọa
độ của D là nghiệm của hệ phương trình sau:
x y 3 0
x 3
x y 3 0
y 0
Trường hợp phương trình đường thẳng AB là
x 3 y 11 0 và BC là 3 x y 23 0 . Hoàn
toàn tương tự, ta tìm được tọa độ các đỉnh của
hình
chữ
nhật
là
29 28 34 13
A 1, 4 , B , , C , , D 2,1
5 5 5 5
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD là
A 1, 2 , B 5, 6 , C 7, 4 , D 3, 0
29 28 34 13
hoặc A 1, 4 , B , , C , , D 2,1
5 5 5 5
Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho
hình chữ nhật ABCD có D 3; 4 . Gọi M là trung
điểm của AD, đường thẳng CM : 2 x y 1 0.
Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết
B thuộc đường thẳng 3 x y 3 0 và B có
hoành độ âm.
Phân tích: Như những bài trước, mình sẽ tính
khoảng cách từ 1 điểm cho trước tới 1 đường cho
trước, tìm mối liên hệ khoảng cách từ điểm đã cho
với 1 điểm thuộc phương trình đường thẳng không
có tính chất hình học trong hình vẽ.
B
A
trình
1. x 2 1. y 1 0 x y 3 0
Điểm A là giao điểm của AD và AB nên tọa
độ của A là nghiệm của hệ phương trình sau:
x y 3 0
x 1
x y 1 0
y 2
Điểm B là giao điểm của AB và BC nên tọa
độ của B là nghiệm của hệ phương trình sau:
x y 11 0
x 5
x y 1 0
y 6
M
D
I
C
Mình chọn điểm D để tính khoảng cách tới CM, và
tham số hóa tọa độ điểm B, bằng cách tìm liên hệ
khoảng cách dựa vào liên hệ diện tích của 2 tam
giác chung đáy mình sẽ tính được khoảng cách từ
B tới AC và tìm được điểm B. Bài toán này cho
Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT quốc gia | 59
Chinh phục hình học giải tích Oxy
Your dreams – Our mission
hoành độ B âm là một dữ kiện khá quan trọng và
không có chút gì gọi là “lừa” chúng ta, nhưng nếu
không có điều kiện này của B chúng ta vẫn chỉ được
lựa chọn 1 điểm B thỏa mãn, vì vị trí tương đối của
B và D so với MC là khác phía, việc dùng khoảng
cách cho chúng ta 2 điểm B, thực tế có 1 điểm cùng
phía với D so với MC (phải loại) một điểm khác
phía (đây mới là điểm cần tìm). Có B, có D thì mình
sẽ tìm trung điểm I của BD để tìm mối liên hệ với
AC (vì I thuộc AC). Bây giờ thì tham số hóa C và sử
dụng thêm BC và BD vuông góc với nhau để giải ra
C. Cuối cùng là tìm A khi đã có I và C.
Lời giải:
Ta có: BC AD 2MD S MBC 2 S MDC
d B; MC 2d D; MC 1
Gọi: B b; 3 3b b 0
Từ (1) ta được:
2b 3b 3 1
22 12
2
3.2 4 1
22 12
b 2
b 2 B 2;3
b 2
5
Gọi AC BD I I là trung điểm BD
1 7
I ;
2 2
Gọi
C c; 2c 1 BC c 2; 2c 2 ; DC c 3; 2c 3
Do ABCD là hình chữ nhật dẫn đến:
BC.DC 0 c 2 c 3 2c 2 2c 3 0
C 0,1 , A 1, 6
c 0
11 27 6 8
11
c
C
,
,A
,
5 5 5 5
5
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là
A 1, 6 , B 2,3 , C 0,1 hoặc
6 8
11 27
A , , B 2,3 , C , .
5 5
5 5
3. Hình thoi
B b,1 b , C c, 2c 1 .
Bài 1: Cho hình thoi ABCD có AC 2 BD. Biết
đường thẳng AC có phương trình 2 x y 1 0.
B
Đỉnh A 3,5 và điểm B thuộc đường thẳng
d : x y 1 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D của
hình thoi ABCD.
Phân tích: Hai điểm B, C thuộc hai đường thẳng đã
biết phương trình nên ta cần tìm ràng buộc giữa hai
điểm đó. Với giả thiết AC 2 BD , ta có thể biến đổi
về quan hệ giữa các điểm đã đặt ẩn, các điểm đã có
tọa độ và phương trình đường thẳng AC đó là:
AC 4d B / AC .
Với tính chất của hình thoi, ta còn có một ràng buộc
nữa là BI AC với I là trung điểm của AC dễ dàng
tính được theo ẩn tọa độ điểm C
Lời giải:
*Tìm tọa độ điểm B, C
Gọi tọa độ điểm B, C lần lượt thuộc các đường
thẳng x y 1 0, 2 x y 1 0 là
A
C
I
D
Khi đó tọa độ tâm I của hình thoi cũng chính là trung
3 c 4 2c
điểm AC có tọa độ:
,
.
2
2
Ta có:
3 c 2b
AC c 3, 2c 6 , BI
, b c 1 và
2
AC 2 BD 4 BI .
Từ đó ta có hệ phương trình sau:
60 | Hãy dùng sách chính hãng để được hưởng đầy đủ các quyền lợi của độc giả
Chinh phục hình học giải tích Oxy
AC.BI 0
AC 4 BI
hoặc B 1, 2 , C 1, 3 , D 3, 0
3 c 2b
2c 6 b c 1 0
c 3
2
2
2
2
2
3 c 2b
b c 1
c 3 2c 6 4
2
3 c 2b
2b 2c 2 0 1
c 3
2
5c 2 7c 13
2
5
c
3
4
2
b
b
c
b
2
4
2
4
c 3
1
5c 7
b
2
2
Khi c 3 ,
2 2b2 2b 25 0 b
Khi b
2
Your dreams – Our mission
5c 7
,
2
2
5 c3 4
5 c 3 4.
Bài 2: Cho hình thoi ABCD có phương trình cạnh
AC là x 7 y 31 0 , hai đỉnh B, D lần lượt thuộc
các
đường
thẳng
d1 : x y 8 0,
d 2 : x 2 y 3 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình
thoi biết diện tích của hình thoi bằng 75 và đỉnh C
có hoành độ âm.
Phân tích: Tương tự như bài trên, ta sẽ đặt hai ẩn
tương ứng với tọa độ hai điểm B, D đã thuộc hai
đường thẳng cho trước. Vì ABCD là hình thoi nên
ta sẽ sử dụng các tính chất một cách chọn lọc của
hình thoi để tìm hai ẩn đó. Và tính chất đó là: hai
đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi
đường (dễ dàng thấy rằng một tứ giác có tính chất
trên cũng chính là hình thoi). Vì đề bài chỉ cho
phương trình đường thẳng AC nên ta chỉ sử dụng
tính chất tại trung điểm mỗi đường ở chỗlà trung
điểm BD nằm trên AC.
B
45c 2 75c 125
4
2
4
3 5
5
c
2
3
C
A
2
5
c 3 6 c 3
5
c3 6 c
3
5
c 3 6 c
3
13 31
13
,
c
, B 3, 2
C
5
5 5
C 1, 3 , B 1, 2
c 1
*Tìm tọa độ D
Vì I là trung điểm chung của AC và BD nên
2 xI x A xC xB xD , 2 yI y A yC yB yD
13 31
Khi C
,
, B 3, 2
5
5
13
4
xD x A xC xB
, yD y A yC yB
5
5
Khi C 1, 3 , B 1, 2 , tương tự ta có
xD 3, yD 0
Vậy tọa độ các đỉnh B, C , D của hình thoi ABCD
13 31 13 4
là B 3, 2 , C
,
,
, D
5 5 5
5
D
Từ đó ta tính được tọa độ B, D. Cặp điểm A,
C cũng đã cùng thuộc một đường thẳng nên ta chỉ
cần hai ẩn để mô tả A, C. Và ràng buộc lúc này sẽ
bổ sung cho tính chất ở trên là trung điểm AC trùng
với trung điểm BD. Kết hợp với diện tích bằng 75
ta tính được tọa độ A, C.
Lời giải:
*Tính tọa độ B, D
Gọi tọa độ điểm B, D lần lượt thuộc các đường
d1 : x y 8 0, d 2 : x 2 y 3 0
là:
thẳng
B b,8 b , D 2d 3, d .
Từ
đó,
ta
có:
2d b 3 d b 8
BD 2d b 3, d b 8 , I
,
2
2
với I là trung điểm BD và cũng là trung điểm AC.
Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo
vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường từ đó
ta có hệ phương trình sau:
Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT quốc gia | 61
Chinh phục hình học giải tích Oxy
7 2 d b 3 d b 8 0
AC BD
2d b 3
d b8
I AC
7
31 0
2
2
13d 8b 13
d 1
D 1,1
9
9
b 0
B 0,8
2 d 3b 2
1 9
Suy ra tọa độ điểm I là I , và
2 2
BD
1 0 2 8 12
5 2
*Tính tọa độ A, C
Gọi tọa độ điểm A, C thuộc đường thẳng
x 7 y 31 0 là A 31 7a, a , C 31 7c, c . Từ
đó, ta tính được tọa độ điểm I theo a, c:
7 a c a c
I 31
,
và AC 5 2 a c . Ta
2
2
có hệ phương trình sau:
2 S ABCD 150 30
5 2 a c AC BD 5 2 2
a c 9
2
2
a c 3
a c 3
a c 9
a c 3
a c 9
a c 9
a 6
A 11, 6 , C 10,3
c 3
a 3
A 10,3 , C 11, 6
c 6
Vì điểm C có hoành độ âm nên ta chọn tọa
độ điểm C là C 11, 6
Vậy tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD là
A 10,3 , B 0,8 , C 11, 6 , D 1, 1 .
Nhận xét: Ta cũng có thể đặt một lúc 4 ẩn tương
ứng với 4 điểm rồi giải hệ phương trình với 4 ẩn đó.
Tuy nhiên làm như vậy sẽ khó theo dõi, khó sửa lỗi.
Làm từng bước như trên sẽ giúp kiếm được từng
phần, tránh trường hợp sai một chỗ sai toàn bộ bài
toán.
Bài 3: Cho hình thoi ABCD có AC : x y 1 0.
Điểm E 9, 4 nằm trên đường thẳng AB, điểm
Your dreams – Our mission
F 2, 5 thuộc AD, AC 2 2. Xác định tọa độ
A, B, C , D biết điểm C có hoành độ âm.
Phân tích: Một tính chất của hình thoi (cũng đúng
cho tất các hình bình hình khác) ít sử dụng là đường
chéo từ đỉnh nào cũng là đường phân giác ứng với
góc ở đỉnh đó. Tính chất này sẽ hữu dụng ở bài này
do ta có điểm E nằm trên tia AB của góc BAD cùng
với phương trình AC là phân giác góc BAD. Từ đó,
tương tự như các bài tập liên quan đến tam giác, ta
tính được tọa độ điểm đối xứng của E qua phân giác
AC và thuộc AD. Từ đó, kết hợp với điểm F thuộc
AD đã biết, ta kẻ được đường thẳng AD.
B
E
A
I
C
F
K
D
Điểm A sẽ là giao điểm của AD và AC. Sử
dụng thêm các dữ kiện khác, ta sẽ tìm được tọa độ
các đỉnh khác của hình thoi.
Lời giải:
*Tìm tọa độ điểm đối xứng của E qua AC
Gọi K k1 , k2 là điểm đối xứng của E qua
phân giác AC của góc BAD. Khi đó,
EK k1 9, k2 4 và trung điểm H của EK có
k 9 k2 4
. Ta có hệ phương trình
,
tọa độ H 1
2
2
EK AC
sau:
H AC
1. k1 9 1. k2 4 0
k1 3
k1 9 k2 4
k 2 8
2 2 1 0
*Tìm tọa độ điểm A, C
Đường thẳng AD di qua điểm F 2, 5 và
có vecto chỉ phương FK 1, 3 hay vecto pháp
tuyến 3, 1 nên có phương trình:
3 x 2 y 5 0 3x y 1 0
Điểm A là giao điểm của AD và AC nên tọa
độ A là nghiệm của hệ phương trình:
62 | Hãy dùng sách chính hãng để được hưởng đầy đủ các quyền lợi của độc giả
Chinh phục hình học giải tích Oxy
Your dreams – Our mission
3x y 1 0
x 0
x y 1 0
y 1
Gọi tọa độ điểm C nằm trên đường thẳng
x y 1 0 là C c,1 c . Theo đề, ta có:
AC
c 0 2 1 c 12
2 2
c 2 0
2 c 2 2
C 2,3
c 2
*Tìm tọa độ điểm B, D
Gọi tọa độ điểm D thuộc đường thẳng
3 x y 1 0 là D d ,3d 1 .
Với hình thoi ABCD trong bài toán này,
mình thấy đề bài cho I, cho N thuộc CD nên mình
sẽ tìm cách lấy điểm L đối xứng với N qua I và L
mới tìm được nằm trên AB. Từ 2 điểm L,M thuộc
AB, mình lập được AB. Tiếp sau đó mình khai thác
thêm quan hệ độ dài AC=2BD hay AI=2BI.
Bằng việc đặt BI a, mình sẽ tính được độ
dài khoảng cách từ I tới AB theo a và dễ dàng tìm
ra a nhờ tính độ dài d I; AB . Theo cách tính trên
ta được BI 5, nên điểm I sẽ thuộc đường tròn
tâm I bán kính 5 , mình sẽ lập phương trình đường
tròn này sau đó giải hệ phương trình tương giao
Ta có tọa độ trung điểm I của AC là I 1, 2 . Khi
giữa đường tròn vừa lập và phương trình đường
đó, ID d 1,3d 1 . Vì ABCD là hình thoi nên: thẳng AB để tìm ra tọa độ điểm B cần tìm.
Lời giải:
ID AC ID. AC 0 2 . d 1 2. 3d 1 0 d 1
Gọi L đối xứng với N qua I L (4; 5)
Áp dụng tính chất của hình bình hành cho
Ta có AB qua
hình thoi ABCD:
1
M 0; ; L 4; 5 AB : 4 x 3 y 1 0
xB x A xC xD 3, yB y A yC yD 0 .
3
Vậy tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD là
4.2 3.1 1
d I; AB
2
A 0,1 , B 3, 0 , C 2,3 , D 1, 4
42 32
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi
Vì AC 2 BD, nên AI 2 BI
1
ABCD,có tâm I(2;1)và AC=2BD. Điểm M 0;
Đặt BI a AI 2a
3
Xét tam giác vuông ABI có
thuộc đường thẳng AB. Điểm N 0;7 thuộc
1
1
1
2 2 a 5 BI 5
2
đường thẳng CD. Tìm tọa độ đỉnh B biết B có
a
4a
d I ; AB
hoành độ dương.
Điểm B là giao của đường thẳng 4 x y 1 0 với
Phân tích: Khi thấy một bài toán về hình bình hành
(hay các hình bình hành đặc biệt:hình thoi, hình đường tròn tâm I bán kính 5
Tọa độ B là nghiệm của hệ
vuông, hình chữa nhật) mà có giao điểm 2 đường
chéo, và 1 điểm nằm trên 1 cạnh của hình đã cho,
4 x 3 y 1 0
mình thường lấy điểm đó đối xứng qua I để tìm thêm
2
2
x 2 y 1 5
1 điểm nữa , sẽ rất hữu ích.
x 1; y 1
B
x 1; y 1 (vì xB 0 )
L
x 1 ; y 3
5
5
M
A
C
I
Vậy B 1; 1
N
D
Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT quốc gia | 63
Chinh phục hình học giải tích Oxy
Your dreams – Our mission
4. Hình vuông
d1 : x y 0,
Bài 1: Cho hai đường thẳng
d 2 : 2 x y 1 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình
vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1 , đỉnh C
thuộc d 2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành
Phân tích: Tương tự như tam giác, một khi các đỉnh
của hình vuông đã các đường thẳng đã biết phương
trình thì mọi việc trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Việc còn lại là ràng buộc để 4 điểm đó xác định một
hình vuông. Ta sẽ định nghĩa hình vuông là tứ giác
có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với
nhau tại trung điểm mỗi đường.
Lời giải:
Gọi tọa độ điểm A, C lần lượt thuộc các đường
thẳng d1 : x y 0, d2 :2x y 1 0 là A a, a ,C c,1 2c
Gọi tọa độ điểm B, D thuộc trục hoành là
B b, 0 , D d , 0
A
B
c a 2 1 2c a 2 d b 2
c a 0
b d 0
*
a c b d
2c a 1
Trường hợp c a 0 , hệ * trở thành:
1 3c 2 d b 2
a c 1
a c
2
d b 4
b d 2c
b d 2
c 1
a c 1
a c 1, b 0, d 2
d 2, b 0
a c 1, b 2, d 0
d 0, b 2
Trường hợp b d 0 không đúng vì B
phải khác D.
Vậy tọa độ các đỉnh của hình vuông A, B, C , D là
A 1,1 , B 0, 0 , C 1, 1 , D 2, 0
hoặc A 1,1 , B 2, 0 , C 1, 1 , D 0, 0
I
Bài 2: Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm
của cạnh BC, phương trình đường thẳng
DM : x y 2 0 và C 3, 3 . Biết đỉnh A thuộc
D
C
Từ
đó
ta
tính
được:
AC c a,1 2c a , BD d b, 0 và tọa độ
trung điểm I của mỗi đoạn AC, BD là
a c 1 2c a
bd
I1
,
,0
hoặc I 2
2
2
2
Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo
bằng nhau, vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi
đường (tức trung điểm hai đoạn AC , BD trùng
nhau). Từ đó ta có hệ phương trình sau:
c a 1 2c a d b
AC BD
c a b d 1 2c a .0 0
AC.BD 0 a c b d
I I
2
2
2
1
1 2c a
0
2
2
2
2
đường thẳng d : 3 x y 2 0. Tìm tọa độ các điểm
A, B, D.
Phân tích: Đề bài cho ta tọa độ điểm C và phương
trình đường thẳng DM nên có thể ta sẽ cần dùng
đến khoảng cách từ C đến DM. Nhận thấy rằng tam
giác CMD vuông tại C có hai cạnh góc vuông có độ
dài gấp đôi nhau nên ta có thể tính được tỉ lệ giữa
các đoạn thẳng bất kì trong tam giác đó, bao gồm
cạnh góc vuông, cạnh huyền, đường cao ứng với
cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông lên
cạnh huyền.
B
M
C
H
N
A
64 | Hãy dùng sách chính hãng để được hưởng đầy đủ các quyền lợi của độc giả
D
Chinh phục hình học giải tích Oxy
Your dreams – Our mission
Với đường cao CH ứng với cạnh huyền vừa tính, ta
có thể tính được độ dài các cạnh của tam giác đó.
Ta chỉ quan tâm tới các cạnh CM và CD vì
M và D là hai điểm đã thuộc một đường thẳng đã
biết phương trình. Ở đây ta chọn M. Điểm M của ta
cách C một đoạn cho trước và thuộc DM nên hoàn
toàn xác định được điểm M. Từ đó, do M là trung
điểm BC nên ta tính được tọa độ điểm B. Và điểm A
chính là giao điểm của đường thẳng đi qua B, vuông
góc với BC và đường thẳng d đã cho.
Lời giải:
*Tìm tọa độ điểm M
Gọi H là hình chiếu của C lên MD. Khi đó,
3 3 2
4
.
ta có: CH dC / DM
2
2
2
1 1
Xét hai tam giác vuông MCH và MCD:
CH CD . Vì M là trung điểm BC
tan CMH
MH MC
2
CH
CD
nên
. Áp dụng
2 suy ra MH
MC
2
2
định lý Py-ta-go cho tam giác MCH, ta có:
2
2
2
MC MH CH 10
Gọi tọa độ điểm M thuộc đường thẳng
DM : x y 2 0 là M m, m 2 . Ta có:
MC 2 m 3 m 1 10
2
2
m 0
2m 2 4m 0
m 2
M 0, 2
M 2, 0
*Tìm tọa độ B, A, D
Trường hợp M 0, 2 :
Vì M là trung điểm đoạn BC nên
xB 2 xM xC 3, yB 2 yM yC 1
Đường thẳng AB đi qua điểm B 3, 1 và có
vecto pháp tuyến BC 6, 2 nên có phương
Trường hợp M 2, 0 :
Vì M là trung điểm đoạn BC
xB 2 xM xC 1, yB 2 yM yC 3
Đường thẳng AB đi qua điểm B 1,3 và có vecto
pháp tuyến BC 2, 6 nên có phương trình:
2 x 1 6 y 3 0 x 3 y 8 0
Điểm A là giao điểm của AB và d nên tọa
độ của A là nghiệm của hệ phương trình sau:
1
x
x 3y 8 0
5
3 x y 2 0
y 13
5
Ta loại trường hợp này vì
2 10
2 10 BC
5
Vậy tọa độ các đỉnh A, B, D là
AB
A 1,5 , B 3, 1 , D 5,3
Bài 3: Cho hình vuông ABCD có A 2, 6 , đỉnh B
thuộc d : x 2 y 6 0. Gọi M , N lần lượt là hai
điểm trên cạnh BC , CD sao cho BM CN , Biết
2 14
AM cắt BN tại I , . Xác định tọa độ điểm C.
5 5
Phân tích: Nếu vẽ hình chính xác, ta sẽ thấy rằng
AM vuông góc với BN. Việc cần làm là chứng minh
nhận xét đó. Có nhiều cách nhưng đơn giản hơn hết
là thông qua hai tam giác bằng nhau ABM và BCN.
Đó chính là chìa khóa để giải quyết bài toán. Khi
AM vuông góc với BN thì ta có thể viết được phương
trình BN dựa trên tọa độ A, I. Từ đó tìm được điểm
B và điểm C.
Vì I là trung điểm của cả AC và BD nên
2 xI x A xC xB xD
hay
yD y A yC yB 3
C
I
Điểm A là giao điểm của AB và d nên tọa
độ của A là nghiệm của hệ phương trình sau:
3 x y 8 0
x 1
3 x y 2 0
y 5
tương
M
B
trình: 6 x 3 2 y 1 0 3x y 8 0
xD x A xC xB 5 ,
nên
tự
N
A
D
Lời giải:
*Chứng minh BN vuông góc AM
Hai tam giác vuông ABM , BCN có các cạnh góc
vuông bằng nhau:
Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT quốc gia | 65
Chinh phục hình học giải tích Oxy
Your dreams – Our mission
AB BC , BM CN nên hai tam giác bằng nhau,
M
B
NBC
.
dẫn đến MAB
phụ với BMA
nên suy ra
Mặt khác, MAB
, tức BIM
phụ với BMA
90o .
NBC
C
N
*Tìm tọa độ điểm B
2 14
Đường thẳng BN đi qua điểm I , và có vecto
5 5
12 16
pháp tuyến AI ,
hay 3, 4 nên có
5 5
phương trình:
2
14
3 x 4 y 0 3x 4 y 10 0
5
5
Điểm B là giao điểm của BN và d nên tọa độ
của B là nghiệm của hệ phương trình:
3 x 4 y 10 0
x 2
x 2 y 6 0
y 4
*Tìm tọa độ điểm C
Đường thẳng BC đi qua điểm B 2, 4 và có
vecto pháp tuyến AB 4, 2 hay 2, 1 nên có
phương trình: 2 x 2 y 4 0 2 x y 0
Gọi tọa độ điểm C thuộc đường thẳng
2 x y 0 là C c, 2c . Vì ABCD là hình vuông
nên: BC AB
c 2 2 2c 4 2
2 2 2 6 4 2
c 0
5 c2 2 5
c 4
Vậy tọa độ điểm C là C 0, 0 hoặc C 4,8
Bài 4: Cho hình vuông ABCD có đỉnh A thuộc
d : x y 4 0. Đoạn thẳng BC, CD lần lượt đi
qua M 4, 0 , N 0, 2 . Biết tam giác AMN cân tại
A, xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông.
Phân tích: Từ dữ kiện tam giác AMN cân tại A hay
A thuộc trung trực của MN, mặt khác A lại thuộc d
nên hoàn toàn có thể tìm được tọa độ điểm A. Do
tính đối xứng của hình vuông nên điểm C cũng
thuộc trung trực của MN. Tức điểm C tạo với M, N
một tam giác vuông cân nên ta cũng có thể tìm được
tọa độ điểm C. Cuối cùng, để tìm tọa độ B, D chỉ
cần áp dụng một vài tính chất vuông góc, bằng nhau
của hình vuông.
Lời giải:
*Tìm tọa độ điểm A
D
A
Gọi tọa độ điểm A thuộc
x y40
là
A a, a 4 . Theo đề, tam giác AMN cân tại A dẫn
đến: AM AN
a 4 2 a 4 2
a 2 a 6 2
Ta có:
16a 32 12a 36 a 1
BM 2 AM 2 AB 2 AN 2 AD 2 ND 2 .
BM ND CM NC
Do đó, C cách đều hai điểm M , N . Mặt khác A cũng
cách đều M , N nên C , A nằm trên đường trung trực
của MN. Suy ra AC MN .
*Tìm tọa độ điểm C
Gọi tọa độ điểm C là C c1 , c2 .
Từ đó: MC c1 4, c2 , NC c1 , c2 2
AC c1 1, c2 5 , MN 4, 2 .
Ta có hệ phương trình sau:
MC.NC 0
c1 4 c1 c2 c2 2 0
4 c1 1 2 c2 5 0
AC.MN 0
2
2
c c2 4c1 2c2 0
1
4c1 4 2c2 10 0
c 2 2c 32 4c 2 2c 3 0
1
1
1
1
c2 2c1 3
c1 1
c1 3
c 2c 3
2
1
c1 1, c2 1 (1)
c 3, c 3 (2)
1
2
Ta nhận (2), loại (1) do A và C cùng phía so với MN.
*Tìm tọa độ điểm B, D
Trường hợp C 3,3 :
Ta có tọa độ tâm I của hình vuông:
x xC
y yC
1, yI A
1
xI A
2
2
66 | Hãy dùng sách chính hãng để được hưởng đầy đủ các quyền lợi của độc giả
